چرا گشتاور وارد بر اجسام بی‌حرکت صفر است؟

می‌دانیم که در مکانیک تحلیلی با تعریف گشتاور به صورت F×r به راحتی ثابت می‌شود که هنگامی که اندازه حرکت زاویه‌ای یک جسم صُلب با گذشت زمان تغییر نکند ناچاراً گشتاور وارد شده بر آن صفر است. هنگام تدریس موضوع گشتاور به یک دانش آموز دبیرستانی، چون او در سطحی نیست که برهان تحلیلی قضیه‌ی فوق به او ارائه گردد، بعد از ارائه‌ی تعریفی مشابه فوق برای گشتاور به هیچ وجه برای او ثابت نمی‌شود که گشتاور اِعمال شده بر یک جسم ساکن صفر است بلکه بیان می‌شود که باید چنین باشد.. به عبارت ساده‌تر با فرض اینکه میله‌ی AB نشان داده شده در شکل 1، که در نقطه‌ی A لولا شده است، بی‌حرکت است رابطه‌ی F1•AB=F2•AC به عنوان یک قضیه ثابت نمی‌شود بلکه به عنوان یک اصل بدیهی الزامی به دانش‌آموز عرضه می‌شود.
قبول این الزام اثبات نشده برای یک دانش‌آموز کنجکاو و تیزهوش مشکل است و او از خود می‌پرسد آیا قانونی جدید در مکانیک درحال آشکار شدن است که بیان می‌کند که گشتاور وارد بر یک جسم بی‌حرکت باید صفر باشد! بنابراین اثبات قضیه‌ی فوق به روشی ساده و قابل فهم برای یک دانش‌آموز تازه‌کار لازم است. در زیر تلاش می‌نماییم این کار را صورت دهیم.
فرض کنید درحالیکه ریسمان شکل 2 در نقاط A و B به یک تکیه‌گاه ثابت بسته شده است نیروی F در نقطه‌ی O بر آن وارد شود که بر اثر آن ریسمان نیروهای F1 و F2 را بر تکیه‌گاه وارد می‌کند. ریسمان درحال تعادل است بنابراین تکیه‌گاه نیروهایی برابر با F1 و F2 بر ریسمان در جهت‌های نشان داده شده در شکل 2 وارد می‌کند. هرکدام از این دو نیروی وارد شده توسط تکیه‌گاه دارای دو مؤلفه به‌صورتِ نشان داده شده در شکل می‌باشد که بزرگی آنها برابر است با F'1=F1•OO'/OA، F"1=F1•AO'/OA، F'2=F2•OO'/OB، و F"2=F2•BO'/OB. چون ریسمان حرکت انتقالی افقی (به طرف چپ یا راست) ندارد خواهیم داشت F"1=F"2 یا F1•AO'/OA=F2•BO'/OB که آن را به صورتِ (F1•OO'/OA) •AO'=(F2•OO'/OB).BO' یا F'1•AO'=F'2•BO' می‌نویسیم. توجه کنید گه به تعریف گشتاور رسیده‌ایم زیرا F'2=F2•OO'/OB نیروی عمودِ وارد بر B و BO' بازوی گشتاور نسبت به O'، و نیز F'1=F1•OO'/OA نیروی عمود وارد بر A و AO' بازوی گشتاور نسبت به O' است، که دیدیم حاصل‌ضرب دوتای اول برابر است با حاصل‌ضرب دوتای دوم (که درواقع علت آن نبودِ هیچ شتاب گردشی است).
حال تصور کنید که زاویه‌های θ1 و θ2 در شکل 2 به سمت صفر میل کنند. در این حال چون F1 و F2 لازم است برای موازنه با نیروی ثابت F، دارای مؤلفه‌های عمودی باشند ناگزیر بزرگیِ مؤلفه‌های افقی آنها (که با هم موازنه می‌شوند) به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. گاملاً واضح است که هیچ جسمی توان تحمل نیروی بی‌نهایت را ندارد ولذا در عمل θ1 و θ2 صفر نخواهند شد گرچه می‌توانند خیلی کوچک شوند. اما توجه کنید که حتی اگر اگر فرض کنیم θ1=θ2=0، قانون فوق‌الذکر برای گشتاور همچنان صادق خواهد بود، یعنی برای موردِ نشان داده شده در شکل 3 خواهیم داشت F'1•OA=F'2•OB زیرا به‌وضوح این یک حالتِ حَدّی برای پروسه‌ای است که در هر مرحله‌اش قانون گشتاور فوق‌الذکر صادق بوده است.

/ن