بی نهایت کوچک ها در هند

چندان به آغاز عصر مسیحیت نمانده بود که هندی ها با اختراع صفر (2)، برای رو به راه کردن عددنویسی دهدهی، ریاضیدانان آن سرزمین را رو به روی وضعی ویژه قرار دادند [صفر نه تنها یک نشانه ی جانگهدار بلکه یک عدد هم شناخته شده بود]: صورت هایی مبهم خودنمایی کردند و آنان در پژوهش های خود برای رفع ابهام روشی تحلیلی، اما ابتدایی، را پیش گرفتند. اگر هم بین آن ها و اروپایی ها راه های ارتباطی وجود داشت شاید آنان را هم در پیشرفت های ریاضی خود سهیم می کردند. (3)
ریاضیدان هندی، براهماگوپته، (4) آن گاه که خواست «تقسیم بر صفر» را انجام دهد خود را گرفتار یک دام دید. او، که در سده ی هفتم فعالیت علمی داشت، اعلام کرد «تقسیم مثبت یا منفی بر صفر، کسری با مخرج صفر است». این مفهوم، یعنی «مقدار با مخرج صفر» را کهه چِده (5) نامیدند. بهاسکره (6) (ح، 1150) درباره ی این مفهوم چنین گفته است:
در این مقدارِ تشکیل شده از آنچه مقسوم علیه صفر را در بر دارد، هیچ دگرگونی روی نخواهد داد اگر هم، هر مقدار در آن درج شود یا هر مقدار از آن بیرون کشیده شود؛ چنان که در بینهایت و در خدای تغییر ناپذیر، در آن گاه که جهان ها را می آفرید یا از میان بر می داشت، با صدور فرمان های بی شمار برای هست شدن یا نیست شدن.
یک استنتاج ناویراسته ی نمادین از این نقل قول می تواند چنین باشد: با این که بهاسکره از مقدارهایی صحبت می کند که مقسوم علیه صفر دارند، به نظر می رسد این فکر نارس را در سر داشته تا از کسری صحبت کند که مخرج آن بی نهایت کوچک است. مفهومی که به زبان امروزی به گونه ی زیر نموده می شود:

این نکته را باید گوشزد کرد که با شرط رابطه ی نمادین این معنی را می رساند که اگر مثبت و به اندازه ی کافی به صفر نزدیک شود می تواند به هر اندازه ی دلخواه بزرگ شود. به عبارت دیگر، اگر
مثبت و آن گاه مقدار افزایش می یابد بدون آن که کران (بالا) داشته باشد.
کرسنه (7) (ح، 1550)، یکی از مفسران بهاسکره، دو مقدار را با هم برابر دانست که ما آن را به صورت

نشان می دهیم و بنابر تعریفی که در بالا آمد، بنابر آن که مثبت باشد و کاملاً به صفر نزدیک شود دو مقدار به دلخواه بزرگ می شوند.
براهماگوپته یادآوری کرده است که ، اما اگر این گزاره را به معنی بدانیم نادرست است، زیرا در این صورت مقدار آن برابر با یک است. (بعید نیست براهماگوپته مقدار را نیز مبهم و از گونه ی می دانسته که در این حالت مقدار حدی آن برابر با صفر بوده است). بهاسکره پذیرفته است که
بنابر همان تفسیری که در بالا داشتیم داریم: و باید آن نتیجه گیری را بپذیریم. او همچنین مثال هایی از معادله هایی را نموده که مجهول ها به صورت حد بیان شده اند و بعضی از آن مثال ها صحیح و بعضی دیگر ناصحیح هستند. پاسخ معادله ی
را برابر با x=42 دانسته که درست است، زیرا در واقع پاسخ معادله ی را x=9 دانسته که نادرست است. درستی معادله ی [1] به سادگی توضیح داده شد. در معادله ی [2] پی بردن به این که کجا اشتباه شده خیلی جالب تر است. بنابر روش معمول، ε را به جای صفر می گذاریم و [2] را به صورت

می نویسیم که

هم مقداری ثابت است. بهاسکره نخستین جمله از [3] را گرفته و مخرج پذیرفته و حاصل آن جمله را
به دست آورده و هم ارز با و هم ارز با
پذیرفته که اشتباه است. با وجود این اشتباه، معادله ی [3] به معادله ی

تبدیل می شود که دو جواب 9=x و را دارد. اما هندی ها در آن زمان تنها جواب های مثبت را می پذیرفته اند.
[هرگاه به اشتباه بهاسکره توجه شود

پذیرفته شود معادله (3) به وضع ناممکن در می آید. ]

پی نوشت ها :

1-Jack Bedient .
2- .cipher
3- بیش از یک هزاره پس از آن تاریخ، اروپایی ها از راه دستیابی به جبر و مقابله ی خوارزمی با عددنویسی دهدهی آشنا شدند و آن را عددنویسی «هندی – عربی» نامیدند.
4- .Brahmagupta
5- Kha-cheda.
6- Bhaskara.
7-Krsna .

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..