میدان مغناطیسی منتجه از سولنوئید

باساب داسگوپتا
چکیده: از طریق محاسبه نشان داده می‌شود که میدان مغناطیسی ناشی از یک سیم‌لوله بی‌نهایت طویل، در خارج آن صفر است.
هر دانشجوی فیزیک می‌‌داند که در داخل یک سیملوله بی‌نهایت طویل، میدان مغناطیسی یکنواختی در راستای محور وجود دارد اما در خارج آن، این میدان صفر می‌شود. هر مدرس فیزیک هم که نظریه الکترومغناطیس را برای دوره لیسانس تدریس کرده باشد – می‌داند که برای این مطلب، تقریباً هیچ اثبات موجهی در کتب درسی متداول ارائه نشده است. در بسیاری از کتب، برای اثبات صفر بودن میدان مغناطیسی در خارج سیملوله، دلایل سستی آورده می‌شود (در حالی که تعیین میدان مغناطیسی داخل سیملوله با استفاده از قانون مداری آمپر کار آسانی است). سایر کتب هم به محاسبه شدت میدان در نقاط واقع بر محور سیملوله اکتفا می‌کنند. هدف این مقاله، ارائه محاسبه دقیق و قانع کننده‌ای برای میدان مغناطیسی ناشی از یک سیملوله بی‌نهایت طویل (ایده‌آل) است، که می‌توان آن را در دروس الکتریسیته و مغناطیس پیشرفته یا حتی مقدماتی تر در دوره لیسانس به کار برد.
طبق معمول، سیملوله را به شکل یک سطح استوانه‌ای حامل جریان، به شعاع a، در نظر می‌گیریم که محورش در راستای (محور) z یک دستگاه مختصات استوانه‌ای (z , ρ , θ ) باشد. اگر در واحد طول سیملوله n حلقه داشته باشیم و از هر حلقه جریان I در جهت θ عبور کند، چگالی جریان (K) برابر با nI خواهد بود. اگر استوانه را به حلقه‌هایی با پهنای dz' تقسیم کنیم، (شدت) میدان مغناطیسی dH ناشی از حلقه‌ای که در z = z' قرار دارد، در نقطه دلخواه (z , ρ , θ) به سادگی از قانون بیو – ساوار به دست می‌آید.

که در آن



X ، y ، z و θ بردارهای یکی در جهت‌های مربوط‌اند و حدانتگرال در رابطه (1) از تا است. به دلیل تقارن، dH باید مستقل از θ باشد، لذا می‌توانیم در رابطه (1)، بدون آنکه از عمومیت معادله کاسته شود، θ را مساوی صفر قرار بدهیم (یعنی میدان را برای نقاط روی محور x در نظر بگیریم). حالا از معادلات 1 تا 4 به سادگی می‌توان مؤلفه‌های دکارتی dH را به دست آورد.



مؤلفه‌های (شدت) میدان مغناطیسی H_x ، H_y ، H_z را می‌توان از انتگرال‌گیری معادلات (5) روی z از +∞ تا -∞ به دست آورد.
اگر بخواهیم اول روی θ^' انتگرال بگیریم، مسئله خیلی پیچیده می‌شود. نکته قابل توجه در اینجا این است که اگر اول روی z^' انتگرال‌گیری کنیم، انتگرال‌گیری بعدی روی θ^' را می‌توان خیلی ساده‌تر انجام داد. اگر روی z^' انتگرال بگیریم، نتیجه می‌شود
(6 – الف)
(6 – ب)
(6 – ج)
با استفاده از جدول انتگرال‌ها داریم
(7)
بنابراین معادله (6 ج) به شکل زیر خلاصه می‌شود
(8)
که نتیجه مطلوب ماست.