فضای نمونه و پیشامدها

آزمایش عبارت از فرآیند گردآوری داده‌های مربوط به پدیده‌ای است که برآمدهای آن متفاوتند.

مقدمه

مفهوم احتمال در آزمایشهایی مطرح می‌شود که در برآمدهای آنها عدم حتمیتی وجود داشته باشد. یعنی ، در مواردی که علیرغم هر گونه کوششی در ثابت نگاه داشتن شرایط ، تغییر نتایج در تکرار آزمایش اجتناب ناپذیر است. اصطلاح آزمایش محدود به آزمایشهایی که در آزمایشگاه انجام می‌شوند نیست، بلکه شامل هر نوع فعالیتی است که منجر به گردآوری داده‌های مربوط به پدیده‌ای شود که مشاهدات مکرر روی آن ، نتایج متفاوتی بدست می‌دهند. قلمرو کاربرد احتمال ، تمام پدیده‌هایی را دربرمی‌گیرد که در مورد آنها ، برآمدها را از پیش بطور دقیق نمی‌توان پیش بینی کرد.

فضای نمونه

مجموعه تمام برآمدهای متمایز ممکن آزمایش ، فضای نمونه برآمدها نامیده می‌شود، و هر برآمد متمایز یک پیشامد ساده ، یا یک برآمد مقدماتی ، یا یک عنصر فضای نمونه خوانده می‌شود. فضای نمونه را با S نشان می‌دهند.

مثالهای ساده

آزمایش (الف): جنس اولین دو نوزادی را که فردا در شهر به دنیا می‌آیند، یادداشت می‌شود.
آزمایش (ب): از ده نفر دانشجو بطور جداگانه سوال می‌شود که از بین دو نوع غذای الف و ب که در ناهار به دانشجویان می‌دهند، کدام را ترجیح می‌دهد. سپس تعداد دانشجویانی که غذای الف را ترجیح می‌دهند، یادداشت می‌شود.
در هر موقعیت مفروض ، فضای نمونه را به یکی از دو طریق زیر معرفی می‌کنند. یا تمام نتایج ممکن آزمایش را ، با استفاده از علایم مناسب مشخص کردن آنها ، فهرست‌وار می‌نویسند و یا آنکه عبارتی توصیفی ارائه می‌کنند که ویژگیهای مجموعه نتایج را مشخص سازد. فضاهای نمونه 2 آزمایش قبلی را می‌توان به صورت زیر معرفی کرد:

آزمایش)الف)

: {BB ، BG ، GB ، GG}
که این مجموعه s است که در آن ، مثلا BG نشان دهنده این است که نوزاد اول پسر و نوزاد دوم دختر است.
آزمایش (ب): مجموعه s برابر {0 ، 1 ، .... ، 10} می‌باشد.

پیشامد

عناصر فضای نمونه ، حاصل از تجزیه نهایی نتایج به امکانات متمایز هستند. هر بار که آزمایش اجرا می‌شود، یک و تنها یک برآمد مقدماتی می‌تواند رخ دهد. غالبا ممکن است که چند برآمد مقدماتی خصوصیت توصیف شده مشترکی داشته باشند، و این برآمدها اگر باهم در نظر گرفته شوند، یک پیشامد تشکیل می‌دهند که دارای خصوصیت بیان شده است. بر طبق این تعریف ، یک برآمد مقدماتی ممکن است خود به تنهایی یک پیشامد باشد و این درصورتی است که آن برآمد ، تنها برآمدی باشد که در خاصیت مورد نظر صدق می‌کند.

تعریف پیشامد

مجموعه‌ای از برآمدهای مقدماتی را که با توصیف بعضی از خصوصیاتشان مشخص شده‌اند، پیشامد گوییم. پیشامد زیر مجموعه از فضای نمونه S است. چند حرف بزرگ اول الفبای لاتین (…,C,B,A) ، معمولا برای نشان دادن پیشامدها بکار می‌روند. وقتی یک برآمدهای مقدماتی موجود در A رخ می‌دهد، گوییم پیشامد پیشامد A رخ می‌دهد. برای اینکه مفهوم پیشامد روشنتر شود، فضای آزمایش (الف) را بررسی می‌کنیم که در آن جنس دو نوزاد ثبت می‌شود. فرض کنید A پیشامد دقیقا یک دختر باشد. پیشامدی با این خصوصیت توصیف شده را به صورت مجموعه {BG ، GB} نشان می‌دهیم.

انواع فضای نمونه

فضای نمونه گسسته: فضای نمونه‌ای را که تعداد عناصر متناهی یا بطور شمارش پذیر متناهی باشد، فضای نمونه گسسته گوییم.
فضای نمونه پیوسته: وقتی فضای نمونه شامل تمام اعداد متعلق به یک فاصله باشد، آن را فضای نمونه پیوسته گوییم.

مدل احتمال روی فضای نمونه نا متناهی

فضای نمونه نامتناهی شمارش پذیر
در این حالت فضای نمونه به صورت یک مجموعه نامتناهی اما شمارش پذیر است . در این فضا هر پیشامد زیرمجموعهای از فضای نمونه است و احتمال هر پیشامد را همانند حالت فضای نمونه متناهی حساب میکنیم.
مثال) سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا یک شیر مشاهده کنیم و سپس توقف می کنیم
الف – احتمال اینکه تعدادی فرد پرتاب لازم باشد را بیابید.
ب- احتمال اینکه حدافل 7 پرتاب لازم باشد را بیابید.
حل = P(1) + P(3) +P(5) + …. ( تعدادی فرد پرتاب لازم باشدP)
ب –

فضای نمونه پیوسته

در این حالت خاص فضای نمونه پیوسته را به می توان به صورت یک فاصله از اعداد حقیقی در نظر گرفت.
احتمال پیشامد A به صورت زیر محاسبه می شود.

احتمال یک پیشامد

تصور شهودی ما از اندازه عددی احتمال یک پیشامد ، نسبت دفعاتی است که انتظار می‌رود آن پیشامد رخ بدهد، وقتی که آزمایش تحت شرایط یکسان تکرار گردد. علامت (P(A برای نشان دادن احتمال پیشامد A بکار می‌رود. فرآیند مناسب برای تعین احتمال پیشامدها ، بستگی به طبیعت آزمایش و فضای نمونه مربوطه دارد. در بعضی موارد ، می‌توان نسبت دفعاتی را که انتظار می‌رود هر برآمد مقدماتی رخ بدهد، با استنتاج منطقی و بدون آنکه آزمایش عملا اجرا شود، تعیین کرد. در موارد دیگر ، لازم است آزمایش را برای تعداد زیادی از دفعات تکرار کرد تا اطلاعاتی در مورد فراوانی وقوع برآمدهای گوناگون بدست آید.

برآمدهای مقدماتی هم شانس

اگر نوعی تقارن در آزمایش وجود داشته باشد که مطمئن باشیم وقوع یک برآمد همان قدر امکان دارد که وقوع هر برآمد دیگر ، گوییم فضای نمونه دارای برآمدهای مقدماتی هم شانس است. برای مثال ، این آزمایش را در نظر بگیرید که تاس سالمی پرتاب شود و شماره روی وجه بالایی آن بعد از هر پرتاب یادداشت گردد. امکان رو آمدن هر یک از شش وجه این مکعب متقارن ، یکسان است.
بدون اجرای آزمایش ، بطور منطقی می‌توان نتیجه گرفت که نسبت دفعاتی که انتظار می‌رود یک وجه خاص رو بیاید برابر یک ششم است. اگر یک فضای نمونه شامل K برآمد مقدماتی e1} ، ... ، {ek باشد که بطور هم شانس رخ بدهند، احتمال برآمد مقدماتی برابر با یک Kام است. اگر پیشامد A شامل m برآمد از k برآمد مقدماتی باشد، داریم: P(A) = m/K و گوییم فضای نمونه‌ای که عناصرش هم شانس‌اند، دارای مدل احتمال یکنواخت است.

پایداری فراوانی نسبی

هر گاه آزمایشی N بار تکرار شود تعریف زیر را می‌آموزیم:
تعداد دفعاتی که A در N بار تکرار آزمایش رخ دهد rN (A)=
فراوانی نسبی پیشامد A در N بار تکرار آزمایش را با rN (A) نشان می‌دهند. در آن فراوانی نسبی A نسبت دفعاتی است که پیشامد A عملا در مجموعه مفروضی از N بار تکرار آزمایش رخ می‌دهد. این مقدار برای مجموعه‌های مختلف تغییر می‌کند. کسر فراوانی نسبی A با تغییر مجموعه آزمایشها نوعا نوسان می‌نماید. لکن ، تجربه مشترکی که از آزمایشها در بسیاری از رشته‌ها بدست آمده این است که اگر شرایط آزمایش بطور محسوسی تغییر نکنند، کسر فراوانی نسبی A ، وقتی که N افزایش می‌یابد، میل به سوی پایداری در یک مقدار عددی می‌کند.
گواه تجربی برای انتساب مقدار عددی P(A) به احتمال پیشامد A ، از مشاهده پایداری فراوانی نسبی A بعد از تکرار بسیار آزمایش بدست می‌آید. از مفهوم فراوانی نسبی چنین برمی‌آید که احتمال پیشامد A ، یعنی نسبت دفعات وقوع A در تکرار آزمایش ، باید بین صفر و یک باشد. به علاوه چون در هر بار تکرار آزمایش برآمد مقدماتی رخ می‌دهد، احتمالی که به تمام فضای نمونه نسبت داده می‌شود برابر با یک است. بالاخره ، چون فراوانی نسبی وقوع پیشامد A برابر با مجموع فراوانیهای نسبی تمام برآمدهای مقدماتی در A می‌باشد، احتمال A برابر با مجموع احتمالهای آن برآمدهای آن برآمدهای مقدماتی که پیشامد A را می‌سازند در نظر گرفته می‌شود.

شرایط مدل احتمال برای فضاهای نمونه گسسته

احتمال تابعی است که روی پیشامدها تعریف می‌شود، و در شرایط زیر صدق می‌کند:
1) برای هر پیشامد 00≤P(A)≤1 , A
2) P(A)، برابر مجموع احتمالهای برآمدهای مقدماتی متعلق به A است؛ به عبارت دیگر: (P(A)=∑P(ei تمام eiهای متعلق به A
3) P(S)=∑P(ei)=1 تمام eiهای متعلق به( S

عملیات روی پیشامدها و قوانین پایه‌ای احتمال

اجتماع دو پیشامد B,A ، مجموعه تمام برآمدهای مقدماتی که در A یا در B ، و یا هم در A و هم در B ، قرار دارند. وقوع به معنی این است که حداقل یکی از دو پیشامد B,A رخ می‌دهد.
اشتراک دو پیشامد B,A مجموعه تمام برآمدهای مقدماتی است که هم به A و هم به B تعلق دارند. وقوع به معنی این است که هر دو پیشامد B,A رخ می‌دهند.
متمم پیشامد A مجموعه تمام برآمدهای مقدماتی است که در A نیستند. متمم A به صورت Á نشان داده می‌شود. این حکم که A رخ نمی‌دهد و مترادف این حکم است که Á رخ می‌دهد.
دو پیشامد B,A را پیشامدهای جدا از هم یا دو به دو ناسازگار گوییم اگر هیچ برآمد مقدماتی مشترکی نداشته باشند. یعنی اگر اشتراک آنها ، AB ، تهی باشد. پیامدهای جدا از هم نمی‌توانند بطور همزمان رخ دهند.
زیر پیشامد پیشامد A را زیر پیشامد پیشامد B گوییم هرگاه وقوع A وقوع B را نتیجه دهد.
دو پیشامد مساوی دو پیشامد A,B را مساوی گوییم هرگاه وقوع یکی دیگری را نتیجه دهد.A=B
منابع:
1-http://daneshnameh.roshd.ir
2- http://learn-m-p-l.persianblog.ir
3-كتاب امارو احتمال جان فروند والپول
/خ