تفاضل های متناهی

بروک تیلور (3) (1685-1731) پدید آورنده ی «حساب تفاضل های متناهی(1)» (4) است و دستاوردهایش در این زمینه را در 1715 در کتاب روش نموهای مستقیم و معکوس (5) منتشر کرد که قضیه و سری تیلور را هم که برای همه ی دانش آموختگان حسابان آشناست در بر داشت. او در این کتاب بسیاری از همانندی های حسابان متناهی تازه اش را با حسابان معمولی (بی نهایت کوچک ها) گوشزد کرد و با به کار بردن این حساب تازه اش روی مسئله ی «ارتعاش عرضی تارها»، نخستین کسی بود که این مسئله را به مسئله ای مربوط به اصل های مکانیکی تبدیل کرد.
اما پیش ترین زمینه سازی استادانه و واقعی حساب تفاضل های متناهی را جیمز استرلینگ (6) (1692-1770) فراهم آورده بود. او همچنین بیست و پنج سال پیش از مک لورن، (7) آنچه را به نام بسط مک لورن شناخته می شود نمودار ساخته بود، در صورتی که مسلّم و قطعی است که این بسط حالت ویژه ای از قضیه (یا سری) تیلور است. به احتمال زیاد، و تا آن جا که دانسته اند، فرمولی که به نام استرلینگ شناخته شده از خود اوست، هر چند آن را به آبراهم دو مواور (8) (1667-1754) نسبت می دهند. بنابراین فرمول، یک مقدار تقریبی n! از رابطه ی زیر بدست می آید: استرلینگ در کتاب روش های دیفرانسیل (9) که در 1730 منتشر کرد حساب تفاضل های متناهی را برای مجموع یابی سری ها و برای درون یابی به کار برد و عددهای به نام استرلینگ را شناساند که اهمیت نظری آن ها هنوز هم پابرجاست. استرلینگ، با این که از ریاضیدانان بزرگ نبوده است، یکی از مردان توجه برانگیز در همه فن دانای سالهای نخست برپایی حساب به شمار می آید. باورهای سیاسی او با محیط دانشگاه آکسفورد سازگاری نداشت و در سن بیست و دو سالگی از آن جا بیرونش کردند و او رهسپار ونیز (10) شد. ده سال را در آن جا به دانش اندوزی و به آموزش گذراند و آن گاه که به داد و ستدهای پنهانی و به دقت از دیدها مخفی مانده ی شیشه گران آن جا پی برد و آن ها هم بر این رویداد آگاهی یافتند جان خود را در خطر دید و شتاب زده به انگلستان برگشت. در بقیه ی عمرش همکارانش او را «ونیزی» (11) خطاب می کردند.
پس از استرلینگ بسیار کسان دیگر به پیشرفت بیشتر حساب تفاضل های متناهی کمک کرده اند. لئونارد اویلر به جای نماد نقطه که تیلور به کار برده نماد را برگزید. جرج بول (12) در کتاب درسی تفاضل های متناهی (1860) قرار دادها و نشانه های نمایان ساز موردهای عمده را به شرح زیر پیشنهاد کرده و به کار برده بود؛ نماد و نمادها و نشانه گذاری های دیگری که در پایین و در ستون سمت چپ نموده شده اند، در ستون راست، متناظرهای مربوط به حسابان دیده می شوند.

تعریف مشتق متناهی تابع F(x) :

برای نمونه: عکس عمل مشتق گیری = پادمشتق: به کار بردن قضیه اساسی مشتق متناهی در مجموع یابی: یادآوری این نکته هم باید جالب باشد که بروک تیلور از همان آغاز کارش به همانندی های زیاد بین حسابان متناهی جدید و حسابان معمولی پی برده بود – چنان که بول هم در نوشته ی خود در 1860 به این موضوع اشاره کرده است.

پی نوشت ها :

1- finite differences.
2- Melcher Fobes.
3- Brook Taylor.
4- calculus of finite differences.
5- Methodus incrementorum directa et inversa.
6-James Stirling.
7- Maclaurin.
8- Abraham De Moivre .
9- Methodus differentialis.
10- Venice.
11- the Venetian.
12- George Boole.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..