ارشمیدس و روش اِفناء

ارشمیدس (212-287 پیش از میلاد)، دانا به همه ی دانش های زمان خود، برای محاسبه ی مساحت ها و حجم های روشی را به کار برد که از بعضی جهت ها همانندی زیادی با حسابان کنونی دارد و در واقع پیشینه ی حساب انتگرال به شمار می آید. او در نامه ای به اراتستن «قانون اهرم» را برای دستیابی به قاعده ای جهت محاسبه ی حجم ها و مساحت ها شرح می دهد، اما آن گاه که می خواهد دلیل بباورد «روش افناء» را به کار می برد تا اثباتی را بیان کند که هماهنگ با شیوه های استدلال منطقی آن زمان دقیق و بدون ایراد باشد. خواننده می داند که یونانی ها در روبه رویی با مسئله ی محاسبه ی مساحت دایره به این قضیه دست یافتند که مساحت دایره حد مساحت های چند ضلعی های محیط و محاطی آن است هرگاه تعداد ضلع های آن ها به تصاعد هندسی زیاد و زیادتر شود. اثبات این قضیه با روش افناء میسر شد.
ارشمیدس روش افناء را برای مسئله هاو قضیه هایی دیگر مربوط به مساحت ها و حجم ها به کار برد، از جمله برای اثبات این حکم که مساحت یک قطعه از سهمی چهار سوم مساحت مثلث محاط در آن است
. شکل [12]-1 یک سهمی با رأس A، کانون F و وتر را نشان می دهد. این وتر در نقطه ی B بر محور سهمی عمود است. بنابر تعریف، سهمی مجموعه ی نقطه های P است به گونه ای که و به زبان امروزی و نسبت به محور عرض های AB اگر P(x,y)، آن گاه . ارشمیدس ثابت کرد مساحت این قطعه از سهمی [=ناحیه ای از صفحه که به منحنی چهار سوم مساحت مثلث مثلث است و بنابر تقارن شکل، مساحت ناحیه ی بین کمان AC و دو پاره خط AB و BC چهار سوم (1) است. ارشمیدس از M وسط BC و از وسط های MC و MB خط هایی موازی با AB رسم کرد که با کمان AC از سهمی به ترتیب در
برخورد کردند. آن گاه مساحت مثلث ACD را از مساحت قطعه ی سهمی کم کرد و آن را به مساحت مثلث ABC افزود و ثابت کرد
برابر با یک چهارم است و برابر است با یک شانزدهم . ارشمیدس فرض کرد اگر این فرایند بی نهایت بار تکرار شود نتیجه خواهد شد که مساحت قطعه سهمی به تقریب برابر است با:
[اما بنابر فرمول مجموع جمله های تصاعد هندسی نزولی نامتناهی،
و بنابراین مجموعه جمله های رابطه ی (1) به تقریب برابر است با چهار سوم مساحت برای اثبات این که
برابر با یک چهارم است، با توجه به خط هایی که روی شکل رسم شده اند و بنابر تعریف سهمی و معادله ی آن، و نتیجه می شود
اما از تشابه دو مثلث CEM و CAB به دست می آید
دو مثلث ADE و AEM در ارتفاع AH مشترکند و قاعده های DE و EM از آن ها به ترتیب برابر یک چهارم AB و برابر با نصف AB است.
بنابراین و در نتیجه دو مثلث ACM و AMB در قاعده های MC و BM و در ارتفاع AB با هم برابرند و نتیجه می شود است.
برای خواننده ی علاقه مند، آموزنده و شاید کمی دشوار باشد با همین روش که به کار رفت روی خط های رسم شده در شکل، مرحله ی دوم اثبات حکم را انجام دهد و ثابت کند.
یادآوری این نکته هم جالب توجه خواهد بود که ارشمیدس با به کارگیری مستطیل های محاطی و محیطی راه حل دومی را نیز برای حل این مسئله به کار برده است. ساختار اصلی این راه حل تا اندازه ای همان ساختار روشی است که امروزه به کار می رود و مجموع های ریمان (2)، یا انتگرال ریمان (3) نام دارد و عموماً به صورت معین و با داشتن کران بالا و کران پایین به کار می رود. در مسئله ی بالا هم می توان تنها با یک عمل انتگرال گیری به نتیجه ی خواسته شده دست یافت.

پی نوشت ها :

1- نماد مساحت مثلث را می رساند؛ برابری مساحت های دو مثلث ABM و AMC را نشان می دهد.
2- Riemann sums.
3- Riemann integral.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..