سری های مک لورن و تیلور

بروک تیلور (1685-1741) از ریاضیدانان بزرگ بریتانیا بود. عمر کوتاه او، در مقام مقایسه، به تقریب با نیمه ی دوم عمر ایزاک نیوتن همزمان بود. او جوانی استثنایی با استعدادهای درخشان متنوع و در هر کدام از آن ها دارای ذوق و شوق فوق العاده بود. در موسیقی و هنر به همان اندازه نمود داشت که در ریاضیات و فلسفه. کار ریاضی مهم او با عنوان روش نموهای مستقیم و معکوس در 1715 در لندن چاپ شد و برداشتی از سری ای که به نام اوست از جمله مطلب های آن بود. در آن زمان، جهان ریاضیات بر سر موضوع حق تقدم نیوتن یا لایب نیتس، گرفتار بحث و جدل ها و به شدت ناآرام بود. تیلور از طرفداران دو آتشه ی ادعای نیوتن بود و کتاب او هم سرشار از اشاره هایی تعصب آمیز به نیوتن و به کارهای او بود و هیچ اشاره ای به نوشتارهایی دیگر در آن به چشم نمی خورد. کتاب در اصل ویژه ی شرح و بسط و شناسایی شاخه ای از ریاضیات فراهم آمده بود که امروزه «حساب تفاضل های متناهی» ( پیوست 11) نامیده می شود. بیشترین مطلب های کتاب تازگی داشتند، اما سبک نگارش آن مبهم، فهم متن پیچیده ی آن دشوار و اصطلاح های به کار رفته در آن نارسا بودند و از عیب هایی دیگر هم برکنار نبود، با این همه، شهرت قابل توجهی را برای مؤلف به همراه داشت. در این کتاب آنچه تیلور درباره ی سری خود شرح داده با نمادها و نشانه هایی که امروزه به کار می روند در زیر بازنویسی و نموده می شود.
بنابر آن که تابعی ازx و عددی حقیقی دلخواه باشد و اگر x به اندازه ی تغییر کند مقدار تغییر y برابر باشد با: تغییرهای مرتبه های بالاتر تابع را به ترتیب به گونه ی زیر نشان می دهیم:
و اگر z(x) تابع دیگری از x باشد، اکنون عدد دلخواه a را در نظر می گیریم و می نویسیم
و در حالت کلی : اکنون با فرض
به دست می آوریم
تیلور در این جا ثابت می کند که اگر v را بپذیریم و n بینهایت شود آن گاه
به ازای هر مقدار از k به ترتیب برابر می شوند با و تعداد جمله ها بی نهایت می شود و می توانیم بنویسیم که به یقین همان سری تیلور است.
استدلالی که تیلور در این جا به کار برده، و غیر از او، نیوتن، لایب نیتس و کسانی دیگر هم آن را درباره ی حد به کار می برده اند، سست و بی پایه بوده و با انتقادهایی که جروج برکلی، اسقف کلوین (2)، و منتقدانی دیگر بر آن وارد می دانستند ریاضیدانان را بر آن داشت که شیوه ی استدلالی بدون ایراد را گسترش دهند که امروزه در برنامه های درسی دانشجویان آموخته می شود.
کالین مک لورن (1698-1746) ریاضیدانی برجسته و با استعداد درخشان و اهل اسکاتلند بود. او در سن نوزده سالگی در یک امتحان مسابقه ای ویژه پذیرفته و استاد ریاضی دانشگاه ادینبورگ (3) شد. او در 1742 کتابی را که تألیف کرده بود با عنوان رساله درباره ی فلوکسیون ها (4) در ادینبورگ چاپ و پخش کرد. در این کتاب برداشتی دیگر از آن سری، که تیلور برداشتی از آن را در کتاب خود آورده بود، نموده شده بود. این سری که مک لورن نموده بود، پس از رفع ایرادهایی که برکلی بر آن وارد دانسته بود، با نشانه ها و نمادهای امروزی به صورت زیر است:
بنابر آن که
که ضریب های جانگهدار عددهای ثابت اند و مقدارشان باید معلوم شود. مشتق این تابع می شود

 

و اگرx=0 آن گاه همچنین و بنابر آن و واضح است که
و به دست می آید در نتیجه،
در این استدلال پرسش های به شرح زیر نادیده انگاشته شده اند: چه تابع هایی با این سری نشان داده می شوند؟ سری به ازای چه مقدار از x آن تابع را نشان می دهد؟ آیا اگر دیفرانسیل جمله به جمله ی سری را به دست آوریم حاصل برابر با مشتق تابع خواهد بود؟
نه تیلور و نه مک لورن هیچ کدام دلیلی معتبر را نشان نداده اند که پیش از کشف این سریِ همراه شده با نام آن ها، و تا آن زمان که در کارهایی منتشر شده از یوهان برنولی نموده شود، هیچ کدامشان به تصادف هم با آن آشنایی نداشته اند. با همه ی این ها، هر دو تای آن ها در پیشرفت ریاضیات نقشی مؤثر داشته و استحقاق آن را دارند تا نامشان روی سری نسبت داده شده به آن ها برای همیشه پابرجا بماند.

پی نوشت ها :

1- G.N.Wollan.
2- .Cloyne
3- Edinburgh.
4- Treatise on Fluxions .
منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..