از فاکتوریل n تا تابع گاما

تعریف تابع فاکتوریل x را به گونه ی زیر می پذیریم: این تابع تنها آن گاه با معنی است که x عددی صحیح و مثبت باشد. آیا می توانیم تابع دیگری مثل F را به ازای هر عدد حقیقی مثبت طوری تعریف کنیم که اگر x عدد صحیح مثبت باشد، F(x)=x!؟ به سادگی در می‌یابیم که اگر تابعی از این گونه وجود داشته باشد منحصر به فرد نیست و تعداد آن ها نامتناهی است. زیرا تابعی که به صورت داده شده باشد در حالت صحیح و مثبت بودن x و با هر مقدار از عدد ثابت A برابر با F(x) و در نتیجه برابر با x! است. همچنین به سادگی می توان با ترکیبی از عدد صحیح و مثبت x و عدد صحیح n به گونه‌ ای که x با دو مقدار متوالی n برابر یا بین این دو مقدار واقع باشد تابعی را تشکیل داد که با x! برابر باشد. مانند تابع در تشکیل این تابع نکته ای گول زننده به کار رفته است و باید دقت کرد و فریب آن را نخورد. می توان تابعی از این گونه را با یک تک فرمول ساده و ظریف تشکیل داد و مانند فرمول [1] به وصله کردن های قطعه هایی از چند تابع نیاز نباشد.
جان والیس (1616-1703) شاید نخستین کسی بوده باشد که n! را غیر از عددهای صحیح مثبت برای مقدارهای دیگری از n نیز به کار برده است. او با به کاربردن رابطه ی و فرمول های دیگری در ارتباط با تابع گاما (2) عامل هایی اساسی و مهم مؤثر در پیشرفت این نظریه را نمودار ساخت.
در نخستین سال های سده ی هیجدهم عده ی زیادی از ریاضیدانان با مسئله ی تابع گاما رو به رو بودند – آنچه در واقع گسترش دهنده ی تابع فاکتوریل بوده است. اویلر در حدود 1730 این مسئله را حل کرد و آن را پس از ترجمه از لاتین در رساله ای با عنوان درباره ی تصاعدی که جمله ی عمومی آن را نمی توان به صورت جبری نشان داد منتشر کرد. او با نبوغ خویش توانست فرمول واقعی را به نمایش بگذارد- به این معنی که تابع او با همه ی توان مندی های نامحدود امکان همه گونه کاربردهای پیش بینی نشده را هم دارد. نخستین جوابی که به مسئله داده شد به زبان امروزی ریاضیات به شکل زیر نموده می شود: طرف راست این رابطه آن گاه همگراست که x عدد حقیقی بزرگ تر از صفر باشد و در همین صورت مسئله حل می‌شود.
اویلر توجه خود را روی انتگرال‌ ها متمرکز کرد و پس از استدلال سست دریافت که اگر x صحیح مثبت باشد آن گاه
اثبات ساده و استقرایی [3] به خواننده واگذار می شود. توجه داشته باشید که انتگرال ناسره ی [3] در حالت x>-1 همگراست و در این حالت، توسیعی از تابع فاکتوریل است. با تغییر متغیر می توان [3] را به صورتی ساده تر درآورد. اگر –logu را به t نشان دهیم انتگرال می شود: امروزه تابع گاما را با و بنابر نشانه گذاری آدرین ماری لژاندر به صورت زیر نشان می دهند:
اگر x صحیح و مثبت باشد آن گاه . اگر x عدد مختلط باشد و آن گاه انتگرال همگراست. به سادگی می توان ثابت کرد که با انتگرال گیری جزء به جزء به دست می آید
و بنابر آن و اگر x صحیح مثبت باشد آن گاه

پی نوشت ها :

1- Merrill Shanks.
2- Gamma Function.
3- Adrien Marie Legendre.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..