قواعد دکارتی

در 1637 فیلسوف فرانسوی، رنه دکارت (1596-1650)، کتابی منتشر کرد با عنوانی طولانی که عموماً به گفتار در روش (2) مختصر می شود و ترجمه ی کامل آن گفتار در روش درست راه بردن عقل و طلب حقیقت در علوم (3) است. این کتاب سه ضمیمه داشت: لادیوپتریک (4)(«نورشناخت»)، له متئورس (5)(«هواشناسی»)، و لاژئومتری (6)(هندسه) ترجمه ی عنوان سومین بخش از سومین ضمیمه چنین است: «در باب ترسیم مسئله های صلب و ابرصلب (7)» این بخش، ایده های اساسی متعددی برای حل کردن معادله هایی که در رابطه با مسائل هندسی پیش می آیند (عمدتاً در مطالعه ی مقاطع مخروطی به روش های جبری) سرو کار دارد.
او پس از طرح چند مسئله درباره ی واسطه ی هندسی، با ضرب کردن عامل های و   در یکدیگر اقدام به ساختن یک معادله ی چند جمله ای از درجه ی چهارم می کند و معادله ی

را به دست می آورد. وی متذکر می شود که چند جمله ای بر هیچ عامل دو جمله ای دیگر قابل قسمت نیست و نیز این که معادله «تنها چهار جواب 4،3،2 و 5» دارد. این حقیقت که ریشه ی چهار 5- است و نه 5 با صحبت از 5 به عنوان ریشه ی «غلط»-در قیاس با اعداد مثبت که ریشه های «درست» نامیده شده اند-مورد توجه قرار گرفته است (دکارت از علامت منها برای نشان دادن اعداد منفی استفاده نمی کرد). پس از این، بیان قاعده ی مشهور علامت ها می آید:
می توانیم تعداد ریشه های درست و غلط را نیز که هر معادله می تواند دارا باشد، به صورت زیر تعیین کنیم: یک معادله می تواند همان قدر ریشه ی درست داشته باشد که تغییر علامت از + به - یا از - به + می دهد؛ و به همان تعداد ریشه ی غلط داشته باشد که دو علامت +یا دوعلامت - پشت سر هم ظاهر می شوند.
دکارت پس از این تذکر کلی، به سه تغییر علامت و یک توالی (دوام) علامت ها در مثال خود اشاره می کند و نتیجه می گیرد که «می دانیم که سه ریشه ی درست و یک ریشه ی غلط در دست است».
چنان که در مورد اعلام رسمی نتایج ریاضی معمول است، این نخستین بیان رابطه ی بین تغییر علامت های جمله های متوالی چند جمله ای و ماهیت ریشه ها کامل نبود. تلاش های ارائه شده برای برهان نیز به جز مثال تشریحی که همراه آن بود، کامل نبودند.
در نوشته ها اختلاف عقیده ای درباره ی این که آیا قاعده ی علامت ها را به طور کلی پیش از انتشار هندسه ی دکارت می دانسته اند یا خیر، اختلاف نظر وجود دارد. اسمیت و لاتم(8) در پانوشتی بر ترجمه ی کتاب دکارت اظهار می کنند که [توماس] هاریوت آن را در فنون تحلیلی حل معادلات جبری (9) خود که در 1631 در لندن منتشر شد داده است. با این حال، موریتس کانتور (10) این امکان را نفی می کند زیرا هاریوت ریشه های منفی را قبول نداشت. جیرولاموکاردانو (1501-1576) رابطه ای را بین یک یا دو تغییر علامت و وقوع ریشه های مثبت بیان کرده بود.
فرایند پالودن قاعده ی علامت ها طی قرون ادامه یافت. در این فرایند به ویژه دو نکته روشن شد: 1) این حقیقت که به دلیل امکان وجود ریشه های موهومی، تغییرات را در علامت تنها کران های بالایی برای تعداد ریشه های مثبت را معین می کنند و 2) این حقیقت که تداوم علامت ها، کران هایی برای تعداد ریشه های منفی را تنها برای چند جمله ای های کامل معین می کنند؛ یعنی چند جمله ای هایی که هیچ جمله ی آن ها برابر صفر نیست.
آیزاک نیوتن در اثر خود، حساب عمومی (11)(که در 1707 منتشر شداما حدود سی سال پیش تر نوشته شده بود)، بیان صحیحی از قاعده ی علامت ها داد و بدون برهان، رویه ای را برای تعیین تعداد ریشه های موهومی ارائه کرد. حدوداً در همان ایام گوتفرید ویلهلم فون لایپ نیتس به طرحی در یک برهان اشاره کرد، گرچه به تفصیل آن را ارائه نکرد. در 1675 ژان پرستت (12) برهانی ناقص را به چاپ رساند. یوهان اندریاس سگنر(13) برهانی را در 1725 یا 1728 و در 1756 برهانی کامل تر را منتشر کرد. در سال 1741، ژان پل دوگوا دو مالوِس (14) اثباتی را ارائه و استدلالی را مطرح کرد که پایه ی برهان های امروزی است (این نوع استدلال را سگنر در 1756 روشن تر به کار گرفته بود). چندین برهان دیگر در دوره ی از 1745 تا 1828 داده شدند. در سال 1828 کارل فریدریش گاوس این را هم به بیان این قاعده افزود که تعداد ریشه های مثبت به تعداد تغییرات نمی رسد، این اختلاف عدد صحیح زوجی است.
بیان کامل قاعده ی علامت های دکارت چنین است:
فرض کنیدکه در آن اعداد حقیقی اند، . در این صورت تعداد ریشه های مثبت معادله ی  ‍‍[ریشه ای با دفعات تکرار m، m بار به حساب می آید] یا برابر با تعداد تغییرات در علامت ها است یا به اندازه ی عدد زوج مثبتی کمتر از آن است.
موضوع ریشه های منفی به سادگی با در نظر گرفتن ریشه های مثبت معادله ی  رفع و رجوع می شود. بنابراین، از موضوع تداوم و علامت ها احتراز می گردد. فکر اصلی این برهان از کار گوا دو مالوس و سگنر نشئت می گیرد. این برهان مشتمل است بر نشان دادن این که

که در آن ضرایب حقیقی دارد و r مثبت است. در این صورت حداقل یک تغییر در علامت بیش از دارد و برای حالت کلی، تعداد فردی بیش از آن.

پی نوشت ها :

1. Donald w.western
2. Discours de la methode
3. Descourse on the Method of Rightly conducting one’s Reason and seeking Truth in the sciences
4. Le dioptrique
5. Les meteores
6. La geometrie
7. on the construction of solid and supersolid problems
8. Latham
9. Artis analyticae praxis
10. Moritz cantor
11. Arithmetica universalis
12. Jean prestet
13. Johann Andreas segner
14. Jean paul de Gua de Malves

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385