ریاضیات چیست؟

یادداشت مترجم:

عده ای می گویند ریاضیات چیزی است که ریاضی دانان انجام می دهند و متشکل از همه ی حوزه های مربوط به موضوع های کمی، هندسی یا منطقی است که شامل آمار، علوم کامپیوتر، منطق، ریاضیاتی کاربردی، ...، آموزش ریاضیات و فلسفه ی ریاضیات است. بنجامین پرس، پدر چارلز پرس، ریاضیات را به عنوان علمی که نتایج ضروری به دست می دهد تعریف کرد. بر طبق دیدگاه انسان گرایی هرش، جهانی از ایده ها در آگاهی مشترک انسان ها وجود دارد. این ایده ها و شاخه ای از دانش که به مطالعه ی این ایده ها می پردازد ریاضیات نامیده می شود.
مقاله ی جالب زیر از فیلسوف مشهور هائووانگ است که به مطالعه ی جنبه های مهمی از مسأله « چیستی ریاضیات» پرداخته است.

ریاضیّات چیست؟

بارزترین خصوصیات ریاضیات، قطعیت، تجرد و دقت، دامنه وسیع کاربردها، و زیبایی بی پیرایه ی آن است. این دقت و قطعیت به میزان زیادی به علت مجرد بودن آن است که تا اندازه ای کاربردپذیری گسترده ی آن را نیز توضیح می دهد. اما ارتباط نزدیک با دنیای فیزیکی خصوصیتی اساسی است که ریاضیات را از بازی صرف با نمادها متمایز می سازد. ریاضیات منطبق است بر تمامی آن چه در علم، دقیق محسوب می شود.
به نظر کانت، ریاضیات به وسیله شهود محض ما معین می شود، بنابراین تصور چیزی مخالف با ریاضیات غیرممکن است. اگر موافق باشیم دنیای فیزیکی، که شامل مغزهای ما نیز می باشد، یک حقیقت بی روح است، از این نظریه بر می آید که جهان خارجی به همراه ساختار فیزیولوژیک ذهن ما ریاضیات را معین می کند. کشف هندسه های نااقلیدسی دلیلی بر رد نظریه ی کانت نیست، چرا که می توانیم آن ها را به عنوان فراساختارهایی روی هندسه ی اقلیدسی و یا حتی یک هندسه ی ضعیف تر تعبیر کنیم. ایراد مهم تر این است که نظریه ی کانت توضیح کافی در مورد اصولی که بر اساس آن ها این هندسه ها و فراساختارهای دیگر ساخته شده اند به دست نمی دهد.
همه می دانیم شاو به گزافه گویی عادت کرده بود. وی با این استدلال که ایجاد شک بهترین راه جلب توجه به ایده های جدید است، از کار خود دفاع می کرد. ما نیز در وضعی مشابه، امیدواریم بتوانیم افکار و ایده های مبهم خود را با بررسی چند دیدگاه یک جانبه از ریاضیات روشن سازیم.
1- ریاضیات رده گزاره های ( منطقاً) معتبر یا ضروری « p، q را ایجاب می کند» است. به این ترتیب، به ازای هر قضیه داده شده ی q، می توانیم ترکیب عطفی اصول موضوع به کار رفته در برهان آن را با p نمایش می دهیم و در این صورت « p، q را ایجاب می کند» قضیه ای در منطقه مقدماتی خواهد بود. به این مفهوم تا حدی سطحی، تمام ریاضیات را می توان به منطق مقدماتی تحویل کرد. اما در حقیقت این نظریه چیز مناسبی در مورد ریاضیات نمی گوید، زیرا ما علاقه مندیم، p و q را بدون قید و شرط بیان کنیم، این نظریه به این پرسش که چرا یک p ی معین، مثلاً استقرای ریاضی، به عنوان یک حقیقت ریاضی پذیرفته می شود، پاسخ درستی نمی دهد. علاوه بر این، مفاهیم اعتبار و لزوم ( یا امکان) باید با مفهوم مجموعه یا شاید با مفاهیمی نظیر قانون و انتظام توضیح داده شوند. یک دیدگاه مربوط این است که منطق را بیشتر گسترش دهیم تا گزاره هایی مانند « به ازای هر x و y، اگر x و y اعضا مشترک نداشته باشند، x هفت عضو و y پنج عضو داشته باشد آن گاه دوازده عضو دارد» را شامل شود. در این صورت باید در منطق، اعداد و مفاهیم دیگری تعریف گردند که البته این شبیه دیدگاه بعدی است.
2- ریاضیات نظریه ی اصل موضوعی مجموعه ها است. به مفهومی صریح، تمام ریاضیات می تواند از نظریه ی اصل موضوعی مجموعه ها استنتاج شود. برای روشن شدن موضوع می توانیم دستگاه استانداردی را که عموماً با نام ZF به آن ارجاع می شود در نظر بگیریم. این دیدگاه موافق با نظر فرگه و راسل مبنی بر تحویل ریاضیات به منطق و نیز به طور تناقض آمیزی موافق با نظر پوانکاره ( در 1900 میلادی) مبنی بر حسابیدن ریاضیات ( یعنی تحویل آن به اعداد و مجموعه های عددی) است. این دیدگاه بر اثبات گراهای منطقی بیشترین تأثیر را گذاشته و منجر به تأکیدی بر اصل موضوع سازی و صوری سازی شده است. چندین ایراد به این دیدگاه وارد است. چنان که می دانیم اشکالاتی در مبانی نظریه ی مجموعه ها وجود دارد. این دیدگاه به این سؤال پاسخ نمی دهد که چرا از میان تمامی پیامدهای ممکن نظریه ی مجموعه ها فقط آن هایی که ریاضیات امروز را تشکیل می دهند بر گزیده ایم و چرا مفاهیم و نتایج معینی از ریاضیات از بقیه جالب تر هستند. این دیدگاه قادر نیست درکی شهودی از ریاضیات را آن چنان که یک ریاضی دان بزرگ دارد برای ما توجیه کند. با حذف بعضی ایده ها، مانند وجود مستقل اعداد طبیعی، در پی آن است که مطالب مقدماتی تر و واضح تر را با مطالب مبهم تر توضیح دهد. موضوع جانبی منطق گرایی نیز وجود دارد که در بعضی مجامع، علی رغم شواهد قطعی علیه آن، مرتباً مطرح می شود. دست کم در یک حالت مهم، این وضعیت تناقض آمیز ناشی از یکی گرفتن نادرست تعریف نظریه ی منطقی مجموعه های فرگه ( توسیع محمولات) با نظریه ی ریاضی مجموعه های کانتور است. این استدلال تقریباً به این صورت است: نظریه ی فرگه شبیه به آن است که منطق و ریاضیات می توانند به نظریه کانتور تحویل شوند؛ بنابراین، با یکی سازی، ریاضیات قابل تحویل به منطق است.
اینشتین در شرح حالی که به قلم خود نوشته است، دلیل انتخاب فیزیک به جای ریاضی را فقدان وحدت در ریاضیات بیان کرده است. ممکن است تعجب کنیم که چگونه ممکن است نظریه ی مجموعه ها به ریاضیات وحدت نبخشد. البته دستگاه صوری ZF نه تمام است و نه جازم. به علاوه این دستگاه حتی قادر نیست درباره گزاره های ریاضی معروفی نظیر فرضیه ی پیوستار تصمیم گیری نماید. بنابراین به عنوان یک دستگاه تمام، از جنبه ی مفهومی، رضایت بخش نیست. اینک اگر نامتناهی های مراتب بالاتر را کنار بگذاریم و خود را به ریاضیات عملی تر نظیر آنالیز کلاسیک، نظریه ی اعداد، و جبر مجرد محدود نماییم، قبول این که تقریباً تمام قضایای معروف همانندهایی در ZF دارند، معقول به نظر خواهد رسید. آیا می توانیم ادعا کنیم که ZF به همراه تمامی شاخه های گوناگون ریاضی منشعب از آن، نمایانگر اشاره ای اجمالی به آن نوع وحدتی است که به دنبال آن بودیم؟
یک ایراد این است که این نمایش سعی دارد چهره ی مجردتر ریاضیات را ندیده بگیرد. مطمئناً اصول موضوع یک گروه یا یک میدان با الگوهای گوناگونی سازگارند. حتی قضایای آنالیز کلاسیک می توانند در دستگاه های اصل موضوعی قوی تر یا ضعیف تری اثبات شوند. این مطالب امکان وجود یک شبکه از دستگاه های اصل موضوعی را قوت می بخشد که هر دستگاه ساختار مجرد، و در واقع رده تمام الگوهای ممکن آن دستگاه را معین می کند. دستگاهی شبیه ZF یا یک دستگاه به قدر کافی بزرگ که هنوز ابداع نشده است، تمام این دستگاه ها را به این مفهوم در بر می گیرد که هیچ کس وجود شیئی را که با آن روبه رو نشده مسلم فرض نمی کند.
با این برداشت حتی ممکن است بدون استدلال دوری، ماوراء قضایایی در رابطه با همه الگوهای یک دستگاه اثبات کرد، زیرا آن ها همچنین نمی توانند در یک دستگاه نسبتاً ضعیف که هم الگوهای بسیار بزرگ و هم الگوهای نسبتاً کوچک را می پذیرد اثبات شوند. اگر چنین شبکه ای از حداکثر ده دستگاه، ابداع می کردیم به نوعی استخوان بندی دست می یافتیم که فقط می توانست با افزودن حقایقی درباره وضعیت کنونی، حدسی از تمایلات آتی و بالاخره نقاط درخشان تاریخی ریاضیات، آن را به صورت چیزی زنده تبدیل کند.
3- ریاضیات مطالعه ساختارهای مجرد است. به نظر می رسد که این دیدگاه بورباکی باشد. تعدادی کتاب با نفوذ در اثبات این نظریه نوشته شده است. در این کتاب ها کوششی آگاهانه برای رها ساختن ریاضیات از کاربردهای آن انجام شده است، که در مجموع کار درستی نیست. نارسایی این چشم انداز نه تنها به نادیده گرفتن نتایج مرکزی گوناگونی که بیشتر از نوع ترکیباتی هستند، بلکه به خصوص به خاطر فقدان توجیه ذاتی انتخاب ساختارهایی که به دلایلی کاملاً خارجی نسبت به این رهیافت، اهمیت زیادی دارند، هویدا می شود. محتوای ساختاری نتایج ریاضی نشان داده نشده است. همچنین یک ناسازگاری اساسی وجود دارد، بدین معنی که در حد کلمات، نظریه ی اصل موضوعی مجموعه ها به عنوان زیربنا در نظر گرفته می شود ولی در عمل، تحقیقات گوناگونی که در زمینه ی مبانی ریاضیات صورت می گیرد مورد بی اعتنایی واقع می شوند. این ایده هنگامی با طرز فکر متداول مطابقت بیشتری می داشت که عدد، مجموعه و تابع از طریقی شهودی تر مطرح می گردیدند و در این صورت حداقل در بیان واقعیت کار ریاضی دانان امروز موفقیت بیشتری به دست می آورد.
4- ریاضیات سرعت بخشیدن به محاسبات است. در این تعریف، محاسبات تنها به نوع عددی آن محدود نمی شود. اعمال جبری و کار با عبارات منطقی ( همچون در نظریه کلیدها) نیز مشمول در این تعریف است. یک دیدگاه وسیع تر این است که بگوییم هر بخش مهم از ریاضیات باید دارای محتوای الگوریتمی باشد. یک ایده متفاوت ولی مربوط می تواند این باشد که تمام ریاضیات برای کمک به علوم و کمک به ما برای فهمیدن، و کنترل طبیعت است. به نظر می رسد که در این دیدگاه ها نمی توان توضیح داد که، مثلاً چرا ما اغلب برهان های ظریف تر ولی با موانع بلندتر را بیشتر می پسندیم و یا چرا از اثبات عدم امکان چیزی بسیار لذت می بریم. ممکن است گفته شود که در فعالیت های ریاضی عنصری به نام انسان نیز وجود دارد، و بنابراین مهم است که حتی در کابردها نیز وضعیت قابل فهمی داشته باشیم. بنابراین یک برهان ظریف تر را بهتر درک می کنیم، و از این طریق به طور غیرمستقیم، خواهیم توانست در جستجوی الگوریتم های کارآمدتری باشیم؛ و نتایج حاکی از عدم امکان که محدودیت های روش های داده شده را آشکار می سازند، سرانجام ما را در یافتن نتایجی مثبت یاری خواهند کرد. اما، این نوع بحث یادآور فلاسفه ای است که برای انطباق واقعیت های ناخواسته، موضوع را بیش از حد کش می دهند.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن