برهان های ریاضیّاتی

تصاویر زیر 5 دایره را نشان می دهند. در اولین آنها تنها یک نقطه روی مرز دایره قرار دارد. در دومی، 2 نقطه و همین طور تا آخر. تمام خط هایی را که می توان میان این نقاط رسم کرد در شکل آمده است. این خط ها دایره را به مناطق مختلفی تقسیم می کند. اگر تعداد این نواحی را در دایره ها بشماریم به دنباله عددی 1 و 2 و 4و 8 و 16 می رسیم. این دنباله را به راحتی می توانیم با کمک رابطه ای میان این اعداد به یاد آوریم. به نظر می رسد که تعداد نواحی هر بار که نقطه جدیدی اضافه کنیم 2 برابر می شود. بنابراین به نظر می رسد اگر n نقطه داشته باشیم حداقل تا زمانی که هیچ 3 خطی در یک نقطه میانی همدیگر را قطع نکنند، n-12 قطعه خواهیم داشت.
تصویر شماره 1: تقسیم یک دایره به روش های مختلف
ریاضیدانان، معمولاً با کمله ای مانند « به نظر می رسد این گونه باشد »، راضی نخواهند شد و از شما درخواست برهانی برای این ادعا دارند. منظور از برهان استدلالی است که صحت یک گزاره را در فراسوی هر شک و شبه ای قرار دهد. اما این به چه معنی است؟ اگرچه ممکن است کسی گزاره درست را بیان کند که فراسوی هر شک منطقی قرار دارد اما این الزاماً به این معنی نخواهد بود که هیچ جایی برای شک باقی نمانده است. تاریخ دانان می توانند مثال های زیادی از برخی مسایل– که برخی از آنها ریاضیاتی هم هستند– بزنند که اگرچه زمانی تصور می شد شکی در آنها وجود ندارد اما بعداً این نظر تغییر یافت. پس چرا باید قضایای ریاضیاتی امروز متفاوت باشند؟ من پاسخ این سؤال را با ارائه مثال هایی خواهم داد و از دل آنها نتایج عمومی را استخراج خواهم کرد.

غیر گویا ( گنگ ) بودن ریشه دوم 2

همان طور که در فصل قبل اشاره کردم زمانی عددی را گویا می نامیم که بتوان آن را به شکل کسر نوشت که p و q هر عددی می توانند باشند ( q مساوی 0 نباشد ). در غیر این صورت عدد را گنگ می نامیم. یکی از معروف ترین برهان های ریاضی برای نشان دادن این است که عددی گنگ است. روشی که در این برهان استفاده می شود به نام برهان خلف معروف است.
برهانی از این دست با این فرض آغاز می شود که نتیجه ای که قضیه آن را بیان می کند اشتباه است. شاید به نظر چنین روشی عجیب بیاید اما ما در بسیاری از مسایل ریاضی و حتی استدلال های روزانه از این نوع برهان استفاده می کنیم. مثلاً در نظر بگیرید که شما برای گزارش یک خرابکاری در یک خودرو به دفتر پلیس مراجعه می کنید و متهم می شوید که خود شما در این خرابکاری دست داشته اید. جواب احتمالی شما اين است که اگر خود من مسؤول این خرابکاری بودم با مراجعه به شما خودم را در مظان اتهام قرار نمی دادم. بدین ترتیب شما در ابتدا فرض می کنید که خودتان این کار را کرده اید تا از این فرض نتیجه بگیرید که اتهام آنها فاقد اعتبار است.
ما هم می خواهیم ثابت کنیم گنگ است پس بیایید فرض خلفی را انجام دهیم و فرض کنیم که مقدار این عبارت گویا است و نشان دهیم این فرض ما را به تناقض می رساند. من این برهان را به شکل مرحله به مرحله می نویسم که شامل اطلاعاتی بیش از حد نیاز بسیاری از خوانندگان است.
1. فرض کنید گویا است پس می توانیم اعدادی مانند p و q پیدا کنیم به طوری که ( بنا بر تعریف اعداد گویا ) .
2. هر کسری مانند را می توان به شکل کسری مانند نوشت که حداقل یکی از اعداد r و یا s زوج نیستند ( كافی است صورت و مخرج را آن قدر بر 2 تقسیم کنید که یکی از آنها فرد شود ) .
3. بنابراین اگر گویا باشد اعداد r و s وجود دارند به طوری که حداقل یکی از آنها فرد است و داریم
4. اگر آنگاه داریم 5. اگر آنگاه 6. اگر در نتیجه زوج و در نتیجه r نیز زوج است.
7. اگر r زوج باشد آنگاه عددی مانند t وجود دارد به طوری که r=2t
8. اگر وr= 2t آنگاه و در نتیجه با حذف ضریب 2 از طرفین خواهیم داشت
9. اگر نتیجه می گیریم زوج و در نتیجه s زوج است.
10. با توجه به فرض خلف خود به این نتیجه رسیدیم که باید بتوان نوشت به طوری که حداقل یکی از r و یا s زوج نباشد. اما بعد نشان دادیم که r زوج و s هم زوج است و این تناقضی واقعی را مطرح می کند. پس فرض ابتدایی ما اشکال داشته و این عدد نمی تواند گویا باشد.
من سعی کرده ام که در هر مرحله از اثبات فوق از استدلال هایی استفاده کنم که در آن جای شکی وجود نداشته باشد اما آیا من هیچ جای شکی باقی نگذاشته ام؟
مرحله 6 اثبات به نظر بسیار واضح می آید اما اگر بخواهیم، می توانیم استدلال قوی تر و غیرقابل سؤال تری را برای آن ارایه دهیم.
6a: اگر r عددی کامل و زوج باشد باید نشان دهیم که r نیز زوج است. بیایید فرض کنیم r فرد است.
6b: از آنجایی که r فرد است عددی کامل مانند t وجود دارد که r=2t+1
6c: نتیجه می گیریم 6d: اما داریم که عددی فرد است و این با فرض زوج است در تناقض قرار دارد.
6e: در نتیجه فرض خلف باطل و r زوج است.
آیا این استدلال اکنون به طور کامل غیر قابل نفوذ شده است؟ شاید نه چرا که قدم 6b هنوز نیازمند بررسی و اثبات است. چه ضرورتی وجود دارد که هر عدد صحیح زوجی را بتوان به صورت ضریبی از 2 به علاوه 1 نوشت؟ استدلال زیر این مطلب را بررسی می کنند.
6b1: فرض کنید عددی صحیح مانند r را عددی خوب می نامیم اگر بتوان آن را به یکی از دو شکل r=2s و یا r=2s+1 نوشت که s هم عددی صحیح است. اگر r عددی خوب باشد یعنی داریم r=2s. آنگاه داریم r+1=2s+1 و اگر r=2s+1 باشد آنگاه داریم r+1=2s+2=2(s+1). بدین ترتیب به این نتیجه می رسیم که اگر r خوب باشد r+1 نیز عدد خوبی است.
6b2: 1 عدد خوبی است چرا که 0+1 =1 و داریم 0×2 =0.
6b3: با تکرار مکرر گام 6b1 و با توجه به مرحله قبل به این نتیجه می رسیم که همه اعداد صحیح 2، 3 و ... خوب هستند.
6b4: بنابراین همه اعداد صحیح مثبت خوب هستند.
آیا اکنون کار ما به پایان رسیده است؟ شاید شک برانگیزترین بخش استدلال ما به 6b4 برگردد که بر مبنای مراحل قبل استدلال می کنیم کل اعداد این خاصیت را دارند. گام 6b3 به ما می گوید که چگونه کل اعداد این خاصیت را دارند. گام 6b3 به ما می گوید که چگونه برای هر عدد دلخواهی مانند n که به ما داده می شود بتوانیم اثبات کنیم که عددی خوب است. مشکل در اینجا است که مطابق این استدلال برای هر عدد n، ما باید استدلال را از 1 آغاز کرده و تا آن عدد ادامه دهیم و اگر عدد مورد نظر خیلی بزرگ باشد این فرآیند بسیار طولانی خواهد شد. از این بدتر زمانی است که می خواهیم نشان دهیم همه اعداد مثبت صحیح این خاصیت را دارند که در این صورت به نظر می رسد استدلال ما هیچ گاه به پایان نمی رسد.
از سوی دیگر مراحل 1 تا 3 استدلال فوق نشان می دهد که فارغ از مسأله زمانی که باید صرف کنیم چگونه می توان برای هر عددی که به ما ارائه شود، نشان دهیم که آن عدد خوب است. اگرچه این شیوه استدلال به نظر غیر منطقی می رسد اما ریاضیدانان آن را به عنوان یک اصل موضوعه به شکل زیر درآورده اند.
فرض کنید برای هر عدد مثبت صحیح مانند n گزاره ای مانند S(n) برای توصیف آن وجود دارد ( در مثال ما S(n) خوب بودن عدد n بود ) . در این صورت اگر S(1) درست باشد و بتوانیم نشان دهیم که اگر S(n) درست باشد آنگاه S(n+1) نیز درست است آنگاه گزاره S(n) برای هر n درست خواهد بود.
این موضوع را استقراء یا استقراء می نامند. اگر بخواهیم با زبانی ساده تر موضوع را بیان کنیم می توانیم بگوییم که اگر شما قصد اثبات مسأله ای برای تعداد نامتناهی حالت را دارید کافی است صحت آن را برای حالت اول اثبات کنید و نشان دهید با فرض درست بودن یک مرحله دلخواه می توان صحت گام بعدی را استدلال کرد.
در پاراگراف های قبلی شما شاهد بودید که چگونه یک استدلال را می توان به استدلال های ریزتر خرد کرد و دوباره همان استدلال های ریزتر را باز هم جلو برد و به خرده استدلال های بیشتری دست یافت. نکته بسیار مهم استدلال های ریاضیات این است که این فرآیند خرد کردن استدلال ها در نهایت در جایی متوقف می شود. شما اگر این روند را درباره یک استدلال ادامه دهید در نهایت به اصلی خواهید رسید که بدیهی بودن آن در تمام جهان پذیرفته شده است. بنابراین شما در نهایت رشته ای طولانی از استدلال را خواهید داشت که ریشه در یک اصل دارد و به شیوه منطقی از آن به نتیجه رسیده است ( می دانید که بنا بر منطق اگر الف درست باشد و الف بر ب دلالت داشته باشد آنگاه ب نیز درست است ).
نکته ای که من در پاراگراف قبل بیان کردم به هیچ وجه بدیهی نیست و در حقیقت یکی از دست آوردهای ریاضیات در قرن بیستم است که عمدتاً به واسطه فعالیت های ارزشمند فرگه، راسل و وایتهد به دست آمد. این کشف تأثیری ژرف بر ریاضیات نهاد چرا که معنی آن این بود که می توان هر نوع جدال و نزاعی در زمینه اعتبار یک برهان ریاضی را همیشه حل کرد و به نتیجه رساند. برخلاف آن در قرن نوزدهم میلادی بحث ها و عدم توافق های فراوانی در خصوص صحت و ذات مسایل ریاضیاتی وجود داشت. مثلاً جرج کانتور که او را پدر نظریه مدرن مجموعه ها می دانند استدلالی را درباره این موضوع مطرح کرده بود که امکان دارد یک مجموعه نامتناهی از مجموعه نامتناهی دیگری بزرگتر باشد. این استدلال ها امروزه پذیرفته شده اند اما در زمان خود با چالش های بسیاری مواجه شدند. امروزه اگر شکی درباره یک برهان وجود داشته باشد به خود برهان برنمی گردد بلکه به مواردی مانند عدم نگارش آن به طور دقیق یا عدم بررسی دقیق آن یا عدم تلاش برای درک درست آن باز می گردد.
البته این بدان معنی نیست که اختلاف ها دیگر هیچ وقت رخ نمی دهند. برای مثال، بسیاری از مواقع پیش می آید که در برخی از نقاط ناواضح است یا اشتباهات کوچکی در آن رخ داده است. اما کلیت استدلال درست است. پیدا کردن چنین اشتباهات ظریف و دوری کردن از آنها نیازمند کار طاقت فرسا و بسیار دقیقی است که بسیاری ممکن است از زیر آن شانه خالی کنند و به همین دلیل گاه بحث های متعددی شکل می گیرند.
با این وجود این واقعیت که با توجه به اصول می توان صحت هر استدلال ریاضیاتی را تبیین کرد جایگاه یگانه و استثنایی ای به دانش ریاضیات می دهد. شما در ریاضیات هیچ نمونه ای از اشتباهات و مباحثات طولانی و تاریخی که در علوم دیگر رخ می دهد را پیدا نمی کنید. مواردی مانند آنچه در نجوم و در مورد ثابت بودن زمین رخ داده است یا آنچه در زیست شناسی به شکل اختلاف نظرهای جدی و گاه متعارض درباره نظریه تکامل و انتخاب طبیعی بروز نموده است و یا بحث های متعارضی که در فلسفه درباره هوشیاری و جهان مادی مطرح است و یا مانند اختلافاتی که درباره هوشیاری و جهان مادی مطرح است و یا مانند اختلافاتی که در اقتصاد میان نئوکینزی ها و مونتاریسم ها وجود دارد.
بسیار مهم است که در پاراگراف قبل اهمیت جمله « با توجه به اصول » را درک کنیم. هیچ ریاضیدانی هیچ گاه برهان و استدلال خود را از ابتدا و با توجه به اصول اولیه شروع نمی کند و آنها را پله پله و با گام های ساده ای که هر کسی بتواند به آسانی آنها را بررسی کند، پیش نمی برد. اگر چه این کار ممکن است اما کاری غیر ضروری به شمار می رود؛ چرا که ریاضیدانان مقالات خود را برای افرادی با تحصیلات و آموزش های بالای ریاضیاتی می نویسند که نیازی به یادآوری تمام گام های اولیه ندارند. اما اگر کسی در مورد صحت بخشی از استدلال و برهان ادعایی بکند آنگاه داستان شروع می شود و مرحله به مرحله می توان آن برهان را خرد کرد تا در نهایت و در صورت لزوم به اصول اولیه رسید. البته با توجه به همان مطلب که مخاطبان این استدلال ها دارای آموزش های سطح بالایی در ریاضیات هستند معمولاً این روند خرد کردن چندان طولانی نمی شود و تنها تا جایی پیش می رود که یا اشتباه مشخص شود و یا کسی که ادعا را مطرح کرده است قانع شود. بدین ترتیب تنها استدلال ها و نتایجی از سوی ریاضیدانان به عنوان درست پذیرفته می شود که واقعاً درست باشند.
سؤالی ممکن است برای بسیاری از خوانندگان پیش بیاید و من هم تصور ندارم بحث زیادی درباره آن کنم و فقط خلاصه به آن اشاره می کنم سؤال این است که چرا یک نفر باید صحت اصول اولیه ای را که ریاضیدانان بیان می کنند بپذیرد. یا اگر کسی درباره اصول اولیه ایرادی داشت چه باید کرد؟ پاسخی که ریاضیدانان معمولاً به این بحث می دهند این است که نخست، این اصول برای هر کسی که آنها را بفهمد بدیهی خواهد بود. دوم آنکه در مورد مجموعه ای از اصول آنچه که بیش از حقیقت ذاتی آن اصول مهم است سازگاری آن دستگاه اصول است. چیزی که در یک اثبات ریاضی مهم است ارائه زنجیره ای از استدلال ها است که از اصول و قضایای مشخصی استخراج و استدلال می شود و به مجموعه سازگاری از اصول مانند اصل استقراء ریاضی منتهی می شود و ما می توانیم با خیال راحت بحث درباره واقعی و یا میزان حقیقی بودن این مجموعه سازگار اصول را به فلاسفه واگذاریم.

گنگ بودن نسبت طلایی

بسیاری از افرادی که در حال آموزش ریاضیات پیشرفته هستند با تجربه مشترکی برخورد کرده اند. زمانی که این افراد مطالعه یک برهان ریاضی را به پایان می رسانند با خود فکر می کنند من می فهمم که چطور هر خط استدلال بر مبنای خطوط قبلی بنا شده اند اما احساس نمی کنم نسبت به چرایی درست بودن کل قضیه احساس آگاهی بیشتری دارم و یا نمی فهمم چطور کسی این راه حل به ذهنش خطور کرده است.
بسیاری از اوقات ما چیزی بیش از تضمین صحت یک گزاره را از برهان آن می خواهیم. بعد از مطالعه یک برهان خوب ما احساس خواهیم کرد که برهان خود قضیه را توضیح می دهد و ما چیزی را فهمیده ایم که پیش از خواندن آن نمی دانستیم.
از آنجایی که سهم بزرگی از مغز ما به پردازش داده های تصویری و بصری اختصاص دارد، تعجب برانگیز نخواهد بود که بسیاری از استدلال ها باعث برانگیختن قدرت تخیل و تصویرسازی مغز ما شود. برای درک این موضوع برهان دیگری را باز هم درباره گنگ بودن یک عدد با هم مرور می کنیم و این بار به سراغ عددی می رویم که به « نسبت طلایی » موسوم است. این عدد در طی قرون توجه بسیاری از افراد غیر ریاضیدان و ریاضیدان را برانگیخته است. این عدد را می توان نسبت اضلاع مستطیلی تعریف کرد که ویژگی زیر را داشته باشد.
اگر شما مربعی را از درون این مستطیل جدا کنید. بخش باقی مانده مستطیلی دوران یافته و با همان نسبت های مستطیل اولیه خواهد بود ( مستطیل دوم در شکل 2 ) .

تصویر شماره 2: وجود نسبت طلایی

اصلاً چرا باید چنین نسبتی وجود داشته باشد؟ ( این یکی از سؤال هایی است که ریاضیدانان برای پرسیدن آنها آموزش دیده اند ). یک راه پاسخ دادن به این پرسش این است که در ابتدا مربعی را رسم کنید و آن را به گونه ای امتداد دهید که مستطیل بزرگتری با همان نسبت ها ظاهر شود ( مشابه آنچه در تصویر 2 می بینید ). در ابتدا دیده می شود که مستطیل اضافه شده جدید باریک و نازک است در حالی که مستطیل اصلی بیشتر شبیه مربع است. اگر اجازه دهیم که مربع ثانویه به اندازه مربع اولیه بزرگ شود آنگاه مستطیلی خواهید داشت که طول آن 2 برابر عرض آن است. بنابراین در حالت اول شما مستطیلی نازک را دارید و در حالت دوم مستطیلی بسیار پهن بنابراین جایی بین این دو نقطه باید جایی باشد که مستطیل کوچکتر همان نسبت های مستطیل اول را پیدا کند.
رویکرد دیگر به وجود نسبت طلایی محاسبه آن است. اگر این عدد را x بنامیم و طول ضلع مربع را نیز 1 فرض کنیم بنابراین اضلاع مستطیل بزرگ ما عبارت خواهند بود از 1 و x در حالی که اضلاع مستطیل کوچک تر برابر خواهند شد با 1-x و 1 اگر این دو نسبت های یکسانی را داشته باشند در این صورت داریم
با ضرب طرفین در خواهیم داشت بنابراین با در نظر گرفتن اینکه x نمی تواند منفی باشد و حل معادله فوق به این نتیجه می رسیم که . ( اگر شما مقاله قبل را به خاطر داشته باشید ممکن است از من بپرسید که از کجا نسبت به وجود مطمئن هستم. در حقیقت کاری که ما در این استدلال انجام دادیم تبدیل یک مسأله هندسی به معادله جبری آن بود ).
حال که از وجود این نسبت مطمئن هستیم می توانیم روند زیر را پی بگیریم. بیایید در ابتدا فرض کنید که مربع را از شکل کلی کنار می گذاریم. مستطیل کوچک همان نسبت های مستطیل بزرگ ( نسبت طلایی ) را دارند. بنابراین همین تقسیم را برای آن انجام می دهیم. نتیجه مستطیل کوچکتری با همان نسبت ها است با تکرار همین روند می توان دنباله ای از مستطیل های کوچکتر به دست آورد که همه آنها همین نسبت را در خود دارند و بدیهی است که این فرآیندی نامتناهی است.
تصویر شماره 3: جدا کردن مربع ها از مستطیل
حال بیایید فرض کنیم که نسبت اضلاع همین مستطیل است که p و q اعدادی صحیح هستند. بنابراین می توان مستطیل را همان طور که در شکل صفحه قبل نشان داده شده است به p×q مربع تقسیم کرد. اگر ما مشابه آنچه قبلاً گفتیم مربع را از این مستطیل خارج کنیم چه اتفاقی می افتد. اگر q از p کوچکتر باشد آنگاه ما با این جداسازی، در حقیقت مربعی به ابعاد p×p را از آن خارج کرده ایم و مستطیلی به ابعاد (p-q)×q باقی مانده است. حال می توانیم این فرآیند را ادامه دهیم اما آیا این بار هم با فرآیندی نامتناهی روبه رو هستیم؟ نه چرا که در هر بار خارج کردن مربع ما تعداد کاملی از مربع های کوچک را خارج می کنیم و قطعاً نمی توان این کار را بیش از p×q بار انجام داد چون کلاً p×q عدد مربع کوچک داریم.
بدین ترتیب ما دو واقعیت زیر را با این استدلال نشان داده ایم.
1- اگر نسبت اضلاع یک مستطیل، نسبت اعداد طلایی باشد، آنگاه می توان فرآیند جدا کردن پی در پی مربع هایی از آن را برای همیشه تکرار کرد.
2- اگر نسبت اضلاع مستطیلی برابر باشد که p و q اعدادی کامل و طبیعی هستند آنگاه نمی توان فرآیند خارج کردن مربع های شکل را به طور نامحدود ادامه داد.
این دو واقعیت نشان می دهد که به ازای هر p و q دلخواه نسبت نمی تواند نسبت طلایی باشد. به عبارت دیگر نسبت طلایی مقداری گنگ و غیر گویا است.
اگر درباره استدلال بالا با دقت فکر کنید می بینید که عملاً تفاوت چندانی با روشی که برای اثبات اصم بودن عدد به کار بردیم ندارد. اما به روشی کاملاً متفاوت بیان شده است که برای بسیاری از مردم جذاب تر و خوش آیندتر است.

محیط یک دایره

حال که چیزهایی درباره ماهیت برهان های ریاضیاتی گفتم اجازه بدهید به مسأله ای برگردیم که این فصل را با آن آغاز کردیم. ما دایره ای داشتیم که بر پیرامون آن n نقطه را در نظر گرفته بودیم و هر جفت از نقاط را با خطی به هم وصل کرده بودیم و قصد داشتیم نشان دهیم تعداد قطعات ایجاد شده درون دایره که با رسم این خطوط به وجود آمده اند
است. ضمن اینکه ما صحت این موضوع را برای اعداد 15، 4، 3، 2، 1 دیده ایم. برای اثبات این مسأله در حالت کلی به نظر می رسد یک راه مناسب پیدا کردن استدلالی باشد که نشان دهد هر بار که نقطه جدیدی بر پیرامون دایره اضافه می شود تعداد قطعات داخلی 2 برابر خواهد شد. چرا باید چنین استدلالی اصولاً وجود داشته باشد؟
هیچ چیزی یک باره به ذهن خطور نمی کند. به همین دلیل شاید یک راه مناسب برای شروع این باشد که به بررسی و مطالعه شکل مورد نظر بپردازیم و ببینیم آیا می توانیم الگویی در آن پیدا کنیم که با تعمیم آن بتوان به نتیجه رسید. برای مثال زمانی که 3 نقطه داریم، 3 ناحیه بیرونی و 1 ناحیه داخلی شکل می گیرد. هنگامی که 4 نقطه داریم 4 ناحیه بیرونی و 4 ناحیه داخلی به وجود می آید و با 5 نقطه، یک 5 ضلعی داخلی داریم که 5 مثلث از لبه های آن به سمت خارج اشاره می کنند و 5 مثلث دیگر که در بین پره های این ستاره به سمت داخل قرار گرفته اند و دست آخر 5 ناحیه خارجی طبیعی است که با این مشاهده نواحی را این گونه بیان کنیم که برای 3 نقطه 1+3 ناحیه، برای 4 نقطه، 4+4 ناحیه و برای 5 نقطه 1+5+5+5 ناحیه به وجود می آید.
آیا این موضوع کمکی به ما می کند؟ به نظر می رسد که مثال های کافی برای نتیجه گیری مناسب در اختیار نداریم؛ پس بیایید یک نقطه دیگر به پیرامون دایره اضافه کنیم. این شکل در تصویر 4 نشان داده شده است. اگر بخش های مجزای شکل گرفته را مشابه موارد قبل بشمارید به 31 ناحیه می رسید که می توانید آنها را در قالب 1+3+3+12+6+6 ناحیه بیان کنید.
به نظر می رسد یک جای کار اشکال دارد چرا که تعداد نواحی 31 مورد شد. آیا اشتباهی رخ داده است؟ نه واقعاً اشتباهی رخ نداده است. چرا که دنباله واقعی تعداد نواحی که از افزودن نقاط به دست می آید عبارتند از 1، 2، 4، 8، 16، 31، 57، 99، 163 در حقیقت با نگاهی عمیق تر می توان متوجه شد که تعداد نواحی با افزودن هر نقطه 2 برابر نمی شود. برای شروع در نظر بگیرید که زمانی که هیچ نقطه ای روی دایره ندارید تعداد نواحی شما 1 است و نه که با افزودن اولین نقطه میزان آن دوبرابر شود. البته چنین بی قاعدگی هایی درباره 0 در موارد بسیاری پیش می آید اما مشکلات بسیار جدی تر در این مسأله زمانی رخ می دهد که عدد n به طرز چشمگیری افزایش یابد. در این صورت مشخص است که ناحیه به دست آمده عدد بسیار بزرگی خواهد بود. مثلاً برای n=30 این عدد برابر 524288 خواهد شد و برای n=30 این عدد برابر 536870912 خواهد بود. آیا معقول است که قرار دادن 30 نقطه بر محیط دایره بیش از 530 میلیون ناحیه در داخل یک دایره شکل بگیرد؟ مطمئناً نه. تصور کنید دایره خیلی بزرگی را رسم کرده اید و با فواصل غیر منظم بر روی آن 30 نقطه را رسم کرده و آنها را به هم وصل کرده اید مطمئناً تعداد زیادی ناحیه از تقاطع های حاصل از این خطوط به وجود خواهد آمد اما نه حدود 530 میلیون ناحیه! اگر قطر دایره ای که رسم کرده اید 10 متر باشد و قرار باشد پانصد میلیون ناحیه روی آن رسم کنید پس باید بتوانید به طور متوسط بیش از 600 ناحیه را در هر سانتیمتر مربع فضا جای دهید. به نظر می رسد دایره شما باید بر اثر وفور این خط ها پر شود اما مسلم است که تنها با 30 نقطه چنین حجمی از خطوط معقول به نظر نمی رسد.
تصویر شماره 4: نواحی یک دایره
همان طور که اشاره شد ریاضیدانان از استفاده از کلماتی مانند واضح است و مسلم است تا حد امکان پرهیز می کنند. در این مورد هم اگرچه برای درک بهتر چنین استفاده ای کردیم اما در پشت آن یک اثبات دقیق به این شرح وجود دارد. اگر دایره به تعداد زیادی چند ضلعی تقسیم شده باشد آنگاه تعداد زیادی گوشه در اثر شکل های ایجاد شده توسط این نواحی به وجود می آید. هر گوشه، محلی است که 2 یال همدیگر را قطع کرده اند و برای هر یک از چنین نقاطی می توان 4 نقطه اولیه روی محیط دایره را مرتبط با آن دانست (4 نقطه ای که رأس های 2 یال مورد نظر را شکل می دهند ). بنابراین برای انتخاب اولین نقطه این چنینی 30 انتخاب، دومی 29، سومی 28 و چهارمی 27 انتخاب داریم که حاصل ضرب آنها عبارت است از 657720 . اما در این محاسبه فراموش کرده ایم که ما چندین بار 4 نقطه به خصوص را به روش های مختلف انتخاب کرده ایم. تعداد راه های ممکن برای انتخاب این 4 حالت عبارتند از 24=4×3×2×1. بنابراین باید تعدادی را که قبلاً به دست آورده ایم بر 24 تقسیم کنیم. نتیجه حاصل عبارت است از 27405 که اگرچه تعداد زیادی است اما برای شکل دادن به 536870912 ناحیه ناکافی است. در حقیقت با این تعداد گوشه تنها می توان 27841 ناحیه را شکل داد.
مرور این موضوع درس های مهمی درباره روش اثبات ریاضی در اختیار ما می گذارد یکی از مهم ترین این درس ها آن است که اگر شما به اثبات ادعاهای ریاضی اهتمام نورزید و توجه کافی نکنید ممکن است خطر بیان نکاتی اشتباه را به جان بخرید. نکته اخلاقی بعدی پنهان در این مسأله، این است که اگر شما دست به اثبات جمله ای که بیان می کنید بزنید توان درک آن را به شیوه ای متفاوت و بهتر خواهید داشت.

قضیه فیثاغورس

قضیه معروف فیثاغورس بیان می کند که اگر مثلثی قائم الزاویه داشته باشید به گونه ای که طول دو ضلع قائمه آن a و b و وتر آن c باشد آنگاه این قضیه برهان های متعددی دارد اما یکی از این برهان ها به دلیل سادگی و کوتاهی و راحت تر بودن جایگاه ویژه ای یافته است به ویژه آنکه برای اثبات آن به چیزی بیش از 2 دیاگرام ساده نیاز نیست.
در شکل 13 مربع هایی که آنها را A,B,C نامیده ام هر یک اضلاعی به اندازه a,b,c دارند بنابراین مساحت هر یک از آنها به ترتیب است. از آنجایی که با تغییر محل مثلث ها و به دلیل آنکه آنها روی هم قرار نمی گیرند، مساحت آنها نیز تغییر نمی کند کافی است آنها را به ترتیبی که در شکل نشان داده شده است تغییر دهیم. در این صورت مساحت های مثلث های خاکستری، ثابت می ماند این در حالی است که در شکل سمت راست، مجموع این مساحت ها برابر با و در سمت چپ برابر است.

کاشی کردن یک جدول مربعی بدون گوشه

یکی از شناخته شده ترین تست های ذهنی این است که فرض کنید مربعی دارید که با مربع های کوچک تر به شکل جدولی 8 در 8 درآمده است. حال دو مربعی را که دو رأس مقابل هم هستند حذف کنید. آیا می توانید بقیه ی مربع های باقی مانده را با مهره های دومینو که هر کدام دو مربع کوچک را می پوشاند پر کنید؟ در طرحی که من در شکل 14 نشان داده ام مشخص شده است که اگر شما مربع 8 در 8 ابتدایی را به مربعی 4 در 4 تبدیل کنید این کار عملی نیست. فرض کنید که شما می خواهید کاشی یا مهره دومینویی را در محلی قرار دهید که من با A نشان داده ام در این صورت مشخص است که برای پر کردن بقیه خانه ها باید کاشی های خود را در نقاط B و C و D و E قرار دهید که در این صورت مربع تکی باقی می ماند. اگر شما از هر یک دیگر از موقعیت ها هم شروع کنید به دلیل تقارنی که شکل شما دارد به همین نتیجه خواهید رسید.
تصویر شماره 5: اثباتی کوتاه برای قضیه ی فیثاغورس
اگر مربع اول را 5 در 5 در نظر بگیرید باز هم پر کردن آن غیر ممکن است. چرا که در این صورت با کم کردن 2 مربع گوشه شما در کل 23 مربع دارید که باید آنها را با کاشی های دوتایی پر کنید و چون تعداد کل مربع های عددی فرد است این کار هم غیرممکن می شود. اما در مورد مربع 8 در 8 تعداد مربع هایی که باید پر شود 62 مورد خواهد بود و نمی توان این استدلال را درباره آن بیان کرد. اگر هم بخواهید از استدلالی که من درباره مربع 4 در 4 استفاده کردم استفاده کنید به زودی متوجه خواهید شد که با تعداد بسیار زیادی از حالات ممکن مواجهید. پس چگونه باید با این مسأله مواجه شد؟ اگر به حل مسأله نرسیده اید توصیه می کنم درباره آن پیش از خواندن پاراگراف بعدی دوباره فکر کنید و یا آنکه پاراگراف بعدی را هم نخوانید چرا که کار کردن با این مسأله به شما دید مناسبی از زیبایی ریاضیات را می دهد.
تصویر شماره 6: پر کردن یک صفحه مربعی که گوشه های آن حذف شده اند.
برای کسانی که توصیه مرا نپذیرفته اند و حدس می زنم تعداد زیادی از خوانندگان کتاب هم در رده آنها باشند، کلمه ای را می گویم که در حقیقت راه حل اصلی مسأله را در دل خود دارد. شطرنج. یک صفحه شطرنج یک صفحه مدرج 8 در 8 است که خانه های آن یکی در میان سیاه و سفید رنگ آمیزی شده است. البته این رنگ آمیزی در مسأله ما نقش خاصی ایفا نمی کند اما تصویر بهتری در اختیارمان می گذارد. دو گوشه مقابل صفحه خانه های همرنگی هستند؛ اگر مثلاً آنها سیاه باشند در این صورت با حذف آنها با صفحه ای مواجه خواهیم بود که از 32 خانه سفید و 30 خانه سیاه تشکیل شده است. هر مهره دومینو یک خانه از هر رنگ را می پوشانند. بنابراین زمانی که شما 30 مهره دومینو را روی صفحه قرار دهید در بهترین شرایط 2 خانه همرنگ باقی می مانند که عملاً نمی توان آنها را با یک دومینو پر کرد. بنابراین مهم نیست شما چه ترتیبی را استفاده کنید، چون نمی توانید هیچ گاه تمام صفحه را پر کنید.
این استدلال کوتاه نشان می دهد که چگونه یک برهان خیلی خوب چیزی فراتر از اثبات درستی یک گزاره را بیان می کند. مثلاً در دو مثال پیشین من برهان های متفاوتی برای اثبات درستی یک گزاره برای مربع های 4 در 4 و 8 در 8 بیان کردم. اگر چه هر دو درست بود اما تنها دومی بود که با استفاده از ایده صفحه شطرنج ما را به ایده ای جذاب و منطقی از عدم امکان پر کردن صفحه با مهره های دومینو رساند. این برهان این قابلیت را دارد که به ما بگوید اگر صفحه شما به جای 8 در 8 قرار بود 10 هزار در 10 هزار هم باشد باز هم اگر دو مربع گوشه ای را از آن جدا کنید امکان پر کردن آنها با مهره های دومینو وجود نخواهد داشت و استدلال را نیز می توان به همان حفظ داد.
یکی از ویژگی های استدلال دوم این است که به یک ایده اساسی وابسته است و به گونه ای غیرقابل انتظار و به محض اینکه درک شود، بسیار طبیعی به نظر خواهد آمد. شاید خیلی از مردم از شنیدن اینکه ریاضیدانان از الفاظی مانند زیبا، خیره کننده یا بامزه برای برهان های ریاضیاتی استفاده می کنند دچار شگفتی شوند؛ اما مثالی مانند این نشان می دهد که منظور آنها چیست. در مورد موسیقی نیز مورد مشابهی وجود دارد. گاهی در موسیقی قطعه ای وجود دارد که زمانی که در یک هارمونی با قطعات دیگری شنیده می شود شکوه خود را نشان میدهد، یا زمانی که به یک قطعه کلی گوش می دهیم در حقیقت برداشت کلی تر از مجموع صداهایی داریم که ممکن است به تنهایی بی معنی به نظر آید. ریاضیات نیز می تواند چنین ابتهاجی را از آشکار شدن ناگهانی ارتباط ها، ایده های طبیعی و امثال آن به وجود آورد. البته زیبایی ریاضیاتی دقیقاً همان گونه زیبایی نیست که در موسیقی وجود دارد. اگرچه زیبایی موجود در موسیقی نیز با زیبایی نقاشی یا شعر و صورت انسان تفاوت دارد.
منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم