جفت طوسی در کتاب اُکَرنیکول اورم

نیکول اورمِ، فیلسوف فرانسوی در دوره‌ی فعالیتش در پاریس، سؤال‌هایی را در [کتابی با عنوان] پرسش بر کتاب مشهور و پرنفوذ اکرساکروبوسکو تدوین کرد. (2) به نظر می‌رسد که در بخشی از سؤال آخر (شماره‌ی 13)، که به بررسی این مسأله اختصاص دارد که آیا حرکات اجرام آسمانی مستدیر است یا نه، چگونگی به دست آوردن یک حرکت مستقیم رفت و برگشتی از ترکیب سه حرکت مستدیر یکنواخت، توصیف شده است. عبارت [اورم] به صورت زیر است:
درباره‌ی این مسأله [که آیا اجرام آسمانی حرکت مستدیر دارند]، من سه نتیجه‌ی جالب توجه پیشنهاد می‌کنم. نخست، ممکن است برخی سیارات بر حسب طبیعت خود حرکت مستقیم الخطی متشکل از تعدادی حرکت مستدیر داشته باشند. این حرکت به وسیله‌ی عقولی ایجاد می‌شود که هر یک تلاش می‌کنند تا در مسیر مستدیر حرکت کنند، و چنین چیزی باطل نیست. (3)

اثبات:

مانند منجمان فرض می‌کنیم که A فلک حامل یا مرکز آن [فلک] برای یک سیاره، B فلک تدویر همان سیاره و C خود سیاره یا مرکز آن باشد که من آن‌ها را هم ارز در نظر می‌گیرم. همچنین تصور کنیم که خط BC خط واصل میان مرکز فلک تدویر و مرکز سیاره باشد و CD خطی بر سیاره باشد که BC بر آن عمود است. دایره‌ی A حول مرکز خود به سمت شرق و دایره‌ی B به سمت غرب حرکت می‌کند. سیاره‌ی C [نیز] حول مرکز خود به سمت شرق پیش می‌رود. علاوه بر این چون خط BC شعاع است و طول ثابتی دارد، فرض کنیم به همان مقدار که B به سبب حرکت فلک حامل پایین می‌رود، (4) C به دلیل حرکت فلک تدویر بالا می‌آید. به وضوح می‌توان دید که نقطه‌ی C در یک زمان مشخص روی یک خط مستقیم حرکت کرده است. همچنین فرض کنیم که نقطه‌ی B روی همان دایره‌ای که با حرکت سیاره پایین می‌آید با حرکت خود بالا برود. روشن است که نقطه‌ی D روی یک خط حرکت می‌کند؛ پس جرم سیاره به حرکت مستقیم تا نقطه‌ای پیش می‌رود، و با همان حرکت، باز می‌گردد.
اما شبهاتی براین وارد است: نخست، اگر حرکت مستدیر یکنواخت باشد حرکت سیاره به این صورت غیر ممکن است و ارسطو تأکید کرده است که هر حرکت مستدیری در آسمان، یکنواخت است.
دوم، ارسطو و شارح او در بخش دوم کتاب درباره‌ی آسمان، بند 50، اشاره کرده اند که هر ستاره، روی فلک خود ثابت است و بنا براین چرخشی حول مرکز خود ندارد؛ آن‌ها این مسأله را با استناد به اینکه همواره یک طرف ماه رو به ما قرار دارد، مطرح می‌کنند. شارح توضیحی می‌دهد که این [تنها] آوردن مثال نیست بلکه برهان است زیرا ستاره‌ها از یک جنس هستند پس اگر یکی از آنها، مثلاً ماه، حرکت نکند، هیچ کدام حرکت نمی‌کنند.
پاسخ شبهه‌ی نخست: من می‌گویم که به تجربه ثابت شده که حرکت آسمان غیر یکنواخت است اما با اتکاء به مرجعیت ارسطو، این غیر یکنواختی به یکنواختی تحویل می‌یابد.
اما در مورد شبهه‌ی دوم: می‌توان پذیرفت که چنین حرکتی در واقعیت وجود ندارد اما این یک امر ممکن است و دلیل شارح نیز پذیرفته نیست، چون با یک استدلال مشابه می‌توان ثابت کرد که هیچ ستاره‌ای فلک تدویر ندارد و این خلاف اعتقاد منجمان است.
از [مطالب] بالا چهار نتیجه‌ی زیر به دست می‌آید: اول، حداقل سه حرکت مستدیر برای چنین حرکت مستقیم الخطی لازم است.
نتیجه‌ی دوم تفاوتِ میان حرکت مستقیم الخط و مستدیر را نشان می‌دهد، [به این معنی] که حرکت مستدیر هرگز از چند حرکت مستقیم الخط ایجاد نمی‌شود (5) و حرکت مستقیم الخط از [ترکیب] حرکت مستدیر و مستقیم الخط به دست نمی‌آید اما حرکت مستقیم الخط حاصل چند حرکت مستدیر است، همان طور که نشان داده شد.
نتیجه‌ی سوم: بحث ارسطو و شارح در مقاله‌ی دوم کتاب درباره‌ی آسمان، بند 48، درست نیست که اگر ستاره‌ای حرکت مستقیم الخط کند، لزوماً تقسیم، فشردگی یا خرق افلاک اتفاق می‌افتد یا اجرام در یکدیگر تداخل می‌کنند یا خلاء به وجود می‌آید؛ و عکس آن نشان داده شد.
نتیجه‌ی چهارم: عقلا ممکن است حرکت مستقیم الخطی دائمی باشد به این شرط که نتوان گفت که متحرک در نقطه‌ی بازگشت در حال حرکت است یا در حال سکون. (6)
به طور خلاصه [در این عبارات] آمده است که فلک حامل A به سمت شرق پیش می‌رود و فلک تدویر B را که به سمت غرب حرکت می‌کند و سیاره‌ی C روی آن قرار دارد، با خود می‌برد. سیاره‌ی C حول مرکز خود در جهت شرق می‌چرخد. خط BC، خط واصل میان مرکز فلک تدویر و مرکز سیاره و همان شعاع تدویر است. خط CD نیز خط واصل میان مرکز سیاره و نقطه‌ی نامشخص D است و BC بر CD عمود است.
به دلیل حرکت مستدیر یکنواخت فلک حامل، فلک تدویر و سیاره، نقطه‌ی D همواره روی یک خط قرار دارد و C که همان سیاره است، با یک حرکت مستقیم الخط به جلو و عقب می‌رود. متن دو نکته‌ی بسیار مبهم درباره‌ی حرکت فلک تدویر B دارد که در باره‌ی آن بحث خواهیم کرد. اورم درباره‌ی ابعاد و سرعت نسبی افلاک مطلبی نمی‌گوید. دو شبهه‌ای که اورم به سبک مدرسیان عنوان کرده است و نتیجه‌ی سوم که درباره‌ی عقیده‌ی ارسطو درباره‌ی طبیعت ستارگان و آسمان است، به طور مستقیم با مسأله‌ی سینماتیکی که در متن طرح شده است، مرتبط نیستند. از سوی دیگر، نتیجه‌ی اول به طور صریح بیان می‌کند که حرکت مستقیم الخط سیاره به سه حرکت مستدیر نیاز دارد و نتیجه‌ی چهارم تأیید می‌کند که این حرکت به واقع رفت و برگشتی است.
از این عبارت، به صورتی که در متن پرسش درباره‌ی اکرِاورم آمده است، هیچ مفهومی به دست نمی‌آید. متن آشفته است و مطلبی که در آن آمده، بسیار مبهم است. بنابراین در حالی که می‌توانیم نتیجه بگیریم که ترکیب سه حرکت مستدیر یکنواخت، یک حرکت رفت و برگشتی مستقیم الخط ایجاد می‌کند، درباره‌ی چگونگی آن، تنها می‌توانیم حدس بزنیم. با این حال، نظری که در اینجا عرضه خواهد شد این است که این عبارت را، با همه آشفتگی و نارسایی اش، می‌توان نشانگر تلاشی برای توصیف جفت طوسی دانست.
تمهید طوسی و انگیزه‌ای که به ابداع آن منجر شده است مانند بسیاری دیگر از فعالیت‌های مکتب مراغه که طوسی بنیان گذار آن بود اخیراً بررسی شده اند (7) و در نتیجه بررسی ما ناگزیر مختصر و محدود به مطالبی است که با این بحث ارتباط دارند. (8) این تمهید آن طور که در تذکره طوسی آمده است، به عنوان جایگزینی برای مدل خارج مرکز بطلمیوس در نظر گرفته شده است که منجمان مکتب مراغه بر آن بودند که [آن] اصول ارسطویی مربوط به حرکت مستدیر یکنواخت اجرام سماوی را به دور زمین، به عنوان مرکز عالم، نقض می‌کند. آن طور که در تذکره توضیح داده شده است یک هیئت نجومی قابل قبول تنها نیازمند فاصله‌ی ثابت میان مرکز فلک تدویر و فلک حامل و حرکت یکنواخت فلک تدویر حول آن مرکز نیست، بلکه نیازمند آن است که امتداد شعاع حامل، بر خط واصل میان اوج و حضیض فلک تدویر منطبق باشد. (9) یا به عبارت دیگر اوج فلک تدویر باید همواره در امتداد نقطه‌ای باشد که هم مرکز حرکت یکنواخت است و هم فاصله‌ی ثابتی [با مرکز فلک تدویر] دارد. این شرایط لازم با استفاده از معدل المسیر برآورده نمی‌شوند.
جایگزین طوسی برای هیئت بطلمیوسی بر پایه‌ی این قضیه است که اگر دایره‌ای در داخل دایره‌ی دیگر و روی محیط آن بچرخد و شعاع آن نصف دایره‌ی بزرگ تر و سرعتش دو برابر آن باشد و دو دایره در دو جهت مختلف بچرخند، آن گاه هر نقطه روی دایره‌ی کوچک تر قطری از دایره‌ی بزرگ تر را ترسیم می‌کند. با داشتن این دو دایره که روی یک فلک حامل با شعاع ثابت، که مرکزش بر مرکز عالم منطبق است (شعاع دایره‌ی بزرگ تر برابر مقداری است که بطلمیوس برای خروج از مرکز در نظر می‌گیرد) و مرکز تدویرش نقطه‌ای از دایره‌ی کوچک تر است که روی قطر دایره‌ی بزرگ تر حرکت می‌کند، مرکز تدویر طوسی مسیری را ترسیم می‌کند که به خوبی با مدل خارج مرکز قابل مقایسه است و مشکلات صورت بندی بطلمیوس را ندارد. در تذکره پس از بیان قضیه‌ی هندسی، طوسی آن را برای مدل سه بعدی تبیین می‌کند که در آن دایره‌های کوچک و بزرگ، کره هستند و نقطه‌ای که حرکت تناوبی ساده دارد، مرکز کره‌ی تدویر است که قطر کره‌ی بزرگ تر را ترسیم می‌کند. از آنجا که فلک تدویر به جای یک نقطه به صورت یک جسم سه بعدی تصویر شده است و از آنجا که اوج آن همواره در راستای مرکز حامل است، طوسی کره‌ی دیگری را به سیستم اضافه می‌کند. این کره‌ی اضافه، فلک حافظ (10)، [که] تدویر را در بر می‌گیرد. اندازه‌ی این فلک مهم نیست، تنها شرط آن است که بسیار بزرگ نباشد. فرض بر این است که این فلک سرعتی برابر با کره‌ی بزرگ تر دارد و در همان جهت حرکت می‌کند. (11) طوسی معتقد است که خط واصل میان اوج و حضیض فلک تدویر در هنگام چرخش مجموعه از قطر کره‌ی بزرگ تر دور می‌شود و در نتیجه نقش حافظ باز گرداندن خط اوج و حضیض است به طوری که [ این خط ] همواره بر قطر کره‌ی بزرگ تر منطبق شود. بدین ترتیب برقرار بودن شرط سوم - ثابت بودن جهت اوج- تضمین می‌شود.

توضیح تصویر:
شکل 1. جفت طوسی

شکل 1 طرح را در سه حالت (a) اوج فلک حامل، (b) موقعیت متوسط و (c) تربیع نشان می‌دهد. A و B به ترتیب مراکز کره‌های بزرگ و کوچک هستند و C مرکز تدویر است. AB و BC دو بردار جفت طوسی را، که اندازه شان مساوی است، نشان می‌دهد. (12)
در شکل 2 فلک تدویر در همه‌ی حالات (a, b و c) کشیده شده است و خط "DCD, خط اوج و حضیض را نشان می‌دهد. در شکل 2b زاویه‌ی a مسافتی را نشان می‌دهد که خط "DCD به وسیله‌ی فلک حافظ بازگردانده می‌شود تا بر قطر کره‌ی بزرگ تر منطبق شود. در اینجا فلک حامل نشان داده نشده است. بنابراین در مدل سه بعدی به سه حرکت مستدیر یکنواخت نیاز است تا حرکت مستقیم الخط فلک تدویر را به وجود آورند. (13)
نظر ما اینجا این است که در پشت از هم گسیختگی و بی انسجامی متن اورم ممکن است تلاشی برای توصیف این مدل سه بعدی وجود داشته باشد. باید تأکید کنیم که با شرایط متن [اورم] ، این توضیح قانع کننده نیست، زیرا با هیچ تفسیری نمی‌توان اطلاعی را که از خود متن به دست نمی‌آید بر آن افزود. با در نظر داشتن این تذکر، می‌توانیم دایره‌های A ، B و C را که در اینجا سه مشخصه‌ی اصلی بطلمیوس - فلک حامل، فلک تدویر و جرم آسمانی (در اینجا سیاره)- را نشان می‌دهند همان کره‌های بزرگ و کوچک و فلک تدویر کروی طوسی در نظر بگیریم. BC شعاع کره‌ی کوچک تر، CD شعاع فلک تدویر (نصف خط اوج و حضیض) و نقطه‌ی D اوج فلک تدویر است. بنا بر آنچه در متن آمده است، A و B (کره‌های کوچک و بزرگ) در جهات مختلف می‌چرخند و C (فلک تدویر) به دور مرکز خود در جهت شرق می‌چرخد. اطلاعات متن درباره‌ی حرکت‌ها همین است و چنان که پیش از این گفته شد درباره‌ی ابعاد و سرعت‌های هیچکدام از این اجرام اطلاعی داده نمی‌شود.

توضیح تصویر:
شل 2. فلک تدویر در مدل سه بعدی جفت طوسی، خط "DCD همواره بر قطر کره‌ی بزرگ منطبق است.

با توجه به متن، BC (شعاع کره‌ی کوچک تر) بر CD (شعاع تدویر) عمود است، شرطی که در هر نوبت عمل این سازو کار دو بار تکرار می‌شود- یعنی وقتی که مرکز تدویر در تربیع است (شکل 2c). همچنین در متن آمده است که C (در اینجا مرکز فلک تدویر) روی یک خط مستقیم حرکت رفت و برگشتی دارد که می‌توان آن خط را [ همان ] قطر کره‌ی بزرگ تر دانست، اگر چه عبارت متن چنین چیزی نمی‌گوید. همچنین D ( در اینجا اوج تدویر) نیز همواره روی یک خط قرار دارد، می‌توان گفت این «یک خط» همان امتداد شعاع فلک حامل است، اگر چه متن در این باره نیز ساکت است. برای تضمین آنکه اوج و خط واصل اوج و حضیض تدویر، همواره بر امتداد شعاع فلک حامل [بر یکدیگر] منطبق هستند، طوسی فلک حافظ را در نظر می‌گیرد. نظر ما این است که ابهام متن با نوعی خلط میان کره‌ی کوچک و فلک حافظ بیشتر شده است، و دو جمله‌ی مبهم درباره‌ی حرکت B ( در متن ، فلک تدویر) را باید در پرتو این توضیح بررسی کرد.
در متن آمده است:
(1) مسافتی که B با حرکت A پایین می‌آید (یعنی: به سمت شرق حرکت می‌کند) برابر مسافتی است که C با حرکت B بالا می‌رود (یعنی: به سمت غرب حرکت می‌کند). تفسیر پیشنهادی: مسافتی که B (کره‌ی کوچک) به سمت شرق طی می‌کند برابر با مسافتی است که C (وسط خط اوج و حضیض فلک تدویر) طی می‌کند، وقتی که B (در اینجا فلک حافظ) آن را بر می‌گرداند. به یاد داریم که فلک حافظ با سرعتی برابر با کره‌ی بزرگ تر و هم جهت با آن حرکت می‌کند.
در ادامه آمده است:
(2) مسافتی که B با سرعت خود بالا می‌آید (یعنی: به سمت غرب حرکت می‌کند) برابر با مسافتی است که با سرعت C پایین می‌رود (یعنی: به سمت شرق حرکت می‌کند). تفسیر پیشنهادی: مسافتی که B (فلک حافظ) به سمت غرب حرکت می‌کند برابر مسافتی است که با سرعت C به سمت شرق حرکت می‌کند (C نقطه‌ی وسط خط اوج و حضیض فلک تدویر است). به یاد داشته باشید که فلک حافظ مسافتی برابر با خط اوج و حضیض طی می‌کند اما در جهت مخالف.
در اینجا فارغ از آنکه متن اورم در پرسش درباره‌ی اکر تلاشی برای توصیف جفت طوسی است یا نه، باید این احتمال را در نظر بگیریم که شاید بخشی از آثار منجمان شرق در نیمه‌ی نخست سده‌ی چهاردهم میلادی در دست اروپاییان بوده است. این [مسأله] یک مشکل اساسی در موضوع انتقال اطلاعات نجومی شرقیان به اروپا است. حتی پیش از سده‌ی یازدهم تکنیک‌های نجومی مشرق به غرب راه یافتند و بیش و کم در غرب لاتینی رواج یافتند. اغلب این روش‌ها ترجمه شدند. برای این انتقال نمونه‌های بسیاری می‌توان مثال زد، مثلاً روش هندی تعیین ارتفاع سیارات که در هر دو کتاب زیج طلیطلی (14) و زیج خوارزمی (15) آمده است. اما گاهی انتقال الگوها و روش‌های نجومی جسته گریخته تر و پوشیده تر است. (16) در چنین مواردی شاید هرگز نتوان نقشه‌ی مسیر احتمالی انتقال را ترسیم کرد و بنا بر این باید به گمانه زنی روی بیاوریم، اما نباید فراموش کرد که حدس‌های معقول هر چند [در این کار] گاهی به جای شواهد به کار می‌روند، در واقع شاهد نیستند.
در مورد خاصی مانند روش طوسی، می‌دانیم که مکتب مراغه مرکز مهمی برای مطالعات نجومی بوده و دانشجویان اسپانیایی را همسان دانشجویان شرقی به سوی خود می‌کشانده است. (17) تذکره خود اثر مشهوری بوده است و 68 نسخه از آن باقی مانده و شرح‌های متعددی بر آن نوشته شده است. (18) علاوه بر این دیگر منجمان نظریه پرداز مکتب مراغه نیز از جفت طوسی در ساختن مدل‌های خود استفاده کرده اند. (19) در حال حاضر هیچ مدرکی وجود ندارد که تذکره، شرح‌های آن یا آثار دیگر منجمان مراغه به لاتینی ترجمه شده باشد اما انتقال روش طوسی از شرق به اروپا لزوماً به این امر وابسته نیست. با توجه به شهرت رصد خانه‌ی مراغه در جذب دانش آموزان از گستره‌ی جغرافیایی پهناور و شهرت تذکره در محیط اجتماعی آن زمان، این حدس که ممکن است تمهید طوسی منتشر شده باشد، پذیرفتنی است. همان طور که امروزه می‌دانیم کوپرنیک از سازوکار طوسی و نیز موادی از دیگر منجمان شرقی در کتاب درباره‌ی گردش افلاک (20) استفاده کرده است، بنابراین اروپاییان این مدل را در سده‌های پانزدهم و شانزدهم می‌شناخته اند، اگر چه با استناد به این حقیقت نمی‌توان گفت که اروپاییان پیش از این زمان نیز به آن دسترس داشته اند یا نه.
همچنین مهم است اشاره کنیم که همزمان با کار طوسی در مراغه، هلاکو، نوه‌ی چنگیزخان، بنیان گذار سلسله‌ی ایلخانی در ایران و پایه گذار و حامی رصد خانه‌ی مراغه روابط سیاسی دوستانه‌ای با امپراتور بیزانس، میخائیل هشتم از سلسله‌ی پالایولوگاس، برقرار کرده بود و این امپراتور گاهی متحد هلاکو در برابر دیگر امرای مسلمان و مغول به شمار می‌آمد. (21) وجود پیوندهای دیپلماتیک فرصتی برای مبادله فراهم می‌آورد که غالباً در دوران خصومت دست نمی‌دهد، و نقش امپراتوری بیزانس به عنوان محلی برای انتقال داشته‌های شرقیان به غرب بسیار معقول به نظر می‌رسد.
در نتیجه غیر منطقی نیست اگر حدس بزنیم که ممکن است بخش‌هایی و حتی صورتی تحریف شده از مدل طوسی، در قالب [زبان] لاتینی، در نیمه‌ی نخست سده‌ی چهاردهم به پاریس راه یافته باشد. و اگر چنین باشد، با آنچه ما از علائق خاص نیکول اورم می‌دانیم، محتمل است که روایتی از این روش توجه او را جلب کرده باشد. آن چنان که در آثار او آشکار است، اورم به مسائل حرکتی نظیر جفت طوسی علاقه‌ی بسیاری داشته است. در حالی که او به طور خاص به مسأله‌ی قیاس ناپذیری حرکات آسمانی می‌پرداخت- موضوعی که دو رساله درباره‌ی آن تألیف کرد و در آن پیرو کسی نبود و مقلدان اندکی داشت- علاقه‌ی او به مسائلی از این دست از مشاهده‌ی مکرر آن‌ها در دیگر آثارش در قالب مثال‌هایی که عرضه کرده بر می‌آید. در واقع رخداد مکرر و منحصر به فرد این [مسأله] درباره‌ی اورم ممکن است نشان دغدغه‌های فکری او باشد.
اما به رغم حدس‌هایی که درباره‌ی در دسترس بودن [روش] طوسی در غرب می‌توان زد و احتمال آنکه روش منجم شرقی به نظر اورم جالب آمده باشد، مشکل اصلی پیچیدگی تفسیر این متن است. ابهام و نقص متن موجب می‌شود که نتوان با اطمینان گفت که متن [اورم] نشانگر روش طوسی است. باید منتظر شواهد بیشتری باشیم تا حدس ما دراین باره تقویت شود. در جایی که دانش ما این قدر ناقص است، بهتر است که هیچ احتمالی را از نظر دور نداریم و گاهی هم با احتیاط تمام به حدس و گمان میدان بدهیم.

پی‌نوشت‌ها:

1. Claudia Kren.
2. به دلیل ساختار مدرسی این پرسش‌ها می‌توان حدس زد که اورم پرسش درباره‌ی اکر را در دانشگاه پاریس، یعنی پیش از 1362م، نوشته است. نک:
Marshall Clagett, The Science of Mechanics in the Middle Ages (Madison:University of Wisconsin Press, 1959), p. 338, n. 11.
3. "The Rolling Device of Nas Ī r al-Dīn al-Tūsī in the De Spera of Nicole Oresme"Isis, Vol. 62, No. 4 (winter 1971), pp. 490-498.
4. من «بالا رفتن» و «پایین رفتن» را در متن، به حرکت در جهات مختلف، در حرکت مستدیر تعبیر کرده ام. B (فلک تدویر در متن) نمی‌تواند مستقیم الخط حرکت کند زیرا حرکت مستدیر یکنواخت B یکی از سه حرکت مورد نیاز در متن است. آن طور که در متن اشاره شده، من «بالا رفتن» را حرکت به سمت غرب و «پایین رفتن» را حرکت به سمت شرق در نظر می‌گیرم.
5. اگر چه اورم در اینجا می‌گوید که هیچ حرکت مستدیری از ترکیب چند حرکت مستقیم الخط به وجود نمی‌آید، ظاهراً او در 1377م تجدید نظر کرده است. در شرحی که به زبان فرانسوی بر درباره‌ی آسمان در هیچ زمان نوشته است، او طریقه‌ی به دست آوردن آن [حرکت مستدیر از چند حرکت مستقیم الخط] را توصیف کرده است.
Nicole Oresme: Le Livre du ciel et du monde, ed. A. D. Menut and A. J. Denomy (Madison: Univ. of Wisconsin Press, 1968), pp. 64-65.
6. ترجمه‌ی انگلیسی عبارات اورم از نویسنده‌ی مقاله است و او عبارات لاتین را در پانوشتی آورده است. (مترجم).
7. E. S. Kennedy,"late Medieval Planettary Theory ", Isis, 1966, 57: 365-378.
8. در زمانی که این مقاله نوشته شده است (سال 1971 م) هنوز تحقیقات درباره‌ی این مسأله اندک بوده اما بعد از آن تاریخ و تا امروز مقالات و آثار بسیاری درباره‌ی جفت طوسی و مکتب مراغه نوشته شده است. برای نمونه می‌توان از مقاله‌ی
George Saliba, "The First Non- Ptolemaic Astronomy in Maraghah School", Isis, 1979, vol. 70, pp. 571-576.
و کتاب A History of Arabic Astronomy از مؤلف مقاله‌ی پیشین که در سال 1994م در نیویورک چاپ شده است، نام برد. (مترجم)
9. Carra de Vaux, Les Sphéres celestas in Paul Tannery, Recherches sur I,histoire de l,astronomie ancienne (Paris: Gauthier-Villars, 1893), p. 344.
10. طوسی عنوانی برای این فلک در نظر نگرفته و تنها در تصویری که برای افلاک ماه رسم کرده است آن را «محیطه» نامیده است (نک:
Ragep,F,J. ,Nasir al-Din al=tusi,s Memoir on Astronomy, (New York, 1993), pp. 204-205).
«فلک حافظ» که در اینجا به کار رفته، برگردان عبارت «retaining sphere» است که مؤلف مقاله از آن استفاده کرده است. (مترجم).
11. Carra de Vaux, p. 349.
12. Kennedy, "Late Medievl Planetary Theory", p. 370.
13. Carra de Vaux, p. 351.
14. Ernst Zinner, "Die Tafeln von Toledo (Tabulae Toletannae)" , Osiris, 1936, I: 752-753.
15. H. Suter , Die astronomischen Tafeln des Muhammed ibn Mūsā Al- khwārizmī ( Copenhoven: A. F. Høst and søn, 1914), pp. 60, 27- 56; also O. Neugebauer, "The Astronomical Tables of al-khwārizmī", Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs, 1962,4: 38.
16. Kennedy, "Late Medieval Planetary Theory", p. 378; E. S. Kennedy,"A Survey of Islamic Astronomical Tables", Transactions of the American Philosophical Society, 1956, N. S. 46: 173.
17. Kennedy, "Late Medieval Planetary", p. 365.
18. Ibid, p. 368.
19. Ibid, p. 377.
20. De revolutionibus oribium caelestium.
21. A. A. Vasiliev, History of the Byzantine Empire, 324- 1453 (Madison: Univ. of Wisconsin Press, 1961), p. 601).

منبع مقاله :
معصومی همدانی، حسین؛ (1391)، استادبشر (پژوهش‌ها‌یی در زندگی، روزگار، فلسفه وعلمِ خواجه نصیر الدّین طوسی)، تهران: میراث مکتوب، چاپ اول