تیلر، بروک

[bruk teylər]
Brook Taylor
(ت. ادمنتن، میدِلسکس، انگلستان، 28 امرداد 1064/ 18 اوت 1685؛ و، لندن، 8 دی 1110 / 29 دسامبر 1731)، ریاضیّات.
بروک تیلر پسر جان تیلر، اهل بیفرنز هاوس، کنت، و اولیویا، دختر سِر نیکولَس تمپست، از مردم بارت، بود. خانواده به اندازه‌ی کافی در رفاه می‌زیست، و با اشرافیت درجه دوم ارتباط داشت. نثنیئل، پدربزرگ بروک، از هواخواهان آلیور کرامول بود. جان تیلر پدری سختگیر بود و بروک، وقتی که در 1100 [بی موافقت او] با زنی که گفته می‌شد اصل و نسبی دارد اما ثروتی ندارد ازدواج کرد، با پدر بیگانه شد [و خانه را ترک گفت]. در 1102، که همسر بروک سر زا رفت، وی به خانه‌ی پدری بازگشت. بار دیگر، در 1104، با تأیید پدر همسر اختیار کرد، اما زن دومش هم در 1109، به هنگام زاییدن، مرد. دختری که به دنیا آمده بود زنده ماند.
گویی زندگی خانوادگی تیلر از چند راه بر کار او اثر گذاشته بود. در دو اثر از آثار عمده علمیش به تار مرتعش و ترسیم مناظر و مرایا (پرسپکتیو) پرداخته است. پدرش به موسیقی و هنر دلبستگی داشت، و در خانه‌‌‌‌‌‌‌اش از موسیقیدانان متعدد پذیرایی می‌کرد. گفته می‌شد که در بایگانی خانوادگی نقاشیهائی وجود داشت که کار بروک بود، و در میان آنچه در کالج سنت جان کیمبریج از بروک باقی مانده است نسخه خطی انتشار نایافته‌ای هست به نام On Musick («در موسیقی»). این آن مقاله‌ای نیست که می‌گویند تیلر پیش از 1092 به «انجمن سلطنتی» تقدیم داشت، بلکه جزئی از یک اثر مشترک طرح ریزی شده به قلم تیلر و آیزک نیوتن و دکتر پیوش است، که ظاهراً قرار بود شخص اخیر درباره‌ی جنبه‌های غیرعلمی موسیقی مطالبی بنویسد.
تیلر پیش از آن که در 1080 به کالج سنت جان، که ریاضیدانان عمده‌‌‌‌‌‌‌اش جان میچین و جان کیل بودند، وارد شود در خانه با معلم خصوصی درس می‌خواند. تیلر در 1088 درجه لیسانس در حقوق گرفت، در 1091 به عضویت «انجمن سلطنتی» برگزیده شد، و درجه‌ی دکتری در حقوقی در 1093 به او اعطا شد. در دی ماه 1093 به دبیری «انجمن سلطنتی» انتخاب شد، اما در مهرماه 1097، به دلیل ناتندرستی، و شاید هم به سبب بی‌علاقه شدن به وظیفه‌ای تا حدّی محدودکننده، از آن سمت کناره گرفت. چند بار، هم به قصد درمان و هم به دلایل اجتماعی، به فرانسه رفت. حاصل این سفرها مکاتبه‌ای علمی با پیئر رمون دو مونمور، درباره‌ی رشته‌ی نامتناهی و کار مونمور در احتمالات، بود. در این زمینه، تیلر در فرصتهائی رابط میان مونمور و آبرائام دو مواور بود. و. و. راوس بال خبر می‌دهد که مسأله «گردش أسب» [در شطرنج]را، پس از آن که تیلر فکر آن را به مونمور و دومواور القا کرد، آنان برای اولین بار حل کردند. (1)
تیلر در 1093 نخستین مقاله‌ی مهم خود را در Philosophical Transactions of the Royal Society («مذاکرات فلسفی انجمن سلطنتی») منتشر کرد؛ اما از مکاتبه‌‌‌‌‌‌‌اش با کیل برمی‌آید که آن مقاله را در واقع در 1087 نوشته بود. مقاله به تعیین مرکز ارتعاش یک جسم ارتباط داشت، و هم نمونه کار تیلر بود و هم نمونه کارهای آن زمان، چون به یکا مسأله مکانیک پرداخته بود، نمادگذاری نقطه‌ای نیوتنی را بکار برده بود، و به مشاجره‌ای با یوهان یکم برنولی کشانیده شد.
از جنبه‌ی ریاضی، فاصله‌ی زمانی 1093 تا 1098 بارورترین دوره‌ی کار تایلر بود. نخستین چاپ هر دو کتاب ریاضی او، Methodus incrementorum directa et inversa(«روش نموّ مستقیم و معکوس») و Linear Perspective («مناظر و مرایای خطی») در 1094 انتشار یافت. ویرایش دوم آنها، بترتیب، در 1096 و 1098 منتشر شد. سیزده مقاله هم، که بعضی از آنها نامه و بررسی کتاب بود، در سالهای 1091 انتشار یافت. ویرایش دوم آنها، بترتیب، در 1096 و 1098 منتشر شد. سیزده مقاله هم، که بعضی از آنها نامه و بررسی کتاب بود، در سالهای 1091 تا 1103 در «مذاکرات فلسفی...» به چاپ رسید. این مقاله‌ها مشتمل بود بر گزارش آزمایشهای مربوط به مویینگی، مغناطیسی، و دماسنج، تیلر در واپسین سالهای زندگی به نوشته‌های دینی و فلسفی روی آورد. کتاب سومش، Contemplatio philosophica (تأمّلات فلسفی») را نوه‌‌‌‌‌‌‌اش پس از مردن او در 1172 چاپ کرد.
تیلر بیشتر برای قضیه یا روشی بسط تابعها به رشته‌های نامتناهی، که معمولاً نام او را بر خود دارد، شهرت یافته است. چون قضیه‌ای است مهم، و از آنجا که مورد اختلاف است که تا چه مایه اعتبار تدوین این قضیه را می‌توان سهم تیلر دانست، طرحی از نحوه‌ی اشتقاق این قضیه به توسط او را در اینجا می‌آوریم. بحث گزاره هفتم، قضیه‌ی سوم از «روش نموّ ...» متضمن این حکم است:
هرگاه z نموّ کند و به z+nz برسد، آنگاه x برابر است با
تیلر نقطه‌های زیر متغیرها را برای نمایش نموّها یا تفاضلهای متناهی، و نقطه‌های بالا را برای نمایش نرخهای تغییر (fluxions) نیوتن بکار می‌برد.
حکم بالا بیانی است از فورمول درونیابی (interopolation) نیوتن که در لم 5 کتاب سوم Principia («اصول») او داده شده است. این بیان نمادگذاری بهتری دارد. این فورمول اولین بار در 1059، در نامه‌ای از جیمز گرگوری به جان کالینز، ظاهر شده بود. (2) تیلر این دستور را به شیوه‌ای استقرایی از جدول تفاضلهائی که برحسب x و تفاضلهای متوالی آن نوشته شده بوده است بیرون آورده بود.
آنگاه تیلر این جانشانیها را معمول داشت:

تا این حکم را نتیجه بگیرد: «وقتی که z در حال رشد z+v شود، x که همان طور نمو می‌کند به صورت زیر در می‌آید:
گام آخر در استنتاج و بیان اصلی تیلر از قضیه، که با نمادگذاری جدید به صورت زیر است،

در فرع دوم قضیه‌ی سوم بدین صورت نتیجه می‌شود: «به ازای نموهائی که، v. بتدریج به صفر می‌گرایند نرخهای تغییر را که متناسب با آنها هستند [نوشته] همه v،v’،v’’، نیز vها را مساوی کنید، آنگاه در هر زمانی که z، که به نحوی یکنواخت در حال رشد است، برابر خواهد z+v شود تا برابر شد با
این عبارت آنگاه به صورت جدید رشته تیلر در می‌آید که توجه کنیم که با «سیلان یکنواخت زمان» z مقداری ثابت است و و v نموّ متغیّر مستقل است.
اولین بیان این قضیه را تیلر در نامه‌ی 4 امرداد 1091 به جان میچین عرضه داشته بود، نامه‌ای که هـ. بیتمن آن را تجدید چاپ کرد. در آن نامه تیلر متذکر شده بود که این کشف پیامد اشاره‌ای از طرف میچین ضمن صحبتی است که روزی در قهوه خانه‌ی چایلد باهم داشته‌اند. این صحبت درباره‌ی استفاده از «رشته‌ی سر آیزک نیوتن» برای حل مسأله‌ی کپلر و نیز «روش دکتر هالی در استخراج ریشه ها»ی معادلات چند جمله‌ای بوده است. این «روش» در Transactions («مذاکرات») سال 1073/ 1694 منتشر شده بود.
این نامه انصاف و توجه و آشنایی تیلر با نوشته‌های منتشر شده را نشان می‌دهد. وی فورمول خود را برای بسط تابعها برحسب رشته‌ها و برای حل معادله‌های دیفرانسیئل بکار برد، اما چنین می‌نماید که از نقشی اساسی که بعد به وسیله‌ی لاگرانژ برای این فورمول معین شد هیچ بوئی نبرده و از ضعف موجود در استنتاج آن دغـدغه‌اى به خاطر راه نداده بود. کالین مکلارین خاطرنشان ساخته است که حالت خاصی از رشته‌ی تیلر که اکنون به رشته یا قضیه‌ی مکلارین معروف است در صفحه‌ی 27 ویرایش 1096/ 1717 «روش نموّ...» مورد بحث تیلر قرار گرفته بوده است. اصطلاح «رشته تیلر» را احتمالاً اولین بار لوئیلیه در 1165 بکار برده بود، هرچند کوندورسه در 1163 از تیلر و د/ آلامبر، هر دو، نام برده بود. (3)
با این که در آن روزگار رشته‌های نامتناهی بسیار مطرح بود، و خود تیلر سرچشمه‌ها و انگیزه‌های متعدد برای کاری که کرده بود برمی‌شمرد، به نظر می‌رسد که وی فورمول خود را بی‌وابستگی به دیگران پرورده باشد، و اولین کسی بود که آن را به نحوی صریح و به صورتی کلی بیان کرد. پئانو ادعای اولویت یوهان یکم برنولی را براساس انتگرالگیری‌ای بنا گذاشته بود که در آن برنولی در 1073 (4) از رشته‌ای نامتناهی استفاده کرده بود. پرینگسهایم ثابت کرد که ممکن است با تغییرهائی در متغیر قضیه‌ی تیلر را از فورمول برنولی نتیجه گرفت. اما به نظر می‌رسد که هیچ نشانه‌ای از این که تیلر چنین کرده باشد، یا برنولی به آخرین صورت قضیه‌ی تیلر یا کلیت آن پی برده باشد، وجود ندارد. از سوی دیگر، گزاره یازدهم از قضیه چهارم تیلر مستقیماً هم ارز است با فورمول انتگرالگیری برنولی، اما، روش استنتاج تیلر از روش استنتاج برنولی به نحوی فرق دارد که وی را مستحق داشتن تقدّم در روش انتگرالگیری جزء به جزء می‌سازد.
تیلر یکی از معدود ریاضیدانان انگلیسی بود که توانستند در منازعاتی که با حریفان اروپایی خود داشتند تسلیم نشوند، هرچند با همه‌ی این احوال او همیشه پیروز نبود. برنولی خاطرنشان کرد که یک مسأله انتگرالگیری که تیلر برای چالشگری به «ریاضیدانان نا انگلیسی» عرضه کرده بود قبلاً به وسیله‌ی لایب نیتس در Acta eruditorum کامل شده بوده است. جرّ و بحث آنان در مجله‌ها گاهی همراه با عبارتهای تند بود و، یک زمان، به یک شرطبندی 50 گینی (52/5 لیره‌ی انگلیسی) کشانیده شد. وقتی که برنولی در نامه‌ای خصوصی این فکر را عرضه کرد که بحثهایشان با عبارتهائی «آقامنشانه»تر صورت پذیرد، تیلر جواب داد که مقصودش سروصدا راه انداختن و «خشم نشان دادن» بوده است.
«روش...» چندین موضوع تراز اول اضافی داشت که اهمیتشان را در آن زمان نمی‌توانستند درک کنند. اینها عبارت بودند از شناخت و تعیین یک جواب تکینه (sigular) برای یک معادله‌ی دیفرانسیئل، (5) فورمولی که متضمن تغییری در متغیرها بوده مشتقهای تابعی را به مشتقهای تابع معکوس آن وابسته می‌سازد، تعیین مرکز نوسان و مرکزکوب (percussion)، انحنا، و مسأله‌ی تار مرتعش. سه مسأله‌ی آخر پیش از آن در «مذاکرات فلسفی» انتشار یافته، همان‌گونه که یک کسر مسلسل برای محاسبه لوگاریتم منتشر شده بود.
نیوتن از راه تعیین مرکز انحنا به عنوان نقطه حدّی تقاطع دو قائم انحنا را مورد توجه قرار داده بود. با این که موضوع تا 1115 منتشر نشده بود، تیلر با کار نیوتن آشنایی داشت، چون، پس از بکار بردن فورمول خود، خاطرنشان ساخت که نتیجه‌ها با نتیجه‌هائی که نیوتن برای مقطعهای مخروطی داده بوده است وفق دارد. با این همه، تیلر شعاع انحنا را به عنوان شعاع دایره‌ای حدی می‌دانست که بر سه نقطه از یک منحنی بگذرد، و انحنا را با مسأله زاویه تماس، که به زمان اقلیدس می‌رسید، مرتبط می‌ساخت. آنگاه انحنا و شعاع انحنا را برای بدست دادن اولین راه حلی برای ارتعاشات متعارفی ساده‌ترین حالت تار کشیده بکار برد. در گزاره‌های بیست و دوم و بیست و سوم نشان داد که با این شرایط هر نقطه به سان آونگی چرخزادی (سیکلوئیدی) مرتعش خواهد شد، و دوره‌ی تناوب ارتعاش را برحسب طول و وزن تار و وزنه‌ای که به تار آویخته است معین کرد. تقریباً تردیدی نیست که کار تیلر بر نویسندگان بعدی اثر گذاشته است، زیرا که، مثلاً، برنولی در نامه‌ای که در این موضوع به پسرش دانیئلی نوشته است از تیلر یاد کرده است.
«روش...» تیلر را به صورت یکی از بنیادگذاران حساب تفاضلهای متناهی، و یکی از اولین کسانی که آن را در درونیابی و در جمع کردن رشته‌ها بکار برده‌اند، معرفی می‌کند.
تیلر به تاریخچه‌ی فشارسنج بدین نحو کمک کرد که استنتاج تغییر فشار جوی را به صورت تابعی لوگاریتمی از فراز (ارتفاع) توضیح داد، و نیز به بررسی شکست نور کمک کرد.
کتاب تیلر درباره‌ی مناظر و مرایای خطی، مانند همه‌ی نوشته‌های او، چنان خلاصه بود که برنولی در وصف آن گفت: «دشوار فهم برای همه نامفهوم برای اهل فن که کتاب بخصوص برای آنان نوشته شده است.» (6) حتی ویرایش دوم، که تعداد چهل و دو صفحه‌ی چاپ اول را تقریباً برابر کرده بود، از این بابت سودی نبخشید. با این همه، تأثیر آن بسیار بود زیرا که چهار بار چاپ شد، سه بار ترجمه شد، و دوازده نویسنده بیست و دو چاپ از شروح مبسوط مبتنی بر مفهومهای تیلر را تهیه کردند. وی نظریه‌ی مناظر و مرایای خود را به نحوی صوری و دقیق به صورت سلسله‌ای از قضایا و براهین پرورد. برجسته‌ترین و ابتکاریترین اندیشه‌هایش در این زمینه عبارت بود از تعریف و کاربست نقطه‌های ناپدید شونده و خطهای ناپدید شونده برای همه‌ی خطها و صفحه‌ها، و پروردن نظریه و عمل برای مسأله عکس مناظر و مرایا که بعداً شالوده‌ای شد برای کار لمبرت و برای ظهور نقشه برداری و رسّامی به وسیله‌ی عکاسی (فوتوگرامتری). همچنین تیلر از فکر مرتبط ساختن نقطه‌های تقاطع بی‌نهایت دور با خطوط موازی آزادانه استفاده کرد، و برآن شد که روشهائی برای ترسیم مستقیم شکلهای هندسی در مناظر و مرایا ابداع کند.
بررسی زندگی و کار بروک تیلر آشکار می‌سازد که خدمات وی به پیشرفت ریاضیات بسیار بزرگتر از آن بوده است که از پیوستن نام او به قضیه‌ای بتوان بدان پی برد. کارش خلاصه و دنبال کردن آن دشوار بود. تعداد حیرت انگیز مفاهیم عمده‌ای که وی به بررسی گذرای آنها پرداخت، یعنی نخست آنها را مطرح کرد، اما سرانجام از منقح کردن آنها بازماند، مایه افسوس و دریغ می‌شود که چرا به علت وضع مزاجی، نگرانیهای خانوادگی، اندوهگینی، یا عاملهای غیرقابل ارزیابی دیگر، از جمله ثروت و تسلط پدری، قسمتی از عمر بنسبت کوتاه وی که از جنبه ریاضی بارآور بود محدود شد.

کتابشناسی

یکم. کارهای اصلی.

منبع عمده‌ی اطلاعات زندگینامگی و همچنین تنها کتاب فلسفه‌ای که از تایلر منتشر شده عبارت است از: Contemplatio philosophica: A Posthumous Work of the late Brook Taylor, L.L.D. F.R.S. Some Time Secretary of the Royal Society to Which Is Prefixed a Life of the Author by his Grandson, Sir William Young, Bart., F.R.S.A.S.S. with an appendix containing Sundry Original Papers, Letters from the Count Raymond de Montmort, Lord Bolingbroke, Mercilly de Villette, Bernoulli, & C. (لندن، 1793).
این کتاب به انضمام مراسلات وی در زمینه‌ی ریاضیات در کتابی منتشر شد به نام Brook Taylor der Mathematiker und Philosoph، از هاینریش آوختر (وورتسبورک، 1937). در این دو کتاب تصویر تیلر در مقام دبیر انجمن سلطنتی (1714) به عنوان تصویر نخست چاپ شده است. شاید این تصویر از لوحهای گرفته شده باشد، زیرا امضای «ر، ارلم، اسکالپ» بر آن است. در این تصویر آمده است: «از تصویر اصلی که در تملک لیدی یانگ است». تصویری تقریباً مشابه تصویر نخست که نام «ج، دادلی، اسکالپ» بر آن زده شده مجدداً درTMT، 27 (ژانویه‌ی 1927)، 4، چاپ شده است. همچنین در آن آمده است: «لندن، تاریخ نشر 26 مارس 1811 توسط ج، تیلر،‌های هالبورن».
چارلز ریچارد وایلد، در A History of thd Royal Society (لندن، 1848)، در زمره‌ی تصویرهائی که در تملک انجمن سلطنتی است تصویری از تیلر را نام می‌برد که آمیکونی نقاشی کرده است، اما در The Record of the Royal Society، چاپ سوم (لندن، 1912)، در «فهرست نقاشیهای رنگ روغنی در تملک انجمن»، این مشخصات آمده است: «بروک تیلر، دکتر در حقوق و عضو انجمن سلطنتی (1685-1731). اهدایی سِر و یانگ، بارت.، عضو انجمن سلطنتی، نقاش گمنام.»
دو چاپ کتاب Methodus تیلر، که در بالا ذکر شد، و همچنین Linear Perspective در لندن منتشر شدند. اطلاعات کامل درباره‌ی ویرایشها و اضافات این کتاب در مقاله‌ای آمده است به نام « Brook Taylor and the Mathematical Theory of Linear Perspective»، از پ. ا. جونز، درAMM، 58 (نوامبر 1951)، 597-606.
اطلاعات بیشتر درباره‌ی مکاتبات تیلر را می‌توان در مقالات ذیل یافت: « The Correspondence of Brook Taylor»، از هـ. بیتمن، در BMat، دوره‌ی سوم، 7 (1906-1907)، 367-371؛ «An Interesting Find»، از ادوارد م. لنگلی، در TMG، چهارم (ژویه‌ی 1907)، 97-98؛ «Der Mathematiker Abraham de Moivre»، از ایوو اشنایدر، در AHES، 5 (1968/ 1969)، 177-317.

دوم. خواندنیهای فرعی.

برای آگاهی از جزئیات یکی از جرّو بحثهای تیلر- « Giovanni Bernoulli e le sfida di Brook Taylor»، از لوئیچی کونته، در AHS، 27 (یا 1 از دوره‌ی جدید)، 611-622.
جامعترین تاریخچه از قضیه‌ی تیلر در مقاله‌ای آمده است به نام « Zur Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes»، از آلفرد پرینگسهایم، در BMat، دوره‌ی سوم، یکم (لایپ تسیش، 1900)، 433-479.

پی‌نوشت‌ها:

1- Mathematical Recreation and Essays («تفریحات و مقالات ریاضی»)، از و.و. راوس بال، (لندن، 1912)، 175.
2- James Gregory Tercentenary Memorial Volume («یادنامه‌ی سیصدمین سال جیمزگرگوری»)، نوشته‌ی هـ.و. ترنبول (لندن، 1939)، 119-120.
3- Storia delle matematiche («تاریخ ریاضیات»)، از جینو لوریا، چاپ دوم (میلان، 1950)، ص 649.
4- Formulario mathematico («کتاب دستورهای ریاضی»)، از ج. پئانو، چاپ پنجم (تورینو، 1906-1908)، 303-304.
5- Ordinary Differential Equotion («معادله‌ی دیفرانسیئل معمولی»)، از ا. ل. اینس (نیویورک، 1944)، 87.
6- «تأمّلات فلسفی»، 29، اقتباس از Acta eruditorum.

منبع مقاله :
گیلیپسی، چارلز کولستون، (1387) زندگینامه‌ی علمی دانشوران، ترجمه احمد آرام ... [و دیگران]، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول