قوانین توانی و عام بودن

برهم كنش‌های ساده‌ای پیدا می‌شوند كه خواص پیچیده‌ای دارند، مثلاً سیستم‌های دینامیكی‌ای كه سه متغیر مستقل بیشتر ندارند ولی رفتار آشوبناك نشان می‌دهند، یعنی عملاً (لااقل در زمان‌های طولانی) غیر قابل پیش بینی‌اند. برعكس، برهم كنش‌های پیچیده‌ای هم پیدا می‌شوند كه خواص ساده‌ای دارند. این حالت به ویژه در سیستم‌هایی دیده می‌شود كه از تعداد زیادی زیر واحد برهم كنش كننده تشكیل شده‌اند. مثال مهمی از این وضع، رفتار مواد در نقطه بحرانی است؛ در این نقطه دو یا چند فاز ماكرویكوپیك از یكدیگر قابل تشخیص می‌شوند. در اینجا نقش بسیاری از جزئیات دقیق برهم كنش بین زیر واحدهای سازنده سیستم در تعیین خواص كپه‌ای سیستم از بین می‌رود.
بیست و پنج سال پیش بود كه دو مفهوم مقیاس بندی و عامیت برای توضیح این پدیده عجیب (پدیده بحرانی) ابداع شد. سیستم‌ها در نزدیكی نقاط بحرانی خواص خود – شبیهی نشان می‌دهند؛ یعنی كه چنین سیستم‌هایی تحت تجانس (تبدیل مقیاس) تا حدی ناوردا هستند. این ویژگی را مقیاس بندی می‌نامند. از سوی دیگر، بسیاری از سیستم‌ها كه جزئیات بر هم كنش آن‌ها كلاً با هم متفاوت است، در نزدیكی نقطه بحرانی رفتار اساساً یكسانی دارند. علت آن است كه در نقطه بحرانی جزئیات میكروسكوپیك برهم‌كنش اهمیت اساسی ندارد، بلكه ماهیت مسیرهایی كه نظم از طریق آن‌ها از یك زیر واحد به زیر واحد دیگر منتشر می‌شود مهم است. این رفتار یكسان سیستم‌ها را عامیت می‌نامند.
تكامل این مفاهیم نتیجه تركیب آزمایش و مدل‌های پدیده شناختی با مطالعه تفصیلی یك مدل ساده ریاضی، مدل ایزینگ، است. مدل ایزینگ شبكه‌ای است كه در هر جایگاهش یك اسپین دارد، هر اسپین می‌تواند در یكی از دو جهت بالا یا پایین قرار بگیرد. برهم‌كنش فرومغناطیسی ایزینگ شكلی ساده دارد: هر دو اسپین مجاور هم جهت (هر دو بالا یا هر دو پایین) یك سهم منفی در انرژی سیستم دارند. پس كمینه انرژی سیستم زمانی است كه همه اسپین‌ها هم جهت باشند. اگر دمای شبكه T باشد، سیستم در حالت كمترین انرژی نمی‌ماند، و حالت‌های دیگر هم برای آن قابل حصول‌اند. می‌توان فرض كرد كه این اسپین‌های كلاسیك نماینده دوقطبی‌های مغناطیسی سازنده مواد فرومغناطیس‌اند. در این صورت مدل ایزینگ مدل ساده‌ای برای مواد فرومغناطیس است. از بررسی مدل ایزینگ نكته جالبی روشن می‌شود: در یك دمای خاص (دمای بحرانی Tc) همبستگی بین جهت‌گیری اسپین‌ها در نقاط دور به طور قابل ملاحظه‌ای زیاد است. این پدیده نیاز به توضیح دارد: ما از مدلی شروع كردیم كه بر هم‌كنشی كوتاه برد دارد، اما همبستگی‌ای پیدا كردیم كه تا بینهایت ادامه دارد. این چطور ممكن است؟ قاعدتاً همبستگی بین نقاطی كه فاصله‌شان از هم T است، C(r)، باید به طور نمایی كم شود، یعنی C(r)=exp{-r/£}
£، طول همبستگی، طول مشخصه‌ای است كه در فواصل بیشتر از آن، تابع همبستگی عملاً قابل چشم‌پوشی می‌شود. هم آزمایش و هم محاسبه نشان می‌دهد كه واقعاً هم تا جایی كه سیستم در نقطه بحرانی نباشد همبستگی به طور نمایی كم می‌شود. در Tc، همبستگی به شكل C(r)=r^(-η) در می‌آید، كه η را نمای بحرانی می‌نامند. در اینجا دیگر هیچ طول مشخصه‌ای وجود ندارد كه از آن به بعد همبستگی از بین برود. چنین سیستمی را بدون مقیاس یا مستقل از مقیاس می‌نامند.
نتایج تجربی نشان می‌دهند كه نماهای بحرانی، مثلη، به شدت به بعد سیستم و ویژگی‌های تقارنی كلی زیر سیستم‌های سازنده آن بستگی دارند و مستقل از سایر جزئیات سیستم‌اند. توضیح قانون توانی تابع همبستگی این است كه در سیستم‌های بیش از یك بعدی، در نقطه بحرانی تعداد مسیرهایی كه دو اسپین را به هم مربوط می‌كنند زیاد می‌شود، همبستگی در هر مسیر به طور نمایی كم می‌شود اما تعداد این مسیرها هم به طور نمایی زیاد می‌شود. نتیجه این دو، كاهش آرام توانی است. روش شمارش دقیق تعداد مسیرها در دهه 1970 معرفی شد و به كمك آن معادله حالت مدل ایزینگ در حالت مقیاس بندی به طور كامل محاسبه شد. این معادله حالت اخیراً به آزمایش گذاشته شده است. برای این كار، بك و همكارانش زیر لایه‌ای از تنگستن می‌گیرند و روی آن لایه نازكی از آهن تك حوزه رشد می‌دهند. این لایه، لایه اتمی كاملی است كه روی آن شبكه‌ای دوبعدی از قطعاتی با اشكال نامنظم قرار دارد. سپس نماهای بحرانی مشخصه‌ این سیستم تقریباً دو بعدی را می‌سنجند و با استفاده از آن معادله حالت سیستم در وضعیت مقیاس بندی را به دست می‌آورند. نكته مهم این است كه این سیستم دقیقاً همان مدل ایزینگ نیست، با این حال معادله حاصل از آزمایش تقریباً با نتیجه محاسبه سازگاری كامل دارد. این نتیجه‌ای است از عامیت. زمانی تصور می‌شد كه حالت بدون مقیاس فقط طیف محدودی از پدیده‌های فیزیكی را در بر می‌گیرد. اما در سال‌های اخیر طیف سیستم‌هایی كه معلوم شده است همبستگی بین ذرات آن‌ها توانی است، به طور چشم‌گیری گسترده شده است؛ از همبستگی زوج‌های سازنده DNA، انبساط ریه، و فاصله زمانی بین تپش‌های قلب گرفته تا سیستم‌های پیچیده‌ای كه تعداد زیر واحدهای بر هم كنش‌گرشان آن‌قدر زیاد است كه از خودشان اراده آزاد نشان می‌دهند؛ مثل رشد شهرها و حتی اقتصاد. اینكه این سیستم‌های كاملاً متفاوت نماهای بحرانی مشابهی دارند بازتاب عامیت است. علت این پدیده احتمالاً این است كه مسیرهای برهم‌كنش بین زیر واحدهای سازنده این سیستم‌ها، بیش از جزئیات دقیق برهم‌كنش در تعیین رفتار جمعی مشاهده شده در آن‌ها مهم است. این درست همان چیزی است كه بك و همكارانش دریافته‌اند؛ مدل ساده ایزینگ به خوبی مسیرهای برهم‌كنش را در آزمایش پیچیده‌تر و واقعی آن‌ها توصیف می‌كند.