هندسة احتمالات و مکانیک کوانتومی

اثر هندسی جدیدی در مکانیک کوانتومی توسط مایکل بری، از دانشگاه بریستول انگلستان، کشف شده است. این اثر هم مانند فاز مشهور بری، در سیستم‌های کوانتومی‌ای روی می‌دهد که دست‌خوش تحولی بی در‌رو و بدون اتلاف باشند. منتها نتیجة جدید این است که اگر وابستگی به زمان به صورت‌های خاصی باشند، عامل دامنه هم می‌تواند ماهیتی هندسی داشته باشد.
برای توضیح مطلب بد نیست که قرینة کلاسیک فاز هندسی کوانتومی را، که چیزی جز آونگ معروف فوکو نیست، به اختصار شرح بدهیم. وزنه‌ای سنگین با سیمی بلند از نقطه‌ای از سقف اتاق آویزان است و با آهنگی، مثلاً یک نوسان کامل در ثانیه، تاب می‌خورد. فرض کنید که قرار است آونگ را در لحظه‌ای معین رها کنید و ترتیبی داده‌اید که نوسان آن در صفحة شمال ـ جنوب باشد. فرض کنید که پس از رها کردن آونگ ناگهان خوابتان به برد و به طریقی معجزه‌آسا درست 24 ساعت بعد بیدار شوید. آیا می‌توانید فقط با نگاه کردن به آونگ، بگوید که یک روز گذشته است؟
چون زمین درست یک دور حول محورش چرخیده است تردیدی نیست که همه چیز باید به جای اولش برگشته باشد، اما راستش را بخواهید وزنه در راستای شمال ـ جنوب حرکت نخواهد کرد! در واقع صفحة ظاهری نوسان به آرامی و پیوسته دوران می‌کند. این دوران را با چند دقیقه نگاه کردن به آونگ می‌توان دید. (دورة تناوب این دوران به عرض جغرافیایی بستگی دارد) زاویة میان صفحة آنی نوسان و صفحة اولیه، همان قرینة کلاسیک فاز کوانتومی بری است. (نظریة عمومی این قبیل زاویه‌ها را، که معمولا زاوایای هانی نامیده می‌شوند، اولین بار جانی هانی، که او هم عضو بخش فیزیک دانشگاه بریستول است، ارائه کرد.) از همة این‌ها گذشته نمایش ریاضی همة فاز‌ها به صورت زاویه است.
در این مثال خاص، معنی "بی‌در‌رو" یا آهسته بودن تغییر این است که اتاقی که آونگ در آن آویخته، خود در فضا ثابت نیست بلکه به آرامی مسیری دایره‌ای را به همراه زمین می‌پیماید. دورة تناوب زمین در مقایسه با دورة تناوب آونگ بزرگ است. اثرهای بری و هانی معمولا وقتی بروز می‌کندد که "محیط" یک سیستم دینامیکی به آرامی تغییر می‌کند. کلمة مهم دیگر، یعنی "هندسی" حاکی از آن است که این اثر به جزئیات دینامیکی مسئله بستگی ندارد بلکه تنها وابسته به بعضی نمود‌های هندسی مسیری است که سیستم پیموده است.
زوایای فاز نمود‌هایی آشنا در پدیده‌های اپتیکی مثل تداخل و پراش‌اند و این واقعیت که ذرات کوانتومی (مثل الکترون‌ها) هم آثار مشابهی از خود بروز می‌دهند حاکی از این است که توصیف ریاضی آن‌ها باید با کمیتی به نام تابع موج، که هم فاز دارد هم دامنه، صورت بگیرد. وقتی یک سیستم کوانتومی در محیطی واقع شود که به آرامی تغییر می‌کند، تابع موجش می‌تواند دچار تغییر فازی بشود که ماهیتی هندسی دارد، و این همان فاز بری است.
ساده‌ترین نمونة فاز بری از سیستمی حاصل می‌شود که فاصله‌ای دورتر (از فرضاً بالا و پایین) دارد. دینامیک همة این قبیل سیستم‌ها علی‌الاصول معادل دینامیک یک دو قطبی مغناطیسی در یک میدان مغناطیسی خرجی است. اگر این میدان به آرامی با زمان تغییر کند محیطی خواهیم داشت "با تغییرات بی‌در‎رو". سیستمی دو ترازه را در نظر می‌گیریم که در آغاز در حالت "بالا" است. اگر تغییر میدان مغناطیسی به اندازة کافی آرام باشد، سیستم در همان حالت کوانتومی اولیه باقی خواهد ماند و انتظار می‌رود که با گذشت زمان، تابع موجش همان تابع موج مربوط به حالت "بالا" باقی بماند. اما این حرف تقریباً مثل این است که بگوییم آونگ فوکو در همان صفحة اولیه نوسان می‌کند که البته چندان درست نیست! تابع موج در این جریان یک فاز اضافی اختیار می‌کند که دقیقاً همان فاز بری است، فازی مشابه زاویة فوکو ـ هانی.
حتی اگر میدان مغناطیسی خیلی آرام هم تغییر کند احتمال (بسیار کمی) وجود دارد که سیستم در حالت "بالا" باقی نماند و به حالت پایین گذر کند. کشف جدید بری این است که فرمول احتمال وقوع این گذر متضمن یک عامل هندسی است. توجه کنید که در این مورد، عامل هندسی در دامنة تابع موج ظاهر می‌شود نه در فاز آن؛ پس نام "عامل هندسی دامنه" با مسمی است.
این اثر هندسی دامنه تنها در صورتی صفر نیست که وابستگی زمانی میدان مغناطیسی به گونه‌ای باشد که حرکت میدان تقارن‌های خاصی داشته باشد. منظور از حرکت میدان حرکت نوک بردار B(t) در فضایی است که محورهایش سه مؤلفة میدان مغناطیسی‌اند.
چون احتمال گذاری که در اثر تغییر بی‌در‌رو القا می‌شود ناچیز است، آشکارسازی کشف جدید بری چالش دشواری برای آزمایش‌گران خواهد بود. عامل فاز بری، که در آغاز موضوع نسبتاً و ظریفی می‌نمود، به سرعت و به زیبایی تمام ثابت شد. در واقع چنان شد که فاز بری کاربست‌های وسیعی در تمام فیزیک پیدا کرد، که چند تا از این موارد عبارتند از: مکانیک کوانتومی ذرات با اسپین کسری در دو بعد، اندازه حرکت‌های زاویه‌ای مداری به ظاهر نیمه صحیح در سیستم‌های مولکولی خاص، و دقایقی در نظریة میدان‌های کوانتومی. بخشی از جاذبة این کار کشف نمودهای هندسی نظریة کوانتومی است. "خلوص" هندسه برای نظریه‌پرداز جذبة شدیدی دارد. باید اقرار کنیم، با آن که این اثر جدید بدون شک زیبا و جالب توجه است، ما در این مرحلة ابتدایی، برای عامل دامنة بری آن حوزة کاربرد وسیعی را که فاز هندسی او داشته است نمی‌بینیم.