گروه در جبر

در ریاضیات، گروه، مجموعه‌ای است که یک عمل دوتایی ازقبیل جمع،ضرب و... روی آنها تعریف می‌کنند.برای مثال مجموعه اعداد صحیح یک گروه تحت عمل جمع است. شاخه‌ای از ریاضیات که بر روی گروهها مطالعه می‌کند، نظریه گروه‌ها است.از نظر تاریخی مبدا این نظریه به کارهای اواریست گالوابرمی‌گردد.او همچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از جایگشت استفاده کرده بود. گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل میدان و فضای برداری دیده می‌شوند و ابزار مهمی برای مطالعه تقارن است. به همین دلیل است که نظریه گروه‌ها به عنوان یکی از مهترین مباحث در ریاضیات مدرن است. بدون تردید یکی از جذاب ترین ویژگیه‌ای ریاضیات جدید دوگانگی مابین موضوعات مختلف در آن است. برای مثال اگر جبر، آنالیز، توپولوژی و یا منطق ریاضی را مطالعه کنیم، مشاهده می‌کنیم که ایده‌های خاصی در تمام این شاخه‌ها مطرح می‌شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده‌هاست که همه جا ظاهر می شود.علی‌الخصوص درمطالعه‌ی اشیاء توپولوژیک که پوانکاره با بوجود آوردن علم توپولوژی جبری گام بزرگی را در پیشرفت هندسه و توپولوژی برداشت. بعلاوه در رشته های دیگری از علوم، مانند شیمی، مکانیک کوانتوم و فیزیک ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می رود، گروه‌ها اهمیت بسزایی دارند.

تعریف

فرض کنید که G یک مجموعه و * یک عمل دوتایی یک تابع از Gبه توی G بوده و * دارای خواص زیر باشد:

عمل * شرکت پذیری باشد ،

G تحت * دارای عضو خنثی باشد : عضوی مانند e در G وجود دارد به طوریکه به ازای هر x در G داریم: x*e=e*x=x ،
G تحت * دارای عضو معکوس باشد : به ازای هر x عضو در G عضوی مانند y در G وجود دارد به طوریکه : x*y=y*x=e ،
در اینصورت G همراه با عمل دوتایی * گروه نامیده می شود و آنرا با (G, * ) نمایش می دهیم.
توجه کنید که از شرط دوم نتیجه می‌گیریم که G غیرتهی است.
عضو e در G عضو همانی نام دارد که فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آنرا عضو همانی بنامیم. عضو y در شرط سوم معکوس x نام دارد.
هر عضوی از یک گروه مانند x فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می توانیم آنرا معکوس x بنامیم.
عضو منحصر بفرد همانی e معادلات x*e=e*x=x را به ازای هر x در G ارضا می کند. حال آنکه Y در شرط سوم به x بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز G هیچ‌وقت نمی توانند معکوس های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت x, معکوس های متفاوتی همچون y خواهند داشت.
همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که * یک عمل جابجائی است. گروههایی که عمل آنها خاصیت جابجایی است گروههای آبلی نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1829 )ـ 1802 صورت گرفته است.گروه‌هایی را که آبلی نیستند ، گروه‌های نا‌آبلی گویند.
مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می کردند دارای مشخصه های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع اریک تمپل بل یادآور شده است که هرزمان گروهها خود را ظاهر می سازند و یا می توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای دریختگی ها درخشش می یابد.

مثال‌هایی از گروه‌ها

مجموعه اعداد صحیح با عمل جمع یک گروه آبلی است.
مجموعه اعداد حقیقی با حذف عدد صفر با عمل ضرب یک گروه آبلی است.
مجموعه تقارن‌های هر چند وجهی تشکیل یک گروه ناآبلی می‌دهد.
به ازای هر عدد طبیعی n ،‌ دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه n با جمع ، گروه است.
منبع: http://daneshnameh.roshd.ir
/س