منطق رياضي

منطق جمله ها يا (sentential logic ) مجموعه قواعدی راجع به ارتباط جملات با یکدیگر است .در منطق جمله ها به ساختار داخلي جمله ها كاري نداريم و آنها را به حال خود رها مي كنيم . به مثال زير توجه كنيد :
a) برادرم هميشه يا سردرد دارد يا كمردرد.
b) برادرم سردرد ندارد
c) برادرم كمردرد دارد
ساختار صوري اين مثال و همه موارد مشابه آن چنين است :
a) P يا Q
b) چنين نيست كهQ
c) پس P
همانطور كه ملاحظه مي كنيد ، اين استنتاجي است كه براي پيدا كردن نمونه هاي آن بايد بدنبال يك جمله باشيم نه يك كلمه . مثلا بجاي (P) يك جمله خبري و بجاي (Q) يك جمله خبري ديگر مي گذاريم. صدق چنين گزاره ها و استنتاجاتي آزمودني و تجربي نيست يعني براي پيداكردن صدق يا كذب آن نبايد به سراغ مفهوم و كلمات داخل جملات برويم. و آنها را آزمايش كنيم . صادق بودن اين گزاره ها و استنتاج ها هيچ ارتباطي با معناي جملات (P) و (Q) ندارد . اين استنتاج منطقا صادق است. در منطق قدیم اين نوع استنتاج را اصطلاحا قياس استثنايي مي گويند. قياس در منطق قديم از دو ناحيه تقسيم بندي مي شود:
• ماده قياس : اگر مواد قياس از يقينيات يا مسلمات يا مشهورات يا وهميات باشد اقسام مختلفي بوجود مي آيد كه آن را «صناعات خمس» گويند. بر اين اساس استنتاج به 5 قسم تقسيم مي شود وآنها عبارتند از : برهان، جدل، خطابه، شعر، مغالطه.
•صورت قياس :‌كه از اين جهت به دو قسم استثنايي و اقتراني تقسيم مي شود.در قياس استثنايي بايد «نتيجه» يا نقيض نتيجه در يكي از مقدمات تصريح مي شود. در اين نوع قياس تقريبا با معناي داخلي جملات كار نداريم. مثلا :
a)اگر زيد عادل است ، اوامر خدا را اطاعت مي كند
b) ليكن زيد اوامر خدا را اطاعت نمي كند
c) پس زيد عادل نيست.
در منطق جمله ها (sentential logic ) هم كه به ساختار داخلي جمله هيچ كاري نداريم، قياس استثنايي مطرح است. در منطق جديد اين استنتاج داراي يك ساختار صوري واحد است .و مي تواند از 2 يا 3 يا چندين مقدمه تشكيل شود. به مثال زير توجه كنيد:
a) اگر تيم پيكان با تيم پيروزي بازي كند، آنگاه بازي را مي برد.
b) اگر تيم پيكان بازي را ببرد، آنگاه 5 سكه جايزه مي گيرد.
c) تيم پيكان جايزه نگرفت.
d) تيم پيكان ، تيم پيروزي را شكست نداد.
اكنون هر جمله را به ترتيب با نماد (P) و (Q) و (R) نشان مي دهيم . ساختار منطقي آن چنين است :
a)اگر P آنگاه Q
b)اگر Q آنگاه R
c) چنين نيست كه R
d)چنين نيست كه P
اگر هر جمله اي را به جاي (P) و (Q) و (R) بگذاريد. خواهيد ديد كه همه نمونه ها صادق هستند. (P) و (Q) و (R) را اصطلاحا (sentence letter)يا جانشين جمله مي گوييم . این استنتاج به زبان منطق جمله ها به شکل زیر ترجمه می شود:
۱-P → Q
۲-Q → R
-۳ ~ R
۴- ~ P
در منطق جمله ها ، گاهی اوقات با ترکیبات عطفی سروکار داریم. ترکیب عطفی عبارت است از پیوند دادن یک جمله به جمله دیگر با حرف عطف (و) . به مثالهای زیر توجه کنید:
1-او اهل کاشان است و هوای کاشان گرم است
2-( زمان ثبت نام دانشجوست و درب دانشگاه بسته است) و اولیای آنها ناراحتند.
3- مردم خوشحالند و( قیمت بنزین تثبیت شدوسهمیه بنزین افزایش یافت)
اگر بجای هر جمله ، علامت های (P) و (Q) و (R) بگذاریم . خواهیم دید که همه نمونه ها صادق هستند. می توان جملات فوق را به صورت های زیر ترجمه کرد و به جای آنها نشانه گذارد:
p&Q
(p&Q)&R
p&(Q&R)

گزاره های فصلی و عطفی

در منطق دو ارزشی همه چیز بر پایه ی دو حالت بنا شده است ، بنابر این ما در این منطق دو عملگر اصلی داریم. "یا" ، "و" عملگرهای اصلی این منطق هستند و عملگرهای دیگر به صورت شکل دیگری از ترکیب این دو عملگر و نقایض آن ها ایجاد می شوند.
گزاره های فصلی : گزاره هایی هستند که در آنها حرف ربط "یا" به کار رفته است. گزاره های چند جزئی که با حرف ربط "یا" به یکدیگر مربوط می شوند حتی اگر یکی از گزاره ها درست باشد شرط درست است و برای نادرستی شرط باید تمامی گزاره ها نادرست باشند.
گزاره های عطفی : گزاره هایی هستند که در آنها حرف ربط "و" به کار رفته است. گزاره های چند جزئی که با حرف ربط "و" به یکدیگر مربوط می شوند حتی اگر یکی از گزاره ها درست نباشد شرط نادرست است و برای درستی شرط باید تمامی گزاره ها درست باشند.همانطور که در بالا دید هر دو دارای تعریفی مشابه و نقیض یکدیگر هستند، پس می توان گفت که نقیض گزاره های فصلی به شکل عطفی است و نقیض گزاره های عطفی به شکل فصلی است.

قواعد منطق جمله ها

در منطق جملات چند قاعده مهم وجود دارد كه به آن اشاره مي كنيم :
•قاعده اول : نقيض
از هر جمله خبري مثل (P) مي توان جمله ي ديگري ساخت كه اگر اولي صادق باشد حتما دومي كاذب است و بالعكس .
قاعده نقيض در منطق قديم، به نحوي بود كه با مفهوم و ساختار داخلي جملات ارتباط داشت. نقيض يك قضيه در منطق قديم سه شرط داشت :
• اختلاف در كَمّ
• اختلاف در كيف
• اختلاف در جهت
بنابراين اگر يك قضيه به صورت « موجبه كليه» بود ، نقيض آن به صورت « سالبه جزئيه» بود. واگر يك قضيه « موجبه جزئيه» بود نقيض آن به صورت «‌سالبه كليه » است. در اين صورت اگر يكي از قضايا صادق باشد آنگاه قطعا ديگري كاذب است منطقيين قديم قاعده نقيض را در به صورت قطر يك مربعي ترسيم مي كردند كه رئوس چهارگانه آن قضاياي محصورات چهارگانه است. صورت كلي قاعده نقيض در منطق قديم چنين است:
هر الف ب است (1) → بعضي الف ب نيست
هيچ الف ب نيست → بعضي الف ب است (2)
در منطق صوري، براي ساختن نقيض هر جمله اين اقدام كافي نيست كه تنها فعل جمله را منفي يا مثبت كنيم. بلكه بايد به سراغ كلمات داخل جمله رفته و آن را تغيير دهيم . مثلا « هيج» را به جاي « بعضي» بگذاريم و به عبارت ديگر « سور قضيه» را تغيير دهيم.
اما در منطق جمله ها، كه با ساختار دروني جمله ها كاري نداريم . نبايد كلمه يا مفهومي را در درون جمله ها عوض كنيم بلكه با آوردن « چنين نيست» در اول جمله نقيض آن را مي سازيم. نشانه نقيض در منطق رياضي (p~) یا () است. جدول ارزش يا روش سريع شناخت صدق و كذب (P) و ( ) به شكل زير است :

 

جدول ارزش ها
P
0	1
1	0

اين جدول نشان مي دهد كه اگر (P) درست باشد آنگاه بطور قطع ( ) نادرست است . و اگر ( ) درست باشد آنگاه قطعا (P) نادرست است .

نقض گزاره ها

نمی توان آن را تعریف کرد، زیرا اگر بخواهیم آن را تعریف کنیم باز نیاز به استفاده از خودش برای تعریف خودش داریم. به چند تعریف زیر توجه کنید :
1 - نقیض یک گزاره ، گزاره ای است که دارای ویژگی های آن گزاره نباشد.
2 - نقیض یک گزاره یعنی اگر گزاره ای درست باشد آنگاه نقیض آن نادرست است.
3 - نقیض یک گزاره یعنی مکمل حالت هایی که آن گزاره شامل نیست.
و تعاریفی مانند این ها ...
تعاریف بالا گرچه مفهوم را می رسانند و منظور از آوردن آن ها القاء مفهوم نقیض بوده است اما غلط هستند چون در آنها به نوعی از خود مفهوم نقیض استفاده شده است.برای مثال در جمله ی اول، عبارت دارای ویژگی های آن گزاره نباشد. خود نقیض عبارت دارای ویژگی های آن گزاره باشد. است، همچنین در جملات بعدی عبارات نادرست و نیست خود به ترتیب نقیض عبارات درست و هست می باشند
•قاعده دوم : فرض
در هر استدلال، نخست باید پیش فرضی داشته باشیم. تا با در نظرگرفتن آن، به نتایج جدیدی برسیم. قاعده فرض در منطق جمله ها به این صورت تبیین می شود:
در هر مرحله و هر سطر از استدلال می توان جمله ای را «فرض» کرد و به سطور استدلال اضافه کرد .
به استدلال های زیر توجه کنید :
(1) p→Q
(2)……..
------------------------
(1)…….
(2) p→Q
همانطورکه ملاحظه می شود در برهان نخست، درسطر اول قاعده فرض مطرح شده است. اما در برهان دوم ، قاعده فرض در سطور میانی ذکر شده است. پس این قاعده به ما اجازه می دهد که در هر مرحله از برهان، یک فرضی را به متن استدلال خود اضافه کنیم.
•قاعده سوم : نقض مضاعف
طبق این قاعده از یک قضیه و گزاره ای مثل (P) می توان به (p~~ ) رسید. و نیز از یک قضیه مثل (p~~ ) می توان به (P) رسید. بنابر این از ضمیمه کردن این قاعده با قاعده قبلی چنین نتیجه می گیریم :
(1)…….
(2) p→Q
(3) ~~ (p→Q)
این قاعده در منطق جدید به (rule of double negation ) موسوم است.
•قاعده چهارم : وضع مقدم
این قاعده در منطق جمله ها به شکل زیر بیان می شود :
از دو مقدمه (p→Q) و (p) می توان (Q) را نتیجه گرفت. این نتیجه بر همه فرض هایی استوار است که هر یک از دو مقدمه مذکور به آن فرض ها وابسته است.
به مثال زیر توجه کنید:
(1) p
(2) p→Q
(3) Q
در سطر(1) و (2) قاعده فرض بکار رفته است . اما در سطر(3) قاعده وضع مقدم جاری است.
در منطق ریاضی برای آسانی در نگارش، می توان مثال فوق را به شکل زیر در یک سطر خلاصه کرد:
P , p→Q ├ Q
همانطورکه ملاحظه میشود برهان سه خطی فوق در یک خط و با علامت (├) به معنای « نتیجه میشود» خلاصه شده است.ضمنا علامت (,) حد فاصل مقدمات یا سطرهای یک استدلال است و سطر قبل را از سطر بعد متمایز می سازد .
به مثال دوم توجه کنید:
(1) p→Q
(2) Q→R
(3) p
(4)R
این استدلال 4 سطری را می توان در یک سطر به صورت زیر خلاصه کرد
p→Q , Q→R , p ├ R
قاعده وضع مقدم در منطق قدیم در قیاس استثنایی به شرح زیر بکار می رود :
oاستثناء عین مقدم در متصله:
گفتیم در قیاس استثنایی، عین نتیجه و یا نقیض نتیجه، به نحوی در یکی از مقدمات ذکر شده است. آن مقدمه نیز باید قضیه ای شرطیه باشد. و از آنجاکه شرطیه بر دو قسم متصله و منفصله تقسیم می شود، قیاس استثنایی هم به همین دو قسم تقسیم شده است.
قاعده وضع مقدم در قیاس استثنایی متصله به این صورت جاری است:
هرگاه عین مقدم در یکی از مقدمات استثناء شود ، آنگاه عین تالی نتیجه می شود . زیرا برابر یک اصل عقلی ( تحقق ملزوم مستلزم تحقق لازم است) . به عنوان مثال:
a)اگر باران ببارد، آنگاه زمین خیس می شود.
b)لکن باران می بارد
---------------------------------
c)پس زمین خیس است
oاستثناء عین مقدم در منفصله:
در قضیه منفصله، هرگاه یکی از طرفین قضیه را مقدم و دیگری را تالی بنامیم آنگاه در شرطیه منفصله حقیقیه استثناء عین مقدم، نقیض تالی را سبب می شود. به عنوان مثال :
a)هر عدد یا زوج است یا فرد
b)لکن این عدد زوج است.
--------------------
c)پس فرد نیست.
نتیجه آنکه » وضع مقدم » در منطق قدیم دو کارکرد دارد:
1- وضع تالی : در استثنایی متصله
2- رفع تالی : در استثنایی منفصله
• قاعده پنجم : رفع تالی
در منطق جمله ها قاعده رفع تالی به صورت زیر بیان می شود :
از (p→Q) و (Q~) می توان نتیجه گرفت که : ( p~ ) و
این نتیجه دقیقا بر همان فرض های مقدمات استوار است .
به مثال زیر توجه کنید :
(1) p→Q
(2) ~ Q
p~ (3)
در سطر اول و دوم استدلال فوق قاعده فرض بکار رفته و در سطر سوم قاعده رفع تالی جریان دارد. البته می توان استدلال فوق را در یک سطر به شکل زیر خلاصه کرد :
p~ ├ Q~ , Q → p
به مثال دیگری به شرح زیر توجه کنید:
(1) ~p → ~~Q قاعده فرض :
(2) ~ قاعده فرض :
قاعده نقض مضاعف : Q~~~ (3)
قاعده رفع تالی : p~~ (4)
قاعده نقض مضاعف خلاصه كرد: p(5) استدلال فوق را می توان در یک سطر
p ├ Q~ , Q~~ → p~

 

منابع:
1-http://www.mohammadirandoost.blogfa.com
2- http://fa.wikipedia.org
3-كتاب منطق رياضي
4-كتاب ساختمان گسسته مهندس يوسفي
/الف