مترجم: فرید احسانلو
منبع:راسخون
منبع:راسخون
رومن ژاکیو
(رومن ژاکیو استاد ممتاز فیزیک در دانشگاه ام آی تی، امریکا بود)توصیف عالم فیزیکی گاهی ارتباط بسیار نزدیکی با اثبات قضیه‌های انتزاعی ریاضی دارد
فیزیک ریاضیاتی (ریاضی ـ فیزیک) از خودش هویتی ندارد. در واقع آن‌چه هست ریاضیات است و فیزیک، و چرخۀ رابطۀ بین آن‌ها شامل دوره‌هایی از همکاری است که در میان دوره‌های بی‌تفاوتی متقابل پراکندهاند. ابداعات تازه‌ای که منجر به پیشرفت سریع در فیزیک می‌شوند اغلب با نوآوری‌هایی در ریاضیات همراه است. مثال‌هایی که میتوان از گذشته آورد عبارتند از ابداع مکانیک ذرات و ریاضیات دیفرانسیل توسط ایزاک نیوتون و گاتفرید لایبنیتس، پیشرفت‌هایی در نسبیت عام و هندسۀ دیفرانسیل در زمان آلبرت اینشتین و هرمان مینکوفسکی، و پیشرفت در نظریۀ گروه‌ها و آنالیز پس از اختراع مکانیک کوانتومی و نظریۀ میدان کوانتومی.
اما این پیوندها گاه به گاهند و مانند زبان هر دو جامعه جدا افتاده‌ای، تحول زبان فیزیک و زبان ریاضیات هم به دو گونۀ متفاوت است که ارتباط را ناممکن می‌کند. برداشت‌ها هم نسبت به اهمیت کارهای انجام شده تاکیدهای متفاوتی پیدا می‌کند: فیزیک‌دان‌ها حل مسائل تجربی و مدل‌سازی را ارج می‌نهند و، در مقابل، ریاضی‌دان‌ها اثبات دقیق قضایا را می‌پسندند. یکی از جنبه‌های سرگرم‌کنندۀ درگیری با ریاضی ـ فیزیک، کشف این است که چگونه اصطلاحات متفاوت برای بیان مفهوم واحدی به کار می‌روند و چگونه هدف‌های کاملاً متمایز به منافع مشترکی می‌انجامند.
در اوایل کارم، دیدگاه من دربارۀ رابطۀ ریاضیات و فیزیک و استفاده‌ای که میتوان از ریاضیات در فیزیک کرد، تحت تأثیر سخنرانی‌ای از پل دیراک (از مجموعه سخنرانی‌های لونب در دانشگاه هاروارد دربارۀ تاریخ فیزیک) شکل گرفت. از سخنرانی یادداشتی برنداشتم، اما بعدا نسخۀ چاپ شده‌ای از آن پیدا کردم که در آن دیراک بار دیگر نظر قاطع خود را به نفع ریاضیات در فیزیک تکرار کرده بود:
نیرومندترین روش پیشرفت در فیزیک استفاده از تمام منابع ریاضی محض برای تکمیل و تعمیم صورت‌بندی ریاضی‌ای که پایۀ کنونی فیزیک نظری را تشکیل می‌دهد، و تلاش در راه یافتن تعبیر فیزیکی برای ویژگی‌های جدید ریاضی است.
این روزها ریاضیات و فیزیک به ویژه هندسه و نظریه میدان شدیداً بر یکدیگر تأثیر می‌گذارند. این ارتباط که نخست از طریق نسبیت عام اینشتین (که میدان گرانشی را بر حسب هندسه فضا ـ زمان توصیف می‌کند) برقرار شده بود، حدود دو دهۀ پیش دوباره قوت گرفت. بخشی از تحقیقات خود من در همان دورة رونق مجدد انجام شد و من در اینجا خاطرات خودم را به صورت تاریخچۀ یک برخورد مشخص بین ریاضیات و فیزیک تعریف می‌کنم و می‌گویم که چگونه تجربه‌های عملی، عقیدۀ پیش ساختۀ مرا تغییر داده است.
شِکَن و مُد صفر
در اوایل دهۀ ۱۹۷۰ نظریۀ میدان کوانتومی بین فیزیک‌دان‌ها محبوبیت داشت، اما معادلات کوانتیده را نمی‌شد حل کرد. آنگاه به نظر خیلی‌ها رسید که صرف نظر کردن از سرشت کوانتومی میدان‌ها و حل کردن معادلات به صورت معادلات غیر خطی سیستم‌های، دینامیک کلاسیک می‌تواند پرفایده باشد.خیلی زود جواب‌های جای‌گزیده و بدون اتلاف جالبی پیدا شد. در یک بُعد به این جواب‌ها شِکن (kink) می‌گویند، در فیزیک سطح دو بعدی گردشاره، و در دنیای فیزیکی سه بعدی ما، تک‌قطبی مغناطیسی و اسکرمیون. کلاً به همۀ این نوع جواب‌ها «سولیتون» می‌گویند، نامی که از ریاضیات کاربردی گرفته شده است. دستۀ دیگر جواب‌ها «اینستانتون» چهاربعدی است.
با همکارانم در ام آی تی به این مسئله پرداختیم که چگونه از این جواب‌های کلاسیک میتوان اطلاعات کوانتومی به دست آورد ـ یعنی می‌خواستیم معنی کوانتومی این میدان‌های کلاسیک را پیدا کنیم. در این کار پیشرفت کردیم و در مرحلۀ خاصی کلودیو ربی و من بر آن شدیم که بررسی افت‌وخیزهای خطی کوچک حول نمایۀ میدان غیرخطی سولیتون‌ها و اینستانتون‌ها و هم‌چنین جفت‌شدگی سیستم‌های خطی دیگر مثل فرمیون‌ها با سولیتون‌ها و اینستانتون‌ها اهمیت دارد.
به این ترتیب به معادلات ویژه مقداری خطی رسیدیم و دریافتیم که مُدهای صفر که مربوط به ویژه مقداری صفر هستند، اطلاعات مهمی دربارۀ فیزیک کوانتومی در بردارند. مُدهای صفر معادلات افت و خیزهای کوچک، متناظر با تغییر شکل‌های مجاز سولیتون یا اینستانتون هستند و تعداد این مُدها بُعد فضای سنجهها برای جواب‌های معادلۀ غیرخطی است. (فضای سنجهها از مجموعۀ تمام جواب‌های ممکن و مشخص تشکیل می‌شود. برای مثال اگر یک جواب سولیتونی با دو پارامتر، مصلا a و اندازۀ c، توصیف‌پذیر باشد فضای سنجهها ناحیه‌ای خواهد بود از فضای مقادیر c , a.) در معادلۀ فرمیونی دیراک، ویژه مقدارها، انرژی را اندازه می‌گیرند: مُدهای با انرژی مثبت ذرات کوانتومی را توصیف می‌کنند و مدهای باانرژی منفی پادذره‌ها را، و مُدهای صفر ـ اگر وجود داشته باشند ـ از نوعی واگنی خبر می‌دهند که به اعداد کوانتومی غیرمنتظره‌ای مثل بار فرمیونی کسری منجر می‌شود.
ربی و من از اینکه چنین مدهای صفری در معادلاتی که حل می‌کردیم پیدا شده بود بسیار خوشحال بودیم و سعی می‌کردیم نتایج فیزیکی آن‌ها را به دست بیاوریم. اما از اینکه وجود این جواب‌های خاص به جزئیات نمایۀ جای‌گزیدۀ سولیتون‌ها و اینستانتون‌های زمینه بستگی نداشت در شگفت شدیم. آن‌چه مهم بود رفتار سولیتون‌ها و اینستانتون‌ها در فواصل زیاد بود. این ویژگی‌های دوربرد، مشخص کنندۀ خواص توپولوژی سولیتون‌ها و اینستانتون‌هاست. این خواص به جزئیات شکل پیکربندی میدان وابسته نیستند بلکه مشخصۀ کل پیکربندی را به دست می دهند ـ مثلا نقاط بحرانی پیکربندی را مشخص می‌کنند یا رفتار غیربدیهی آن را در بینهایت.
با این اندیشه، گمان کردیم که وقوع مُدهای صفر نتیجۀ تصادفی تحلیل‌های ما نیست بلکه ناشی از زمینه‌هایی است با توپولوژی غیربدیهی. چنین زمینه‌هایی برخلاف موارد عادی که رفتار در بینهایت بدیهی و بی‌تأثیر فرض می‌شود، دارای خواص دوربرد غیرمعمول و غیربدیهی هستند
