افت و خیزهای عام رسانایی

در فیزیک مادة چگال، این تصور معقولی است که اندازه‌گیری‌های فیزیکی را می‌توان به صورت متوسط‌های هنگردی (آنسامیلی) نمایش داد. در چند سال گذشته کارهایی که بر روی نمونه‌های کوچک در دماهای کم انجام شده، در درستی این نظر تردید به وجود آورده است. یکی از برجسته‌ترین کشف‌ها این بود که رسانایی یک نمونة فلزی در دماهایی که به اندازة کافی کم باشند، افت و خیزهایی دارد که تابع میدان مغناطیسی، پتانسیل شیمیایی یا آرایش ناخالصی‌ها است، و جذر میانگین مربع (RMS) آن برابر است با نسبت e2lh که در آن e بار الکترون و h ثابت پلانک است. این اثر که به آن افت و خیزهای عام رسانایی گفته‌اند از این امر ناشی می‌شود که دامنة افت و خیز به ابعاد نمونه بستگی ندارد و تا زمانی و تا زمانی که نمونه فلزی باشد و دما به قدر کافی کم، ضریب عددی جلوی e2lh بستگی ضعیفی به ابعاد و به میزانی بی‌نظمی دارد.
انگیزة اصلی این کشف در جریان آزمایش به وجود آمد. اُمیاخ و همکارانش در آزمایش‌هایی که به منظور مشاهدة اثر یوم ـ آهارانوف در حلقه‌های فلزی معمولی انجام می‌دادند، متوجه افت و خیزهای غیر دوره‌ای به صورت تابعی از میدان مغناطیسی عمودی، در رسانایی سیمی به ابعاد تقریبی A7000×2(A400) شدند. این افت و خیزها، نوفة وابسته به زمان نیستند، بلکه افت و خیزهایی هستند که در یک نمونة معین با چرخاندن نمونه در میدان مغناطیسی یا دما تکرار می‌شوند. منحنی رسانایی مغناطیس، عملاً نشان شاخص یک نمونة معین است. این اثر از تداخل کوانتومی تابع موج الکترون و همچنین از این امر ناشی می‌شود که میدان مغناطیسی، فاز تابع موج را تغییر می‌دهد. اِستون یک شبکة دو بعدی را در مدل پیوند محکم، با انرژی جایگاهی کتره‌ای، شبیه‌سازی عددی کرد و افت وخیزهایی که برای رسانایی به دست آورد بسیار شبیه به نتایج آزمایش بود. ولی سؤال اصلی هم¬چنان باقی ماند؛ چگونه می‌توان نتایج عددی کرد و افت وخیزهایی که برای رسانایی به دست آورد بسیار شبیه به نتایج آزمایش بود. ولی سؤال اصلی همچنان باقی ماند؛ چگونه می‌توان نتایج عددی مربوط به چندهزار جایگاه را در مورد سیمی که 108 اتم دارد تعمیم داد؟ لی و استون پاسخ این سؤال را یافتند و به طور تحلیلی نشان دادند که جذر میانگین مربع (RMS) افت و خیزهای رسانایی باید به تقریب برابر e2lh باشد، که هم با نتایج شبیه‌سازی عددی و هم با نتایج آزمایش سازگار است. التشولر در اتحاد شوروی نیز مستقلاً همین نتیجه را به دست آورده است.
لازمة بروز افت و خیزهای عام در رسانایی آن است که دما به اندازه‌ای کم باشد که طول غیر الاستیک ـ یعنی طولی که یک الکترون بین دو پراکندگی غیز الاستیک می‌پیماید ـ از اندازة نمونه بیشتر شود. در این حالت، رسانایی را باید نوعی عبور کوانتومی از یک ناحیة بی‌نظم به شمار آورد. در یک محیط بی‌نظم، حرکت الکترون یک حرکت پخشی است که و توصیف آن بر اساس مکانیک کوانتومی به افت وخیزهایی در رسانایی منجر می‌شود که بسیار بزرگ‌تر از آنند که به طور کلاسیک انتظار می‌رود. اگر دما کم نباشد نمونه را می‌توان به ناحیه‌هایی که ابعادشان را طول غیر الاستیک مشخص می‌کند، تقسیم کرد و سهم آن‌ها را می‌توان به صورت افت و خیزهای کلاسیک مقاومت‌های موازی، با هم جمع کرد. دمای کم، برای سیم‌های فلزی به طول چند هزار آنگستروم، عملاً در حدود چند ده میلی کلوین است. ولی چون طول موج دوبروی الکترون در لایة وارونی سیلیسیوم بسیار بلندتر است، در سیستمی به همین ابعاد، در 2ر4 کلوین به حد دمای کم می‌رسیم. علاوه بر این، لایة وارونی این مزیت را هم دارد که با تنظیم پتانسیل شیمیایی و نیز میدان مغناطیسی، مشاهدة افت و خیزهای رسانایی در آن امکان‌پذیر می‌شود. اسکوپول و همکارانش با ساختن سیستم‌های بسیار کوچک توانستند این افت و خیزهای عام پیش¬گویی-شدة رسانایی را به تفصیل بیازمایند.
از مشاهدة افت و خیزهایی که بیش از حد انتظار بزرگند و خاص یک نمونة معین (یا یک آرایش معین ناخالصی‌ها) هستند، طبعاً این سؤال مطرح می‌شود که: افت و خیزهای رسانایی نسبت به تغییرات اندک در آرایش ناخالصی‌ها، و در حد نهایی نسبت به حرکت یک تک اتم چقدر است؟ التشولر و اسپیواک، و (مستقل از آن‌ها) فنگ، لی، و استون نتیجة زیر را به دست آوردند: در یک یا دو بعد، تغییراتی که با جابجاکردن یک تک اتم به فاصله‌ای در حدود طول موج دوبروی در رسانایی پدید می‌آید مستقل از اندازة نمونه است و در صورتی که بی‌نظمی شدید باشد برابر e2lh است.
این اثر، در سه بعد تا حدودی تضعیف می‌شود، ولی هنوز هم بسیار بزرگتر از آن است که به طور کلاسیک انتظار می‌رود. فهم این اثر حیرت‌انگیز با تشخیص این نکته حاصل می‌شود که مسیرهای فاینمن یک الکترون در یک محیط بی‌نظم را می‌توان به صورت گام‌هایی کتره‌ای در نظر گرفت. در دو بعد، یک گام¬بردار کتره‌ای که نمونه را طی می‌کند اساساً از کسری متناهی از همة جایگاه‌ها خواهد گذشت، در نتیجه تغییر یک جایگاه بر کسر متناهی از کل مسیرهای فاینمن، تأثیر خواهد داشت. از این‌رو، در حد بی‌نظمی شدید، تغییر یک تک ناخالصی همان تغییر تمامی آرایش است و منجر به تغییری برابر e2lh در رسانایی می‌شود. این اثر را باید بتوان مستقیماً در ازمایش مشاهده کرد و در واقع نیز تغییرات گسسته‌ای در منحنی‌های رسانایی مغناطیسی لایة وارونی مشاهده شده که به تغییر یک مرکز منفرد پراکندگی نسبت داده شده است. همین تازگی‌ها، در رسانندگی فیلم‌ها و سیم‌های کوچک بیسموت، پرش‌های وابسته به زمانی دیده شده است که در چارچوب حرکت نقیصه‌ها تعبیر شده است.
در اثنایی که کشف افت و خیزهای ویژة نمونه در دماهای کم صورت می‌گرفت، روشن شد که هرگاه طول پراکندگی غیر الاستیک خیلی بزرگ‌تر از مسیر آزاد میانگین باشد (این شرط در صورتی که فلز به اندازة کافی بی‌نظم باشد حتی در دمای اتاق نیز برقرار است)، همدوسی کوانتومی در پیدایش افت و خیزها بسیار مهم خواهد بود. مثلاً فنگ و همکارانش متذکر شده‌اند که از روی حساسیت سیستم نسبت به آرایش ناخالصی‌ها، می‌توان براوردی از بزرگی نوفة F/1 که ناشی از حرکت نقیصه در فلزهای شدیداً بی‌نظم است، به دست آورد. در عین حال ممکن است با بصیرتی که از مطالعات مربوط به تابع موج‌های الکترون به دست می‌آید، شناخت بهتری از انتشار امواج کلاسیک، مانند امواج الکترومغناطیسی یا صوت در یک محیط کتره‌ای، حاصل شود.