کمک فنر ناوهای دریایی

خلاصه

یک کمک فنر که عمدتا در ناوهای دریایی به کار می رود WRS می باشد. WRS ها شامل یک طناب سیمی استاندارد هستند که بین گیره های فلزی ثابت (میله ها) قرار دارند. WRS نشاند دهنده ی یک اجرای میرایی (استهلاک) بر اثر اصطکاک ثابت و لغزشی بین بندهای طناب سیمی می باشند. WRS پذیرنده ی طناب سیمی استاندارد به عنوان جزء ارتجاعی می باشد و از اصطکاک ماندگار بین بندهای تکی طناب استفاده می کند. القای هماهنگ فنر منجر به ایجاد به اصطلاح یک حلقه ی پسماند می شود که خود در نهایت باعث اتلاف انرژی می گردد. بنابراین ، WRS یک ابزار میرایی مناسبی می باشد. به منظور افزایش دانش در خصوص رفتار دینامیکی WRS ، هدف از این پروژه بررسی هر دو رفتار شبه استاتیکی و دینامیکی از WRS در حالت کشش و تراکم می باشد. نمونه ی بوک – ون یک نمونه ی پسماندی در خصوص یک موضوع وابسته به پدیده شناسی بوده که شامل چهار پارامتر α ، B ، γ و n می باشد. کیفیت n بر روی همواری از حالت ارتجاعی به حالت پلاستیکی نظارت می کند. پارامترهای B و γ عمدتا شکل حلقه ی پسماند را کنترل می کنند. با یک انتخاب مناسب برای پارامترهای B و γ می توان سختی و نرمی و رفتار نیمه خطی را نشان داد. اگرچه ، زمانیکه سیستم رفتار نرمی را نشان دهد ، ترکیبات مختلفی برای B و γ می توانند منجر به ایجاد منحنی های پسماندی برابری شوند. با افزودن یک محدودیت برای این دو پارامترها از این پدیده ی اضافی می تواند جلوگیری به عمل آورد. دومین راه حل پذیرفتن نسخه ای جایگزین از نمونه ی بوک – ون است که در آن پارامتر γ حذف شده است. با آزمون های شبه استاتیک بارگیری ، نشان داده شده است که WRS که در این پروژه به کار رفته است از خود رفتاری را نشان می دهد که نمی توان آن را با نمونه ی بوک – ون توضیح داد ، زیرا WRS دارای رفتار سختی در کشش و رفتار نرمی در تراکم می باشد. دوم آنکه ، برای دامنه های کوچک ، WRS نشان دهنده ی رفتار نرمی می باشد که از طریق رفتار نیمه خطی به تدریج باعث تغییر به حالت سختی می شود تا دامنه افزایش یابد. این پدیده سختی نرم نامیده می شود. در پایان ، تحت فشار ، مسیر بارگیری برای دامنه های مختلف یکسان بوده که اصطکاک سختی نامیده می شود. برای کار با این موارد یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک ون برگزیده شده است که تشریح کننده ی رفتار فوق می باشد یک نتیجه ی مهم از استفاده ی این مدل اصلاح شده آن است که مجموعه ای از پارامترهایی که می بایست شناسایی شوند شامل نه مورد هستند که با توجه به وجود پدیده ی افزونگی در نمونه ی بوک – ون ، عمل شناسایی بسیار دشوار خواهد بود. روش های شناسایی مختلفی قبل از انجام سه مرحله ی اولیه صورت گرفته است. در مرحله ی اول تنها رفتار نرمی در نظر گرفته می شود. این پارامترها برای شناسایی مقادیر در مرحله ی دوم می باشند که در آن میزان منحنی پسماند تشریح می شود. در مرحله ی پایانی ، تمامی پارامترها آزاد می شوند تا بطور بهینه تمامی مقادیر را تنظیم کنند. در نهایت واکنش شناخته شده و نتایج آزمایشی نشان دهنده ی تطبیق مناسبی می باشند. اگرچه برای سطوح دامنه ی کوچک هنوز تفاوتی وجود دارد. شبیه سازی هایی نیز برای ایجاد رفتار دینامیکی نمونه ی بوک – ون و مدل اصلاح شده ی آن صورت می گیرد. یک واکنش دینامیکی غیر خطی با یک بسامد تشدید شده ی مستقل و یکنواخت نیز مشاهده شده است. همچنین نشان داده شده است که واکنش دینامیکی برای ترکیبات B و γ متفاوت می باشد که باعث ایجاد منحنی های پسماندی می شود. این امر برای نمونه ی بوک – ون و شکل اصلاح شده ی آن صدق می کند. نتایج تکاننده در منحنی های دامنه بسامد دیده می شوند. بسامد همنوای مستقل دامنه ای از بسامدهای پایین تر آغاز می شود. علاوه بر این یک تشدید بسیار یکنواخت وجود دارد که تشخیص آن ها کار دشواری است. نتایج ضربه ای بر اساس جدول صورت گرفته اند. این نتایج حاکی از آن هستند که WRS ها بهترین ضربه گیرها می باشند ، زیرا اختلاف بین دامنه ی القایی و واکنش مربوط به آن بسیار زیاد می باشد. اگرچه شبیه سازی ضربه نشان می دهد که یک اختلاف در بین هر دو نتایج وجود دارد. اختلاف در هر دو دامنه به خاطر چارچوب آن ها بوده که در طول آزمایشات به آن ها نیاز می باشد زیرا ایجاد و اجرای آزمایشات مستلزم ملاحظات دقیق می باشد. عمل القا به طور مستقیم در جدول اندازه گیری می شود با فرض بر اینکه میرایی نادیده گرفته شود. شبیه سازی های بسامد نظری نشان می دهند که سطوح دامنه ی بزرگتر رفتار WRS و نمونه ی اصلاح شده ی بوک – ون هم کیفی و هم کمی خواهند بود. تعداد تشدیدهای یکنواخت که در شبیه سازی ها وجود دارند نشان دهنده ی این امر می باشد که نمونه بطور بسیار ضعیفی میرا شده است. در مقابل برای سطوح دامنه ی کوچکتر ، نمونه بطور بسیار سنگینی میرا می شود. بسامد همنوایی از آنچه در آزمایشات وجود داشت کوچکتر می باشد ؛ به همین صورت برای رفتار نیمه استاتیکی یک اختلاف وجود دارد. بنابراین WRS نشان دهنده ی یک نوع رفتار برای دامنه های کوچکتری می باشد که نمی توانند بطور کمی توسط مدل بوک – ون تشریح شوند. راه حل های ممکن ، استفاده از پارامترهای مجموعه ی دوم برای سطوح کوچک دامنه و یا مستقل ساختن پارامترهای دامنه می باشد. در پایان ، راه حل های دوره ای بوسیله ی روش دنبال کردن مسیر به دست می آیند که در بین این راه حل ها ، روش شلیکی بیشتر مورد تاکید قرار می گیرد. در ابتدا برخی از راه حل های بی ثبات یافت شدند که ناشی از بی دقتی های عددی می باشند. این مشکلات عددی نیز در اثر نمونه ی بوک – و ن هستند. این عامل بوسیله ی روش دنبال کردن مسیر بطور تقریبی از نمونه ی بوک – ون نشان داده شده است.

فصل 1

مقدمه

1/1- میرایی ارتعاش با استفاده از WRSها

در ناوهای دریایی ، نمی توان از ضربه ها و لرزش ها جلوگیری به عمل آورد. منابع القایی می توانند در این باره ذکر شوند : ضربه ی سنگین ، برانگیختگی موج ، برانگیختگی های ایجاد شده بوسیله ی انفجارهای زیر آبی. این ارتعاشات غیر مطلوب و حتی غیر قابل قبول می باشند. ارتعاشات بطور مخالفی بر نحوه ی عملکرد دستگاه ها به خصوص سیستم های رادار تاثیر می گذارند و حتی ممکن است باعث آسیب رساندن به دستگاه ها شوند. دوم آنکه ارتعاشات با سطوح دامنه ی زیاد منجر به ناراحت کردن خدمه ی در حال کار در کشتی می شوند. بنابراین ، سطوح ارتعاش در کشتی بر اساس استاندارد ISO6954 محدود می شوند. به منظور کاهش سطح ارتعاش ، راه حل های فراوانی وجود دارد. بطور مثال افزایش سختی ، استفاده از موادی که دارای خصوصیات میرایی بالایی هستند و یا با به کار بردن یک راهکار کنترل کننده. سه نوع کنترل می توانند مشخص شوند : کنترل فعال ، نیمه فعال و غیر فعال. اکثر اوقات کنترل غیر فعال در کشتی به کار می رود. یک ضربه گیر (میرایی نوسان) نمونه ای از کنترل کننده ی غیر فعال می باشد. این ضربه گیر در زیر عرشه ی کشتی قرار می گیرد تا از تجهیزات و خدمه ی در حال کار بر روی عرشه محافظت کند. یک ضربه گیر که اغلب مورد استفاده قرار می گیرد WRS می باشد. WRSها نوعی از میراگرهای فنری می باشند که شامل طناب های سیمی استاندارد بین گیره های فلزی سخت می شوند. به خاطر اصطکاک خشک بین لایه های مختلف ، پسماند صورت می گیرد. این در واقع دلیلی است که WRSها در زمان اتلاف انرژی بهترین وسیله برای میرایی می باشند. WRS ها دارای این مزیت هستند که مانند فنرهای ضربه گیر LSM دچار فرسودگی نمی شوند. دومین مزیت آن ها آن است که WRS برای سبک کردن ضربه هایی با پهنای باند مناسب می باشند.
اگرچه ، وجود پسماند نیز دلیلی برای واکنش غیر خطی WRS و توده ی مربوط به آن می باشد. رفتار دینامیکی از WRS بطور کامل مورد درک قرار نگرفته است. WRS در حالت کشش و فشار بارگیری می شود ؛ پس بنابراین شروع به گسترش دادن نمونه و تحلیل آن کار منطقی به نظر می رسد.

1/2- اهمیت عملی تحقیق در مورد WRSها

همانطور که در بخش 1/1 بیان شد ، سطح ارتعاش بر روی عرشه محدود می شود و بنابراین WRSها بعنوان ابزارهایی برای ضربه گیری به کار می روند. در این پروژه تلاش شده تا بتوان راهکارهای کاهش ارتعاش و لرزش WRS ارائه گردد. انتظار می رود که تمامی فنرها از خود رفتار متفاوتی نشان دهند زیرا تفاوت های هندسی بوجود آمده بوسیله بی دقتی های در حین فرآیند تولید بوجود آمده است. در تلاش برای یافتن توضیحاتی برای تفاوت ها بین واکنش های مختلف فنرها ، رابطه ی کیفی بین رفتار WRS و متغیر طرح بوجود می آید. این پروژه به محاسباتی که در طول طراحی انجام می شوند کمک شایان ذکری می کند. اگر در طول پروژه مشخص شد که واکنش نمونه و آزمایشی با یکدیگر تطبیق دارند ، پش بینی محاسبات اینکه آیا WRS در محیط هایی مانند ضربه گیرها قابل استفاده است یا خیر ممکن می باشد. در پایان ، این امر منجر به کاربردهای جدیدی برای WRS می شود.

1/3- هدف و طرح کلی پایان نامه

هدف از این پایان نامه ایجاد نمونه و تحلیل رفتار WRS در حالت کشش و فشار می باشد. رفتار شبه استاتیکی و دینامیکی این نوع فنر در نظر گرفته می شود. آزمایشاتی انجام خواهد شد و نتایج به دست آمده با نتایج شبیه سازی مورد مقایسه قرار می گیرند. فصل دوم WRS را به طور کلی معرفی می کند و سپس موارد مختلفی مورد تشریح قرار خواهند گرفت.
در ابتدا ، یک مقدمه ی کوتاه درباره ی پسماند که درباره ی WRS وجود دارد ارائه می گردد. در ادامه ، مروری بر روی تحقیقاتی که قبلا درباره ی WRS صورت گرفته است انجام می شود. فصل سوم نمونه ی بوک – ون که یک نمونه ی پسماندی می باشد را توضیح می دهد. ابتدا گسترش و توسعه ی نمونه توضیح داده می شود. دوم یک مطالعه ی پارامتری انجام می گیرد که در این نمونه تاثیر پارامترهای مختلف بر رفتار نیمه استاتیکی و دینامیکی مورد بحث قرار می گیرد. در پایان ، یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک – ون انتخاب می شود تا بتوان رفتار WRS را تشریح کرد. فصل چهارم نتایج به دست آمده از آزمایشات شبه استاتیکی را ارائه می دهد. بنابراین یک حالت خوب در خصوص رفتار استاتیکی WRS به دست می آید. سپس نتایج آزمایشی برای شناسایی پارامترهای نمونه ی اصلاح شده ی بوک – ون به کار می رود. روش های شناسایی مورد امتحان قرار گرفتند ، ولی در پایان یک فرآیند شناسایی سه مرحله ای در فصل پنجم پیشنهاد می شود تا نمونه مورد شناسایی قرار گیرد. آزمایشات لرزاننده ی الکتریکی انجام شده اند تا بتوان منحنی های دامنه ی بسامد را به دست آورد. علاوه بر این ، آزمایشاتی برای یادگیری در خصوص چگونه رفتار کردن WRS تحت تحریک ضربه ای انجام شده اند. نتایج به دست آمده از این آزمایشات در فصل ششم مورد بحث قرار خواهند گرفت. فصل هفتم تشریح کننده ی نتایج شبیه سازی های مختلف از رفتار دینامیکی می باشد. ابتدا انحراف یا شیفت بسامد در شبیه سازی ها انجام می شود. دوم روش شلیکی در ترکیب با روش دنبال کردن مسیر برای به دست آوردن راه حل های دوره ای مورد استفاده قرار می گیرد. علاوه بر این ، برانگیختگی آزمایشی از آزمایشات ضربه ای برای شبیه سازی اینگونه آزمایشات به کار می رود. تمامی نتایج به دست آمده از آزمایشات و شبیه سازی مورد مقایسه قرار خواهند گرفت. در پایان ، در فصل هشتم نتایجی به دست می آید و توصیه هایی نیز برای انجام تحقیق های بیشتر ارائه می شود.

فصل 2

wrs

قبل از تحلیل آزمایشی و ایجاد نمونه از WRS ، موارد مختلفی باید مورد بررسی قرار گیرند. در بخش 2/1 انواع مختلفی ازWRSها مورد معرفی قرار گرفتند و اصول کار با این فنرها مورد بحث قرار گرفت. بخش 2/2 کاربردهایی را برای فنر طناب سیمی معرفی کرد. پدیده ی پسماند بطور مختصر در بخش 2/4 توضیح داده شده و در پایان در بخش 2/5 مروری در خصوص توسعه و گسترش نمونه برای WRSها ارائه شده است.

2/1- انواع WRSها

WRSها مجموعه ای از طناب های لایه ای هستند که بین گیره های فلزی (میله ها) قرار گرفته اند. این فنرها با عنوان WRI ، فنرهای کابل فلزی و یا فولادی نیز شناخته شده اند. دو نوع از این فنرها قابل تشخیص می باشند ؛ نوع مارپیچی و نوع پلیکال که در شکل های 2/1 و 2/2 به ترتیب نشان داده شده اند.

اگرچه یک طرح تمام فلزی ، WRSها یک عملکرد و اجرای میرایی را نشان می دهند ، ولی اصطکاک لغزشی بین لایه های طناب سیمی وجود دارد. فنر طناب سیمی یک جزء الاستیکی می باشد و از اصطکاک پایدار بین هر لایه ی طناب استفاده می کند. این کار هم باعث سبک کردن ضربه ها و هم کاهش ارتعاشات با پهنایباند زیاد می شود. اگرچه WRS ها برای جداسازی صوتی مناسب نمی باشد. جایگزین هایی برای WRSها ، پایه های فنر تیغه ای می باشد.
فنر تیغه ای در شکل 2/3 نشان داده شده است که دارای صفحه های فلزی با الاستومر (کشپار) بین آن ها می باشد. این فنرها قابل جایگزین با سری های Y از فنر طناب سیمی پلیکال می باشد ، زیرا ابعاد فنر LSM و سری Y یکسان می باشند. مزیت این نوع ایزولاتور توانایی آن برای جداسازی صوتی می باشد. اگرچه عیب اصلی آن این است که الاستومر بین فلز دچار فرسودگی می شود که این امر خود باعث شکنندگی و عدم وجود توانایی برای میرایی می شود.WRS ها همچنین جداسازی ضربه ای را نسبت به فنرهای تیغه ای ایجاد می کنند.

2/2- کاربردهای WRS ها

کاربرد اصلی برای WRSها در محیط دریایی و کشتی ها می باشد. یک کاربرد به خصوص جداسازی است که اصطلاحا طبقه شناور چند منظوره نامیده می شود که در شکل 2/4 نشان داده شده است. طبقه شناور چند منظوره از چارچوبی بر اساس شبکه ی شناور تشکیل شده است که از طریق WRSها پشتیبانی می شود. این طبقه ی شناور هم به صورت عمودی و هم به صورت افقی عمل می کند. فنرهای لاستیکی تنها در مسیر افقی کار می کندکه در این مسیر اتاق عملیاتی و کارکنان از ضربه های زیر آبی محافظت می شوند. این ملاحظات طرح بر اساس ISO6954 "ضربه و ارتعاش مکانیکی ، رهنمودهایی برای ارزیابی کلی ارتعاشات در کشتی های تجاری" می باشد. برای بسامدهای 5 الی 100 هرتز ، سطوح ارتعاش با شتاب کمتر از 4mm/s باعث ایجاد شکایت هایی می شود ، در حالیکه دامنه های بالاتر از 9mm/s نیز بدین صورت می باشند. WRSها بعنوان محافظ در برابر زلزله نیز در ساختمان ها به کار می روند. تکان های زلزله که تحریک بسیار قوی می باشد دارای بسامدهای وسیعی می باشند. محافظت در برابر زلزله می تواند با جلوگیری از انرژی زلزله به دست آید. بنابراین ، WRSها برای حفاظت از تجهیزات مختلف به کار می روند.

2/3- مسیرهای بارگیری برای WRS ها

WRS می تواند در مسیرهای بارگیری مختلفی (یا حالت های مختلف) به کار برده شود. حالت های فوق تشخیص داده شده اند : حالت کشش – فشار و حالت غلطکی و برش. شکل 2/5 نشان دهنده ی حالت های مختلف از WRS پلیکال می باشد. انتظار می رود که WRS دارای خصوصیات مختلف برای حالت های مختلف باشد.

2/4- پسماند مغناطیسی

پدیده ی پسماند در سیستم های مختلفی صورت می گیرد. بطور مثال می توان آن را در سیستم های دارای اصطکاک مانند فنرهای طناب سیمی ، آلیاژهای شکلی و یا سیستم های مغناطیسی آهن دار یافت کرد. پسماند منجر به اتلاف انرژی می شود.

اگرچه قبل از اینکه نمونه ی پسماند را بوجود آورد ، در ابتدا لازم است تا خصوصیات و ویژگی های آن را تعریف کرد. این کار با نگاشت خروجی w(t) در مقابل ورودی u(t) از سیستم های پسماندی امکان پذیر می باشد. در مورد WRS ، w(t) مولفه ی نیروی فنر و u(t) مولفه ی تغییر شکل فنر می باشد. برای انجام چنین کاری یک حلقه ی پسماندی ایجاد می شود. با نگاه کردن به شکل 2/6 به خصوصیاتی در خواهیم یافت. بگذارید تا u(t) از u1 به u2 افزایش یابد. این امر دلالت بر آن دارد که جفت (u(t),w(t)) در منحنی ADC حرکت می کند. از طرف دیگر u (t) از u2 به u1 در امتداد منحنی CBA کاهش می یابد. علاوه بر این ، جفت (u(t),w(t)) به ناحیه کران دار S در حلقه ی ABCDA حرکت می کند در زمانیکه u(t) حرکت خود را به سمت u12/5- توسعه ی نمونه هایی برای WRS
 

تلاش بر آن شده است که فهرستی از نمونه ها که تشریح کننده ی رفتار دینامیکی فنرهای طناب سیمی می باشند ایجاد شود. دو نوع اصلی از نمونه ها می توانند مشخص شوند.
* نمونه ای بر اساس فیزیکی
* نمونه ای بر اساس پدیدار شناختی

2/5/1- یک نمونه ی فیزیکی
 

همانطور که پیش تر در این فصل مطرح شد ، اصطکاک در بین سیم های مختلف صورت می گیرد. برای تشریح رفتار دینامیکی WRS ، توسعه ی یک نمونه با توجه به اصطکاک موجود در بین تک تک سیم ها انجام می شود. بنابراین توصیه می شود که از نظریه ی سیم های فولادی توسعه یافته شده توسط و یک برای حالت فیزیکی استفاده شود. در کار وی ، توجه فراوانی به هندسه ی سیم های فولادی شده است. نمونه برای محاسبه ی تغییرات در انحناهای لایه ها در سیم ها و طناب ها توسعه یافته شده است.
از این نمونه پر واضح است که تغییرات کوچک از هندسه ی طناب باید مد نظر قرار گرفته شوند. دو معادله برای WRS به دست می آیند. با این معادلات ، نقاط تماسی مختلفی بین سیم ها در یک لایه می توانند محاسبه شوند. معادلات مشابهی نیز می توانند برای تشریح مشکل تماسی بین لایه های مختلف به کار برده شوند. دومین موضوع اندازه گیری نیروهای تماسی بین طناب و شیار چرخک می باشد. توجه ویژه ای به نحوه ی توزیع نیروهای تماسی در نقاط موجود می شود. همچنین روش های محاسباتی دیگری نیز برای اندازه گیری نیروهای تماسی پیشنهاد شده اند. اهمیت این موارد باعث ایجاد تاکید در مقاومت طناب می شود. در ادامه تنها زمانیکه مقاومت در اوج مقدار خود باشد ، مقایسه ی نظریه با اطلاعات آزمایشی ممکن خواهد بود. یک روش مشابه دیگر می تواند در WRS به کار برده شود تا رفتار دینامیکی فنر را به طریقه ی عملی نشان دهد. علاوه بر این در کار ویک هیچ اشاره ای به وجود اصطکاک نشده است. بنابراین روش صحیح در این خصوص استفاده از نمونه ای بر اساس پدیدار شناختی می باشد. ایجاد نمونه در خصوص سیستم هایی با پسماند ضروری و لازم می باشد. بخش 2/5/2 اشاره می کند که بسیاری از مولفان که درباره ی انواع اختلاف ایزولاتورها تحقیق می کنند از نمونه های پدیدار شناختی برای تشریح رفتار دینامیکی ایزولاتور استفاده می کنند.

2/5/2- یک نمونه ی پدیداری
 

همانطور که از بخش قبلی پیداست ، یک نمونه ی فیزیکی روش عملی برای تشریح رفتار دینامیکی WRS نمی باشد. بنابراین با نگاهی دقیق تر به این موضوع در می یابیم که باید نمونه ی پدیدار شناختی در تشریح سیستم دینامیک پسماند مورد استفاده قرار گیرد. انجام این امر به دو گروه عمده تقسیم می شود. گروه اول محققانی هستند که از نمونه ی بوک – ون برای تشریح رفتار دینامیکی WRS استفاده می کنند ، درحالیکه گروه دوم از نمونه های پدیدار شناختی دیگر بهره می گیرند.

نمونه ی بوک ون
 

نمونه ی بوک – ون در ابتدا توسط بوک پیشنهاد شد. وی در خصوص حرکت دوره ای سیستم پسماند تحقیق و بررسی کرده است. ون نیز نمونه را برای تشریح رفتار پسماندی توسعه داد. وی یک نمونه ی ارثی از نیروی بازگرداننده را بوجود آورد که می توان با توجه به آن بررسی تحلیلی را صورت داد. این نمونه ی تحلیلی چند منظوره خواهد بود. از طریق انتخاب های مناسب برای پارامترها در نمونه می توان گستره ی وسیعی از سیستم های پسماندی را در ترکیب با عمل سفت شدن و سخت شدن نشان داد.نگاهی نزدیکتر به نمونه ی بوک – ون که شامل مطالعه ی پارامتری می شود در فصل سوم موجود می باشد. کو و دیگران به طور آزمایشی یم WRS را برای استفاده از جداسازی ارتعاشی مورد تحلیل قرار داده است. آن ها یک واکنش غیرخطی را که در شکل 2/7 نشان داده شده است را مشخص کرده اند. علاوه بر این ، پر واضح است که اتلاف انرژی بطور چشمگیری افزایش می یابد.

یک نمونه ی ریاضی گونه نشان دهنده ی نیروی بازگرداننده درمقابل جابجایی می باشد که در آن پارامترهای مستقل برقرار شده اند. نیروی بازگرداننده به دو بخش تقسیم می شود. یک نیروی غیرپسماندی غیر خطی و دیگری نیروی پسماندی خالص. نیروی نخست از طریق تابع غیر خطی در صفحه ی نیروی جابجایی تشریح می شود و به حلقه ی پسماند با خصوصیات دامنه ای مربوط می شود. این نیرو در شکل 2/8a نشان داده شده است. نیروی پسماندی نیز در شکل 2/8b نشان داده شده است. وونگ و دیگران نیز از نمونه ی بوک – ون برای تشریح رفتار دینامیکی WRS استفاده کرده اند. در این مطالعه ، حالت ثابت ایجاد شده بوسیله ی یک تحریک دوره ای مورد تحلیل قرار می گیرد. علاوه بر این ، نشان داده شده است که نمونه ی بوک – ون قادر به تشریح حلقه های پسماندی مختلفی بعنوان خصوصیات نرم و سخت کردن و سیستم های پسماندی نیمه خطی می باشد. این تغییر شکل ها به علت انجام می شوند که نمونه ی بوک – ون قادر به تشریح پسماند سخت کردن نمی باشد. یک نسخه ی اصلاح شده برای حالت کشش- فشار وجود دارد. از این تحقیق پیداست که نمونه ی بوک – ون رفتار پسماندی مشاهده شده را به خوبی تشریح می کند.

منبع دیگری نیز کاربرد WRI را برای محافظت در برابر زلزله مورد بررسی قرار می دهد. دمتریادس و دیگران نمونه ی بوک ون را برای تشریح رفتار WRI مورد پیشنهاد قرار داده اند. پیش بینی های تحلیلی برای واکنش تجهیزات بوسیله ی WRS مورد پشتیبانی قرار می گیرند. علاوه بر این یک روش تحلیلی ساده نیز بوجود آمده است. دانشگاه فناوری ایندهاون شروع به ایجاد تحلیل نخست از WRI پلیکال نموده است. لینن از نسخه ی اصلاح شده ی نمونه بوک ون استفاده کرد که توسط نی و دیگران برای تشریح رفتار دینامیکی WRI در حالت کشش- فشار پیشنهاد شده بود. بوسیله ی آزمون بارگیری چرخه ای نیمه استاتیکی ، خصوصیات حلقه های پسماندی به دست آمده اند. یک مشکل بهینه سازی برای شناسایی پارامترهای نمونه بوجود آمد. علاوه بر این ، شبیه سازی هایی نیز برای پیش بینی رفتار دینامیکی صورت گرفته است. روش های به کار گرفته شده بسیار مفید هم نمی باشند ، زیرا ممکن است زمان بر باشند ولی نتایج به دست آمده از آن ها امید بخش خواهند بود.

نمونه ها بر اساس اصطکاک
 

تحقیق درباره ی WRI دارای ارتباطات نزدیکی با بررسی های مربوط به میراگرهای پسماندی به کار رفته در مهندسی راه و ساختمان می باشد. بنابراین نگاهی دقیق تر به میراگرهای به اصطلاح استوکبریج لازم می باشد. ساتر و هاگندور پسماند را در میراگرها مورد بررسی قرار دادند (شکل 2/9). این میراگرها بطور گسترده ای در خطوط انتقال برای نوسان های مربوط به رساناها به کار می روند. یک کابل سیمی در این میراگر باعث اتلاف انرژی می شود.گفته شد که مکانیزم میرایی با پسماند ایستایی بوجود می آید. این نتایج از اثطکاک بین طناب های فردی سیم ایجاد می شودمولفه هاای جنکین برای نمونه سازی پسماند استاتیک در سیستم به کار می روند. این مولفه ها بطور موازی مرتب شده اند و شامل فنرهای خطی و عنصرهای مربوط به اصطکاک می باشند.
تینکر و کاتچینز مطالعه ای را درباره ی خصوصیات دینامیکی یک ایزولاتور ارتعاشی طناب سیمی انجام دادند که در این مطالعه از ازولاتورهای مارپیچی استفاده شد. تاکید اصلی بر روی نمونه سازی تحلیلی مکانیک مربوط به میرایی در سیستم بوده است. آنها بررسی آزمایشی را انجام دادند که در آن منحنی سختی ، منحنی پسماند ، خط سیر مراحل و منحنی های پاسخ بسامد به دست آمده اند. نمونه ی توسعه یافت که نیمه آزمایشی بوده و دارای سختی غیر خطی ، قدرت سرعت میرایی n ام و اصطکاک میرایی بوده است. نتایج آزمایشات و نمونه ی آن مورد مقایسه قرار گرفتند.

در گذشته ، TNO پژوهشی را در خصوص WRI انجام داده است تا بتواند ارتعاشات را کاهش دهد. یک نمونه برای تشریح رفتار دینامیکی توسعه می یابد. ای نمونه شامل یک فنر با سختی K می باشد که با اصطکاک میرایی d موازی است

یک عامل فزاینده به نیروی میرایی افزوده می شود. این کار برای تشریح سیکل بارگیری انجام می شود. در نتیجه نمونه به معادله ی 2/1 تبدیل می شود که Uc یک ثابت مربوط به تغییر شکل می باشد. برای Uc=0 و Fd برابر با نیروی اصطکاک استاندارد می باشد. یکی از مزایای این نمونه آن است که تنها شامل سه پارامتر K و d و Uc می شود. فنرهای مختلفی مورد آزمایش قرار گرفته اند تا نمونه با منحنی های پسماندی مطابقت پیدا کند .

آزمایش های لرزاننده نشان دهنده ی آن هستند که نمونه ی اصطکاکی تشریح کننده ی رفتار WRI به طور کیفی می باشد. اگرچه یک عدم تطابق کمی در این زمینه دیده می شود. با افزایش نیروی اصطکاک و میزان بار شبیه سازی بهتری صورت می گیرد. نتایج به دست آمده در شکل 2/5/2 نشان داده شده اند. علیرغم عدم تطابق ذکر شده ، واکنش دینامیکی غیر خطی شبیه سازی می شود.

نتایج
 

بخش 2/1 معرفی کننده ی WRS می باشد در حالیکه کاربردهای اصلی آن در بخش 2/2 معرفی می شود. به خاطر اصطکاک بین لایه های مختلف ، پسماند صورت می گیرد. در بخش 2/4 برخی از خصوصیات پسماند به دست آمدند که ثابت می کند که پسماند دارای تاثیری مستقل می باشد. در پایان ، مروری بر نمونه سازی WRS ارائه میگردد. یک نمونه ی فیزیکی بر اساس نظریه ی "ویک" معرفی می گردد که البته جنبه ی کاربردی ندارد. بنابراین یک روش پدیده شناختی بهترین روش برای تشریح رفتار WRS می باشد. در ادامه ، فصل 3 نمونه ی بوک- ون را توضیح می دهد که اغلب برای تشریح رفتار WRS به کار می رود.

فصل سوم
 

نمونه ی بوک ون
 

همانطور که در بخش 2/5/2 ملاحظه کردیم ، نمونه ی بوک ون عمدتا برای تشریح رفتار پسماند به کار می رود. بنابراین ، یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک ون برای توضیح درباره ی رفتار دینامیکی WRS به کار گرفته می شود. قبل از به کار بردن این نمونه ، برای شناسایی پارامترهای WRS نگاهی دقیق تر به آن انداخته می شود. برای شروع نگاهی به نحوه ی توسعه و گسترش آن انداخته می شود. به علت فهم تاثیر پارامترهای مختلف در نمونه ی بوک ون ، یک مطالعه ی پارامتریک در بخش 3/2 انجام می شود تا درباره ی معنی فیزیکی این پارامترها و تاثیر آنها بر حلقه ی پسماندی مطالبی فرا گرفته شود. علاوه بر این ، رفتار دینامیکی نمونه ی بوک ون در بخش 3/3 تشریح می شود.

3/1- توسعه ی نمونه ی بوک- ون
 

توسعه ی نمونه ی بوک ون با کار بوک آغاز گردید. وی ارتعاشات نیروی یک سیستم غیر خطی را با پسماند تحت تحریک دوره ای درنظر گرفت.

معادله ی حرکت برای این سیستم در 3/1 وجود دارد. در این معادله z نیروی اصلی و x جابجایی و t زمان و p(t) نیروی تحریک می باشد.

ون یک نمونه ی موثر را برای سیستم های پسماندی ارائه کرده است.معادلات حرکت در 3/3 تا 3/5 آورده شده است. ون بیان می دارد که نیروی بازدارنده ، Q ، در نمونه ی پسماند غیر خطی می تواند به دو بخش تقسیم شود : g(x,x) و z(x) که در آن g یک پلینومینال غیرپسماندی غیر خطی می باشد و z(x) یک مولفه ی پسماندی است. (3/4) این نمونه جنبه ی تحلیلی دارد ؛ بطور مثال برای محاسبه ی نمونه ی جکوبیان. به سادگی می توان مشاهده کرد که معادله ی 3/2 یک مورد خاص از 3/5 می باشد زمانیکه

امروزه نمونه ی بوک ون که در آن nεN می باشد برای تشریح سیستم های پسماندی به کار می رود. دلیل این کاربرد تطبیق پذیری و شکل ریاضی گونه ی آن می باشد.

معادله ی 3/6 شامل چهار پارامتر می شود که در جدول 3/1 ابعاد مطابق آن ها نیز آورده شده است. این پارامترها یعنی α و B و γ و n پارامترهای حلقه ای هستند که شکل و بزرگی پسماند را کنترل می کنند. در بین این پارامترها α و B و n اعداد حقیقی مثبت و γ عدد حقیقی مثبت یا منفی می باشد.لازم به ذکر است که ون بیان کرده که nεN . اگرچه اکنون گفته می شود که n یک عدد مثبت حقیقی می باشد. متاسفانه دلیل این امر هنوز یافت نشده است. برای مورد 1>n>0 در زمانیکه z(t) به صفر نزدیک می شود بی نهایت می باشد.بنابراین این معادله اینگونه بازنویسی می شود :

می توان ملاحظه کرد که اصطلاح غیرپسماندی برای تشریح نیروی بازگرداننده از ایزولاتور ارتعاشی لازم و ضروری می باشد. از معادله ی 3/7 می توان نتیجه گرفت که

نیروی بازگرداننده ی Q به دو قسمت g و z تقسیم می شود که در معادله ی 3/4 قابل مشاهده می باشد ولی اگر Q=z باشد آنگاه g=0 می باشد. از معادله ی 3/8 مشخص است که یعنی تنها با z و علامت x(t) تغییر می کند. بنابراین x(t) مستقل می باشد.در نتیجه . این امر دلالت بر آن دارد که برای هر مقدار Q=Qz می باشد. عوامل تحریک کننده ی مختلف دارای شیب یکسانی می باشند که Q=Qz. علامت x نماد حلقه های پسماندی می باشد که توسط کو و دیگران به دست آمده است. این عدم تطابق می تواند با g در نیروی بازدارنده جلوگیری شود. زمانیکه g بیان کننده ی فنر خطی می باشد G=kx(t) می تواند اینگونه بیان شود

3/2- پارامتری که بر روی رفتار استاتیک نمونه ی بوک – ون تاثیر می گذارد
 

نمونه ی بوک ون شامل چهار مولفه می شود که دارای تاثیر شدیدی بر روی رفتار پسماندی می باشند. بنابراین داشتن یک نگاه دقیق و مشخص بر روی تاثیر هر پارامتر بسیار مهم و حائز اهمیت می باشد. وونگ و دیگران یک مطالعه ی پارامتریکی را برای نمونه ی بوک ون انجام دادند. یک روش مشابه برای به دست آوردن فهم بهتری از نمونه ی کامل برای رفتار نیمه استاتیکی به کار رفته است.

3/2/1- تاثیر پارامترهای B و γ
 

جدول 3/2 میزان شیب را در هر مرحله از حلقه ی پسماند فهرست بندی کرده است. این جدول نشان می دهد که حلقه ی پسماند متقارن با ناحیه ی مربوطه می باشد یعنی x = 0 و z = 0. تفاوت سختی در هر دو مرحله ی بارگیری – تخلیه ی بار و تخلیه ی بار – بارگیری مجدد برابر با 2B|z|n می باشد. بنابراین پارامتر B تغییر سختی را در زمانیکه x تغییر می کند کنترل می کند.

شکل منحنی پسماند عمدتا بر اساس پارامترهای B و γ مشخص می شود. ترکیبات مختلف B و γ منجر به ایجاد حلقه های پسماندی گوناگون با خصوصیات سختی متفاوت می شود. این امر خود منجر به ایجاد پنج نوع حلقه های پسماندی فیزیکی می شود که این پنج نوع در زیر خلاصه شده اند.
• ( B+ γ) > 0 , ( B – γ ) >0
• ( B+ γ) > 0 , ( B – γ )> 0
• ( B+ γ) > 0 , ( B – γ ) =0
• ( B+ γ) > 0 , ( B – γ ) >0
• ( B+ γ) = 0 , ( B – γ ) >0

ترکیبات بیشتر برای B و γ نیز ممکن می باشد. این ترکیبات در انتهای پروژه آورده شده اند و نشان داده شده است که این ترکیبات دارای منحنی پسماندی نمی باشند. برای پنج موردی که گفته شد ، شبیه سازی های نیز با استفاده از نمونه ی سیمولینک انجام شده است. حلقه های پسماندی برای پنج مورد فوق در شکل 3/1 تا 3/5 نشان داده شده است که در این شکل ها علامت های پیکان نشان دهنده ی مسیر حرکت می باشند. پارامترهای α و n هر دو در 1/0 ثابت می مانند. مقادیر موجود برای دامنه ی جابجایی نشان دهنده ی این امر می باشند. همانطور که در بخش 2/4 گفته شد ، پسماند یک تاثیر مستقل بوده و بنابراین سرعت x هیچ تاثیری بر روی شکل منحنی پسماندی نخواهد داشت. در سه مورد نخست ، رفتار غیر خطی نرم کردن در طول مرحله ی بارگیری صورت می گیرد و دلیل آن ( B+ γ) > 0 می باشد. در مورد چهارم ، تحت شرایط بارگیری ، سیستم غیر خطی می باشد و دلیل آن ( B+ γ) < 0 می باشد ؛ درحالیکه در مورد پنجم  B+ γ) = 0) سیستم نشان دهنده ی بارگیری نیمه خطی است.
 

لازم به ذکر است که شکل های 3/1 و 3/3 تقریبا نشان دهنده ی منحنی های پسماندی یکسانی می باشند. این امر باعث ایجاد این سوال می شود که آیا یک افزونگی در نمونه وجود دارد و آیا γ باید از نمونه حذف شود یا خیر. شکل 3/6 نشان دهنده ی منحنی های پسماندی برای ترکیبات B=0/8 و = 0/2 γ و = 0/5 γ می باشد.
دقت داشته باشید که برای هر دو سناریوی فوق معادله ی فوق صدق می کند :
B + γ = 1
در واقع منحنی های پسماندی مشابه یکدیگر می باشند و تنها اختلافی در میزان B وجود دارد و آن هم در زمانیکه x تغییر یابد. یک شکل عمومیت یافته برای معادله ی بالا این چنین می باشد :
ثابت B + γ =
با جابجا کردن این معادله با آنچه قبلا گفته شد ، یک نتیجه ی کلی به دست می آید. اگر B و γ هر دو بزرگتر از صفر باشند ، میزان شیب منحنی پسماندی با تغییر x ثابت خواهد بود. بنابراین ، شکل های 3/1 و 3/3 بوجود آورنده ی منحی پسماندی تقریبا یکسانی خواهند بود. این پارامتر اضافی منجر به فرآیند شناسایی می شود. یکی از موارد B>γ و B=γ و B<γ در="" طول="" شناسایی="" تعیین="" می="" کند="" که="" کدامیک="" از="" سناریوها="" می="" بایست="" مورد="" استفاده="" قرار="" گیرند.="" بطور="" مثال="" b="γ" منجر="" به="" ایجاد="" مورد="" سوم="" می="" شود="" ،="" همانطور="" که="" در="" شکل="" 3/3="" نشان="" داده="" شده="" است.="" اگر="" پارامتر="" γ="" حذف="" شود="" ،="" نمونه="" ی="" بوک="" ون="" به="" نمونه="" ی="" اوزدمیر="" تغییر="" می="" کند.="" باتی="" و="" پیستر="" و="" فوجیتا="" از="" این="" نمونه="" برای="" ابزارهای="" میرایی="" غیر="" خطی="" با="" رفتار="" پسماندی="" نرم="" کننده="" استفاده="" کرده="" اند.="" به="" غیر="" از="" ترکیب="" پارامترهای="" b="" و="" γ="" ،="" تاثیر="" هر="" پارامتر="" دیگر="" نیز="" به="" طور="" جداگانه="" مورد="" بررسی="" قرار="" گرفته="" است.="" بعد="" از="" آن="" ،="" شبیه="" سازی="" های="" نیز="" با="" مقادیر="" مختلف="" برای="" b="" و="" γ="" صورت="" گرفته="" است.="" شکل="" 3/7="" نتایج="" به="" دست="" آمده="" از="" این="" شبیه="" سازی="" ها="" را="" نشان="" می="" دهد.="" پارامترهای="" α="" و="" n="" برابر="" با="" 1/0="" می="" باشند.="" مقادیر="" برای="" γ="" و="" b="" به="" ترتیب="" 0/2="" و="" 0/8="" می="">
نمونه های یکسان نیز می تواند در موردی که B و γ تغییر می کنند دیده شوند ، حتی اگر مقادیر B و γ یکی باشند.
سیستم در این حالت از سخت گردانی به نرم گردانی تغییر می کند.

یکی از ملاحظات صورت گرفته در این باره نشان می دهد که WRS دارای رفتار پسماندی می باشد که نمی تواند از طریق نمونه ی بوک ون تشریح شود. نی و دیگران نشان داده اند که یک WRS برای دامنه های کوچک دارای سختی در حال نرم شدن می باشد که از طریق رفتار نیمه خطی قابل توجیه می باشد.
این عمل سخت کردن نرم نامیده شده و در شکل 3/8 نشان داده شده است. شکل 3/8 بر اساس نتایج به دست آمده از بررسی نسخه ی اصلاح شده ی نمونه ی بوک ون می باشد.

از جدول 3/2 می توان نتیجه گرفت که برای z>0 میزان شیب از منحنی پسماندی نمی تواند آشکار کننده ی کاهش یا افزایش سختی باشد بدون این که میزان B و γ تغییر کند. نی و دیگران همچنین مشاهده کردند که مسیر بارگیری برای دامنه های مختلف یکسان می باشد. این امر در شکل 3/9 نشان داده شده است. از آنجایی که WRS در کشش دارای رفتار سختی می باشد ، آنها نام این پدیده را سختی رو هم قرار گرفته شده می نامند که نمی توان از طریق نمونه ی بوک ون آن را تشریح کرد. این امر بوسیله ی شکل 3/4 تایید می شود. در فصل چهار دیده می شود که WRS به کار گرفته شده نشان دهنده ی این رفتار می باشد.

3/2/2- تاثیر پارامترهای α و n
پارامتر α کنترل کننده ی شیب حلقه ی پسماند در z=0 می باشد. بنابراین با ثابت ماندن دیگر پارامترها ، مقدار α بر روی ارتفاع و ضخامت حلقه ی پسماند تاثیر می گذارد. این تاثیر در شکل 3/10 نشان داده شده است.
 

مقدار n نیز نرمی انتقال از مرحله ی خطی بودن به مرحله ی غیر خطی را کنترل می کند. افزایش مقدار n باعث ایجاد رفتار الاستیکی- پلاستیکی می شود. در جایی که n نامحدود است مقادیر z >0 و z<0 در نظر گرفته می شوند.اگرچه همانطور که در بخش 3/4 به اثبات رسید مقدار z دارای مقدار ماکسیمم بوده و برای n که بینهایت است برابر با یک می باشد. در شکل 3/10 مقادیر B و γ به ترتیب 0/5 و -0/4 می باشند. پارامتر α در زمانیکه n متفاوت باشد برابر با 1/0 می باشد.

3/2/3- خلاصه
 

بطور خلاصه ، نمونه ی بوک ون می تواند خصوصیات مختلفی را با انتخاب صحیح پارامترهای B و γ تشریح کند. زمانیکه سیستم از خود رفتار نرم شدن را نشان می دهد مقادیر مختلف برای B و γ می تواند منجر به ایجاد حلقه های تقریبا یکسان شود. بنابراین ، یک حد برای B و γ می تواند به نسخه ی بوک ون افزوده شود و یا نمونه ی اوزدمیر مورد استفاده قرار گیرد. نمونه ی بوک ون قادر به تشریح پسماند موجود در فنر طنابسیمی نمی باشد. برای انجام چنین کاری نی و دیگران نسخه ی اصلاح شده ای از نمونه ی بوک ون را پیشنهاد کردند که در بخش ¾ مورد تشریح قرار خواهد گرفت. در بخش 3/3 تاثیر پارامترهای مختلف بر روی رفتار دینامیکی مورد بحث قرار می گیرد.

3/3- رفتار دینامیکی نمونه ی بوک – ون
 

در بخش 3/2 یا مطالعه ی پارامتری برای نمونه ی بوک – ون انجام گرفت. به خاطر آنکه نمونه ی بوک ون یک نمونه ی غیر خطی می باشد ، خصوصیات دینامیکی غیر خطی مختلفی مورد انتظار می باشد ؛ این خصوصیات شامل همنوایی مستقل دامنه و یا تشدید های یکنواخت متفاوت می شوند.

سیستم فوق بطور طرح گونه ای در شکل 3/11 نشان داده شده است. معادله ی حرکت آن اینگونه می باشد:

در اینجا d(t) بعنوان اختلاف بین محل و زمین (M) در نظر گرفته می شود. جرم برابر با 1Kg می باشد.

حرکت زمین با شتاب باعث افزایش بسامد می شود که این امر انحراف بسامد (شیفت بسامد) نامیده می شود.دامنه با شتاب 9/81a ثابت نگه داشته می شود.

هر دقیقه بسامد (f) با چهار عامل افزایش می یابد. فاصله ی بین دو فرکانس در هر دقیقه نیز در نظر گرفته می شود. در f0=0/1Hz رفتار زودگذر نیز وجود دارد که می تواند در بخش 3/12 تا 3/16مشخص شود. انحراف یا شیفت فرکانس بطور مفصل در بخش 6/1 مورد بحث قرار خواهد گرفت.

3/3/1- تاثیر پارامترهای B و γ بر روی رفتار دینامیکی
 

درست مانند رفتار نیمه استاتیکی ، تاثیر پارامترهای B و γ بر روی رفتار دینامیکی مشاهده شده است. تمام پنج موردی که در بخش 3/2/1 تشریح شدند مورد بحث قرار نخواهد گرفت. در عوض نگاهی دقیق به تاثیر B و γ بطور جداگانه انجام می شود. مقادیر α و n برابر با یک در نظر گرفته می شوند. شکل 3/12 نشان دهنده ی بیشترین سرعت برای مقادیر B و 0/4- = γ می باشد. می توان مشاهده کرد که دامنه بسامد تشدیدی با افزایش B کاهش می یابد. در این مورد میرایی پسماند افزایش می یابد. علاوه بر این ، فرکانس تشدیدی به سمت چپ منحرف می شود.

منحنی های مربوط به بزرگی و دامنه ی بسامد برای مقادیر γ نیز به دست آمده اند. این منحنی ها در شکل 3/13 نشان داده شده اند. در این جا میزان B برابر 0/8 می باشد.مجددا به خاطر میزان میرایی انحراف بسامد به سمت چپ ، دامنه کاهش می یابد.

شکل 3/14 نشان دهنده ی بیشترین شتاب بسامد برای ترکیبات B=0/5 و =0/5 γ و B=0/8 و =0/2 γ می باشد. این ترکیبات منجر به ایجاد منحنی های پسماندی یکسانی می شوند. اختلافات موجود می توانند در پاسخ دینامیکی از یکدیگر تشخیص داده شوند. نه تنها دامنه ی بسامد همنوایی تغییر خواهد کرد بلکه تفاوتی در بسامد تشدیدی نیز به چشم می خورد.

3/3/2- تاثیر پارامترهای α و n بر روی رفتار دینامیکی
 

زمانیکه تاثیر α و n مورد بررسی قرار گیرند مقادیر B و γ به ترتیب 0/5 و -0/4 می باشند. مقادیر برای α در زمانیکه تاثیر تاثیرات n شناسایی شوند برابر با یک خواهد بود و بر عکس.

شکل 3/15 نشان دهنده ی تاثیر α بر روی دامنه ی بسامد از نمونه ی بوک ون می باشد. این شکل نشان می دهد که بسامد تشدیدی برای مقادیر بالای α افزایش می یابد.

منحنی های پاسخ بسامد مختلف برای مقادیر مختلف n در شکل 3/16 نشان داده شده اند. برای مقادیر در حال افزایش n ، یک کاهش در بسامد تشدیدی مشاهده شده است. شکل 3/16 نشان می دهد که برای n=10 یک اوج حدود 10Hz می تواند ایجاد شود. بنابراین حالت ثابت از زمان برای بسامد تحریکی ده هرتزی در شکل 3/17 نشان داده شده است. می توان مشاهده کرد که برای مقادیر بیشتر n یک پاسخ یکنواخت وجود دارد. تشریح ممکن آن است که برای افزایش مقدار n سیستم حپبه حالت الاستیکی پلاستیکی رفتار می کند.

3/4- نمونه ی اصلاح شده ی بوک - ون
 

همانطور که در بخش 3/2 مشاهده شد ، نمونه ی بوک ون چند منظوره می باشد و از لحاظ ریاضی ساده بوده ولی درک و فهم نمونه بطور فیزیکی و یا پدیدار شناختی کار دشواری می باشد. نی و دیگران یک آزمون بارگیری دوره ای را انجام دادند تا بطور آزمایشی رفتار پسماندی را از WRI در برش و در حالت کشش و فشار به دست آورند. مشاهده شده است که رفتار متقارن در حالت برش صورت می گیرد. بنابراین دو نمونه ی بوک ون اصلاح شده پیشنهاد شد تا این اطمینان به دست آید که رفتار پسماندی در کشش به درستی تشریح شده است.

درحالیکه در این مطالعه تنها رفتار در حالت کشش و فشار مورد بررسی قرار گرفته است ، ولی نگاهی دقیق نیز بر روی نمونه ی متقارن صورت گرفته است. این نمونه با مدوله کردن یک نیروی پسماندی متقارن با یک سختی الاستیکی غیر خطی به دست آمده است. تابع F1(t) بعنوان یک تابع فرد با توجه به x(t) تصریح می شود یعنی= F1(x) F1 (-x).
علاوه بر این F2 نشان دهنده ی عدم تقارن در منحنی پسماندی می باشد. پارامترهای نمونه ی بوک ون قبلا در بخش 3/2 توضیح داده شدند. بنابراین جدول 3/3 تنها نشان دهنده ی پارامترهای اضافی در نمونه اصلاح شده ی بوک ون می باشد. پر واضح است که k1 و k2 و k3 پارامترهای سختی می باشند. از انجایی که F2 تنها یک تابع بدون بعد می باشد ، ابعاد b و c را می توان بطور مستقیم از معادلات 3/15 و 3/17 به دست آورد.

پارامترهای نمونه که می بایست تعیین و مشخص شوند بطور همزمان با نی و دیگران برآورده شده اند و به نظر می رسد که نمونه ی بوک ون رفتار پسماندی را به خوبی تشریح می کند. این مقادیر در جدول 3/4 خلاصه شده اند و برای شبیه سازی نمونه ی بوک ون به کار گرفته شده اند.

3/4/1- رفتار استاتیک بر روی نمونه ی بوک – ون
 

برای درک هر چه بهتر نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون مقادیر z و F1(t) و F2(t) و z(t)+F1(t) و F(t) در شکل های 3/18 الی 3/20 نشان داده شده اند. در این شکل ها x(t) برابر با 4sint می باشد. مشخص است که نیروی پسماندی z(t) دارای یک مقدار نهایی zmax در جابجایی xmax می باشد. بطور تحلیلی این مقدار بیشینه می تواند با تنظیم معادله و برابر کردن آن با صفر به دست آورده شود.

شکل 3/18 نشان می دهد که F1 یک فنر الاستیکی غیر خطی با مقدار مثبت در کشش و مقدار منفی در فشار می باشد. شکل 3/19 نشان دهنده ی یک مولفه ی اضافه که یک عامل چندکاربردی غیر متقارن می باشد است. تاثیر F2 بر روی منحنی پسماندی از شکل 3/20 مشخص می شود. با ضرب کردن مقدار z(t)+F1 در F2 یک منحنی پسماندی غیر متقارن به دست می آید که با F(t) نشان داده می شود.

3/4/2- رفتار دینامیکی بر روی نمونه ی اصلاح شده ی بوک - ون
 

شبیه سازی های اضافه برای درک رفتار دینامیکی نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون صورت گرفته اند. جرم M که در بالای WRS قرار گرفته است برابر با 3/5kg می باشد. برای نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون معادله ی حرکت بدین صورت می باشد :

در این معادله F نیروی بازگرداننده ی نمونه اصلاح شده ی بوک ون می باشد. این سیستم بطور مفصل در فصل هفتم توضیح داده خواهد شد.

شکل 3/21 بطور مشخصی نشان می دهد که رفتار غیر خطی نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون به چه صورت می باشد. بسامد تشدیدی یکنواخت برای دامنه های در حال افزایش به سمت چپ تغییر مسیر می دهند. علاوه بر این تشدیدهای یکنواخت مختلف می توانند مشخص شوند.

شکل 3/22 نشان دهنده ی تاریخ های زمانی برای سرعت تشدید یکنواخت می باشد. تشدید یکنواخت ترتیب اول و دوم و سوم به ترتیب 36/2 و 18/2 و 12/2 هرتز می باشند. تاثیر تشدیدهای بالا در شکل 3/21 قابل مشاهده می باشند ، بنابراین سیستم به کندی میرا می شود. اوج تشدید نیز به خوبی می تواند دیده شود.

3/5- نتیجه
 

این فصل تشریح کننده ی کامل نمونه ی بوک ون بود و تاثیر پارامترهای مختلف را مورد بررسی قرار داد. یکی از نتایج مهم به دست آمده آن بود که نمونه ی بوک – ون می تواند رفتار نرمی ، سختی و نیمه خطی را برای B و γ توضیح دهد. زمانیکه سیستم از خود رفتار نرمی را نشان می دهد ، مشکلی درباره ی ترکیبات مختلف B و γ بوجود می آید که این امر خود منجر به ایجاد حلقه های پسماندی یکسانی می شود. این افزونگی می تواند مشکلاتی را بوجود آورد. با شناسایی پارامترهای موجود در نمونه ی بوک ون از ایجاد این قبیل مشکلات جلوگیری به عمل می آید. همچنین بعنوان راه حلی برای این مشکلات یک حد به B و γ افزوده می شود. نتیجه ی مهم دیگر آن بود که نمونه ی بوک ون قادر به تشریح پسماند سختی نمی باشد زیرا حلقه ی پسماند در زمان z >0 مشخص نیست. همچنین این نمونه قادر به تشریح عمل سخت گردانی روی هم قرار گرفته نمی باشد. هر دوی این پدیده ها بطور آزمایشی برای WRS صادق می باشند. بنابراین یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک ون در بخش 3/4 ایجاد شد که توانایی لازم را برای توضیح این پدیده ها در اختیار داشت. در فصل چهارم نتایج آزمایشات نیمه استاتیکی ارائه می گردد. در واقع از پسماند سختی برای تشریح فنر طناب سیمی استفاده شد. تاثیر پارامتر بر روی رفتار دینامیکی نیز مورد بررسی قرار گرفته است. انحراف بسامد برای مطالعه ی تاثیر هر پارامتر نیز صورت گرفت. واضح است که نمونه ی بوک ون دارای یک پاسخ دینامیکی غیر خطی می باشد. یک نتیجه ی عمده آن بود که بطور کلی هیچگونه پاسخ یکنواختی بر اثر میرایی وجود نداشت به غیر از مقادیری که برای n بودند. ترکیبات موجود برای B و γ منجر به ایجاد منحنی های پسماندی یکسانی می شدند. یک نتیجه ی مهم ایجاد پارامترهایی بود که در انحراف بسامد به کار می رفتند. نتایج آزمایشی نیز برای مقادیر B و γ به دست آمدند.

فصل 4
 

آزمایش های شبه استاتیکی
یک فهم بهتر از رفتار WRS ها مورد نیاز می باشد. این امر با انجام آزمون های بارگیری نیمه استاتیکی دوره ای به دست می آید. در طول انجام این آزمایش ها ، دامنه های مختلفی برای کسب اطلاعات درخصوص چگونه رفتار کردن فنر طناب سیمی به کار گرفته شده اند. بنابراین هم دامنه های بزرگ و هم دامنه های کوچک به کار رفته اند. در مجموع پنج فنر موجود می باشند که سه تای آنها از لاگرز و دو تای دیگر از TNO-CMC گرفته شده اند. بنابراین ، پنج فنر به صورت log1 ، log2 و log3 و lab1 و lab2 نام گذاری می شوند. تمامی پنج فنر از نوع MP14-345 هستند و برای بارهایی تا 50 کیلوگرم طراحی شده اند.

4/1- اجرای آزمایشی
 

تنظیم برای آزمون بارگیری نیمه استاتیکی براساس محیط کشش و فشار صورت می گیرد. یک سلول بار محوری (10kN) برای تعیین نیروهای کششی و فشاری به کار گرفته شده است. WRS می بایست در موقعیتی ثابت قرار گرفته شود. بنابراین گیره های WRS در فلزها چفت می شوند (شکل 4/1). این گیره ها برای ثابت نگه داشتن نمونه در میز آزمایش به کار می روند.

رفتار پسماندی میراگرهای اصطکاکی به شدت توسط پیش بارگیری استاتیکی تحت تاثیر قرار می گیرند. به این صورت نتایج مختلف به طریقه ای بهتر می توانند مورد مقایسه قرار گیرند. بنابراین طول اولیه L0 تعریف می شود. هرگونه تغییر در طول ، فاصله ی خمش نامیده می شود. این فاصله در محور افقی و با علامت x(t) نشان داده می شود. نیروهای بارگیری تنها در مسیر محوری اندازه گیری می شوند.
حرکت از کنار نگه دارنده ها وجود ندارد. بنابراین نیروهای نتیجه بخش در سلول بار به جای نیروهای کششی و فشاری در نظر گرفته می شود.
x(t)=L(t)-L0
تمامی آزمون های بارگیری کنترل شده اند. بطور تجربی تنها سرعت های پایین بین صفر و 100mm/s می توانند برای بارگیری مورد استفاده قرار گیرند. بنابراین ، سطوح برانگیختگی دوره ای که در شکل 4/2 نشان داده شده اند مورد استفاده قرار می گیرد.

4/2- نتایج
 

همانطور که قبلا گفته شد تمامی پنج فنر مورد امتحان قرار گرفتند. این بخش تنها به بررسی نتایج برای فنر log1 می پردازد. اگرچه در طول اولین آزمایشات ، بارگیری اولیه به درستی اندازه گیری نشده است. این امر قبل از انجام آزمایشات در مرحله ی 6/2 به درستی صورت گرفته است. بنابراین احتمال انجام آزمایشات نیمه استاتیکی برای تمامی فنرها ناپدید شده است. بنابراین تنها نتایج نیمه استاتیکی بعد از آزمون ضربه برای فنر log1 مورد بحث قرار گرفته است.

شکل 4/3 نشان دهنده ی نتایج برای سطوح دامنه مختلف می باشد. پر واضح است که هرگونه منحنی پسماندی غیر متقارن می تواند بر اساس مشاهدات نی و دیگران تشخیص داده شود. این منحنی نامتقارن در شکل 3/20 با علامت F نشان داده شد. با مشاهده ی منحنی های پسماندی ، مشخص می شود که برای دامنه های کوچکتر ، فنر دارای سختی رو به نرم شدن می باشد. برای دامنه های کوچکتر سیستم به صورت نیمه خطی عمل می کند. برای دامنه های بزرگتر ما سخت گردانی در بارگیری را مشاهده می کنیم. علاوه براین ، ما سخت گردانی روی هم قرار گرفته را نیز خواهیم دید.
بنابراین بطور کلی یک نیروی بزرگتر در کشش نیاز است تا جابجایی مشابهی به دست آورده شود.

برخی از خصوصیات می توانند از این آزمون های نیمه خطی به دست آورده شوند. به عبارت دیگر سختی موثر یعنی Keff بعنوان بیشترین نیرو در نظر گرفته می شود. فرمول این عمل در زیر مشاهده می شود.
Keff = Fmax-Fmin/Xmax-xmin
نمودار بالا در شکل 4/5 نشان دهنده ی سخت گردانی موثر می باشد. ستاره های موجود در شکل همان مقادیر به دست آورده شده از اندازه گیری ها می باشند. می توان مشاهده کرد که تاثیر سخت گردانی رو به افزایش می باشد. کمیت مهم دیگر اتلاف انرژی می باشد. درصد اتلاف انرژی با تقسیم کردن مساحت سطح در حلقه (اتلاف انرژی) با مقدار کلی انرژی در یک بارگیری دوره ای محاسبه می شود. این امر در شکل 4/5 نشان داده شده است.

4/2/1- بارگیری در اطراف سایر نقاط عملیاتی
 

در بخش 2/2 اصلی ترین کاربرد از فنرهای طناب سیمی ، طبقه ی شناور چند منظوره می باشد که مورد تشریح واقع شد. همانطور که وزن این طبقه ی شناور بعنوان نوعی از پیش بارگیری استاتیک در نظر گرفته می شود ، انجام برخی از آزمایشات اضافی در خصوص نقاط مختلف جالب به نظر می رسد. بنابراین نقاط به دست آمده -20 و +20mm می باشند. لازم به توجه است که این نتایج برای فنر lab2 می باشند.

شکل 4/6 نشان دهنده ی رفتار WRI با نقاط منحرف شده می باشد. در اطراف نقطه ی کاری مثبت ، یک رفتار مشابه کشیدگی مشخص می شود.ما رفتاری مشابه را تحت کشیدگی مثبت در زمانیکه بار فنر 0mm است تشخیص داده ایم. مجددا ما عمل سخت گردانی را در کشش و رفتار نرم گردانی را در فشردگی تشخیص داده ایم. چرخه های بارگیری حدود -20mm می باشند که در زمانی است که نقطه ی عملیاتی mm 0 بوده و فنر فشرده شده باشد.

4/3- نتایج کلی
 

با انجام آزمایشات نیمه استاتیکی بسیاری از اطلاعات در خصوص رفتار WRS به دست می آید. همانطور که از منحنی های پسماندی نتیجه گیری می شود ، فنر طناب سیمی در کشش نشان دهنده ی سخت شدن و در فشار نشان دهنده ی نرم شدن می باشد. همانطور که در بخش 3/4 مشاهده کردیم نی و دیگران رفتار مشابهی را پیشنهاد کردند و بر طبق آن یک نمونه ی نامتقارن را برای تشریح رفتار پسماندی ایجاد کردند. بنابراین در فصل پنجم نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون به منظور تشریح رفتار WRS مورد شناسایی قرار می گیرد.

فصل 5
 

شناسایی نمونه
 

همانطور که از فصل سوم پیداست نمونه ی بوک ون یک نمونه ی چند منظوره می باشد که شامل پارامترهای مختلفی می شود. با فرض بر اینکه نمونه قادر به تشریح رفتار مشاهده شده می باشد ، بسیار حائز اهمیت است که پارامترها به درستی مورد برآورد و ارزیابی واقع شوند تا بتوان رفتار پسماندی را تشریح کرد. تلاش های بسیاری برای توسعه و گسترش روش های شناسایی سیستم های پسماندی غیر خطی صورت گرفته است که اکثر آن ها مربوط به نمونه ی بوک ون می باشند. در بخش 5/1 این تلاش ها بطور خلاصه مورد بحث قرار می گیرند تا بدین صورت بتوان روش های به کار گرفته شده را مورد شناسایی قرار داد. بخش 5/2 به بررسی روش شناسایی به کار رفته در این مطالعه می پردازد. سپس نتایج حاصل شده از شناسایی سیستم ارائه گردیده و منحنی های پسماندی آزمایشی با منحنی هایی که از نمونه بوجود آمده اند مورد مقایسه قرار خواهند گرفت.

5/1- شناسایی سیستم های پسماندی غیر خطی
 

تعیین پارامترهای نمونه با استفاده از اطلاعات ورودی و خروجی آزمایشی می توانند با روش های شناسایی سیستم به دست آیند. روش های مختلف برای شناسایی سیستم های پسماندی غیر خطی به کار می روند. این روش ها شامل روش زمانی و تکنیک کالمان می باشد. یک روش برای شناسایی نیروهای بازگرداننده ی پسماندی توسط ون و همران وی پیشنهاد شده است. این روش بر اساس یک سبک کلاسیک می باشد که پارامترهای آن با حل معادلات سیستم بطور همزمان به دست می آیند. بر اساس کاربردها برای روش شناسایی پارامترها ، استفاده از قوانین ساده برای تعیین پارامترهای نمونه توصیه می شود. مولفان بطور موفقی این روش را اجرا کرده اند. یار و هاموند اذعان داشته اند که مشکل برآورد یک مساله ی بهینه سازی غیر خطی می باشد. سپس آن ها از یک روش نیوتن برای تنظیم یک الگوریتم دو مرحله ای استفاده کردند. کاربرد این الگوریتم برای نمونه ی پسماندی بسیار معتبر می باشد. فیلتر کالمان یک تکنیک شناخته شده برای ارزیابی پارامتر می باشد. لین و ژانگ از این روش برای شناسایی پارامترهای یک سیستم SDOF پسماندی استفاده کرده اند. برای یک زمین لرزه ی شبیه سازی شده نیز از این روش استفاده گردید. دو روش ذکر شده هر دو جزو روش های شناسایی می باشند. در روش نخست ، پارامتر موجود در نمونه ی بوک ون یعنی n ثابت در نظر گرفته شده است. در نتیجه تنها پارامترهای نمونه ی دیگر باید مشخص شود. این رفتار می تواند منجر به طرح برآورد خطی شود و یا از واگرایی در الگوریتم های غیرخطی جلوگیری کند. در روش دوم یک برآورد دو مرحله ای معرفی گردیده است. در مرحله ی اول یک الی دو پارامتر ثابت در نظر گرفته می شوند و در مرحله ی پایانی تمامی پارامترهای نمونه بطور همزمان برآورد می شوند. نمونه ی بوک ون شامل چهار مولفه می شود که دارای تاثیر شدیدی بر روی رفتار پسماندی می باشند. بنابراین داشتن یک نگاه دقیق و مشخص بر روی تاثیر هر پارامتر بسیار مهم و حائز اهمیت می باشد. وونگ و دیگران یک مطالعه ی پارامتریکی را برای نمونه ی بوک ون انجام دادند. یک روش مشابه برای به دست آوردن فهم بهتری از نمونه ی کامل برای رفتار نیمه استاتیکی به کار رفته است. اگرچه یک الگوریتم چند مرحله ای نیز می تواند منجر به ایجاد نتایج خوبی در این زمینه شود ؛ ولی بسیار زمان بر می باشد. برای جلوگیری از این مشکلات نی و همراهان وی یک طرح برآورد یک مرحله ای را جایگزین کرده اند. نمونه ی بوک ون شامل چهار مولفه می شود که دارای تاثیر شدیدی بر روی رفتار پسماندی می باشند. بنابراین داشتن یک نگاه دقیق و مشخص بر روی تاثیر هر پارامتر بسیار مهم و حائز اهمیت می باشد. وونگ و دیگران یک مطالعه ی پارامتریکی را برای نمونه ی بوک ون انجام دادند. یک روش مشابه برای به دست آوردن فهم بهتری از نمونه ی کامل برای رفتار نیمه استاتیکی به کار رفته است. یک روش بسامدی برای شناسایی پارامترهای نمونه توسعه یافته است. این روش از اطلاعات آزمایشی موجود در تست های ارتعاشی دوره ای به دست آمده است. شبیه سازی های عددی نشان دهنده ی این مطلب هستند که روش پیشنهاد شده هیچگونه حساسیتی نسبت به سیگنال های مشاهده ندارند. دقت این روش در مقایسه با روش های دیگر بسیار بالا می باشد. یک روش مشابه نیز برای شناسایی دو نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون به کار می رود. روش تعادل هارمونیک نیز برای برآورد پارامترها همراه با تابع هرفمند مناسب به کار گرفته شده است. الگوریتم تکرار لونبرگ مارکوئارت برای برآورد پارامتر در طرح زمان بسامد نیز وجود دارد تا محاسبات عددی را انجام دهد. روش های شمابه یار و هاموند و لینن نیز به بررسی مساله ی بهینه سازی پرداخته اند. بنابراین یک روش بهینه سازی برای شناسایی پارامترها تنظیم شده است. برای افزای میزان فرآیند بهینه سازی منحنی پسماند باید دستخوش تغییراتی شود. علاوه بر این مجموعه ای از شبکه ها و نقطه ها نیز باید تعریف شوند. در نهایت حلقه ی پسماندی شناسایی شده با معادل آزمایشی آن مطابقت خواهد کرد. روش فوق بسیار پر هزینه و زمان بر می باشد.

5/2- روش شناسایی پیشنهاد شده
 

مطالعه ی کنونی عمل شناسایی یک فنر طناب سیمی را انجام می دهد که رفتار این فنر بوسیله ی روش اصلاح شده ی بوک ون تشریح می شود. مجموعه ای از پارامترها می بایست در این زمینه مورد شناسایی قرار گیرند. نه مولفه در این باره وجود دارند. بنابراین یک روش شناسایی و یک الگوریتم مورد نیاز می باشد.

5/2/1- تابع هدف
 

با جابجایی معادلات 3/15 و 3/17 به معادله ی 3/18 یک تابع خطا می تواند تعریف شود.

اگر رفتار پسماندی شناسایی شده بطور کامل با نمونه ی پیشنهاد شده مطابقت داشته باشد ، تابع e(t) برابر با صفر خواهد بود. فرآیند شناسایی می بایست تنظیم کننده ی پارامترهای نمونه شود. فرآیند شناسایی می بایست تنظیم کننده ی پارامترهای نمونه باشد تا بین حلقه های پسماند و نمونه ی تحلیل تطابق ایجاد کند. برای این منظور ابتدا y* برآورد می شود :

که در آن E معیار e(y)2 می باشد. خطا مجزا از زمان می باشد زیرا در زمان ، خطا مورد محاسبه قرار می گیرد. بنابراین خطا باید بدین ترتیب تعریف شود :

که در آن m تعداد نمونه ها می باشد.

5/2/2- الگوریتم لونبرگ – مارکوارت
 

در بخش 5/2/1 یک تابع هدفمند برای ایجاد یک نمونه ی آزمایشی تعریف شد. حال یافتن یک الگوریتم که از این شرایط تبعیت کند حائز اهمیت می باشد.

که در آن K برابر با تعداد تکرارها می باشد. یک چارچوب کلی برای چنین الگوریتمی از این قرار می باشد

که در آن α بصورت خطی می باشد. یک مسیر به صورت زیر بوده

که Ek

با ماتریکس ژاکوبی

که ابعاد Jk و ek (9×m) و (1m×) می باشد. چنین الگوریتمی ، الگوریتم لونبرگ-مارکوئاردت می باشد.

که I ماتریکس شناسایی و μ پارامتر میرایی می باشد. این امر دلالت بر این دارد که ماتریکس مثبت بوده و h حالت نزولی دارد. اگر μ کوچک باشد این ماتریکس اینگونه خواهد بود : و اگر μ بزرگ باشد با استفاده از الگوریتم گاوس – نیوتن اینگونه است : . اگر Y نزدیک به y* باشد به همگرایی سریعتری از روش گاوس نیوتن نیاز است. راهبرد جدید برای μ در ضمیمه ی D مورد بحث قرار خواهد گرفت.

5/2/3- روش شناسایی
 

راهبردهای شناسایی مختلفی مورد امتحان قرار گرفته اند. به خاطر دلایل مختلف ، این روش ها بطور رضایت بخشی انجام نگرفته اند. ضمیمه ی E تلاش های صورت گرفته را مورد شناسایی قرار می دهد. در پایان ، یک روش شناسایی سه مرحله ای مورد پیشنهاد قرار گرفت تا بتوان پارامتر y را در نظر گرفت. یک دوره ی حالت ثابت از بارگیری دوره ای برای ارزیابی خروجی نمونه به کار رفته است. دامنه این بارگیری 25mm می باشد زیرا برای دامنه های کوچکتر ، پارامتر سختی k3 هیچ تاثیری ندارد. در طول هر سه مرحله الگوریتم لونبرگ استفاده می شود.

نمونه شناسایی شده
 

در مرحله ی اول پارامترهای سختی k1 و k2 و k3 هر سه با پارامترهای تنظیمی b و c برآورد می شوند. سه پارامتر γ و α و B در نظر گرفته نمی شوند. بنابراین برای مرحله ی اول تابع به این صورت تغییر می کند

لازم است که پارامترهای استاتیکی به بخشی از منحنی متصل شوند که پارامترهای پسماندی دارای هیچ تاثیری نداشته باشند. بنابراین استاتیک در قسمتی انجام می شود که x(t) > 0 می باشد. در بخش 3/2 ملاحظه گردید که B تغییر سختی را کنترل می کند. شکل 5/1 بر منحنی تاکید می کند که برای استاتیک به کار می رود. این قسمت قبل از اینکه مرحله ی اول صورت گیرد به حالت اصلی خود باز می گردد. برای درنظر گرفتن حالت عدم تقارن لازم است تا برای F(t) در x(t)=0 و F(t)|x=x0 ضرب در F2(t) گردد و از نیروی اندازه گیری شده کسر شود. در این کار میزان شیب Fstat برابر شیب منحنی پسماندی در نظر گرفته می شود. بنابراین نیروی استاتیک Fstat(t) برابر است با

با توجه به مطالب گفته شده hc 5/10 معادله ی زیر قابل استنباط می باشد

شکل 5/2 نشان دهنده ی نتیجه برای مرحله ی اول شناسایی می باشد. شار استاتیک به دست آمده تقریبا دارای شیب یکسانی برای منحنی پسماند می باشد. این شکل نشان دهنده ی این است که عمل شناسایی به خوبی صورت گرفته است.

در مرحله ی دوم پارامترهای γ و α و B و همچنین پارامتر n برآورد می شوند. پارامترهای k1 و k2 و k3 و b و c ثابت بوده و در مرحله ی نخست برآورد می شوند. این پارامترها در مجموعه ی yhold طبقه بندی می شوند. تابع هدفمند برابر با معادله ی 5/2 می باشد.

با شناسایی پارامترهای پسماندی مساحت منحنی به دست می آید. یک مقایسه بین پاسخ آزمایشی و نمونه بعد از مرحله ی دوم در شکل 5/3 نشان داده شده است این پاسخ ها مشابه یکدیگر نیز می باشند.هنوز هم زمانیکه x(t) < 0 برای z(t) >0 باشد ، برای z(t) <0 یک اختلاف بین هر دو واکنش وجود دارد. نتیجه با افزودن یک مرحله ی شناسایی اضافی بهتر هم می شود. در نهایت، انجام دادن مرحله ی سوم اختیاری می باشد. بر اساس این فرضیه مرحله ی دوم به درستی صورت می گیرد. پاسخ نمونه ی پایانی در شکل 5/4 نشان داده شده است. می توان نتیجه گرفت که پاسخ نمونه برای قسمت های بزرگ تر بطور آزمایشی برابر بوده است. شکل 5/5 نشان دهنده ی حلقه های پسماند برای دامنه های مختلف می باشد. با مقایسه با شکل 4/3 می توان مشاهده کرد که نمونه بیانگر واکنش آمایشی می باشد اگرچه در زمانی که پارامتر شناسایی شده تشریح کننده ی رفتار دینامیکی است این امر منجر به ایجاد تفاوت ها در دامنه های کوچک می شود. جدول 5/1 پارامترهای موجود در نمونه ی بوک ون را با مقادیر مطابق آن ها بعد از انجام سه مرحله فهرست می کند.

5/3- نتایج
 

تلاش های مختلفی برای شناسایی پارامترهای موجود در نمونه ی بوک ون صورت گرفته است. یک روش شناسایی رضایت بخش پیشنهاد شده و به اجرا گذاشته شد.

این طرح سه مرحله ای می تواند بعنوان یک عامل مستقل زمانی در نظر گرفته شود. در مرحله ی نخست ، پارامترهای استاتیک بطور کامل تشریح می شوند. در طول مرحله ی پایانی تمامی پارامترها بطور بهینه آزادسازی می شوند. این نتایج در نمونه ی شناسایی شده نشان دهنده ی یک شباهت با معادل های آزمایشی می باشند. در فصل ششم نتایج آزمایشات دینامیکی ارائه می گردند. در فصل هفم پارامترهای شناسایی شده برای تحلیل رفتار دینامیکی فنر طناب سیمی مورد استفاده قرار می گیرند. شبیه سازی های مختلفی برای به دست آوردن منحنی های دامنه ی فرکانس صورت گرفته است. در پایان ، این شبیه سازی ها با نتایج آزمایشی مورد مقایسه قرار می گیرند تا فهمیده شود که آیا نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون رفتار دینامیکی فنر را به درستی تشریح می کند یا خیر.

فصل 6
 

آزمایشات دینامیکی
 

در فصل چهارم آزمایشات استاتیکی مورد تشریح قرار گرفتند. رفتار دینامیکی WRS نیز با آزمایشات مختلف در ازمایشگاه TNO-CMC مورد توضیح واقع شد. در ابتدا آزمایشات بر اسا لرزاننده ی الکترونیکی برای به دست آوردن منحنی های پاسخ بسامد صورت می گیرد که این امر در بخش 6/1 توضیح داده می شود. WRI نیز برای ضربه گیری طراحی شده و بنابراین آزمایشات ضربه ای مورد انجام قرار می گیرد. برای تمامی آزمایشات فنرهای log2 و lab1 و lab2 مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

6/1- آزمایشات بر روی تکان دهنده
 

آزمایشات ضربه ای الکترونیکی برای یادگیری بیشتر درباره ی رفتار ارتعاشی انجام می شوند. لرزاننده باعث تحریک سیستم با سیگنال انحراف بسامد می شود. با اندازه گیری پاسخ ، یک منحنی دامنه بسامد به دست می آید.

6/1/1- تنظیم آزمایشی
 

سه فنر بطور یکسان در جدول لرزاننده واقع شده اند. جرم آن ها 148/4kg می باشد. بنابراین مرکز جرم دقیقا بالای مرکز هندسی چارچوب از دو طرف متقارن قرار می گیرد. این طرح در شکل 6/3 نشان داده شده است.

سپس سیستم می تواند بعنوان یک سیستم آزاد در نظر گرفته شود. سرعت تحریک بر روی میز لرزاننده تعیین می شود. برای هر دو معیار اندازه گیری شده سیستم های SCADAS برای تعیین سرعت به کار می روند. بسامد نمونه fs برابر با 333/33 Hz می باشد. در بیشترین بسامد که برابر با سی هرتز است ، ده نقطه وجود دارد که برای تشریح یک دوره ی تحریکی موجود می باشند. آزمایشات اضافی با جرم ناچیز نیز صورت گرفته اند. انحراف بسامد به دو قسمت تقسیم می شود. انحراف بالا و انحراف پایین. آزمایشاتی صورت گرفته است تا مشاهده شود آیا سیستم در هر دو بخش دارای رفتار مشابهی می باشد یا خیر. عمده ترین کاربرد WRS در زمینه دریایی و کشتیرانی می باشد. هر آزمایش سه بار انجام می شود تا دقت بالاتر رود . F0=1/6Hz و برای انرحاف پایین همین مقدار 30 هرتز می باشد.

در حالیکه کاربرد اصلی از WRS در کشتیرانی می باشد ، لرزاننده باعث تحریک سیستم با سرعت ثابت می شود. هر آزمایش طی سه مرحله صورت می گیرد. علاوه بر این ، ناتوانایی هایی در این امر موجود می باشد.در طول انحراف بسامد مواردی جالب و عجیبی نیز اتفاق می افتند. می توان نتیجه گرفت که قابلیت تکرارپذیری مناسب می باشد زیرا واکنش های مختلف مشابه یکدیگر می باشند.

6/1/2- نتایج به دست آمده از آزمایشات
 

یک فیلتر کم فشار پنج ترتیبی با بسامد قطع 35 هرتز برای داده های جمع آوری شده به کار رفته است زیرا یک سیگنال با یک بسامد پنجاه هرتزی بطور مازاد وجود خواهد داشت. شکل 6/4 نشان دهنده ی بزرگی FFT ، X(f) می باشد. این شکل تاکید کننده ی آن است که یک سیگنال پنجاه هرتزی وجود دارد و بعد از فیلترینگ ناپدید می شود.

دامنه های شتاب متفاوت بعنوان عامل تحریک کننده به کار رفته اند. منحنی های مربوط به سیستم WRS در شکل 6/5 نشان داده شده اند.

شکل 6/5 نشان دهنده ی رفتار دینامیکی غیر خطی WRS می باشد. پر واضح است که تشدید یکنواخت نیز قابل مشاهده می باشد. علاوه بر این ، یک نقطه ی اوج دیگر می تواند تشخیص داده شود. این امکان وجود دارد که نقطه ی اوج تمامی فنرها از خود رفتار متفاوتی نشان دهند.اگرچه اختلاف بین بسامدها اختلاف نسبتا زیادی می باشد.دومین توضیح می تواند آن باشد که فنرها دقیقا تحت جرم و اوج تشدید قرار نگرفته اند. ، ولی این امر منطقی به نظر نمی رسد که سختی در این مسیرها کوچکتر از حالت کشش و فشار باشد. بنابراین انتظار می رود که بسامد تشدیدی صورت گیرد که توسط نی و دیگران نشان داده شده است. اختیار دیگر می تواند وجود 1/Kth واکنش یکنواخت باشد که بر زمان دوره ی تحریک دلالت می کند. با بررسی زمان مربوط به هر دوره شکل 6/6 حاصل می شود.

شکل 6/7 نشان دهنده ی شتاب تحریک برای vamp=20 mm/s می باشد. اگرچه این سیگنال باید دارای دامنه ای ثابت باشد ولی بین بسامدهای 8 و 17 Hz صحیح نمی باشد. دلیل این امر احتمالا اثر متقابل بین جرم و تحریک لرزاننده می باشد.این امر دلیلی برای دومین اوج می باشد.

شکل 6/6 مقایسه کننده ی پاسخ و تحریک حدود 13/6Hz می باشد. تحریک حتی بعد از فیلترینگ دارای فرم نامشخصی می باشد. شکل 6/8 نشان دهنده ی چگالی طیفی توانی یعنی Sxx می باشد.
می توان مشاهده کرد که یک بسامد 27/5Hz بر روی سیگنال وجود دارد. وجود این فرکانس قابل تشریح نمی باشد.

برای سیستم های غیرخطی مانند سیستم دافینگ ، بیش از یک راه حل در بسامد مشابه وجود خواهد داشت. در این مورد سه راه حل پیدا شده اند که دو مورد آنها a و c(-) و و یک راه حل ناپایدار (--) می باشد که در شکل 6/9 قابل مشاهده می باشند. دو انشعاب دوره ای برای بسامد در حال کاهش و افزایش وجود دارند.

شکل 6/9 نشان دهنده ی انشعاب دوره ای می باشد که خط یکسره و توپر در آن بیانگر راه حل های ثابت و خط نقطه چین در آن بیانگر راه حل ناپایدار می باشد.زمانیکه بسامد افزایش می یابد ، واکنش از a به b می رود. بطور مشابه ، واکنش برای کاهش بسامد از c به d می رود. بنابراین واکنش ها برای افزایش و کاهش بسامد تحریک با یکدیگر متفاوت می باشند. این امر بوسیله ی شکل 6/10 تایید می شود. دامنه ی سرعت در این مورد 15mm/s می باشد. هر دو واکنش مشابه یکدیگر می باشند و نشان دهنده ی پرش ها در بسامدهای مختلف نیستند. سپس نگاهی دقیق تر به محدوده ی بسامد از 1/6 تا 5 هرتز انداخته می شود تا یافت شود که تشدید یکنواخت می تواند به دست آید.

یک نقطه ی اوج تقریبا 5 هرتزی می تواند در شکل 6/5 نشان داده شود که یک تشدید یکنواخت به حساب می آید. شکل 6/11 که تحریک و واکنش سیگنال حدود 4/8Hz را نشان می دهد بیانگر آن است که نقطه پیک کوچک می تواند بوسیله ی تحریک ایجاد شود.

شکل 6/12 نشان دهنده ی دو تشدید کوچک به ترتیب با 2/15 و 1/70 هرتز می باشد. در پایان ، یک مقایسه بین تحریک و سیگنال واکنش برای vamp=20mm/s ایجاد می شود. شکل 6/13 نشان دهنده ی مقادیر بیشینه برای سیگنال ها در برابر بسامد تحریکی می باشد. می توان مشاهده کرد که برای بسامدهای بالای 15 هرتز ، فنرهای طناب سیمی عملکرد میرایی خوبی را از خود نشان می دهند به خصوص زمانیکه با جرم پنجاه کیلوگرمی بارگیری شوند. برای بسامدهای پایین 15 هرتز ، دامنه ی تحریک بزرگ می باشد. اندازه های اضافی نیز به سیستم متصل شده اند. شکل 6/14 نشان دهنده ی واکنش برای سه سطح مختلف تحریک می باشد که از لحاظ کیفی تفاوت چندانی با آنجه در منحنی های 6/5 نشان داده شد ندارد. مجددا یک تشدید مستقل دامنه می تواند تشخیص داده شود ، ولی بسامد همنوایی و دامنه ی آن در مقایسه با تنظیم اولیه تغییر می کند.

علاوه براین دومین نقطه ی اوج نیز موجود می باشد.

یک نقطه ی اوج دیگر نیز درست قبل از تشدید پدیدار می شود. شکل 6/15 نشان دهنده ی تحریک و سیگنال واکنش یازده هرتزی برای vamp=4mm/s می باشد. هیچ چیز عجیبی در خصوص واکنش و تحریک دیده نمی شود.

دومین اوج می تواند حدود 6/1 هرتز تشخیص داده شود که منجر به تحریک نیز می شود.اگرچه مقایسه تحریک و سیگنالهای واکنش به خودی خود مانند آنچه در شکل 6/11 نشان داده شد نمی باشد. هر دو سیگنال در شکا 6/16 نشان داده شده اند. و هیچ چیز عجیبی درباره ی تحریک به چشم نمی خورد. شاید این یک تشدید یکنواخت باشد ولی نمیتون اطمینان حاصل کرد ، زیرا شکل 6/16 نشان می دهد که هیچ چیز غیرعادی برای واکنش نیز وجود ندارد.

6/2- آزمایشات ضربه ای
 

در بخش 2/1 گفته شد که WRSها مانند ضربه گیرها بسیار عالی عمل می کنند. بنابراین آزمایشات ضربه ای مختلفی در آزمایشگاه TNO-CMC انجام می شوند تا بتوان درباره ی رفتار پاسخ ضربه ای از WRS مطالب بیشتری آموخت.

6/2/1- تنظیم آزمایشی
 

تنظیم آزمایشات نشان دهنده ی شباعت فراوان با آزمایشات لرزاننده می باشد. چارچوب سه گوشه ای مشابهی برای بارگیری فنرها مورد استفاده قرار می گیرد. با نگاه کردن به شکل 6/17 مشخص می شود که جرم های ساختگی به طریقه های گوناگونی به یکدیگر متصل می شوند زیرا آن ها نمی توانند نسبت به یکدیگر حرکت کنند و یا حتی ممکن است ارتباط خود را با یکدیگر از دست دهند. بنابراین ، جرم کلی بالای فنرها M=151kg تقریبا بیشتر از جرمی است که در آزمایشات لرزاننده به کار رفته است.

شکل 6/17 نشان دهنده ی آن است که فنرها بطور مستقیم به میز متصل نشده اند ولی در بالای چارچوب قرار دارند ، زیرا مساحت میز به اندازه ی کافی بزرگ نمی باشد. مرکز جرم دقیقا در مرکز هندسی سه فنر قرار دارند. تحریک صورت گرفته بطور مستقیم در جدول ضربه مشخص می شود. فرض بر این می رود که میرایی در چارچوب مورد عدم توجه قرار گرفته است و چارچوب سخت می باشد. سنسورهای مشابهی برای اندازه گیری مجدد سرعت با بسامد به کار رفته اند. تنظیم کلی ببطور طرح گونه در شکل 6/19 نشان داده شده است.

6/2/2- نتایج
 

قبل از اینکه اطلاعات مورد تحلیل قرار گیرند ، یک فیلتر کم فشار مورد استفاده قرار می گیرد. بسامد قطع برابر با صد هرتز می باشد. بطور کلی چهار ضربه به وقوع پیوسته است. شکل 6/20 ورودی را برای ضربه ی به کار رفته نشان می دهد. شکل 6/21 نشان دهنده ی پاسخ مطابق می باشد. تفاوت در دامنه ی هر دو ارتعاش تقریبا عامل 38 می باشد که می توان نتیجه گرفت که WRS یک ضربه گیر خوبی می باشد.

ضربه های بیشتری صورت می گیرند ولی ضرورتا آنها دربردارنده ی اطلاعاتی نمی باشند. شکل 6/21 نشان دهنده ی آن است که رفتار گذرا بسیار سریع ناپدید می شود. بسامد بوجود آمده در نظر گرفته می شود. به سادگی می توان مشاهده کرد که این بسامد تقربا ده هرتز می باشد ولی به تدریج برای یک دامنه افزایش می یابد.

6/3- نتایج کلی
 

هر دو آزمایشات ضربه ای برای یادگیری بیشتر درخصوص رفتار دینامیکی WRS انجام گرفته اند.همانطور که انتظار می رود ، رفتار دینامیکی غیرخطی برای سیستم فنری از خود نشان دهنده ی همنوایی یکنواخت می باشد. اگرچه وجود یک نقطه ی پیک ثانویه نمی تواند تشیح کننده ی این امر باشد. علاوه براین می توان نتیجه گرفت که WRS 15Hz بعنوان یک ابزار میرا کننده ی خوب عمل می کند در زمانیکه WRS با یک جرم ساختگی برابر با 50kg بارگیری می شود. آزمایشات ضربه ای نشان می دهد که WRSها ضربه گیر های بسیار خوبی می باشند ، زیرا اختلاف دامنه بین تحریک و پاسخ بسیار بزرگ می باشد. اوج نخست از تحریک تقریبا 38 برابر پاسخ مطابق خود می باشد. نتایج آزمایشی با نتایج شبیه سازی شده در فصل هفتم مورد مقایسه قرار می گیرند زیرا شبیه سازی ها با نمونه ی بوک ون انجام می شوند ، همانطور که در فصل پنجم رفتار دینامیکی مورد بحث قرار گرفت.

فصل 7
 

نتایج شبیه سازی
 

در فصل پنجم پارامترهای نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون مورد شناسایی واقع شد. علاوه بر این ، فصل ششم بیانگر نتایج آزمایشات دینامیکی صورت گرفته بر روی لرزاننده ی الکترونیکی و میز ضربه بود. در این فصل نتایج به دست آمده از شبیه سازی ها برای رفتار دینامیکی ارائه گردیده و با نتایج آزمایشی مورد مقایسه قرار می گیرد.

7/1- تنظیم نمونه
 

تنظیم آزمایشات دینامیکی که از لحاظ طرحی در شکل 7/1 نشان داده شده در فصل ششم نیز توضیح داده شد. سیستم شامل یک WRS با نیروی بازگرداننده ی F و جرم M بر بالای آن می شود. حرکت سیستم به صورت زیر است

که تغییر شکل فنر d(t) بعنوان اختلاف بین جابجایی اساسی xT و موقعیت جرم xM در نظر گرفته می شود.

مجددا سطوح دامنه ی ثابت شتاب برای تحریک سیستم به کار می رود. بنابراین شتاب اولیه xT(t) بر طبق فرمول زیر می باشد

و معادله ی 7/2 و مشتق زمان بدین صورت تغییر می کند که :

معادله ی حرکت 7/1 می تواند بعنوان مجموعه ای از سه معادله با متغیرهای x1=xM(t) و x2=xM(t) و x3=z(t) بازنویسی شود.

این سیستم با نمونه ی سیمولینک معرفی شده در ضمیمه ی C برابر می باشد. این سیستم بطور آشکاری به زمان تحریک بستگی دارد بنابراین یک سیستم غیر خودکار محسوب می شود. به خاطر آنکه نرم افزار موجود برای محاسبه ی راه حل های دوره ای مربوط به سیستم های خودکار می باشد ، سیستم فوق باید به یک سیستم خودکار تبدیل شود. برای این منظور یک نوسانگر خودکار مورد استفاده قرار می گیرد :

زمانیکه این نوسانگر برای جابجایی تحریک xT به کار می رود ، دو متغیر اضافه معرفی می شوند ؛ یعنی x4 و x5. نوسانگر دارای راه حل ثابت مجانبی می باشد یعنی x4=vampsin(wt) و x5=vampcos(wt). بنابراین حالت زودگذر از معادله ی 7/6 و 7/4 می تواند بازنویسی شود :

و سیستم غیر خودکار 7/5 اینگونه تغییر کند :

7/2- رفتار بلند مدت
 

در فصل ششم نتایج به دست آمده از آزمایشات انحراف بسامد معرفی شدند. برخی از خصوصیات غیر خطی نیز به دست آمدند. در این بخش دو روش مختلف برای به دست آوردن منحنی های دامنه ی بسامد ارائه می گردند که در وهله ی اول روش شلیکی و در مرحله ی دوم روش دنبال کردن مسیر معرفی می گردند (بخش های 7/2/2 و 7/2/3).

7/2/1- انحراف فرکانس
 

برای به دست آوردن منحنی های دامنه ی بسامد و وجود راه حل های دوره ای با شتاب ثابت ، ثابت های مختلفی در نظر گرفته می شود که باعث سهولت در مقایسه ی بین نتایج آزمایشی و شبیه سازی می شوند. سیستم غیرخودکار نیز به کار گرفته شده است. لازم به ذکر است که واکنش تنها تقریبی از رفتار حالت ثابت می باشد. از آنجایی که فرکانس تحریک همیشه تغییر می کند ، یک راه حل دوره ای هرگز به دست نمی آید و تنها تخمین زده می شود.

شکل 7/2 نشان دهنده ی سطوح سرعت مطلق برای سطوح مختلف تحریک می باشد که در آن رفتار گذرا نیز وجود خواهد داشت. در مقایسه با شکل 6/5 می توان مشاهده کرد که رفتار به همان صورت می باشد. برای دامنه های بزرگتر این امر به خوبی نشان داده می شود. اگرچه برای دامنه های کوچکتر ، یک تفاوت آشکار در بین واکنش آزمایشی و شبیه سازی وجود دارد. تشدید یکنواخت در بسامد بالا در شبیه سازی صورت می گیرد.علاوهبراین ، دامنه ی تشدید یکنواخت در شبیه سازی ها در مقایسه با معادل آزمایشی آن کوچکتر می باشد.

انحراف ها به ترتیب صورت می گیرند. یک تحریک آزمایشی اندازه گیری شده در شکل 7/3 نشان داده شده است که در شبیه سازی نیز به کار می رود. نمودار حاکی از آن است که دامنه ی تحریک بین 8 و 17 Hz ثابت نمی باشد.در حدود 16 هرتز یک اوج ثانویه قابل مشاهده می باشد که در شکل 7/4 نشان داده شده است. نمودار پایینی از شکل 7/3 نشان دهنده ی واکنش مطابق می باشد.

هنوز هم بطور کامل مشخص نشده است که چرا برای دامنه های کوچک تر ، نمونه رفتار مشاهده شده را به درستی تشریح نمی کند. به نظر می رسد که نمونه بسیار سنگین میرا شده است. بنابراین WRS برای دامنه های کوچک رفتاری را از خود نشان می دهد که نمی تواند بطور کمی مورد تشریح قرار گیرد. نمونه ی بوک ون بطور کمی در فصل پنجم تشریح شد. دومین راه حل استفاده از یک دامنه بطور دقیق می باشد. در بدترین مورد نمونه ی بوک ون نمی تواند تشریح کننده ی رفتار WRS برای سطوح دامنه ی کوچک باشد.

7/2/2- روش شلیکی
 

یک راه حل سریع و مناسب روش شلیکی می باشد که توسط پارکر و چوا و لین و ون تشریح شده است. در هر مرحله ی تکرار روش شلیکی به سمت شرایط اولیه پرتاب می شود. WRS مجموعه ای از طناب های لایه ای هستند که بین گیره های فلزی (میله ها) قرار گرفته اند. این فنرها با عنوان WRI ، فنرهای کابل فلزی و یا فولادی نیز شناخته شده اند.

که در آن T زمان دوره ای راه حل و x0 حالت آن می باشد. صفر بودن H(x0,T) بوسیله ی روش نیوتن و رافسون بوجود آمده است. برای جزئیات این روش شلیکی خواننده باید به پارکر و چائو رجوع کند. آخرین مجموعه از معادلات بدین صورت حل می شوند

که در آن ماتریکس و F(x) تابع پنج بعدی می باشد (7/8). روش شلیکی در هر مرحله از معادلات 7/10 وجود دارد و سپس بدین صورت می باشد

این معادله ی نشان می ده که تکرار مورد حساب قرار گرفته است. در طول تکرار خطا نیز می بایست بطور یکنواخت کاهش یابد.

که در آن خطا بعنوان باقیمانده در نظر گرفته می شود.

7/2/3- دنبال کردن مسیر
 

یک عیب روش شلیکی آن است که حدس اولیه باید به راه حل دوره ای نزدیک باشد. بنابراین می توان نتیجه گرفت که روش شلیکی دارای راه حل دوره ای نمی باشد ولی دربردارنده ی حدس خوبی برای راه حل دوره ای می باشد. این امر کم و بیش برای راه حل های دوره ای صدق می کند. اگرچه این راه حل ها می توانند به خوبی در ترکیب با روش های استمراری به کار روند تا شاخه هایی از راه حل های دوره ای را تعیین کنند. زمانیکه یک راه حل دوره ای ایجاد شد ، جالب است که این راه حل چگونه در زمان متفاوت بودن پارامتر سیستم تغییر می کند. تغییر پارامتر منجر به ایجاد شاخه ای از راه حل ها می شود. یک پارامتری که عمدتا به کار می رود بسامد می باشد. پارامتر دیگر انشعاب نامیده می شود.مجموع این فرآیند روش دنبال کردن مسیر را بوجود می آورد. ساده ترین شکل این روش بخش ترتیبی آن می باشد. این روش باعث افزایش پارامتر انشعاب w با می گردد. زمانیکه راه حل دوره ای w برابر با W* بشد w=w*+ . حدس اولیه w=w* بوده است. اگرچه مشکلات زمانی اتفاق می افتند که یک شاخه وجود داشته باشد. سپس راه حل در w=w* حدس خوبی برای w=w*+ نمی باشد. بنابراین روش شلیکی تقارن پیدا نمی کند. حتی اگر این چنین شود ، بخشی از شاخه بطور کلی دنبال نمی شود یعنی اینکه رو شلیکی از شاخه راه حل تبعیت نمی کند. یک روش بهبود یافته برای غلبه بر این مشکل ، روش ترتیبی طول قوسی می باشد که بر اساس تانژانت شاخه راه حل ها است. تانژانت در آن با p نشان داده می شود. در مرحله ی i یک راه حلxp, i,w p, I در مسیر راه حل قرار می گیرند و از راه حل Xs,I,ws,I شروع می شود

که در آن اندازه ی مرحله است. در نتیجه اصلاح تکرار به صورت قائم برای پیشگویی مرحله به کار می رود.

در طول فرآیند اصلاح ، مقدار باقیمانده می بایست کاهش یابد. اگر این شرط وجود داشته باشد ، یک پیش بینی جدید با اندازه ی جدید محاسبه می شود. یک نمودار شکلی از مکانیزم این کار در شکل 7/5 نشان داده شده است. برای توضیحی کامل از روش دنبال کردن مسیر خواننده به نایفه و بالاچاندران ارجاع داده می شود. در این پایان نامه یک روش غیر خودکار به کار رفته است که در آن پارامتر انشعاب w بسامد شعاعی می باشد. بنابراین سیستم غیر خودکار مورد استفاده قرار می گیرد.

7/2/4- ثبات موضعی محلول های دوره ای
 

این بخش به بررسی ثبات موضعی راه حل های دوره ای می پردازد که بطور مثال با روش شلیکی به دست آمده اند. این تحلیل ثبات به کار گرفته شده است. در این بخش تلاش شده تا بتوان راهبردهای کاهش ارتعاش و لرزش WRS ارائه گردد. انتظار می رود که تمامی فنرها از خود رفتار متفاوتی نشان دهند زیرا تفاوت های هندسی بوجود آمده بوسیله بی دقتی های در حین فرآیند تولید بوجود آمده است. در تلاش برای یافتن توضیحاتی برای تفاوت ها بین واکنش های مختلف فنرها ، رابطه ی کیفی بین رفتار WRS و متغیر طرح بوجود می آید. این پروژه به محاسباتی که در طول طراحی انجام می شوند کمک شایان ذکری می کند.این معادلات خطی با راه حل دوره ای به دست می آیند. می توان ثابت کرد که مقادیر از ماتریکس T Ф افزاینده های فلوکوئت نامیده می شوند و تمامی آن ها در دایره برای راه حل دوره ای قرار دارند.

اگر سیستم یک سیستم غیرخودکار باشد ، یک افزاینده ی فلوکوئت برابر با یک می باشد

اگر بیش از یک افزاینده در خارج از دایره قرار داشته باشد ، راه حل دوره ای بیپایدار خواهد بود. در پایان اگر یک یا بیش از یک افزاینده در درون دایره قرار داشته باشند نمی توان نتیجه گرفت که راه حل ناپایدار می باشد. نوع انشعابی که صورت می گیرد به مسیر افزاینده بستگی دارد که در دایره وجود دارد. سه سناریو در اینجا مطرح می شود که در شکل 7/6 نشان داده شده اند. در ابتدا یک افزاینده ی فلوکوئت که +1 بوده و و دوم آنکه یک افزاینده که می تواند در دایره -1 در نظر گرفته شود و در پایان یک انشعاب نیومارک که زمانی اتفاق می افتد که دو افزاینده ی توام پیچیده در دایره قرار گیرند.

7/2/5- محلول های دوره ای برای WRS
 

در ابتدا راه حل های دوره ای بوسیله ی روش شلیکی (پرتابی) صورت می گیرند تا بتوان اصل مورد نظر را از روش فوق به اجرا گذاشت. علاوه بر این حالتی به دست می آید که راه حل های دوره ای به سادگی به قابل فهم می باشند. در نتیجه Vamp=20mm/s در f=3/6Hz می باشد که بطور مفصل مورد بحث قرار خواهد گرفت.در این بسامد یک نقطه ی اوج می تواند در شکل 7/2 تشخیص داده شود. افزاینده های فلوکوئت از راه حل دوره ای برابر با 0/0381 ، 0/4605+0/1701i ، 0/4605-0/1701i و 0/5719 و 0/9998 می باشد.بنابراین آخرین افزاینده ی فلاکوئت تقریبا برابر با یک است زیرا راه حل برای سیستم خودکار در نظر گرفته شده است. می توان نتیجه گرفت که راه حل ثابت است. شکل 7/7 نشان دهنده ی زمان حالت های x1 و x2 و x3 می باشد. شکل 7/8 مراحل مختلف را نشان می دهد.

دوم آنکه روش شلیکی غیر خودکار در ترکیب با روش دنبال کردن مسیر انجام شده است.بنابراین راه حل های دوره ای برای سیستم غیرخودکار محاسبه می شود. بسامد شعاعی بعنوان پارامتر انشعاب w=2f به کار رفته است. برای هر راه حل دوره ای بیشترین جرم x1 محاسبه و نشان داده می شود. برای انجام محاسبات دقیق تر(tol=10-6) برخی از راه حل های دوره ای ناثابت به نظر می رسند.
بنابرایم دقت طرح رونگا کوتا با کاهش قدرت تولرانس از به افزایش می یابد. بعد از افزایش دقت طرح ، شبیه سازی یکسانی نیز صورت می گیرد. شکل 7/9 نشان دهنده ی این است که تمامی راه حل های ناثابت ناپدید شده اند.

راه حل های ناپایدار می توانند در 7/1 در نظر گرفته شوند. بنابراین توابع sgn در 7/5 جایگزین می شوند

که در آن a میزان شیب حدود صفر را کنترل می کند. شکل 7/10 نشان دهنده ی نتیجه برای تقریب sgn(x) می باشد زمانیکه x = 0/02sin(2t) می باشد. می توان مشاهده کرد که سیستم به صفر نزدیک می شود.با جابجایی معادله ی 7/16 به 7/5 یک تقریب از نمونه ی بوک ون به دست می آید. سپس روش دنبالکردن مسیر مجددا برای به دست آوردن نمودار انشعاب که تولرانس آن است مورد استفاده قرار می گیرد. نمودارانشعاب بوجود آمده در شکل 7/11 نشان داده می شود.این نمودار نشان می دهد که تنها راه حل های ثابت مطرح می باشند.

می توان نتیجه گرفت که نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون باعث ایجاد نادقتی های عددی می شود که می بایست برای جبران آن دقت طرح عددی افزایش یابد.اگرچه کاهش تولرانس طرح قطعا باعث افزایش زمان محاسباتی می شود.بنابراین می توان پرسید که چه چیزی حائز اهمیت می باشد : یک شبیه سازی سریعتر با تقریب آرام از نمونه ی بوک ون و یا یک محاسبه ی دقیق با زمان محاسباتی بیشتر.

در پایان ، مقایسه ای بین انحراف بسامد و روش شلیکی ترکیب شده با دنبال کردن مسیر صورت می گیرد. هر دو روش نتایج مشابعی را به همراه دارند. در ادامه مقایسه ی دیگری نیز بین آزمایشات و انحراف بسامد موجود در بخش 7/2/1 بوجود می آید. شکل 7/12 نشان دهنده ی واکنش بیشینه x1 برای انحراف بسامد می باشد. این شکل تایید کننده ی آن است که هر دو واکنش یکسان می باشند.

7/3- شبیه سازی ضربه
 

در بخش 6/2 آزمایشات ضربه ای مورد بحث قرار گرفت. ورودی ازمایشی برای شبیه سازی آزمایشات ضربه ای با نمونه ی سیمولینک یکسان به کار گرفته شد. نتایج به دست آمده از آزمایشات و شبیه سازی ها با یکدیگر مورد مقایسه قرار می گیرند.

7/3/1- نتایج و مقایسه با آزمایشات
 

شکل 7/13 نشان دهنده ی نتایج آزمایشات و واکنش ضربه ی شبیه سازی شده می باشد. دامنه ی اوج نخست در شبیه سازی بیشتر از دامنه ی آزمایشی می باشد. این امر می تواند بعنوان تحریکی مستقیم در نظر گرفته شود.شاید چارچوب آنقدر هم سخت نباشد و میرایی نتواند بطور کلی خودداری شود.

شکل 7/13 نشان می دهد که بسامدهای ارتعاش آزاد مشابه یکدیگر می باشند. آنها تقریبا برابر بوده و یک محاسبه ی ساده نشان می دهد که بسامد ثابت حدود 9/5 Hz می باشد. در بخش 6/2 محاسبه شد که بسامد آزمایشی تقریبا 10 Hz بوده است. برای بازگردانی اطلاعات بیشتر در خصوص سیگنال ها بزرگی FFT در شکل 7/14 نشان داده شده است. اختلاف بین بسامدهای آزمایشی و شبیه سازی با بزرگی آن به خوبی نشان داده شده است.در شبیه سازی این موارد در بسامد نسبتا بالایی صورت می گیرند. علاوه براین برای بسامدهای بالاتر بزرگی FFT از شبیه سازی ها بزگتر می باشد که نشان دهنده آن است که واکنش آزمایشی
بطور سنگینی میرا شده است. در پایان شکل 7/15 نشان دهنده ی سه متغیر در طول ضربه می باشد.

7/4) نتایج کلی
 

در این فصل روش های مختلفی برای بررسی رفتار بلند مدت سیستم مورد استفاده قرار گرفت. در شروع انحراف بسامد به کار گرفته شد تا منحنی های دامنه ی بسامد به دست اورده شود. نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون و نتایج آزمایشی نشان دهنده ی رفتاری مشابه از لحاظ کیفی می باشند. برای سطوح دامنه ی بزگتر هر دو واکنش به طریقه ای کمی نیز توجیه پذیر می باشند ، درحالیکه برای دامنه های کوچکتر ، یک اختلاف می تواند تشخیص داده شود. اگرچه مشخص نیست که آیا شناسایی پارامترهای بطور جداگانه برای دامنه های کوچک مورد نیاز است یا خیر. روش دیگر ایجاد دامنه ای از پارامترها می باشد که البته انجام آن کار دشواری می باشد زیرا تمامی پارامترها دارای معنای فیزیکی هستند. سپس روش شلیکی در ترکیب با روش دنبال کردن مسیر برای پیروی از شاخه های راه حل های دوره ای به کار رفته است. نظریه ی فلوکوئت برای بررسی ثبات موضعی راه حل های نهایی به کار رفته است. به خاطر خطاهای عددی ، برخی از راه حل های بی ثبات یافت شده اند. با افزایش دقت طرح عددی ، تمامی راه حل های بی ثبات ناپدید شدند. بی دقتی های عددی با نمونه ی اصلاح شده ی بوک ون ایجاد می شوند. ورودی نتایج ضربه ای برای شبیه سازی این آزمایش ها به کار رفته است. اگرچه بسامدهای حاصل شده از ارتعاش آزاد تطبیق پذیر می باشند ، ولی اوج هر آزمایشات بسیار با یکدیگر متفاوت هستند. توضیحی در این باره نیز وجود دارد که بر اساس آن شتاب بطور مستقیم بر روی میز ضربه با فنرهای موجود بر روی چارچوب اندازه گیری می شود درحالیکه از انعطاف پذیری و میرایی نمی توانند چشم پوشی کرد.

فصل 8
 

نتایج و توصیه ها
 

8/1- نتایج
 

هدف از این پایان نامه نمونه ی سازی رفتار نیمه استاتیک و دینامیکی WRS در حالت کشش و فشار می باشد. برای رسیدن به این هدف ، انجام چند مرحله ی مقدماتی مورد نیاز می باشد. WRS نشان دهنده ی رفتار پسماندی نامتقارن با رفتار نرم گردانی در محاسط فشاری و رفتار سخت گردانی در محیط کشش می باشد. برای دامنه های کوچک ، WRS دارای رفتار نرم گردانی می باشد که از طریق رفتار نیمه خطی به تدریج به رفتار سخت گردانی برای افزایش دامنه تغییر می کند.
علاوه براین سخت گردانی روی هم قرار گرفته در کشش نیز مشاهده شده است. برخی از خصوصیات غیر خطی برای رفتار دینامیکی ایجاد می شوند مانند بسامد تشدید همنوایی و تشدید های یکنواخت مختلف. اگرچه WRS برای ارتعاشات میراکننده با بسامدهای بالای 15 هرتز مناسب می باشد اگر یک WRS با جرم 50 کیلوگرم بارگیری شود. علاوه بر این ، آزمایشات ضربه ای تایید کرده اند که WRS ها ضربه گیر های بسیار خوبی می باشند. یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک ون برای تشریح رفتار WRS مورد استفاده قرار گرفت ، زیرا خود نمونه نمی تواند بیانگر رفتار سخت گردانی و نرم گردانی باشد. در ابتدا فهم معنی فیزیکی برخی از پارامترها دشوار می باشد ؛ دوم آنکه یک پارامتر اضافی وجود دارد و پارامترهای دیگر مانند B و γ می توانند منجر به ایجاد منحنی های پسماندی یکسانی شوند. دو راه حل می توانند از افزونگی جلوگیری کنند. (1) افزودن یک حد برای B و γ و (2) برگزیدن یک نسخه ی نمونه ی بوک ون که در آن پارامتر γ حذف شده است. واکنش دینامیکی از نمونه ی بوک ون نشان دهنده ی هیچ واکنش هارمونیکی برای مقادیر n نمی باشد.شناسایی تمامی پارامترها کار دشواری می باشد ، زیرا وزن موجود بر روی پارامترهای مختلف در طول فرآیند تغییر می کند. در نتیجه ، یک راهبرد شناسایی سه مرحله ای بوجود آورنده ی نتایج رضایت بخشی میباشد. نمونه و نتایج آزمایشی با یکدیگر تطابق دارند. شبیه سازی های ضربه ای بطور کیفی با یکدیگر مطابقت دارند. اگرچه دامنه ی ارتعاش متفاوت می باشد. انعطاف پذیری و میرایی چارچوب می بایست در سیستم لحاظ شوند. بسامدهای تئوری و آزمایشی از ارتعاش آزاد با یکدیگر تطابق دارند. انحراف بسامد حالت مناسبی را برای رفتار ارتعاشی از نمونه ی بوک ون بوجود می آورد. واکنش کیفی و نتایج آزمایشی نشان دهنده ی تطابق خوبی می باشند. برای دامنه های بزرگتر هر دو واکنش به طور کمی مشابه یکدیگر می باشند ، اگرچه به نظر می رسد که واکنش نمونه میرا شده است. روش شلیکی در ترکیب با روش دنبال کردن مسیر برای محاسبه ی راه حل های دوره ای به کار می روند. ثبات موضعی با استفاده از نظریه ی فلوکوئت تعیین می شود. با کاهش تولرانس طرح تمامی راه حل ها ثابت می شوند. برای دامنه های کوچک ، برای رفتار استاتیکی و دینامیکی ، WRS نشان دهنده رفتاری می باشد که بطور قابل ملاحظه ای از رفتار دامنه های بزرگتر متفاوت می باشد. بنابراین ، تشریح کمی این رفتار برای برای تمامی دامنه ها غیر ممکن می باشد. آزمایشات نیمه استاتیکی و روش شناسایی برای محاسبه ی واکنش سیستم WRS انجام می شوند. روش تشریح شده ی فوق منجر به ایجاد نتایج خوبی شده و در فرآیند طرح به کار می رود.

8/2- توصیه هایی برای تحقیق بیشتر
 

فنر طناب سیمی پذیرنده ی طناب سیمی استاندارد به عنوان جزء ارتجاعی می باشد و از اصطکاک ماندگار بین بندهای تکی طناب استفاده می کند. القای هماهنگ فنر منجر به ایجاد به اصطلاح یک حلقه ی پسماند می شود که خود در نهایت باعث اتلاف انرژی می گردد. بنابراین ، WRS یک ابزار میرایی مناسبی می باشد. به منظور افزایش دانش در خصوص رفتار دینامیکی WRS ، هدف از این پروژه بررسی هر دو رفتار شبه استاتیکی و دینامیکی از فنر طناب سیمی در حالت کشش و تراکم می باشد. نمونه ی بوک – ون یک نمونه ی پسماندی در خصوص یک موضوع وابسته به پدیده شناسی بوده که شامل چهار پارامتر α ، B ، γ و n می باشد. کیفیت n بر روی همواری از حالت ارتجاعی به حالت پلاستیکی نظارت می کند. پارامترهای B و γ عمدتا شکل حلقه ی پسماند را کنترل می کنند. با یک انتخاب مناسب برای پارامترهای B و γ می توان سختی و نرمی و رفتار نیمه خطی را نشان داد. اگرچه ، زمانیکه سیستم رفتار نرمی را نشان دهد ، ترکیبات مختلفی برای B و γ می توانند منجر به ایجاد منحنی های پسماندی برابری شوند. با افزودن یک محدودیت برای این دو پارامترها از این پدیده ی اضافی می تواند جلوگیری به عمل آورد. دومین راه حل پذیرفتن نسخه ای جایگزین از نمونه ی بوک – ون است که در آن پارامتر γ حذف شده است. با آزمون های شبه استاتیک بارگیری ، نشان داده شده است که فنر طناب سیمی که در این پروژه به کار رفته است از خود رفتاری را نشان می دهد که نمی توان آن را با نمونه ی بوک – ون توضیح داد ، زیرا WRS دارای رفتار سختی در کشش و رفتار نرمی در تراکم می باشد. دوم آنکه ، برای دامنه های کوچک ، WRS نشان دهنده ی رفتار نرمی می باشد که از طریق رفتار نیمه خطی به تدریج باعث تغییر به حالت سختی می شود تا دامنه افزایش یابد. این پدیده سختی نرم نامیده می شود. در پایان ، تحت فشار ، مسیر بارگیری برای دامنه های مختلف یکسان بوده که اصطکاک سختی نامیده می شود. برای کار با این موارد یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک ون برگزیده شده است که تشریح کننده ی رفتار فوق می باشد یک نتیجه ی مهم از استفاده ی این مدل اصلاح شده آن اس که مجموعه ای از پارامترهایی که می بایست شناسایی شوند شامل نه مورد هستند که با توجه به وجود پدیده ی افزونگی در نمونه ی بوک – ون ، عمل شناسایی بسیار دشوار خواهد بود. روش های شناسایی مختلفی قبل از انجام سه مرحله ی اولیه صورت گرفته است. در مرحله ی اول تنها رفتار نرمی در نظر گرفته می شود. این پارامترها برای شناسایی مقادیر در مرحله ی دوم می باشند که در آن میزان منحنی پسماند تشریح می شود. در مرحله ی پایانی ، تمامی پارامترها آزاد می شوند تا بطور بهینه تمامی مقادیر را تنظیم کنند. در نهایت واکنش شناخته شده و نتایج آزمایشی نشان دهنده ی تطبیق مناسبی می باشند. اگرچه برای سطوح دامنه ی کوچک هنوز تفاوتی وجو دارد. شبیه سازی هایی نیز برای ایجاد رفتار دینامیکی نمونه ی بوک – ون و مدل اصلاح شده ی آن صورت می گیرد. اگرچه اگر تمامی مسیرها و ابزارهای محاسباتی بتوانند اجرا شوند ، طرح نشان دهنده ی رفتاری برای فنر می باشد.

ضمیمهA
 

ابعاد WRS
 

شکل زیر به عنوان جدول اطلاعات برایSOCITEC-MP 14 از پلیکال WRS در نظر گرفته می شود.

ضمیمهB
 

ترکیب های ممکن برای B و γ
در این ضمیمه ترکیباتی برای B و γ که در فصل سوم مورد بحث قرار نگرفتند ارائه می گردد. در مجموع هشت ترکیب امکان پذیر می باشند. از آنجایی که پنج ترکیب قبلا تشریح شدند سه مورد باقی مانده است.

با این ترکیبات برای B و γ شبیه سازی هایی نیز صورت گرفته است. مقادیر موجود برای α و n برابر با صفر می باشند. نتایج به دست آمده در شکل زیر نشان داده شده اند. پر واضح است که این ترکیبات منجر به منحنی پسماند نمی شوند.

ضمیمهC
 

نمونه های پیوندی شبیه سازی شده

ضمیمهD
 

راهبرد به روزرسانی برای پارامتر مارکوارت

ضمیمهE
 

روش شناسایی
 

با شناسایی پارامترهای موجود در نمونه ی بوک ون از ایجاد این قبیل مشکلات جلوگیری به عمل می آید. همچنین بعنوان راه حلی برای این مشکلات یک حد به B و γ افزوده می شود. نتیجه ی مهم دیگر آن بود که نمونه ی بوک ون قادر به تشریح پسماند سختی نمی باشد زیرا حلقه ی پسماند در زمان z >0 مشخص نیست. همچنین این نمونه قادر به تشریح عمل سخت گردانی روی هم قرار گرفته نمی باشد. هر دوی این پدیده ها بطور آزمایشی برای WRS ها صادق می باشند. بنابراین یک نسخه ی اصلاح شده از نمونه ی بوک ون ایجاد شد که توانایی لازم را برای توضیح این پدیده ها در اختیار داشت. در فصل چهارم نتایج آزمایشات نیمه استاتیکی ارائه می گردد. در واقع از پسماند سختی برای تشریح WRS استفاده شد. تاثیر پارامتر بر روی رفتار دینامیکی نیز مورد بررسی قرار گرفته است. انحراف بسامد برای مطالعه ی تاثیر هر پارامتر نیز صورت گرفت. واضح است که نمونه ی بوک ون دارای یک پاسخ دینامیکی غیر خطی می باشد. ترکیبات موجود برای B و γ منجر به ایجاد منحنی های پسماندی یکسانی می شدند. یک نتیجه ی مهم ایجاد پارامترهایی بود که در انحراف بسامد به کار می رفتند. نتایج آزمایشی نیز برای مقادیر B و γ به دست آمدند.

E.1 طرح برآورد حوزه ی بسامد یک مرحله ای
 

E.2 روش شناسایی یک مرحله ای در حوزه ی زمانی
 

اگرچه یک طرح تمام فلزی ، WRS ها یک عملکرد و اجرای میرایی را نشان می دهند ، ولی اصطکاک لغزشی بین لایه های طناب سیمی وجود دارد. فنر طناب سیمی یک جزء الاستیکی می باشد و از اصطکاک پایدار بین هر لایه ی طناب استفاده می کند. این کار هم باعث سبک کردن ضربه ها و هم کاهش ارتعاشات با پهنای باند زیاد می شود. اگرچه فنرهای طناب سیمی برای جداسازی صوتی مناسب نمی باشد. جایگزین هایی برای WRS ها ، پایه های فنر تیغه ای می باشد.

ضمیمهF تاثیر
 

B و γ بر روی نمونه ی اصلاح شده ی بوک – ون
بخش 3/2/1 تاثیر پارامترهای B و γ را بر روی منحنی پسماند مورد بررسی قرار می دهد. نشان داده شده است که مقادیر مختلف برای این پارامترها منجر به ایجاد حلقه های پسماندی یکسانی می شوند.

می توان ثابت کرد کهF2 هیچگاه برابر با صفر نمی باشد. بنابراین برای دامنه های کوچکتر ، این نظریه ها می توانند منجر به ایجاد منحنی های پسماندی مختلفی شوند.

نمونه ی بوک – ون در ابتدا توسط بوک پیشنهاد شد. وی در خصوص حرکت دوره ای سیستم پسماند تحقیق و بررسی کرده است. ون نیز نمونه را برای تشریح رفتار پسماندی توسعه داد. وی یک نمونه ی ارثی از نیروی بازگرداننده را بوجود آورد که می توان با توجه به آن بررسی تحلیلی را صورت داد. این نمونه ی تحلیلی چند منظوره خواهد بود. از طریق انتخاب های مناسب برای پارامترها در نمونه می توان گستره ی وسیعی از سیستم های پسماندی را در ترکیب با عمل سفت شدن و سخت شدن نشان داد.نگاهی نزدیکتر به نمونه ی بوک – ون که شامل مطالعه ی پارامتری می شود در فصل سوم موجود می باشد. کو و دیگران به طور آزمایشی یک WRS را برای استفاده از جداسازی ارتعاشی مورد تحلیل قرار داده است.

ضمیمهG
 

تصاویر و طرح های زمانی
 

در بخش 7/2 نتایج روش دنبال کردن مسیر ارائه گردید. خطاهای عددی نیز به چشم می خورند.

جدول G1 فهرست کننده ی افزاینده ها برای دو راه حل ناثابت می باشد که هر دوی آن ها 3/0381 هرتز هستند.

فهرست منابع

فهرست علائم و اختصارات

منبع:
/ن