جبر
نويسنده: داريوش عابد
جبر به عنوان دانش حل معادله ها پديد آمده است. در مصر و بابل کهن و همچنين در دوران هاي جديدتر در هند، با مقدمه هاي جبر آشنا بودند و با توجه به داده هاي مسأله مي توانستند معادله را تشکيل دهند و برخي از گونه هاي آن را حل کنند. روش ها و مسأله هاي ويژه جبر که به تدريج و از همان دوره هاي باستاني پديد آمد و پيش رفت، آن را از ديگر شاخه هاي رياضيات جدا مي کند.
محمد، پسر موسي خوارزمي که در سده سوم هجري مي زيسته است، پدر دانش جبر به شمار مي آيد. او نخستين کتاب را در اين زمينه فراهم آورد و آن را حساب جبر و مقابله ناميد، در اين کتاب، پس از تعريف و شناسايي گونه هاي مختلف معادله ها، قاعده هايي براي حل هر گونه از آنها بيان و هر قاعده با نامي نموده شده است. از مهمترين اين قاعده ها يکي جبر و ديگري مقابله نام داشته است. قاعده جبر به اين معني است که مي توان مقداري را از يک طرف معادله برداشت و قرينه آن را به طرف ديگر معادله افزود.
قاعده مقابله به اين معني است که مي توان دو مقدار برابر را از دو طرف معادله حذف کرد. بر پايه کتاب خوارزمي دانشي پديد آمد که موضوع آن حل معادله ها بود. صورت لاتيني شده نام خوارزمي، آلگوريسم (Algorism) مدت درازي در اغلب زبان هاي اروپايي به معني علم حساب بوده است. در واقع جبر ، موضوع هاي کلي را با استفاده از نمادها، فرمول ها و معادلات و ناملايمات به جاي حالت هاي خاص که اعداد را به کار مي برند، مورد مطالعه قرار مي دهند. اين نوع تعميم را مي توان براي به دست آوردن خواص مختلفي که در حالت هاي خاص کاربرد دارند، مورد استفاده قرار داد.
براي استفاده از راهبرد جبري در فرايند حل مسأله پنچ گام وجود دارد:
1- خواندن مسأله
2- انتخاب نماد براي متغير
3- نوشتن معادله
4- حل معادله
5- آزمايش کردن جواب
به طور مثال فرض کنيد يک نخ به طول يک متر داريم و مي خواهيم با آن يک مستطيل بسازيم که مساحت آن 600 سانتيمتر مربع باشد، طول و عرض اين مستطيل چقدر بايد باشد؟
اگر طول و عرض اين مستطيل را بر حسب سانتيمتر x,y بناميم، بايد داشته باشيم,2(x+y)=10 و xy=600 که از معادله اول نتيجه مي شود y=50-x و با جايگذاري در معادله دوم داريم
600= (x- 50) x و با حل اين معادله که يک معادله درجه دوم است، x يعني طول مستطيل و از آنجا y يا عرض مستطيل به دست مي آيد.
همچنين برخي از محاسبات روزمره را مي توانيم با تشکيل معادله و حل آنها به راحتي انجام دهيم. فرض کنيد يک فروشگاه لوازم خانه، ميزهاي مطالعه را با تخفيف 20درصد مي فروشد. قيمت يک ميز که 8800 تومان است، بدون تخفيف چقدر بوده است؟
X= (80%)= 8800 ⇒ x(80%) = قیمت فعلی
11000 = 80/800 = 8800= x ⇒
بنابراين قيمت آن بدون تخفيف 11000 تومان بوده است.
در بعضي از مسائل جبري، به جز اعمال چهارگانه رياضي ممکن است با عمل هايي مانند توان و يا ريشه گيري بتوانيم معادلات و مساله ها را سريع تر حل کنيم. حل معادله هاي راديکالي و معادله هاي توان دار کاربرد بسياري در جبر دارد. در موارد زيادي از قبيل محاسبه مساحت و حجم، اعداد را به توان 2و3 مي رسانيم. قوه جاذبه، عمل متقابل الکترواستاتيکي و مغناطيسي، نور و صوت به نسبت معکوس توان دوم فاصله ضعيف مي شوند. اما در عمل فقط با توان ها 2و3 سرو کار نداريم، مهندسي که محاسبات مقاومت را انجام مي دهد، در هر گام با توان هاي چهارم و در محاسبات ديگر مثل قطر لوله بخار حتي با توان ششم سروکار دارد. منجم ها نیز در نمایش اعدادی که در محاسباتشان به کار می برند، از توان هاي بزرگ استفاده مي کنند سپس به حل معادله هايشان مي پردازند. به هر حال، تشکيل دادن معادله بر اساس معلومات مسأله قسمت اصلي براي به دست آوردن جواب ها مساله جبري است که پس از آن با روش هاي مناسب جبري مي تواند جواب هاي صحيح را به دست آورد.
منابع:
- رام کردن و پرورش مساله هاي رياضي. انتشارات مدرسه
- آموزش هنر حل مسأله. وزارت آموزش و پرورش
- تاريخ رياضيات- انتشارات مدرسه
منبع: نشريه اطلاعات علمي شماره8
محمد، پسر موسي خوارزمي که در سده سوم هجري مي زيسته است، پدر دانش جبر به شمار مي آيد. او نخستين کتاب را در اين زمينه فراهم آورد و آن را حساب جبر و مقابله ناميد، در اين کتاب، پس از تعريف و شناسايي گونه هاي مختلف معادله ها، قاعده هايي براي حل هر گونه از آنها بيان و هر قاعده با نامي نموده شده است. از مهمترين اين قاعده ها يکي جبر و ديگري مقابله نام داشته است. قاعده جبر به اين معني است که مي توان مقداري را از يک طرف معادله برداشت و قرينه آن را به طرف ديگر معادله افزود.
قاعده مقابله به اين معني است که مي توان دو مقدار برابر را از دو طرف معادله حذف کرد. بر پايه کتاب خوارزمي دانشي پديد آمد که موضوع آن حل معادله ها بود. صورت لاتيني شده نام خوارزمي، آلگوريسم (Algorism) مدت درازي در اغلب زبان هاي اروپايي به معني علم حساب بوده است. در واقع جبر ، موضوع هاي کلي را با استفاده از نمادها، فرمول ها و معادلات و ناملايمات به جاي حالت هاي خاص که اعداد را به کار مي برند، مورد مطالعه قرار مي دهند. اين نوع تعميم را مي توان براي به دست آوردن خواص مختلفي که در حالت هاي خاص کاربرد دارند، مورد استفاده قرار داد.
براي استفاده از راهبرد جبري در فرايند حل مسأله پنچ گام وجود دارد:
1- خواندن مسأله
2- انتخاب نماد براي متغير
3- نوشتن معادله
4- حل معادله
5- آزمايش کردن جواب
به طور مثال فرض کنيد يک نخ به طول يک متر داريم و مي خواهيم با آن يک مستطيل بسازيم که مساحت آن 600 سانتيمتر مربع باشد، طول و عرض اين مستطيل چقدر بايد باشد؟
اگر طول و عرض اين مستطيل را بر حسب سانتيمتر x,y بناميم، بايد داشته باشيم,2(x+y)=10 و xy=600 که از معادله اول نتيجه مي شود y=50-x و با جايگذاري در معادله دوم داريم
600= (x- 50) x و با حل اين معادله که يک معادله درجه دوم است، x يعني طول مستطيل و از آنجا y يا عرض مستطيل به دست مي آيد.
همچنين برخي از محاسبات روزمره را مي توانيم با تشکيل معادله و حل آنها به راحتي انجام دهيم. فرض کنيد يک فروشگاه لوازم خانه، ميزهاي مطالعه را با تخفيف 20درصد مي فروشد. قيمت يک ميز که 8800 تومان است، بدون تخفيف چقدر بوده است؟
X= (80%)= 8800 ⇒ x(80%) = قیمت فعلی
11000 = 80/800 = 8800= x ⇒
بنابراين قيمت آن بدون تخفيف 11000 تومان بوده است.
در بعضي از مسائل جبري، به جز اعمال چهارگانه رياضي ممکن است با عمل هايي مانند توان و يا ريشه گيري بتوانيم معادلات و مساله ها را سريع تر حل کنيم. حل معادله هاي راديکالي و معادله هاي توان دار کاربرد بسياري در جبر دارد. در موارد زيادي از قبيل محاسبه مساحت و حجم، اعداد را به توان 2و3 مي رسانيم. قوه جاذبه، عمل متقابل الکترواستاتيکي و مغناطيسي، نور و صوت به نسبت معکوس توان دوم فاصله ضعيف مي شوند. اما در عمل فقط با توان ها 2و3 سرو کار نداريم، مهندسي که محاسبات مقاومت را انجام مي دهد، در هر گام با توان هاي چهارم و در محاسبات ديگر مثل قطر لوله بخار حتي با توان ششم سروکار دارد. منجم ها نیز در نمایش اعدادی که در محاسباتشان به کار می برند، از توان هاي بزرگ استفاده مي کنند سپس به حل معادله هايشان مي پردازند. به هر حال، تشکيل دادن معادله بر اساس معلومات مسأله قسمت اصلي براي به دست آوردن جواب ها مساله جبري است که پس از آن با روش هاي مناسب جبري مي تواند جواب هاي صحيح را به دست آورد.
منابع:
- رام کردن و پرورش مساله هاي رياضي. انتشارات مدرسه
- آموزش هنر حل مسأله. وزارت آموزش و پرورش
- تاريخ رياضيات- انتشارات مدرسه
منبع: نشريه اطلاعات علمي شماره8
