نویسنده: ویلیام کروپر
مترجم: احمد خواجه نصیر طوسی
مترجم: احمد خواجه نصیر طوسی
در پاییز سال 1684، ادموند هالی(1)، اخترشناسی ماهر، به کمبریج سفرکرد تا پرسشی را با نیوتون مطرح کند. هالی به این نتیجه رسیده بود که نیروی گرانشی بین خورشید و سیارات از قانون عکس مجذور فاصله پیروی می کند، یعنی ارتباط بین این «نیروی مرکز گرا» (آن طور که نیوتون بعداً آن را می نامید) و فاصله r بین مراکز سیاره و خورشید به صورت زیر است
(نماد α را بخوانید «متناسب با». اگر r دوبرابر شود، این نیرو به صورت و اگر r سه برابر شود به صورت و غیره، کاهش می یابد. دیدار هالی و پرسش او، بعداً توسط آبراهام دِمُوار(2)، شاگرد نیوتون بیان شد:
در سال 1684، دکتر هالی برای ملاقات [با نیوتون] به کمبریج آمد، پس از مدتی که با هم بودند، دکتر از او پرسید، با فرض اینکه نیروی جاذبه به سوی خورشید عکس مجذور فاصله باشد، نظر شما درباره انحنای مسیری که سیارات می پیمایند چه خواهد بود. سِر آیساک بلافاصله پاسخ داد یک [بیضی]، دکتر با خوشحالی و حالتی شگفت زده پرسید، چگونه دانستید، او گفت به دلیل اینکه محاسبه کرده ام، سپس دکتر هالی بی درنگ درخواست کرد که محاسباتش را ببیند، سر آیساک کاغذهایش را زیر و رو کرد اما نتوانست آن را بیابد، اما قول داد که محاسباتش را تجدید کند و برای او بفرستد.
چند ماه بعد، هالی نامه ی موعود را دریافت کرد، مقاله ای بود مختصر، اما استثنایی با عنوان De motu corporum in gyrum (درباره حرکت اجرام در مدار). در آن مقاله نه تنها به پرسش هالی پاسخ داده بود، بلکه کلیات سیستمی جدید از مکانیک سماوی و مبنایی نظری برای سه قانون حرکت سیاره کپلر بیان شده بود.
او ابتدا به تجدیدنظر De motu پرداخت و آن را بسط داد، اما هنوز بر مکانیک سماوی متمرکز بود، و سپس متوجه هدفی بزرگتر، یعنی دینامیک عمومی شد که هم پدیده های زمینی و هم پدیده های سماوی را در بر می گرفت. این کاری بسیار فراتر از De motu بود و حتی می بایست عنوان دیگری داشته باشد. نیوتون برای کار نهایی عنوان لاتینی philosophiae naturalis principia mathematica (اصول ریاضی فلسفه طبیعی) را انتخاب کرد که معمولاً به اختصار principia نامیده می شود.
سرانجام، وقتی پرینسیپیا شکل گرفت، شامل یک مقدمه و سه کتاب بود. این مقدمه شامل تعاریف و مواردی است که نیوتون برای قوانین اساسی حرکت در نظر گرفته بود. از این مبانی، در کتاب 1 تجهیزات ریاضی گسترده و پیچیده ای ساخته می شود، و برای اجسام متحرک بدون مقاومت، مثلاً در یک محیط خلأ به کار می رود. کتاب 2 به حرکت در محیط مقاوم-مثلاً در یک مایع-مربوط می شود. و کتاب 3 کیهان شناسی نیوتون، یعنی «سیستم جهانی» او را ارائه می کند.
به یک معنی می توان گفت که استحقاق هالی در اعتبار پدید آوردن پرینسیپیا کمتر از نیوتون نبود. نخستین دیدار با هالی در کمبریج یادآور ناتمام کار نیوتون درباره مکانیک سماوی شد و او را به نوشتن De motu وادار کرد. وقتی هالی درنوامبر سال 1684، De motu را دید، آن را آغاز انقلابی در علم مکانیک دانست. او بدون فوت وقت برای ترغیب و حمایت بیشتر نیوتون به کمبریج بازگشت. اما لزومی نداشت. نیوتون با تمام قوا علم دینامیک جدید را دنبال می کرد. وستفال می نویسد: «از اوت سال 1684 تا بهار سال 1686 زندگی نیوتون وقف تکمیل پرینسیپیا شد.»
در آوریل سال 1686 کتاب 1 و 2 کامل شد، و هالی فعالیت شدیدی را آغاز کرد تا انجمن سلطنتی این کتابها را منتشر کند. به دلیلی (شاید با اصرار هالی از اعتبار محدودی که به عنوان منشی انجمن داشت) اعضای انجمن در یک اجلاس عمومی قانع شدند و تصمیمی اتخاذ شد مبنی بر این دستور که «کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی آقای نیوتون بدون فوت وقت چاپ شود». مسئولیت انتشار به عهده هالی گذاشته شد.
اکنون هالی می بایست پرینسیپیا را در مسیر انتشار پیش ببرد، اما این مسیر جاده ای پر دست انداز و ناهموار بود. در آغاز کار، هوک ایجاد مزاحمت کرد. هوک معتقد بود که قانون عکس مجذور گرانش را او کشف کرده است و می خواست که نیوتون آن را تصدیق کند. اگر نوعی سپاسگزاری لازم می بود، می باید در کتاب 3 که در حال اتمام بود می آمد. نیوتون شناسایی تقدم هوک را رد کرد و تهید کرد که کتاب 3 را متوقف می کند. هالی هنوز کتاب 3 را ندیده بود، اما احساس می کرد بدون آن، پرینسیپیا کالبدی بدون سر خواهد بود. او به نیوتون نوشت: «سِر من باید بار دیگر از شما تقاضا کنم، اجازه ندهید آزردگی شما به حدی فوران کند که ما از کتاب سوم شما محروم بمانیم». نتیجه آنکه بی سر شدن کالبد کتاب رفع شد، و تقاضاهای سیاستمدارانه هالی ممکن است عامل قطعی این امر بوده باشد.
علاوه بر وظایف ویراستاری، از هالی خواسته شده بود که برای انتشار پرینسیپیا کمک مالی بکند. انجمن سلطنتی نزدیک به ورشکستگی بود و حتی نمی توانست پنجاه پوند ماهانه هالی را که منشی انجمن بود بپردازد. هالی در جوانی ثروتمند بود، اما در سالهای 1680 او خرجی یک خانواده را به عهده داشت و دارایی او کاهش یافته بود. انتشار پرینسیپیا یک قمار بود، و احتمال زیان مالی سنگینی داشت.
اما سرنجام، در 5 ژوئیه سال 1687 توانست در نامه ای به نیوتون اعلام کند که «بالاخره کتاب شما را به پایان رساندم.» نخستین چاپ کتاب به سرعت فروش رفت. هالی دست کم هزینه هایش را بازیافت و مهمتر آنکه سپاسگزاری نیوتون را آن طور که شایسته او بود دریافت کرد: «آقای ادموند هالی تیزبین ترین و فاضلترین قاطبه مردم، نه تنها مرا در تصحیح غلطهای چاپی و تهیه شکلهای هندسی یاری کرد، بلکه بنا به درخواستهای او بود که این کتاب انتشار یافت.»
خواننده امروزی پرینسیپیا باید با سبک منحصر به فرد ریاضی نیوتون نیز آشنا شود. گزاره های با زبان هندسی و معمولاً با ارجاع به شکل، بیان و اثبات شده اند. (پرینسیپیا، در حدود پانصد صفحه، 340 شکل دارد که بعضی از آنها فوق العاده پیچیده است.) برای ما این یک سهو تاریخی به نظر می رسد. در سالهای 1680، که پرینسیپیا در حال شگل گرفتن بود، نیوتون قبلاً روش فلوکسیون حسابان را ایجاد کرده بود. چرا او برای بیان علم دینامیکش از حسابان، آن طور که امروزه ما به کار می بریم، استفاده نکرد؟
این امر تا حدی یک انتخاب زیباشناختی بود. نیوتون هندسه «باستانی» به ویژه اقلیدس و آپولونیوس (3) را به جبر دکارت، که به تازگی ارائه شده بود و نقش اساسی در معادلات فلوکسیونی داشت، ترجیح می داد. او دریافته بود که روش هندسی «بسیار ظریفتر از روش دکارت است... دکارت نتیجه را به وسیله محاسبه جبری به دست آورد که اگر با کلمات نوشته شود (بر طبق روال نوشته های باستانیان) آشکارا کسل کننده و تا حد زجر آوری نامفهوم می ماند.»
مسئله دیگری هم وجود داشت. نیوتون نمی توانست زبان فلوکسیون را که بیست سال پیش اختراع کرده بود به کار گیرد زیرا به دلایل عملی آن را هرگز منتشر نکرده بود (و برای بیست سال دیگر هنوز منتشر نمی شد). چنانکه فرانسوا دِگانت (4)، تاریخ نویس علم توضیح می دهد، «ویژگی نوآورانه پرینسیپیا مطمئناً موجب برانگیختن اختلاف نظر و مشاجره می شد. ترکیب این ویژگی نوآورانه با نوآوری دیگر، این بار در ریاضی، و ایجاد طرز کار منتشر نشده در ریاضیات به عنوان اساس اظهارات فیزیکی شگفت آور، با این خطر مواجه می شد که اصلاً چیزی حاصل نشود».
بنابراین، نیوتون پرینسیپیا را به سبک هندسی باستانی نوشت و در صورت لزوم برای نشان دادن تغیر مداوم، آن را اصلاح کرد. اما او به خوانندگانش دسترسی نیافت. تنها معدودی از معاصران او با فهم مطلب پرینسیپیا را خواندند، و نسلهای بعدی این انتخاب را ترجیح دادند، که اگر ظرافت کمتری هم داشته باشد آن را به صورت ترکیبی از جبر و حسابان نیوتون-لایبنیتز ترجمه کنند. سرنوشت پرینسیپیا مانند بعضی از شاهکارهای ادبیات علمی دیگر (کلازیوس(5) در ترمودینامیک، ماکسول (6) در میدان الکترومغناطیسی، بولتزمن (7) در نظریه گازها، گیبس (8) در ترمودینامیک اینشتین در نسبیت عام) بیشتر از آنکه خوانده شود، مورد تحسین قرار گرفت.
چالش وحشتناک پرینسیپیا در مباحث مفصل آن است. در طرح کلی، جدا از هندسه پیچیده و شکلهای دیوانه کننده، این اثر بسیار بیشتر قابل فهم است. این اثر با دو مفهوم از اساسی ترین مفاهیم مکانیک آغاز می شود.
تعریف 1: کمیت ماده اندازه ای از ماده است که از چگالی و گُندگی آن توأماً ناشی می شود.
تعریف 2: کمیت حرکت، اندازه ای از حرکت است که از سرعت و حرکت ماده به طور توأمان ناشی می شود.
منظور نیوتون از «کمیت ماده» همان است که ما آن را «جرم» می نامیم، «کمیت حرکت» به اصطلاح ما «اندازه حرکت» است، «گُندگی» را می توان به صورت حجم اندازه گیری کرد، و «چگالی» جرم بر واحد حجم است. (سرب چگالتر از آب، و آب چگالتر از هوا است.) ترجمه این دو تعریف به زبان جبر به صورت زیر است: که در آنها جرم با m، چگالی با ρ ، حجم با v، اندازه حرکت با p و سرعت با v نشان داده می شود.
به دنبا این دو تعریف اصل موضوع نیوتون، سه قانون حرکت مشهور او می آید. نخستین آنها قانون لختی (اینرسی) گالیله است:
قانون1: هر جسم در حالت سکونش، یا حالت حرکت یکنواختش در امتداد خط مستقیم باقی می ماند، مگر بر اثر نیروهای وارد بر آن مجبور به تغییر حالت شود.
قانون دوم حرکت درباره مفهوم نیرو مطلب بیشتری دارد:
قانون2: تغیر حرکت متناسب با نیروی محرکه مؤثر است؛ و در جهت خط راستی که نیرو اثر می کند، ایجاد می شود.
منظور از نیوتون از «تغییر حرکت» آهنگ لحظه ای تغییر در اندازه حرکت معادل با مشتق زمانی است. در قرار داد جدید، نیرو به وسیله این مشتق معین می شود، و معادله ای که برای محاسبه یک نیروی f به کار می رود به صورت ساده زیر است یا، با توجه به معادله (13) که اندازه حرکت p سنجیده می شود، خواهیم داشت این دو قانون حامل پیامهای فیزیکی ساده ای است. اتوموبیلی را تصور کنید که با موتور خاموش و دنده خلاص در جاده مسطحی در حال حرکت است. اگر اتوموبیلی با مقاومتی (مثلاً، به صورت آثار اصطکاک) مواجه نباشد، بنابر قانون اول نیوتون، حرکت آن با اندازه حرکت وجهت اولیه اش تا ابد ادامه خواهد یافت. حال اگر موتور آن روشن شود و پای راننده روی پدال گاز باشد، اتوموبیل با نیروی موتور رانده می شود و بنابر قانون دوم نیوتون اندازه حرکت آن با آهنگی برابر نیرو، افزایش می یابد. به گفته دیگر با فشار آوردن بر پدال گاز نیرو افزایش می یابد و اندازه حرکت اتوموبیل زیاد می شود.
قانون سوم نیوتون بیانگر محدودیت لازم برای نیروهایی است که متقابلاً بین دو جسم عمل می کنند:
قانون 3: برای هر کنشی همواره واکنشی برابر و مخالف آن وجود دارد، یا: کنشهای متقابل دو جسم بر یکدیگر همواره برابر و در جهتهای مخالف هم اند.
مثال ساده نیوتون به یادمان می آورد که «اگر سنگی را با انگشتمان فشار دهیم، انگشتمان هم به وسیله سنگ فشرده خواهد شد.» در غیر این صورت سنگ چیز نرمی خواهد بود که شباهتی به سنگ ندارد.
نیوتون با ساختاری که آغازی چنین ساده و قابل فهم دارد ما را به سیاحت بزرگی از علم دینامیک زمینی و سماوی می برد. او کتاب 1 عکس مجذور نیروی مرکزگرا را فرض می گیرد و سه قانون کپلر را استخراج می کند. در امتداد راه (در گزاره 41)، مفهوم وسیعی که امروزه به عنوان پایستاری انرژی مکانیکی می شناسیم، ظاهر می شود، گرچه نیوتون واژه «انرژی» را به کار نمی برد و بر مضمون پایستاری تأکیدی ندارد.
کتاب 1 حرکت اجسامی (مثلاً، سیارات) را تشریح می کند که بدون مقاومت حرکت می کنند. در کتاب 2، نیوتون به مسئله پیچیده تر حرکت در یک محیط مقاوم نزدیک می شود. این کتاب چیزی از یک فکر بعدی بود که در اصل به عنوان بخشی از کتاب 1 در نظر گرفته شده بود. تخصصی بودن آن بیشتر از دو کتاب دیگر و در طرح بزرگ نیوتون اهمیت کمتری داشت.
کتاب 3، پرینسیپیا را به اوج می برد. در این کتاب نیوتون «سیستم جهانی اش» را بر اساس سه قانون حرکت، روشهای ریاضی که پیش از آن، عمدتاً در کتاب 1، آماده کرده بود و همچنین مطالب خام تجربی موجود از رصدهای نجومی سیارات و اقمار آنها می سازد.
سه گزاره نخست سیارت و اقمارشان را در مدارهای بیضوی قرار می دهد که با عکس مجذور نیروهای مرکزگرا کنترل می شوند. سیارات به دور خورشید و قمرها به دور سیاره های مربوط به آنها می گردند. این گزاره ها نیروهای مرکز گرا به طور ریاضی توصیف می کنند، اما چیزی درباره ی ماهیت فیزیکی آنها بیان نمی کند.
گزاره 4 این گام سرنوشت ساز را برمی دارد. این گزاره بیان می کند که «ماه به سوی زمین جذب می شود و همواره بر اثر نیروی گرانی از حرکت در خط مستقیم پس کشیده می شود و در مدارش می ماند». منظور نیوتون از «نیروی گرانی» نیرویی است که سبب می شود سنگ (یا سیب) بر زمین بیفتد. این گزاره به ما می گوید که ماه همچون یک سنگ است و آن نیز به نیروی گرانی واکنش نشان می دهد.
اثبات گزاره 4 نیوتون از سادگی عجیبی برخوردار است. ابتدا، او از ابعاد مشاهده شده مدار ماه نتیجه گیری کرد که ماه برای ماندن در مدارش هر ثانیه 009/15 «فوت پاریسی» (= 000/16 فوت انگلیسی) به سوی زمین سقوط می کند. سپس او با استفاده از داده های دقیقی که هویگنس درباره پاندول مشاهده کرده بود، تعداد فوتهایی را که ماه (یا هر چیز دیگری) در یک ثانیه بر سطح زمین سقوط می کند، محاسبه کرد. نتیجه ای که به دست آورد 10/15 فوت پاریسی بود. این دو نتیجه آن قدر به هم نزدیک بود که گزاره مورد نظر را اثبات کرد.
در گزاره 5 به آسانی می پذیریم که آنچه برای زمین و ماه درست است، برای مشتری و زحل و اقمار آنها و برای خورشید و سیارات آن نیز درست است.
سرانجام در دو گزاره بعدی، نیوتون به وضوح قانون جهانی گرانش را اعلام می کند. من در این جا می خواهم از شرح بعضی از جزئیات و موشکافیهای مطلب صرف نظر کنم و سرراست به معادله ای جبری که معادل با محاسبه عکس مجذور نیروی جاذبه گرانشی F نیوتون بین دو جسم که جرم آنها m1 و m2 است بپردازم که در آن r فاصله مراکز دو جسم جدا از هم است و G که «ثابت گرانشی» نامیده می شود یک ثابت جهانی است. به استثنای موارد معدود غریبی از قبیل ستاره های نوترونی و سیاه چاله ها، این معادله برای هر دو جسمی در جهان اعم از سیارات، قمرها، دنباله دارها، ستارگان و کهکشانها به کار می رود. ثابت گرانشی G همیشه مقدار معینی دارد و شاخص نظریه گرانی است. در داستان بعدی ما، این ثابت با چند ثابت جهانی دیگر که هر یک در جای خود منحصر به فردند، در یک نظریه بزرگ، پیوند خواهند یافت.
در گزاره های باقیمانده کتاب 3، نیوتون به مسائل جزئی تری می پردازد. او شکل زمین را محاسبه می کند (قطر زمین در استوا اندکی بیشتر از قطر آنها در قطبهاست)، نظریه ای درباره کِشندها (جزر و مد) مطرح می کند، و نشان می دهد که چگونه می توان با استفاده از داده های حاصل از پاندول، تغییرات وزن در نقاط متفاوت زمین را اثبات کرد. او می کوشد تا پیچیدگیهای مدار ماه را محاسبه کند، اما توفیق کاملی ندارد زیرا دینامیک او محدودیت گریزناپذیری دارد. بررسی کنش متقابل (گرانشی یا نوع دیگر) دو جسم آسان است، اما برای مسئله سه جسم یا بیشتر راه حل دقیقی ندارد. مدار ماه عمدتاً، نه به طور کامل، با جاذبه گرانشی معین می شود. محاسبه کامل آن یک مسئله «سه جسمی» است که اثر جزئی خورشید را نیز شامل می شود. نیوتون در کتاب 3 با ایجاد یک روش تقریبی محاسبه، ابتدا مسئله زمین-ماه را به دقت حل کرد و سپس با به حساب آوردن اثر «مختل کننده» خورشید، آن را اصلاح کرد. این راهکار یکی از تقریبهای متوالی در محاسبه است. محاسبه با دستور این «نظریه مختل کننده» خسته کننده و ملال آور است، و نیوتون نتوانست برای به دست آوردن دقت مطلب به قدر کافی دشواری آن را تحمل کند. او شکایت داشت از اینکه چشم انداز تحمل محاسبات دقیقتر برای او «دردسر آفرین» است.
انتشار کتاب پرینسیپیا توجه بیشتری را به خود نیوتون جلب کرد تا به کتابش،. تنها افراد معدودی که غالباً گمنام و سطحی بودند این کتاب را وارسی کردند. دگانت در این باره می نوسد: «فلاسفه و بشردوستان این دوران و نسلهای بعدی این احساس را داشتند که شگفتیهای بزرگی در صفحات این کتاب وجود دارد؛ به آنان گفته شده بود که نیوتون حقیقت را آشکار کرده است و آنان به این امر باور داشتند... اما پرینسیپیا همچنان مهر و مو شده باقی ماند.»
(نماد α را بخوانید «متناسب با». اگر r دوبرابر شود، این نیرو به صورت
و اگر r سه برابر شود به صورت
و غیره، کاهش می یابد. دیدار هالی و پرسش او، بعداً توسط آبراهام دِمُوار(2)، شاگرد نیوتون بیان شد:در سال 1684، دکتر هالی برای ملاقات [با نیوتون] به کمبریج آمد، پس از مدتی که با هم بودند، دکتر از او پرسید، با فرض اینکه نیروی جاذبه به سوی خورشید عکس مجذور فاصله باشد، نظر شما درباره انحنای مسیری که سیارات می پیمایند چه خواهد بود. سِر آیساک بلافاصله پاسخ داد یک [بیضی]، دکتر با خوشحالی و حالتی شگفت زده پرسید، چگونه دانستید، او گفت به دلیل اینکه محاسبه کرده ام، سپس دکتر هالی بی درنگ درخواست کرد که محاسباتش را ببیند، سر آیساک کاغذهایش را زیر و رو کرد اما نتوانست آن را بیابد، اما قول داد که محاسباتش را تجدید کند و برای او بفرستد.
چند ماه بعد، هالی نامه ی موعود را دریافت کرد، مقاله ای بود مختصر، اما استثنایی با عنوان De motu corporum in gyrum (درباره حرکت اجرام در مدار). در آن مقاله نه تنها به پرسش هالی پاسخ داده بود، بلکه کلیات سیستمی جدید از مکانیک سماوی و مبنایی نظری برای سه قانون حرکت سیاره کپلر بیان شده بود.
قانون های کپلر
یوهانس کپلر متعلق به نسل گالیله بود، گرچه این دو هرگز ملاقاتی نداشته اند. کپلر در سال 1600 دستیار تیکو براهه، اخترشناس بزرگ دانمارکی شد و با مرگ تیکو، هم شغل و هم اندوختۀ وسیع رصدهای نجومی او را به ارث برد. کپلر از داده های تیکو سه قانون تجربی بزرگ را استخراج کرد.
قانون مدارها: سیارات در مدارهای بیضوی، که خورشید در یک کانون بیضی جای دارد، حرکت می کنند.
شکل 2-1-هندسه بیضی سیاره ای را نشان می دهد. توجه داشته باشید که ابعاد a و b به ترتیب محورهای نیمقطر اطول و تیمقطر اقصر، و خورشید در یک کانون بیضی است.
2.قانون سطوح برابر: خطی که هر سیاره را به خورشید متصل می کند، در زمانهای برابر سطوح برابری را جاروب می کند.
شکل 2-2-تصویری از این قانون است که نشان می دهد خطوط شعاعی، یک سیاره را به خورشید متصل می کند و با سیر سیاره در بخشهای متفاوتی از مدار بیضویش، این خطوط در زمانهای مساوی سطوحی را جاروب می کنند. این سطوح با هم برابرند، و هنگامی که سیاره به خورشید نزدیکتر است سریعتر حرکت می کند.
3.قانون دوره ها: مربع دوره ی هر سیاره به دور خورشید متناسب است با مکعب طول محور نیمقطر اطول آن است.
دوره یک سیاره، زمان لازم برای سیر مدار کامل است، مثلاً برای زمین 365 روز است. اگر دوره را با p و طول محور نیمقطر اطول را با a و متناسب بودن را با α نشان دهیم، قانون مذکور را می توانیم به صورت رابطه زیر بنویسیم
پاداش هالی
نیوتون زمانی اظهار کرده بود که «من همواره موضوعی را که پیش خود محفوظ می دارم و منتظر می مانم تا نخستین طلیعه ها به کُندی (در ذهنم) ظاهر شوند و کم کم به وضوح و روشنی کاملی برسند.» قوانین کپلر از دوران تحصیل در ذهن نیوتون بوده است. در «نخستین طلیعه ها» او ارتباطهای بین قانون نیروی عکس مجذور و قانونهای اول و سوم کپلر را یافته بود، و اکنون در De motu با «وضوح و روشنی کامل» به کل یک بنای نظری که مؤید قانون کپلر و رصدهای دیگر نجومی بود، می نگریست. بار دیگر، کار نیوتون «مطالعه پرشور مردی همیشه در حال تفکر»، و موضوع اصلی کار او نظریه ریاضی گرانش جهانی بود.او ابتدا به تجدیدنظر De motu پرداخت و آن را بسط داد، اما هنوز بر مکانیک سماوی متمرکز بود، و سپس متوجه هدفی بزرگتر، یعنی دینامیک عمومی شد که هم پدیده های زمینی و هم پدیده های سماوی را در بر می گرفت. این کاری بسیار فراتر از De motu بود و حتی می بایست عنوان دیگری داشته باشد. نیوتون برای کار نهایی عنوان لاتینی philosophiae naturalis principia mathematica (اصول ریاضی فلسفه طبیعی) را انتخاب کرد که معمولاً به اختصار principia نامیده می شود.
سرانجام، وقتی پرینسیپیا شکل گرفت، شامل یک مقدمه و سه کتاب بود. این مقدمه شامل تعاریف و مواردی است که نیوتون برای قوانین اساسی حرکت در نظر گرفته بود. از این مبانی، در کتاب 1 تجهیزات ریاضی گسترده و پیچیده ای ساخته می شود، و برای اجسام متحرک بدون مقاومت، مثلاً در یک محیط خلأ به کار می رود. کتاب 2 به حرکت در محیط مقاوم-مثلاً در یک مایع-مربوط می شود. و کتاب 3 کیهان شناسی نیوتون، یعنی «سیستم جهانی» او را ارائه می کند.
به یک معنی می توان گفت که استحقاق هالی در اعتبار پدید آوردن پرینسیپیا کمتر از نیوتون نبود. نخستین دیدار با هالی در کمبریج یادآور ناتمام کار نیوتون درباره مکانیک سماوی شد و او را به نوشتن De motu وادار کرد. وقتی هالی درنوامبر سال 1684، De motu را دید، آن را آغاز انقلابی در علم مکانیک دانست. او بدون فوت وقت برای ترغیب و حمایت بیشتر نیوتون به کمبریج بازگشت. اما لزومی نداشت. نیوتون با تمام قوا علم دینامیک جدید را دنبال می کرد. وستفال می نویسد: «از اوت سال 1684 تا بهار سال 1686 زندگی نیوتون وقف تکمیل پرینسیپیا شد.»
در آوریل سال 1686 کتاب 1 و 2 کامل شد، و هالی فعالیت شدیدی را آغاز کرد تا انجمن سلطنتی این کتابها را منتشر کند. به دلیلی (شاید با اصرار هالی از اعتبار محدودی که به عنوان منشی انجمن داشت) اعضای انجمن در یک اجلاس عمومی قانع شدند و تصمیمی اتخاذ شد مبنی بر این دستور که «کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی آقای نیوتون بدون فوت وقت چاپ شود». مسئولیت انتشار به عهده هالی گذاشته شد.
اکنون هالی می بایست پرینسیپیا را در مسیر انتشار پیش ببرد، اما این مسیر جاده ای پر دست انداز و ناهموار بود. در آغاز کار، هوک ایجاد مزاحمت کرد. هوک معتقد بود که قانون عکس مجذور گرانش را او کشف کرده است و می خواست که نیوتون آن را تصدیق کند. اگر نوعی سپاسگزاری لازم می بود، می باید در کتاب 3 که در حال اتمام بود می آمد. نیوتون شناسایی تقدم هوک را رد کرد و تهید کرد که کتاب 3 را متوقف می کند. هالی هنوز کتاب 3 را ندیده بود، اما احساس می کرد بدون آن، پرینسیپیا کالبدی بدون سر خواهد بود. او به نیوتون نوشت: «سِر من باید بار دیگر از شما تقاضا کنم، اجازه ندهید آزردگی شما به حدی فوران کند که ما از کتاب سوم شما محروم بمانیم». نتیجه آنکه بی سر شدن کالبد کتاب رفع شد، و تقاضاهای سیاستمدارانه هالی ممکن است عامل قطعی این امر بوده باشد.
علاوه بر وظایف ویراستاری، از هالی خواسته شده بود که برای انتشار پرینسیپیا کمک مالی بکند. انجمن سلطنتی نزدیک به ورشکستگی بود و حتی نمی توانست پنجاه پوند ماهانه هالی را که منشی انجمن بود بپردازد. هالی در جوانی ثروتمند بود، اما در سالهای 1680 او خرجی یک خانواده را به عهده داشت و دارایی او کاهش یافته بود. انتشار پرینسیپیا یک قمار بود، و احتمال زیان مالی سنگینی داشت.
اما سرنجام، در 5 ژوئیه سال 1687 توانست در نامه ای به نیوتون اعلام کند که «بالاخره کتاب شما را به پایان رساندم.» نخستین چاپ کتاب به سرعت فروش رفت. هالی دست کم هزینه هایش را بازیافت و مهمتر آنکه سپاسگزاری نیوتون را آن طور که شایسته او بود دریافت کرد: «آقای ادموند هالی تیزبین ترین و فاضلترین قاطبه مردم، نه تنها مرا در تصحیح غلطهای چاپی و تهیه شکلهای هندسی یاری کرد، بلکه بنا به درخواستهای او بود که این کتاب انتشار یافت.»
پرینسیپیا
آنچه را که های با خوش زبانی از نیوتون به دست آورده بود یکی از بزرگترین شاهکارهای ادبیات علمی است. همچنین یکی از کتابهایی است که فهم آن بسیار دشوار است. مباحث پرینسیپیا ظاهراً به صورت گزاره هایی با استدلالهای (بعضاً ناکامل) ارائه شده است. بعضی از گزاره ها به صورت قضیه و گزاره های دیگر به صورت محاسبات تصویری به نام «مسئله» بسط یافته اند. خواننده باید به توالی با هر گزاره به چالش بپردازد تا مبحث مورد نظر را بفهمد.خواننده امروزی پرینسیپیا باید با سبک منحصر به فرد ریاضی نیوتون نیز آشنا شود. گزاره های با زبان هندسی و معمولاً با ارجاع به شکل، بیان و اثبات شده اند. (پرینسیپیا، در حدود پانصد صفحه، 340 شکل دارد که بعضی از آنها فوق العاده پیچیده است.) برای ما این یک سهو تاریخی به نظر می رسد. در سالهای 1680، که پرینسیپیا در حال شگل گرفتن بود، نیوتون قبلاً روش فلوکسیون حسابان را ایجاد کرده بود. چرا او برای بیان علم دینامیکش از حسابان، آن طور که امروزه ما به کار می بریم، استفاده نکرد؟
این امر تا حدی یک انتخاب زیباشناختی بود. نیوتون هندسه «باستانی» به ویژه اقلیدس و آپولونیوس (3) را به جبر دکارت، که به تازگی ارائه شده بود و نقش اساسی در معادلات فلوکسیونی داشت، ترجیح می داد. او دریافته بود که روش هندسی «بسیار ظریفتر از روش دکارت است... دکارت نتیجه را به وسیله محاسبه جبری به دست آورد که اگر با کلمات نوشته شود (بر طبق روال نوشته های باستانیان) آشکارا کسل کننده و تا حد زجر آوری نامفهوم می ماند.»
مسئله دیگری هم وجود داشت. نیوتون نمی توانست زبان فلوکسیون را که بیست سال پیش اختراع کرده بود به کار گیرد زیرا به دلایل عملی آن را هرگز منتشر نکرده بود (و برای بیست سال دیگر هنوز منتشر نمی شد). چنانکه فرانسوا دِگانت (4)، تاریخ نویس علم توضیح می دهد، «ویژگی نوآورانه پرینسیپیا مطمئناً موجب برانگیختن اختلاف نظر و مشاجره می شد. ترکیب این ویژگی نوآورانه با نوآوری دیگر، این بار در ریاضی، و ایجاد طرز کار منتشر نشده در ریاضیات به عنوان اساس اظهارات فیزیکی شگفت آور، با این خطر مواجه می شد که اصلاً چیزی حاصل نشود».
بنابراین، نیوتون پرینسیپیا را به سبک هندسی باستانی نوشت و در صورت لزوم برای نشان دادن تغیر مداوم، آن را اصلاح کرد. اما او به خوانندگانش دسترسی نیافت. تنها معدودی از معاصران او با فهم مطلب پرینسیپیا را خواندند، و نسلهای بعدی این انتخاب را ترجیح دادند، که اگر ظرافت کمتری هم داشته باشد آن را به صورت ترکیبی از جبر و حسابان نیوتون-لایبنیتز ترجمه کنند. سرنوشت پرینسیپیا مانند بعضی از شاهکارهای ادبیات علمی دیگر (کلازیوس(5) در ترمودینامیک، ماکسول (6) در میدان الکترومغناطیسی، بولتزمن (7) در نظریه گازها، گیبس (8) در ترمودینامیک اینشتین در نسبیت عام) بیشتر از آنکه خوانده شود، مورد تحسین قرار گرفت.
چالش وحشتناک پرینسیپیا در مباحث مفصل آن است. در طرح کلی، جدا از هندسه پیچیده و شکلهای دیوانه کننده، این اثر بسیار بیشتر قابل فهم است. این اثر با دو مفهوم از اساسی ترین مفاهیم مکانیک آغاز می شود.
تعریف 1: کمیت ماده اندازه ای از ماده است که از چگالی و گُندگی آن توأماً ناشی می شود.
تعریف 2: کمیت حرکت، اندازه ای از حرکت است که از سرعت و حرکت ماده به طور توأمان ناشی می شود.
منظور نیوتون از «کمیت ماده» همان است که ما آن را «جرم» می نامیم، «کمیت حرکت» به اصطلاح ما «اندازه حرکت» است، «گُندگی» را می توان به صورت حجم اندازه گیری کرد، و «چگالی» جرم بر واحد حجم است. (سرب چگالتر از آب، و آب چگالتر از هوا است.) ترجمه این دو تعریف به زبان جبر به صورت زیر است:
که در آنها جرم با m، چگالی با ρ ، حجم با v، اندازه حرکت با p و سرعت با v نشان داده می شود.به دنبا این دو تعریف اصل موضوع نیوتون، سه قانون حرکت مشهور او می آید. نخستین آنها قانون لختی (اینرسی) گالیله است:
قانون1: هر جسم در حالت سکونش، یا حالت حرکت یکنواختش در امتداد خط مستقیم باقی می ماند، مگر بر اثر نیروهای وارد بر آن مجبور به تغییر حالت شود.
قانون دوم حرکت درباره مفهوم نیرو مطلب بیشتری دارد:
قانون2: تغیر حرکت متناسب با نیروی محرکه مؤثر است؛ و در جهت خط راستی که نیرو اثر می کند، ایجاد می شود.
منظور از نیوتون از «تغییر حرکت» آهنگ لحظه ای تغییر در اندازه حرکت معادل با مشتق زمانی
است. در قرار داد جدید، نیرو به وسیله این مشتق معین می شود، و معادله ای که برای محاسبه یک نیروی f به کار می رود به صورت ساده زیر است
یا، با توجه به معادله (13) که اندازه حرکت p سنجیده می شود، خواهیم داشت
این دو قانون حامل پیامهای فیزیکی ساده ای است. اتوموبیلی را تصور کنید که با موتور خاموش و دنده خلاص در جاده مسطحی در حال حرکت است. اگر اتوموبیلی با مقاومتی (مثلاً، به صورت آثار اصطکاک) مواجه نباشد، بنابر قانون اول نیوتون، حرکت آن با اندازه حرکت وجهت اولیه اش تا ابد ادامه خواهد یافت. حال اگر موتور آن روشن شود و پای راننده روی پدال گاز باشد، اتوموبیل با نیروی موتور رانده می شود و بنابر قانون دوم نیوتون اندازه حرکت آن با آهنگی 
برابر نیرو، افزایش می یابد. به گفته دیگر با فشار آوردن بر پدال گاز نیرو افزایش می یابد و اندازه حرکت اتوموبیل زیاد می شود.قانون سوم نیوتون بیانگر محدودیت لازم برای نیروهایی است که متقابلاً بین دو جسم عمل می کنند:
قانون 3: برای هر کنشی همواره واکنشی برابر و مخالف آن وجود دارد، یا: کنشهای متقابل دو جسم بر یکدیگر همواره برابر و در جهتهای مخالف هم اند.
مثال ساده نیوتون به یادمان می آورد که «اگر سنگی را با انگشتمان فشار دهیم، انگشتمان هم به وسیله سنگ فشرده خواهد شد.» در غیر این صورت سنگ چیز نرمی خواهد بود که شباهتی به سنگ ندارد.
نیوتون با ساختاری که آغازی چنین ساده و قابل فهم دارد ما را به سیاحت بزرگی از علم دینامیک زمینی و سماوی می برد. او کتاب 1 عکس مجذور نیروی مرکزگرا را فرض می گیرد و سه قانون کپلر را استخراج می کند. در امتداد راه (در گزاره 41)، مفهوم وسیعی که امروزه به عنوان پایستاری انرژی مکانیکی می شناسیم، ظاهر می شود، گرچه نیوتون واژه «انرژی» را به کار نمی برد و بر مضمون پایستاری تأکیدی ندارد.
کتاب 1 حرکت اجسامی (مثلاً، سیارات) را تشریح می کند که بدون مقاومت حرکت می کنند. در کتاب 2، نیوتون به مسئله پیچیده تر حرکت در یک محیط مقاوم نزدیک می شود. این کتاب چیزی از یک فکر بعدی بود که در اصل به عنوان بخشی از کتاب 1 در نظر گرفته شده بود. تخصصی بودن آن بیشتر از دو کتاب دیگر و در طرح بزرگ نیوتون اهمیت کمتری داشت.
کتاب 3، پرینسیپیا را به اوج می برد. در این کتاب نیوتون «سیستم جهانی اش» را بر اساس سه قانون حرکت، روشهای ریاضی که پیش از آن، عمدتاً در کتاب 1، آماده کرده بود و همچنین مطالب خام تجربی موجود از رصدهای نجومی سیارات و اقمار آنها می سازد.
سه گزاره نخست سیارت و اقمارشان را در مدارهای بیضوی قرار می دهد که با عکس مجذور نیروهای مرکزگرا کنترل می شوند. سیارات به دور خورشید و قمرها به دور سیاره های مربوط به آنها می گردند. این گزاره ها نیروهای مرکز گرا به طور ریاضی توصیف می کنند، اما چیزی درباره ی ماهیت فیزیکی آنها بیان نمی کند.
گزاره 4 این گام سرنوشت ساز را برمی دارد. این گزاره بیان می کند که «ماه به سوی زمین جذب می شود و همواره بر اثر نیروی گرانی از حرکت در خط مستقیم پس کشیده می شود و در مدارش می ماند». منظور نیوتون از «نیروی گرانی» نیرویی است که سبب می شود سنگ (یا سیب) بر زمین بیفتد. این گزاره به ما می گوید که ماه همچون یک سنگ است و آن نیز به نیروی گرانی واکنش نشان می دهد.
اثبات گزاره 4 نیوتون از سادگی عجیبی برخوردار است. ابتدا، او از ابعاد مشاهده شده مدار ماه نتیجه گیری کرد که ماه برای ماندن در مدارش هر ثانیه 009/15 «فوت پاریسی» (= 000/16 فوت انگلیسی) به سوی زمین سقوط می کند. سپس او با استفاده از داده های دقیقی که هویگنس درباره پاندول مشاهده کرده بود، تعداد فوتهایی را که ماه (یا هر چیز دیگری) در یک ثانیه بر سطح زمین سقوط می کند، محاسبه کرد. نتیجه ای که به دست آورد 10/15 فوت پاریسی بود. این دو نتیجه آن قدر به هم نزدیک بود که گزاره مورد نظر را اثبات کرد.
در گزاره 5 به آسانی می پذیریم که آنچه برای زمین و ماه درست است، برای مشتری و زحل و اقمار آنها و برای خورشید و سیارات آن نیز درست است.
سرانجام در دو گزاره بعدی، نیوتون به وضوح قانون جهانی گرانش را اعلام می کند. من در این جا می خواهم از شرح بعضی از جزئیات و موشکافیهای مطلب صرف نظر کنم و سرراست به معادله ای جبری که معادل با محاسبه عکس مجذور نیروی جاذبه گرانشی F نیوتون بین دو جسم که جرم آنها m1 و m2 است بپردازم
که در آن r فاصله مراکز دو جسم جدا از هم است و G که «ثابت گرانشی» نامیده می شود یک ثابت جهانی است. به استثنای موارد معدود غریبی از قبیل ستاره های نوترونی و سیاه چاله ها، این معادله برای هر دو جسمی در جهان اعم از سیارات، قمرها، دنباله دارها، ستارگان و کهکشانها به کار می رود. ثابت گرانشی G همیشه مقدار معینی دارد و شاخص نظریه گرانی است. در داستان بعدی ما، این ثابت با چند ثابت جهانی دیگر که هر یک در جای خود منحصر به فردند، در یک نظریه بزرگ، پیوند خواهند یافت.در گزاره های باقیمانده کتاب 3، نیوتون به مسائل جزئی تری می پردازد. او شکل زمین را محاسبه می کند (قطر زمین در استوا اندکی بیشتر از قطر آنها در قطبهاست)، نظریه ای درباره کِشندها (جزر و مد) مطرح می کند، و نشان می دهد که چگونه می توان با استفاده از داده های حاصل از پاندول، تغییرات وزن در نقاط متفاوت زمین را اثبات کرد. او می کوشد تا پیچیدگیهای مدار ماه را محاسبه کند، اما توفیق کاملی ندارد زیرا دینامیک او محدودیت گریزناپذیری دارد. بررسی کنش متقابل (گرانشی یا نوع دیگر) دو جسم آسان است، اما برای مسئله سه جسم یا بیشتر راه حل دقیقی ندارد. مدار ماه عمدتاً، نه به طور کامل، با جاذبه گرانشی معین می شود. محاسبه کامل آن یک مسئله «سه جسمی» است که اثر جزئی خورشید را نیز شامل می شود. نیوتون در کتاب 3 با ایجاد یک روش تقریبی محاسبه، ابتدا مسئله زمین-ماه را به دقت حل کرد و سپس با به حساب آوردن اثر «مختل کننده» خورشید، آن را اصلاح کرد. این راهکار یکی از تقریبهای متوالی در محاسبه است. محاسبه با دستور این «نظریه مختل کننده» خسته کننده و ملال آور است، و نیوتون نتوانست برای به دست آوردن دقت مطلب به قدر کافی دشواری آن را تحمل کند. او شکایت داشت از اینکه چشم انداز تحمل محاسبات دقیقتر برای او «دردسر آفرین» است.
انتشار کتاب پرینسیپیا توجه بیشتری را به خود نیوتون جلب کرد تا به کتابش،. تنها افراد معدودی که غالباً گمنام و سطحی بودند این کتاب را وارسی کردند. دگانت در این باره می نوسد: «فلاسفه و بشردوستان این دوران و نسلهای بعدی این احساس را داشتند که شگفتیهای بزرگی در صفحات این کتاب وجود دارد؛ به آنان گفته شده بود که نیوتون حقیقت را آشکار کرده است و آنان به این امر باور داشتند... اما پرینسیپیا همچنان مهر و مو شده باقی ماند.»
پی نوشت ها :
Edmond Halley
Abraham DeMoivre
Appolonius
Francois De Gandt
Clausius
Maxwell
Boltzmann
Gibbs
