حساب وردش ها

در حساب دیفرانسیل سروکار با مسئله هایی پیش می آید که موضوع آن ها دستیابی به مقدار یا مقدارهایی از متغیرهایی مستقل است که بزرگ ترین یا کوچک ترین مقدار، یعنی ماکسیمم یا مینیمم تابع داده شده ی وابسته به آن ها را می نمایانند. موضوع حساب وردش ها، (2) شناسایی روش ها و راهکارهای حل این گونه مسئله هاست. در حساب وردش ها و در مقام مقایسه، مجهول نه یک یا چند مقدار بلکه یک یا چند تابع است و مسئله ی بنیانی یافتن این تابع یا تابع هاست به گونه ای که یک انتگرال معین داده شده و در بردارنده ی آن تابع یا تابع ها ماکسیمم یا مینیمم شود. با مثال بهتر می توان مسئله را توضیح داد. انتگرال معین را در نظر بگیرید که در آن، و مقدارهای عددی معلوم، f تابعی داده شده از تابعی داده شده از x و انتگرال برابر با مقدارهای معین است. مقدارهای مختلفی که برای y تابع x به دست می آیند مقدارهای مختلف نظیر آن ها برای انتگرال نیز به دست خواهد آمد. مسئله ی بنیانی حساب وردش ها یافتن تابع خاص y=y(x) است که [1] را ماکسیمم یا مینیمم کند. ریاضیدانان در طول تاریخ با این گونه مسئله ها سروکار داشته اند و برای حل تعدادی زیاد از آن ها روش هایی کاملاً زیرکانه و ابتکاری را به کار برده اند. یونانیان باستان دریافته بودند که از بین منحنی های بسته ی با محیط معین، دایره بیشترین مساحت را دارد. تعداد دیگری از چنین مسئله ها ذوقی و به شیوه ی کشف و شهود حل شده اند. پیشرفت اصولی حساب وردش ها آن گاه پا گرفت که یوهان برنولی (1667-1748) به بررسی و حل دوباره ی مسئله ی « خم کوتاه ترین زمان» (3) روی آورد. پیش از آن گالیله روی این مسئله کار کرده بود. این مسئله چنین است: اگر دو نقطه یکی بالاتر و دیگری پایین تر، در یک صفحه ی قائم واقع باشند و یک ذرّه در اثر نیروی گرانش (و بدون اصطکاک) روی مسیری واقع در صفحه از نقطه ی بالایی تا نقطه ی پایینی بلغزد کدام یک از منحنی هایی که روی آن صفحه آن دو نقطه را به هم وصل می کنند سریع ترین مسیر حرکت ذره خواهد بود؟ به عبارت دیگر، پیمودن کدام یک از مسیرها در کمترین زمان انجام خواهد گرفت؟ یوهان و برادرش یاکوب هر دو مستقل از هم این مسئله را حل کردند و راه حل های خود را در 1696 پخش کردند. حل مسئله به مینیمم کردن انتگرال می انجامد و پاسخ آن کمانی از یک منحنی چرخزاد است.
روشی که یاکوب برنولی برای حل مسئله به کار برده بود عمومی تر از راه حل برادرش بود و برای حل تعداد زیادی از مسئله های گوناگون نیز کارایی لازم را داشت. مسئله ی «برابر محیطی» (4) (شکل هایی که محیط های آن ها با هم برابر باشند) از این گونه مسئله ها بود که یاکوب آن را در برابر مسئله ی برادرش برای حل با او در میان گذاشته بود. لئونارد اویلر، یکی از شاگردان یوهان برنولی، در بررسی های مربوط به حساب وردش ها در پیشرفت و گسترش معادله های دیفرانسیل شرکت بسیار اثربخشی داشته است، از جمله در معادله ی دیفرانسیل که حل آن مینیمم کردن تابع معادله ی [1] را، به شرط وجود مینیمم در بردارد.

پی نوشت ها :

1- .Bernard J. Yozwiak
2- calculus of variations.
3- brachistochrone problem.
4- isoperimetric.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..