نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش
مترجم: محمد دانش
موسیقی لذتی است که روح آدمی از شمارش می برد، بی آن که بداند چیزی که از آن لذت می برد شمارش است.
گوتفرید لایبنیتز
روایت شده است که فیثاغورس ساعت ها زیر سایه درختان زیتون زادگاهش می نشست و چنگ می نواخت. و در آن روزها بود که دریافت ارتفاع صوت زهی که نواخته می شود بستگی به طول آن دارد و صوت های همساز از زه هایی شنیده می شود که نسبت طول آن ها به هم عددهای صحیح تام است. از زمان فیثاغورس به بعد، مطالعه موسیقی ماهیتاً نوعی مطالعه ریاضی شمرده شده و از جمله مباحث ریاضی به شمار می آید. این امر در برنامه درسی سیستم آموزش سده های میانی که در آن حساب، هندسه، نجوم، و موسیقی علوم اربعه با هم در نظر گرفته می شد نیز به چشم می آید. در آن دوران به این چهار مبحث با نام های شمار محض، شمار ساکن، شمار متحرک، و شمار عملی بیشتر تأکید می شد.از عهد فیثاغورس تا قرن نوزدهم، ریاضی دانان و موسیقی دانان، از یونانیان و رومیان گرفته تا اعراب و اروپاییان، در پی درک ماهیت صوت های موسیقی و بسط رابطه بین موسیقی و ریاضیات بودند. نظام های گام ها، نظریه های هارمونی و کننرپوان بسیاری ایجاد شد، از میان رفت و باز زنده شد. نقطه اوج این رشته پژوهش ها از منظر ریاضی، در کار ژان باتیست ژوزف فوریه (1)، ریاضی دان، دیده می شود که نشان داد تمام صوت ها، چه آوایی باشند چه سازی و چه ساده باشند چه پیچیده، تماماً به زبان ریاضی قابل توصیف اند. با کاری که فوریه انجام داد، حتی زیبایی مسحور کننده و ملکوتی فرازهای موسیقایی نیز ناچار به تسلیم در برابر فرمول بندی ریاضی شدند. اگر فیثاغورس به نواختن زه های یک چنگ محدود بود، فوریه تمام ارکستر را به صدا در آورد.
هر چند ژوزف فوریه، که به سال 1768 در اوسر (2) فرانسه به دنیا آمده بود، دانشجویی بسیار ممتاز در ریاضیات بود، به شدت مشتاق بود افسر توپخانه بشود. وقتی کمیته گزینش او را، به دلیل آن که فرزند یک خیاط بود، نپذیرفت ، با اکراه به تحصیل مذهبی رو آورد. فوریه بعدها که توانست به دلیل توانایی اش در ریاضی مقام استادی همان مدرسه نظامی را به دست آورد، از آموزش مذهبی دست کشید؛ ظاهراً برای مقامی چنین حقیر به شأن اجتماعی نیازی نبود.
در 1807، فوریه پس از سال ها خدمت سیاسی و علمی به ناپلئون، قضیه ای به آکادمی فرانسه ارائه کرد که اهمیت آن در پیشبرد علوم فیزیکی بی مانند بود. این قضیه همان قدر ریاضیات حرکت موج در هوا را به پیش برد که کار نیوتن در مطالعه حرکت های اجرام سماوی تأثیر گذاشت. به نظر می رسید که قرن نوزدهم قصد بر تکمیل انتظارات بزرگی دارد که دستیابی به آن ها در قرن هجدهم میسر نشده بود.
حال ببینیم که فوریه چگونه یک تحلیل ریاضی کامل از اصوات موسیقی را میسر کرد. در نظر بگیرید که ویلن نوازی بر صحنه تأتر بزرگی ایستاده است و آرشه را بر روی زه های ویلن می کشد. آوای برخی از نت هایی که او می نوازد جزئی از ثانیه طول می کشند و برخی دیگر برای مدتی طولانی استمرار دارند، برخی بلندند و برخی کوتاه، پاره ای زیرند و پاره ای بم. اما کسانی که در فاصله چند ده متری او نشسته اند، تمامی این صوت ها را دقیقاً همان گونه می شوند که نواخته شده اند.
وقتی ویلن نواز می نوازد از نقطه نظر فیزیک چه رخ می دهد و موسیقی او چگونه به شنوندگانش می رسد؟
برای تبیین مطلب بهتر است ابتدا به صورت ساده ای که یک دیاپازون تولید می کند توجه کنیم. اگر به یک شاخه دیاپازون ضربه وارد شود با سرعت زیاد نوسان خواهد کرد. شاخه دیاپازون ابتدا، مثلاً، به سمت راست حرکت می کند و در این لحظه انبوهی از ملکول های هوا را با خود به این سمت می برد (شکل 1). این انباشت ملکول های هوا را در آن سمت « چگالش»(3) می نامند. از آن جا که فشار هوا گرایش به تعادل دارد، این انبوه ذرات هوا به سمت راست ناحیه ای دورتر که در آن جا چنین انباشتی نیست جابه جا می شوند. همین روند در آن جا نیز تکرار می شود و، به این ترتیب، چگالش ملکول ها در سمت راست به ناحیه ای باز هم دورتر می رود.
در این حین، شاخه دیاپازون به سمت جایگاه اولیه خود، یعنی به سمت چپ، حرکت خواهد کرد (حرکت نوسانی) و این وضع ناحیه ای از خلأ نسبی در موقعیت پیشین شاخه دیاپازون ایجاد می کند. ملکول های هوا که در سمت راست این ناحیه قرار گرفته اند به طرف این فضا که تراکم ملکولی در آن کمتر است هجوم می آورند و، به این ترتیب، ناحیه ای رقیق شده در محل پیشین خود ایجاد می کنند. در این حین، ملکول هایی که در سمت راست و دورتر قرار گرفته اند به سمت چپ، به سوی این ناحیه رقیق شده، حرکت می کند و، به این ترتیب، روند ادامه می یابد. اگر ایجاد یک ناحیه رقیق شده را « ترقیق»(4) بنامیم، می توانیم بگوییم ترقیق به سمت راست، در جهت دور شدن از شاخه دیاپازون، حرکت می کند. هر جنبش شاخه دیاپازون به راست و به چپ چگالش و ترقیقی به سمت راست می فرستد.
تمام آنچه گفتیم تنها مربوط به تحریکاتی است که در سمت راست شاخه دیاپازون رخ می دهد. در واقع، چگالش و ترقیق در همه جهات رخ می دهند. وقتی این چکالش ها و ترقیق ها به پرده گوش ما می رسد، ارتعاشی که در آن ایجاد می کنند سبب احساس صوت می شود.
نکته اصلی در این جاست که خود ملکول های هوا از دیاپازون به سمت گوش حرکت « نمی کنند». هر ملکول در ناحیه ای محدود که پیرامون وضعیت اولیه اش است به چپ و راست جابه جا می شود. چیزی که این گونه منتقل می شود توالی ای از چگالش ها و ترقیق ها یا، در واقع، موج صوتی است.
به بیان دقیق تر، تمامی ملکول های هوا در یک ناحیه معین دقیقاً به یک طرف حرکت نمی کنند؛ چیزی که مورد توجه ماست تأثیر برآیند جنبش های جمعی آن هاست. این نکته را می توان بر حسب حرکت یک ملکول مثالی توصیف کرد. فرض کنید که این ملکول ابتدا در محل O ( شکل 2) است. چگالش سبب می شود که این ملکول به سمت راست، به طرف A، حرکت کند. پس از ترقیق ناگزیری که ایجاد می شود، این ملکول به عقب، تا به آن سوی موقعیت اصلی خود، به سوی B جابه جا می شود و چگالش پیامد آن نیز به نوبه خود سبب می شود که ملکول O بازگردد؛ به این ترتیب، ملکول مثال ما یک ارتعاش کامل انجام داده است. به همین ترتیب، این ملکول بارها و بارها تمام این مجموعه حرکات را در نتیجه ضربه های پی در پی ناشی از ارتعاش دیاپازون، بدون توقف حول O، انجام می دهد. به این شکل، جابه جایی ملکول از موقعیت اصلی خود پیوسته با زمان تغییر می کند.
حرکت یک ملکول هوا را می توان به سادگی به کمک دستگاهی بسیار ظریف به نام «فونودایک»(5) نشان داد. وقتی صوتی در نزدیکی این دستگاه ایجاد شود، ارتعاش هوا را به شکل نمودار جابه جایی یک ملکول نمونه هوا ثبت می کند. این ملکول در طول خطی مستقیم به عقب و جلو حرکت می کند. نمودار حاصل جابه جایی از نقطه میانی را به صورت یک خط قائم نشان می دهد و محور افقی نمودار نمایشگر زمان است.
در شکل 3 بخشی از منحنی (ازO تا Q ) معرف جابه جایی ملکول نمونه طی یک ارتعاش کامل دیاپازونی است؛ ازO تا Q جنبش این ملکول را ضمن ارتعاش کامل دیگری نشان می دهد و به همین ترتیب، اگر ضربه وارد بر دیاپازون به اندازه ای باشد که ملکول هوا مسافت حداکثر 001/0 سانتی متر را نخست به یک طرف جایگاه پیش از ورود ضربه به آن و سپس به طرف مقابل این جایگاه را بپیماید، فونودایک نموداری ترسیم خواهد کرد که دامنه نوسان، یعنی نهایت جابه جایی آن، 001/0 سانتی متر است. در صورتی که دیاپازون 200 ارتعاش کامل در هر ثانیه داشته باشد، ملکول نمونه هوا نیز چنین ارتعاشی خواهد داشت و فونودایک در هر ثانیه 200 منحنی کامل سینوس، نظیر O تا Q ، را ثبت خواهد کرد.
پس توجیهی فیزیکی در مورد چگونگی انتشار صوت دیاپازون در اختیار داریم. آیا نشان دادن این صوت به کمک یک فرمول میسر است؟ و اگر چنین است از این فرمول چه اطلاعاتی عاید ما می شود؟
صوت دیاپازون، در قیاس با صوت های آوایی و سازی ساده تر است؛ اما، بهتر است ابتدا ببینیم چگونه می توانیم این صوت ساده را به زبانی ریاضی بنمایانیم. تا این جا دریافتیم که هدف ما یافتن رابطه ای است که نسبت بین جابه جایی و زمان در حرکت یک ملکول را به ما نشان دهد؛ درست همانند فرمولی که رابطه بین مسافت سقوط یک جسم و زمان سقوط را نشان می دهد.
ریاضی دان این فرمول را حاضر و آماده در اختیار دارد. یکی از فرمول هایی که در ذخیره روابط بین متغیرهای یک ریاضی دان پیدا می شود رابطه y= sin x است که از قضا بهترین راه برای درک آن کمک گرفتن از نمودار است.
همان طور که نمودار شکل 4 شان می دهد، مقادیر y در این تابع با افزایش x از 0 تا 90، از 0 تا 1 افزایش پیدا می کند؛ با افزایش مقدار x از آن به بعد از 1 تا صفر کاهش می یابد [ x برابر با 180]، آن گاه منفی شده، تا به 1- می رسد [x برابر با 270] و سرانجام با رسیدن x به 360 بار دیگر به صفر می رسد. در فاصله x=360 تا x=720 تغییر مقدار y همانند تغییرات آن در x=0 تا x=360 است. یعنی نمرات مقدار y هر 360 واحد از تغییرات x مشابه با تغییرات آن در 360 واحد اول است.
به عبارت دیگر، این تابع منظم (6) یا « دوره ای»(7) است، یا می توانیم بگوییم تناوب مقادیر y در پی فاصله 360 واحدی در مقادیر x تکرار می شود.
خواننده با مفهوم کلمه Sin (سینوس) آشناست و چه بسا به یاد بیاورد که از این کلمه در مبحث ریاضیات عهد یونانی اسکندرانی استفاده کرده بودیم. کمیت ها y در رابطه y= Sin x وقتی x از 0 تا 90 تغییر می کند، دقیقاً همان مقادیر نسبت های مثلثاتی Sin x هستند؛ به صورتی که گوییx از 0 درجه تا 90 درجه تغییر می کند. در طول قرن ها، از زمان ابرخس تا عهد اویلر، ریاضی دان سویسی، نسبت های مثلثاتی که در آغاز در رابطه با زوایای مثلث قائم الزاویه تعریف شده بودند، آن چنان بسط یافته که دیگر می شد آن ها را مستقل از زوایا، به عنوان روابطی بین متغیرها، در نظر گرفت. از این رو، y= sin x رابطه ای شد بین دو متغیر x و y، در طول این قرون، روابط مذکور آن قدر معنایشان وسیع شد که می توان، نظیر آنچه شکل 4 نشان می دهد، به ازای هر مقدار x، هر قدر هم که زیاد باشد، مقداری برای y به دست آورد. پس، فرمول y= sin x هما رابطه قدیمی است که با چهره ای جدید به دیدار ما آمده است. از آن جا که این نسبت ها اولین بار در اندازه گیری مثلث به کار رفته اند توابعی مثل y= sin x را تابع مثلثاتی می نامند.
این توابع نمایشگر دقیق صوت دیاپازون نیستند، اما تعبیری خیلی ساده از آن به دست می دهد. با اندکی تلاش می توان تعبیری مناسب تر به دست آورد. تابع y= 3 sin x را در نظر بگیرید. تفاوت این رابطه با رابطه y= sin x در آن است که، به ازای مقدار مشابهی از x، مقدار y در رابطه y= 3sin x سه برابر مقدار y در رابطه y= sin x است. شکل 57 رفتار تابع y= 3sin x را در مقایسه با y= sin x نشان می دهد.
منحنی y= 3sin x شکلی شبیه منحنی سینوسی معمولی دارد، ولی دامنه نوسان، یعنی حداکثر مقدار y، در آن 3 واحد است؛ در حالی که دامنه نوسان y= sin x برابر 1 است. به طور کلی، نمودار y= asin x ، که در آن a یک عدد مثبت و دلبخواه است، شکلی کلی منحنی های سینوسی را دارد که دامنه نوسان آن a واحد است.
یک نمونه ساده دیگر از تابع سینوسی تابع y= sin 2x است. می توان فرض کرد که این تابع نیز مشابه y= 2sin x است و رفتاری مشابه آن دارد. اما به سرعت می بینیم که چنین نیست. تأثیر وجود 2 در رابطه y= sin2 x به وضوح در نمودار دیده می شود. شکل 6 نشان می دهد که sin 2x، در فاصله 0 تا 180 تمام چرخه مقادیر y را که در تابع y= sin x در فاصله صفر تا 360 درجه طی می شد در بر دارد. پس، وقتی x به 360 می رسد، y= sinz x دو چرخه کامل از مقادیر y را طی کرده است؛ در حالی که y= sin x در این مدت تنها یک چرخه کامل از مقادیر y را پیموده است. از این رو، می گوییم فرکانس تابع y= sinz x در 360 واحد برابر با 2 است. دامنه نوسان y= 2sin x ، 1 است، زیرا بالاترین مقدار عددی آن برابر با 1 است.
می توان نتیجه گیری فوق را به هر تابع y= sin bx که در آن b یک عدد دلخواه مثبت است تعمیم داد. فرکانس y= sin 2x برابر با 2 است. به همین نحو و فرکانس y= sin bx به ازای دامنه تغییرات 360 درجه ای x برابر با b است- و این به معنی آن است که مقادیر y، به موازات تغییرات x از 0 تا 360 به اندازه b دفعه یک چرخه کامل را طی می کند. دامنه نوسان y= sin bx نیز نظیر y= sin 2x برابر است.
تابع y= 3sin 2x از جمله توابعی است که چه از نظر دامنه نوسان و چه از نظر فرکانس با تابع y= sin x متفاوت است. مقدار y در این تابع سه برابر مقدار y در تابع y= sin 2x و با دامنه تغییرات مشابه x است. پس، دامنه نوسان 3 sin 2x برابر 3 و فرکانس آن در دامنه 360 واحدی از تغییرات برابر 2 است (شکل 7).
نتایجی را که تا این جا به دست آورده ایم، می توانیم به این شکل جمع بندی کنیم که تابع y= asin bx، که در آن a و b اعداد مثبت دلخواه اند، به ازای دامنه تغییرات 360 واحدی x دامنه نوسانی a و فرکانس b دارد.
حال می توانیم صوت دیاپازون را به شکل ریاضی نشان دهیم. مقایسه نموداری که هم اکنون درباره آن بحث کردیم با نمودار صوت واقعی یک دیاپازون نشان می دهد که استدلال نظری چه اطلاعاتی می تواند در اختیارمان بگذارد. تابعی که رابطه بین میزان جابه جایی و زمان جابه جایی در یک ارتعاش نمونه در هوا را بیان می کند، به شکل y= a sin bx است. برای یافتن تابعی که با رفتار دیاپازون مطابقت داشته باشد کافی است مقادیر مناسبی برای a و b اختیار کنیم.
اگر دامنه نوسان حرکت یک ملکول نمونه هوا، وقتی بر شاخه دیاپازون عمل می کند، برابر با 001/0 باشد، این عدد مقدار a در فرمول y= a sin bx خواهد بود، و اگر دیاپازون و، به تبعیت از آن، ملکول نمونه هوا، 200 ارتعاش در هر ثانیه داشته باشد، آنگاه نمودار حرکت این ملکول فرکانسی برابر 200 بار در ثانیه خواهد داشت. اما، فرکانس y= a sin bx برابر با b در 360 واحد یا 360/ b در یک واحد است. (8) از این رو 360/ b باید مساوی 200 باشد. پس 200×360= b یا 72000 است. بنابراین، فرمولی که صوت دیاپازون را توصیف می کند، از این قرار است:
y= 0/001 sin 72000 t
که در آن به جای x نشانه t را به کار برده ایم تا به یاد داشته باشیم که متغیر نماینده مقادیر زمان است.
بدیهی است که کمتر صوت موسیقایی است که به سادگی صوت دیاپازون باشد. صوت هایی که از مُلوت حاصل می شوند، به صوت های ساده دیاپازون نزدیک اند، اما از این لحاظ فلوت در میان سازهای موسیقی بیشتر استثناست. در رابطه با صوت های پیچیده تر، ریاضیات چه دارد که بگوید؟ شیرینی برخی صوت ها و خشونت برخی دیگر را چگونه توجیه می کند، چرا نت مشابهی که ویلن و پیانو هر دو می نوازند، در گوش متفاوت می نمایند.
پاسخ برخی از این پرسش ها با مشاهده نمودارهای مربوط به صوت های گوناگون به دست می آیند. نمودار تمام صوت های موسیقایی- که صوت های معمولی کلام آدم در آن جای می گیرد- به نوعی منظم اند. این بدان معنی است که هر نمودار از جابه جایی در برابر زمان دقیقاً در هر ثانیه چندین و چند بار تکرار می شود. این حالت دوره ای را به سادگی می توان در نمودار امواج سازهایی مثل ویلن یا کلارینت یا مثلاً در تلفظ حرف « a» ( در کلمه father) مشاهده کرد.
صوت هایی که چنین نظم نموداری دارند، به طور کلی گوش نوازند و با، مثلاً و سروصدای یک قوطی حلبی که در خیابان انداخته می شود- این سروصدا (نوفه) (9) نموداری بسیار نامنظم دارد- فرق دارند. تمام صوت هایی که نظم نموداری یا دوره ای دارند، از لحاظ تکنیکی، صرف نظر از این که چگونه ایجاد شده اند، صوت موسیقی نامیده می شوند.
بنابراین، اکنون معیاری « نموداری» برای جدا ساختن صوت های خوش آهنگ و گوش آزار یا صوت های موسیقایی و نوفه در اختیار داریم. متأسفانه، تنوع گیج کننده صوت های موسیقی که شکل های منظم دارد، چنان است که تحلیل تک تک آن ها جداگانه لازم است و این کار تا قرن نوزدهم غیر ممکن به نظر می رسید. در قرن نوزدهم، فوریه به صحنه وارد شد و این سردرگمی را رفع کرد.
نظریه فوریه در حیطه ریاضیات محض ظاهری بسیار پیش پا افتاده دارد. بنابراین قضیه هر صوت دوره ای عبارت است از مجموعه تعداد جمله سینوسی ساده به شکل asinbox. و این که فرکانس های این جملات سینوسی، همه، مضرب های صحیحی از کمترین فرکانس آن هستند؛ یعنی، دو برابر، سه برابر، چهار برابر، و ... آن.
برای تشریح مفهوم قضیه فوریه بهتر است یکی از صوت های حاصل از نواختن ویلن را تحلیل کنیم، مثلاً صوتی که نمودار بالایی شکل 8 نمایانگر آن است. فرمول معرف این نمودار به این شکل است. (10)
Y= 0/06 sin 18000 t+0/02 sin 360000 t + 0/01 sin 540000 t
نخست، متوجه این نکته می شویم که طبق قضیه فوریه، این فرمول مجموع چند جمله سینوسی ساده است. دوم آن که، فرکانس نخستین جمله برابر با 180000 در 360 واحد از t یعنی در 360 ثانیه است، که می شود فرکانس برابر
اهمیت فیزیکی قضیه فوریه در چیست؟ این قضیه به زبانی ریاضی می گوید که فرمول هر صوت موسیقی عبارت است از مجموع جملاتی به شکل a sin bx ، و چون هر یک از این جمله ها را می توان نماینده صوتی ساده، مثلاً صوت دیاپازون، با فرکانس و دامنه نوسان مناسب در نظر گرفت، این قضیه، در واقع، می گوید که هر صوت موسیقی، هر چقدر هم که پیچیده باشد، تنها ترکیبی است از صوت های ساده؛ همچون صوت هایی که دیاپازون آزاد می کند.
این استنتاج ریاضی که هر صوت پیچیده موسیقایی را عملاً می توان از ترکیب چند صوت ساده ایجاد کرد، از لحاظ فیزیکی نیز قابل تحقیق است. آزمایش نشان می دهد که سیم در حال ارتعاش، مثلاً در پیانو و ویلن، به گونه ای رفتار می کند که گویی تعداد زیادی صوت ساده را هم زمان آزاد می کند. هر یک از این صوت های ساده را می توان عملاً با ابزارهای خاصی مشخص کرد.
گواه گویاتر ماهیت ترکیبی صوت های موسیقایی این واقعیت است که هر صوت موسیقی را می توان با ترکیب مناسبی از صوت های ساده دیاپازون عیناً بازسازی کرد. مثلاً ، همان آهنگ صدایی را که از نظر کیفی عملاً با آهنگ صدای ویلنی که هم اکنون از آن بحث کردیم فرق نداشته باشد، می توان با به صدا در آوردن هم زمان سه دیاپازون به فرکانس های 500، 1000 و 1500 ارتعاش در ثانیه، البته با بلندی نسبی مناسب، ایجاد کرد. این سه دیاپازون، هم زمان ارتعاش های خود را بر یک ملکول نمونه از هوا منتقل می کنند، دستگاه فونودایک اثر آن ها را به صورت یک نمودار تنها ثبت می کند. اگر هر یک از این دیاپازون ها در لحظه مناسب شروع به ارتعاش کند، فونودایک همان نموداری را رسم خواهد کرد که برای صوت پیچیده ویلن ثبت می کند؛ به این ترتیب می بینیم که از نظر فیزیکی امکان این وجود دارد که سمفونی نهم بتهوون (11) (از جمله بخش کُرال آن را) تماماً به کمک دیاپازون اجرا کرد. این یکی از استلزامات بسیار مهم قضیه فوریه است.
پس، هر صوت پیچیده را می توان با ترکیب مناسبی از صوت های ساده ایجاد کرد. آهنگ ها (تون ها)ی ساده را جزء ها یا هارمونیک (12) صوت می نامند. در میان این جزء ها، یکی کمترین فرکانس را دارد که به آن جزء اول یا تون بنیادی می گوییم. تونی که، از نظر زیادی فرکانس، پس از این تون واقع شده باشد جزء دوم نامیده می شود که بر اساس قضیه فوریه فرکانس آن دو برابر فرکانس جزء اول است. سومین تون از نظر زیادی فرکانس را جزء سوم می نامیم که فرکانس آن سه برابر فرکانس جزء اول است و به همین ترتیب، الی آخر.
تفکیک صوت های پیچیده به جزء ها یا هارمونیک ها به ما کمک می کند تا ویژگی های اصلی همه صوت های موسیقی را از منظر ریاضی توصیف کنیم. هر صوت، چه ساده باشد و چه پیچیده، سه ویژگی دارد که برای تمایز آن از دیگر صوت های موسیقی به کار می آید، یعنی ارتفاع، بلندی و کیفیت. وقتی از بلند و کوتاه (زیر یا بم) بودن صوتی سخن می گوییم، منظور ما ارتفاع آن است. مثلاً، نت های پیانو، وقتی از سمت چپ جعبه کلید به سمت راست در نظر بگیریم از کوتاه (بم) به بلند (زیر) تغییر می کنند. ویژگی دوم صوت، یعنی بلندی آن، به سهولت قابل درک است. برخی صوت ها چنان ضعیف اند که قابل شنیدن نیستند، درحالی که شدت برخی دیگر چنان است که ما را می ترساند. سرانجام کیفیت صوتی ویژگی ای است که آن را از دیگر صوت ها با بلندی و طنین مشابه متمایز می کند. حتی وقتی که ویلن نواز و فلوت زن تون هایی با یک ارتفاع و بلندی را می نوازند، به دلیل تفاوتی که بین این دو وسیله وجود دارد، تفاوت در کیفیت را تشخیص می دهیم.
هر یک از این سه ویژگی بلندی، ارتفاع و کیفیت را می توان به زبان ریاضی « تبیین» کرد. از دو صوت، صوتی بلندتر است که نمودار آن دامنه نوسان بزرگ تری داشته باشد. از آن جا که دامنه نوسان نمودار عبارت است از حداکثر جابه جایی ملکول های هوایی که حامل صوت هستند. بلندی یک صوت بستگی به حداکثر جابه جایی ملکول مرتعش هوا دارد؛ به طوری که هر چه این جابه جایی بیشتر باشد، صوت بلندتر است. فهمیدن این قضیه بسیار ساده است. بنابر تجربه می دانیم اگر بخواهیم از گیتار صدایی بلندتر تولید کنیم، کافی است زه آن را بیشتر بکشیم تا مقدار جابه جایی آن بیشتر شود.
صوت هایی که ارتفاع آن ها نظیر هم است، نمودارهایی با فرکانس نظیر هم ایجاد می کنند؛ بدین نحو که نمودار صوت های با ارتفاع بالا فرکانسی بیشتر از صوت های با ارتفاع پایین دارد؛ از این رو، نمودار صوتی که با عنوان « دو» ی میانه در پیانو شناخته می شود، فرکانسی برابر با 6/261 در ثانیه دارد و صوتی که ارتفاع آن یک اکتاو بیشتر است، فرکانسی برابر با 2/523 در ثانیه دارد.
ارتفاع یک صوت پیچیده، با فرکانس نمودار آن، همیشه ارتفاع یا فرکانس مربوط به یک تون (آهنگ) بنیادی است. به عنوان مثال، به فرمولی که برای صوت ویلن ارائه کردیم، توجه کنید. اجزای صوتی آن به ترتیب فرکانس های 500، 1000 و 1500 را داشتند. این بدان معنی است که وقتی نمودار جزء اول (تون بنیادی) یک دور را طی می کند، نمودار جزء دوم دو دور کامل را می پیماید. به همین نحو، وقتی نمودار تون بنیادی دور اول خود را پیمود، نمودار جزء سوم سه دور را پیموده است. در واقع، نمودار کل ترکیبی صوت تنها و تنها وقتی رفتار خود را تکرار می کند که نمودار تون بنیادی آن یک چرخه کامل را طی کرده باشد (یعنی این جا پس از 500/1 ثانیه). این به معنی آن است که ملکول های هوا رفتار ارتعاشی شان را پس از
ثانیه تکرار می کنند و، از آن جا که این فرکانس است که ارتفاع صوت را معین می کند، طنین صوت پیچیده نیز با تون بنیادی آن معین می شود.کیفیت صوت موسیقی بر شکل یا فرم نمودار اثر می گذارد. اگر صوتی با یک طنین و یک بلندی، به ترتیب توسط یک دیاپازون، یک ویلن و یک کلارینت نواخته شود، نمودارهای مربوط به هر یک از این سازها دوره مشابه و دامنه نوسان مشابه خواهند داشت، اما شکل آن ها با هم فرق می کند (نک: شکل 8)؛ درحالی که نمودارهای مربوط به نت های مختلف که با یک ساز نواخته شود همیشه شکل عمومی مشابهی خواهد داشت 0شکل 10). این به معنی آن است که هر وسیله (سازی) کیفیت خاص خود را دارد.
شکل نمودار هم به نوبه خود تا حدی پیوستگی دارد که چه جزء هایی در صوت وجود داشته باشند و این که شدت نسبی این صوت ها چه باشد. چه بسا جزء دوم، که فرکانس آن دو برابر جزء اول است، چنان ضعیف باشد که تقریباً بر صوت تأثیری نداشته باشد. به زبان ریاضی، جزء دوم صوت ممکن است دامنه نوسانی چنان کوتاه داشته باشد که به شکل نمودار صوت کامل تأثیری ناچیز داشته باشد. به عنوان مثال، تمام جزء ها در نت های بالای یک فلوت، به غیر از جزء نخستین، آن چنان ضعیف هستند که صوت مرکب فلوت عملاً همانند یک صوت ساده است. از این رو، نت هایی که یک فلوت می نوازد شبیه به صدای سوپرانویی است که ارتفاع نظیر آن داشته باشد. به همین دلیل، غالباً از فلوت برای همراهی صدای پورانو در آریاها (اپرایی) استفاده می شود که ترکیب فلوت با صدای سوپرانو لذت بخش ترین تأثیر را دارد. جزء هایی که در صوت یک صدای باریتون وجود دارند، به ترتیب قدرت صوت های جزئی ششم، هفتم، پنجم، سوم و هشتم هستند. چنین صوتی را در شکل 8، که در آن حرف a با صدای باریتون به ارتفاع 159 دور در ثانیه خوانده شده، نشان داده ایم. در برخی تون هایی که در صدای اوبوا شنیده می شود (شکل 11) جزء های چهارم، پنجم و ششم قوی تر از سه جزء اول هستند. در صوت کلارینت که در شکل 8 نشان داده شده است، جزء های هشتم، نهم و دهم برجسته ترند و، در پی آن ها جزء های هفتم، اول و سوم قرار می گیرند.
حالا باید آشکار شده باشد که نه تنها ماهیت عمومی صوت های موسیقی، بلکه ساختار و ویژگی های اصلی همه آن ها را می توان به زبان ریاضی بیان کرد. به یک تکان قلم فوریه، تنوع بی پایان صوت ها- از صدای آدمی گرفته تا آهنگ های پیانو و جیغ گربه- به ترکیبی ابتدایی از صوت های ساده تحویل شد که هر یک از این صوت ها، به نوبه خود، از دید ریاضی، چندان پیچیده تر از یک تابع مثلثاتی ساده نیست. آن فرمول های خشک و مجرد که محصل دبیرستان و دانشجوی دانشگاه را این چنین خسته می کند، در واقع درباره خود ماست. ما هستیم که به محض آن که دهان باز می کنیم به آن صدا می بخشیم و تا گوش هایمان را تیز می کنیم آن صداها را می شنویم.
به لطف فوریه، امروزه ماهیت تک تک صوت های موسیقی برای ما روشن است. اما ریاضیات در رابطه با ترکیب های هارمونیک صوت ها، در رابطه با جوهر کمپوزیسیون های زیبای موسیقی و در رابطه با « روح» موسیقی، چه می تواند بگوید؟ پاسخ این سوال بسیار مفصل است.
گوش نوازترین نواها و ترکیب بندی های موسیقایی نیز از صوت هایی تشکیل شده که نسبت فرکانس آن ها به همدیگر نسبت های عددی صحیح ساده ای اند. مثلاً فاصله « سوم بزرگ» فاصله میان هر دو نتی است که نسبت فرکانس آن ها 4 به 5 باشد. «فاصله چهارم» فاصله میان هر دو نتی است که نسبت فرکانس آن ها 3 به 4 باشد. فاصله پنجم فاصل میان هر دو نتی است که نسبت فرکانس آن ها 2 به 3 باشد. هیچ توضیحی برای این که چرا شنوایی انسان این نسبت ها را مطبوع می داند تاکنون ارائه نشده است به غیر از روابط عددی میان نت هایی که با این نسبت فرکانس متوالیاً نواخته می شوند.
از آن جاکه گوش تنها ترکیب های معینی از نت ها را به عنوان صوت های هارمونی دار می پذیرد، ساختن یک گام موسیقی مطبوع مسئله نسبتاً پیچیده ای است. برای این کار، گام موسیقی باید از نت هایی تشکیل شود که نسبت های فرکانس آن ها مناسب باشد. علاوه بر این ظوهر موسیقی چند آوایی یا کنتراپوان و ضرورت استفاده از کلیدهای مختلف برای رسیدن به تأثیرهای احساسی مختلف نیازهای دیگری را نیز پیش رو قرار می دهد. موسیقی دان ها و ریاضی دان های بسیاری کوشیدند که این نیازها را برآورند.
از آن جا که با سازهایی مثل پیانو که در آن فرکانس هر نت ثابت است و ممکن نیست قلمرویی نامحدود یا حتی بزرگ از فرکانس ها را در اختیار داشت، ابداعاتی همانند گام های هم تراز (13) برای حل برخی مشکلات به کار آمد. پافشاری یوهان سباستیان باخ (14) و فرزندش کارل فیلیپ باخ (15) تأثیر به سزایی در پذیرش این نوع گام ها در فرهنگ غرب داشت.
گام هم تراز دوازده نت دارد؛ بدین گونه که مابین یک نت « دو» و «دو»ی اکتاو بالاتر دوازده نیم فاصله مشابه وجود دارد. فرکانس یازده نت حدواسط ثابت است؛ به طوری که هر یک از آن ها نسبت ثابتی با نت ما قبل خود دارد. چون از دو تا دو بعد دوازده فاصله وجود دارد و نسبت این دو نت به یکدیگر برابر با 2 است، نسبت نت های متوالی برابر است با 0594/1 ، زیرا
بدین ترتیب، هر یک از فاصله ها در گام هر تراز که نیم تون نامیده می شود، مشابه همدیگرند درنتیجه، هر نت می تواند به عنوان کلید تألیف یک اثر موسیقی مورد استفاده قرار گیرد. با این همه، فاصله هایی که با نت های این گام حاصل می آیند، دقیقاً همان هایی نیستند که گوش نوازترین فواصل معلوم اند. برای ایجاد فاصله پنجم که نسبت فرکانس دو نت در آن 3 به 2 است، بهترین صوتی که می توان در گام مورد بحث ما به دست آورد، انتخاب دو نت است که نسبت فرکانس آن ها به یکدیگر 498/1 باشد. فاصله چهارم که نسبت بین فرکانس دو نت در آن4 به 3 است، تقریباً با نسبت 335/1 حاصل می شود. این تفاوت ها گرچه به ظاهر اهمیتی ندارند، یک گوش موسیقایی آزموده آن ها را از هم تمیز می دهد. البته، به کمک تنظیم طول و میزان کشش زه ها لزومی نیست ویلن نواز و مثلاً خواننده خود را به فرکانس های گام هم تراز محدود کند، ولی، از آن جا که پیانو یک ساز پایه ای است، سبب شده است این گام در دو قرن اخیر بر موسیقی خوب تسلط یابد.ریاضیات راه خود را حتی به تألیف آثار موسیقایی هم باز کرده است. استادانی چون باخ و شونبرگ (16) برای تألیف موسیقی نظریه های ریاضی را به کار گرفته و از چنین نظریاتی حمایت کرده اند. در چنین نظریاتی الگوهای خلق موسیقی، بیش از آنکه بر اساس احساسات و عواطف روحی و روانی شکل گیرند، از منطقی سرد و خشک تبعیت می کنند.
این جا به موضوعاتی مانند آکوردها، گام ها و نظریه های ترکیب بندی نخواهیم پرداخت. موضوع بحث ما، که مضمون های فرهنگی ریاضیات است، امکان بررسی دقیق چنین مباحثی را به ما نمی دهد. چند نکته ای که در این جا از آن ها سخن گفتیم، صرفاً به این هدف است که دریابیم از آن هنگام که فهمیده شد حتی قلمرو موسیقی را نیز می توان به ریاضیات تحویل کرد، ریاضیات تا چه حد در قلمرو موسیقی نفوذ کرده است.
البته، تحلیل ریاضی صوت های موسیقی اهمیت عملی بسیاری دارد. شرحی که تا این دادیم برای پذیرش این واقعیت کافی است. در دستگاه صوت ها همان گونه که هستند باز تولید می شوند. با توجه به تنوع صوت ها، زمانی رسیدن به این هدف به کمک امکانات فیزیکی ساده کمابیش دست نیافتنی به نظر می رسید. اما، بنا بر قضیه فوریه، تمام صوت های آوایی تنها ترکیبی از صوت های ساده دارای فرکانس های متفاوت اند؛ به این ترتیب، مسئله تا حد بازسازی صوت های ساده تقلیل می یابد. تحلیل بیشتر نموداری صوت های واقعی انسانی به کمک قضیه فوریه نشان داد که برای این که صداها در حد شنوایی انسانی باشند تنها به صوت های ساده با فرکانس های 400 تا 3000 نیاز داریم. بدین سان، طرح ساخت تلفن در جهت بازتولید صوت های ساده ای که فرکانس آن ها در قلمرو یاد شده قرار می گیرند جهت گیری یافت. از آن زمان تا کنون بهبودی های چشمگیری در کیفیت باز تولید صوتی حاصل شده است.
ریاضیات در بهبود بازده صوتی سازهای موسیقی نیز نقش چشمگیری داشته است. از تحلیل ارتعاش زهی داده هایی به دست می آید که در بهبود صدا دهی پیانو مفید بوده اند، نتایج حاصل از تحلیل ارتعاش پوستک ها در ساخت طبل و سازهای کوبه ای مورد استفاده قرار گرفته است، و مطالعات مشابه در زمینه تحلیل ارتعاش لوله های هوا اصلاحات گسترده ای را در ساخت سازهای بادی سبب شده است. همچنین، سازندگان پیانو تحلیل هارمونیک صوت های موسیقی را به فراوانی برای تنظیم موقعیت چکش ها در جهت حذف هارمونیک های نامطلوب به کار برده اند. ریاضیات نه تنها به بهبود کیفی و طرح این سازها کمک کرده است، حتی در مواردی نقشی را که شنوایی انسانی در طراحی و آزمایش سازها به عهده داشته نیز انجام داده است. بسیاری از سازندگان این سازها، صوت های سازهایشان را با ابزارهایی شبیه به فونودایک، به نمودار تبدیل می کنند، و، به این ترتیب، با توجه به این که نمودار صوت هایی را که سازهای ساخت آن ها تولید می کند تا چه حد نزدیک به نمودارهای ایده آل است، در مورد کیفیت آن ها قضاوت می نمایند.
به هر حال، تردیدی نیست تا آن که طرح ساخت سازهای موسیقی مورد نظر باشد، تجربه نقشی بیشتر از ریاضیات داشته و دارد. اما، در مورد ساخت ابزارهایی چون رادیو، آوانگار، سینمای گویا (غیر صامت) و سیستم های بلندگو، موضوع قطعاً برعکس است. عملاً مهندسی تمامی اجزای تشکیل دهنده این ابزارها قویاً بر تحلیل فوریه از صوت های موسیقی تکیه دارد. حتی یک نوآموز مشتاق خیلی زود سخن گفتن به زبان فوریه را می آموزد. به هر حال، با توجه به نقش های بسیاری که ریاضیات در تولید و باز تولید ایده های موسیقایی داشته است، امروزه عاشقان موسیقی مدرن همان قدر مدیون بتهوون هستند که مدیون فوریه اند.
کار فوریه نتایج تلویحی بسیاری در خود دارد. هیچ شکی نیست که جوهر موسیقی زیبا بیش از آن است که تحلیل ریاضی بتواند نمایش دهد. در هر صورت، این هنر برتر با قضیه فوریه خود را تمام و کمال به توصیف ریاضی وا می گذارد. به این ترتیب می توان موسیقی را که مجردترین هنرهاست به ریاضی که مجردترین علوم است تحویل کرد. آشکار است که عقلانی ترین هنرها باید شبیه موسیقی عقل باشد.
پی نوشت ها :
1- J. B. J. Fourier ، ریاضی دان و فیزیک دان فرانسوی (1768- 1830)
2- Auxerre
3- condensation
4- rarefaction
5- phonodeik
6- regular
7- periodic
8- فرکانس صوت واقعی برابر با تعداد ارتعاش در یک واحد زمان، معمولاً ثانیه، است. فرکانس در 360 واحد را فرکانس مستدیر می نامند.
9- noise
10- به خاطر ساده شدن بحث از موضوع به نسبت کم اهمیت فاز در این جا صرف نظر می کنیم.
11- Ludwig V. Beethoven ، آهنگ ساز آلمانی (1770- 1827)
12- harmonic
13- equal- tempered
14- J. S. Bach ، آهنگ ساز آلمانی (1685- 1750)
15- K. P. E. Bach ، آهنگ ساز آلمانی (1714- 1788)
16- A. Schoenberg ، موسیقی دان اتریشی (1874- 1951)
