![کواترنیون ها کواترنیون ها](https://rasekhoon.net/_files/thumb_images700/article/0030265.jpg)
نویسنده: سم پرلیس
مترجم: محمّد قاسم وحیدی اصل
مترجم: محمّد قاسم وحیدی اصل
بردارها اشیائی اند که می توان آن ها را از جمله جمع و تفریق، و ضرب کرد؛ آن ها را می توان در اعداد حقیقی هم ضرب نمود. در هر حالت، نتیجه یک بردار دیگر است.
برای ویلیام رووان همیلتن (که در 1805 در دوبلین به دنیا آمد و به استادی نجوم در کالج تری نیتی (1) دوبلین در 1827 منصوب شد) مایه ی آزار بود که بردارها فاقد خارج قسمت اند؛ به این معنی که برای هر دو بردار u و v با
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302651.jpg)
یک دستگاه مختصات متعامد را با محورهای y,x و z و بردارهای واحد j,iو k که به ترتیب روی این بردارها استخراج شده اند در نظر بگیرید. همه ی بردارهای به کار رفته از مبدأ خارج می شوند و بنابراین برداری که به نقطه ی (x,y,z) ختم می شود، بردار xi+yi+zi است. فرض کنید که u و v دو بردار باشند، u=ai+bj+ck و
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302652.jpg)
ابتدا، بردارهای u و v صفحه ای مانند π را معین می کنند. بردار متحرکی مانند v را در نظر بگیرید که در آغاز بالای v واقع است. در صفحه ی برادر v را دوران می دهیم تا بر نیم خط شامل بردار u قرار گیرد، زاویه ی دوران با δ نشان داده می شود.
این عدد δ ، دوران ما را معین نمی کند؛ زیرا برای ما کافی نیست که v را از طریق هر زاویه ی برابر با δ بلکه تنها از طریق زاویه ای مانند δ که در صفحه ی مناسب قرار دارد دوران دهیم. بنابراین آن اعدادی را در نظر می گیریم که به مشخص کردن صفحه ی از مبدا به کار می آیند. اگر صفحه ی متحرک
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026536.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302653.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302654.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302655.jpg)
γ و βدو زاویه ی بکار گرفته شده باشند، سه تایی(β, γ,δ) دوران مورد نظر را معین می کند که نیم خط بردار v را به نیم خط بردار u می برد.> طول v ممکن است کاملاً متفاوت از طول u باشد، بنابراین حالا طول اولی را در ثابتی مانند α ضرب می کنیم تا آن را به طول u تبدیل کنیم. جمعاً چهار ثابت αγو ,β , δ برای تبدیل v به u به کار می خورند. همیلتن برای بیان این «چهاری»، اصطلاح «کواترنیون ها» را برای هر آن شیء جبری که می توانست برای به سرانجام رساندن تبدیل مطلوب بیابد وضع کرد. نتیجه آن شد که هدف او به طور قابل تحسینی با نماد
1)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302656.jpg)
برآورده می شود که در آن
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026538.jpg)
2)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302657.jpg)
داد شود، آن گاه w+w' و w'+w هر دو برابرند با
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302658.jpg)
حاصل ضرب ww' با استفاده از قوانین معمولی جبر همراه با قراردادهای زیر تعریف می شوند:
ij=k؛ ji=-k، jk=i؛ kj=-i؛ ki=j، ik=-j و
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/00302659.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026510.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026511.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026512.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026513.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026514.jpg)
ممحاسبه ی مشابهی نشان می دهد که
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026515.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026516.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026517.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026518.jpg)
دستگاه کواترنیون ها که به این ترتیب ساخته شد، بردارهای معمولی ai+bj+ck را در برمی گیرد و وقتی قانون های جمع و ضرب کواترنیون ها در مورد این بردارها اعمال شوند، نتایج معمولی حاصل می شوند به جز این که حاصل ضرب ها حالا متشکل از یک ثابت حقیقی به علاوه ی حاصل ضرب معمولی برداری است. اما حال نشان می دهیم که یک ویژگی اضافی نیز در کار است: هر بردار ناصفر- نیز هر کواترنیون ناصفر- در دستگاه کواترنیون ها وارون دارد.ن w در (1) برابر 0 است اگر و تنها اگر همه ی ضرایب آن 0 باشند. فرض کنید
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026519.jpg)
4)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026520.jpg)
عدد حقیقی مثبتی است. اگر w را به صورت
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026521.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026522.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026523.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026524.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026525.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026526.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026527.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026528.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026529.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026530.jpg)
غیرتعویض پذیر بودن ضرب کواترنیون به خاصیتی عجیب منجر می شود. معادله ای از درجه n را دیگر نمی توان گفت که حداکثر n ریشه ی متمایز دارد، حداقل نمی توان گفت چنین است هرگاه جواب های کواترنیون ها نیز پذیرفته شوند. به عنوان مثال، معادله ی درجه ی دومs="pic" src="/userfiles/Article/1392/05/04/003026531.jpg" /> سه جواب کواترنیونی بدیهی دارد:
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026532.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026533.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026534.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026535.jpg)
![کواترنیون ها کواترنیون ها](/userfiles/Article/1392/05/04/003026537.jpg)
پینوشتها:
1. Trinity college
2. raison d’etre
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385