شهودگرایان مجموعه ی اعداد طبیعی را به عنوان مأخذ بنیادهای ریاضیات تصور می کنند و معتقدند که سرچشمه ی این اعداد شهود است. بنیانگذار این مکتب بروئر است. به عقیده او منشأ مفهوم دنباله اعداد طبیعی، در قابلیت ما در فرق گذاشتن بین دو احساس است ( هنگامی که یکی از آن ها به گذشته بپیوندد و یاد آن در حافظه باقی بماند و در عوض احساس دیگر جایگزین اولی شود)، و همچنین در قابلیت تکرار نامحدود این فرآیند. از نظر شهودگرایان ما اعداد طبیعی را به همان طریق احساس می کنیم که کانت فضا را احساس می کرد.
از دید ایشان یک شی ریاضی وجود دارد هرگاه ریشه در شهود ما داشته باشد، یا به طور دقیق تر، هرگاه بتوانیم آن را با یک روش معین و در تعداد متناهی مرحله از اعداد طبیعی بسازیم. بنابراین آن قسمت هایی از ریاضیات کلاسیک که به روش ساختنی به دست نیایند، یعنی در یک فرآیند متناهی خود را به اعداد طبیعی متصل ننمایند، فاقد معنا محسوب می شوند. برای نمونه به دو مثال زیر توجه کنید:
1) فرض کنید p فرضیه ریمان باشد، یعنی اینکه صفرهای تابع زتای ریمان روی خط
قرار دارند. در حال حاضر نمی دانیم p راست است یا دروغ. در این صورت، اگر p صادق باشد در غیر این صورت
، از نظر ساختنی هیچ شی ریاضی را به دست نمی دهد.2) یک برهان ساختنی برای قضیه ی « اعداد اصم a و b وجود دارند که
گویا است» عبارت است از a=e و 2b=ln و یک برهان غیر ساختنی به صورت زیر قابل ارائه است:
«یا گویا است یا اصم است. اگر گویا باشد، قرار می دهیم 
و اگر اصم باشد قرار می دهیم
اشکال برهان اخیر این است که a ساختنی نیست.اینان بر خلاف منطق گرایان نمی خواهند تمام ریاضیات کلاسیک را توجیه نمایند، بلکه می خواهند تعریف معتبری از ریاضیات ارائه دهند و بعد ببینند در عمل چه چیزی از آن حاصل می گردد.
در بیانیه ساخت گرایان، ارائه شده توسط ارت بیشاپ، آمده است:
« ریاضیات بخشی از فعالیت های ذهنی ماست که برتر از زیست شناسی و محیط شناسی است. قوانین زیست شناسی به صورتی که با آن آشنا هستیم ممکن است برای تشکیل زندگی در جهانی دیگر به کار روند، گرچه لزومی ندارد چنین باشد.
همچنین با این که قوانین فیزیک عام تر هستند، تصور این که در جهانی دیگر قوانین فیزیکی متفاوتی حاکم باشد، آسان است. ریاضیات آفرینشی ذهنی است که کمتر از فیزیک و زیست شناسی اختیاری است، بدین معنا که موجوداتی که ما آن ها را ساکن در جهان دیگری با قوانین فیزیکی و زیست شناسی متفاوتی تصور می کنیم، ریاضیاتی در دست خواهند داشت که اساساً همان ریاضیات ماست.»
بروئر در 1908 این مطلب را که « قوانین منطق ارسطویی بدان گونه که به ما رسیده اند اعتبار مطلق دارند». مورد تردید قرار داد. به ویژه قانون طرد شق وسط ( ثالث) ( که می گوید برای هر گزاره p، یا p یا
را معتبر ندانست. البته شهودگرایان قائل به شق سوم نیستند آن ها فقط می گویند: « چنین نیست که شق سوم وجود ندارد.» وی همچنین کاربرد بینهایت بالفعل ( به مثابه یک کمیت نامتناهی) را مورد شک قرار داد و اشیای ریاضی را ساختمان های معینی ذهنی دانست.بعدها از شهودگرایی مکاتب گوناگونی مانند ساخت گرایی بیشاپ و ساخت گرایی بازگشتی مارکوف پدید آمد.
در ریاضیات کلاسیک وجود به معنای « عدم به تناقض می انجامد» است. در حالی که در ریاضی شهودگرایان، اگر فرض نادرست بودن گزاره p به تناقض منجر شود فقط می توان گفت که
نادرست است و چنین نیست که همواره نتیجه شود p درست است. یعنی در منطق شهودگرایانه ( که بیشتر نقش زبان برای انتقال اندیشه را دارد و مستقل از ریاضیات است)، « اگر
آن گاه p » معتبر نیست.آن چه برای درستی یا نادرستی اش برهانی ساختنی ارائه نشود قابل پذیرش نیست. اصل انتخاب، قضیه مقدار میانی و ... که احکامی مهمی در ریاضیات کلاسیک هستند در ریاضیات شهودگرا قابل پذیرش نیستند. به هر حال توجه به این نکته مهم است که از دیدگاه ساخت گرایان، چنین نیست که تمام ریاضیات کلاسیک، که البته گاهی « ریاضیات توصیفی» خوانده می شود، و روش هایش بی فایده و بی اعتبار است. برای توضیح بیشتر حالت خاصی از قضیه ی مقدار میانی برای توابع پیوسته ( در ریاضیات کلاسیک) را در نظر بگیرید:
قضیه. اگر تابع f روی بازه
پیوسته باشد و
، آن گاه نقطه ای مانند x در بازه
موجود است به طوری که
برای اثبات این قضیه ریاضی دان کلاسیک با برهان خلف نشان می دهد که عدم وجود چنین نقطه ای به تناقض منجر می شود و از آن جا نتیجه می گیرد که چنین نقطه ای وجود دارد. در حالی که ریاضی دان ساخت گرا چنین برهانی را نمی پذیرید و حتی نشان می دهد که هیچ روش ساختنی برای یافتن نقطه مورد نظر وجود ندارد.از نظر ریاضی دان ساخت گرا، قضایای غیر ساختنی ریاضیات کلاسیک را ممکن است بتوانیم اصلاح کنیم تا به یک برهان ساختنی دست یابیم. مثلاً (آ) با قوی کردن مفروضات و یا (ب) با ضعیف کردن نتیجه.
به عنوان نمونه شکل های ساختنی قضیه مقدار میانی برای متوابع پیوسته بر اساس دو روش فوق عبارتند از:
(آ) فرض کنید
یک تابع پیوسته باشد به طوری که
. در این صورت برای هر
، x ی در
موجود است که
.(ب) فرض کنید
یک تابع چند جمله ای باشد، به طوری که
و 
. در این صورت x ی در 
وجود دارد به طوری که
.البته در وضعیت های متناهی تفاوتی بین روش های استدلال در ریاضیات کلاسیک و ریاضیات شهودگرا نیست و به ویژه در این حالت آن ها قائل به قانون طرد شق ثالث هستند. مثلاً اگر p گزاره ی « بین
و
یک عدد اول وجود دارد» باشد با یک بررسی ( هر چند طولانی) نتیجه می شود که یا p یا
درست است. لذا در این جا اگر فرض نادرستی p به تناقض منجر شود، می توان نتیجه گرفت که p درست است.بیشاپ در جواب این سوال که از کجا می فهمید که یک برهان، ساختنی است یا نه، می گوید: « اگر شما بتوانید یک برنامه ی کامپیوتری برای آن بنویسید، آن اثبات، ساختنی خواهد بود؛ گرچه ضرورتی ندارد آن برنامه را اجرا کنید و برای نتایجش انتظار بکشید.»
یکی از ظرافت های مکار بروئر ارائه ی مثال هایی موسوم به مثال های نقض بروئری است که در آن ها تصمیم پذیری یک حکم به تصمیم پذیری حکمی دیگر که تاکنون نه اثبات و نه ابطال شده است موکول می شود. همچنین پذیرش آن ها منجر به پذیرش اصل طرد شق ثالث می شود که یک حکم غیر ساختنی است. این مثال ها ضمن نمایش تفکر شهودگرایانه نشان می دهند که بعضی قضایای ریاضیات کلاسیک غیر ساختنی هستند. در ذیل تعدادی از این مثال ها را ارائه می دهیم:
1) اصل کمال در ریاضیات کلاسیک به این معنا است که هر زیر مجموعه ی ناتهی و از بالا کراندار از اعداد حقیقی، دارای کوچکترین کران بالا ( یا سوپریمم) است. این اصل، سرشتی غیر ساختنی دارد. فرض کنید Sn به این معنا باشد که
مجموع دو عدد اول است. اگر n داده شده باشد، می توان در تعداد متناهی مرحله معین کرد که Sn راست است یا دروغ. اما صدق
که به حدس گلدباخ موسوم است، تاکنون معلوم نشده است. اگر برای هر k، قرار دهیم:
است. اینک اگر اصل کمال برقرار باشد، 
باید دارای سوپریمم t باشد. اما در ریاضیات ساختنی یک عدد حقیقی، یک دنباله کوشی 
از اعداد گویا است که در شرط
صدق می کند. یک نتیجه ی این تعریف این است که می توانیم بسط اعشاری t را تا هر تعداد مشخص رقم بعد از اعشار تعیین نماییم. پس می توان تعیین کرد
یا
. حالت اول نتیجه می دهد که برای هر n، Sn راست است، یعنی اگر
، حدس گلدباخ اثبات شده است. حالت دوم و تعریف کوچکترین کران بالا، نتیجه می دهد که k یی وجود دارد که 
. لذا در یک تعداد متناهی مرحله، می توان 
ی یافت که Sn صادق نباشد. شما ممکن است بگویید: « خوب، واضح است که سوپرمم
یا 1 است یا 3»، ولی اگر شما واقعاً بتوانید بگویید کدامیک از این دو حالت روی می دهد، که دیگر بحثی با شهودگرایان نخواهید داشت، چرا که در این صورت حدس گلدباخ اثبات یا ابطال شده است! توجه کنید، این که عددی با خواص معین، در صورت وجود، باید مساوی با یکی از دو عدد داده شده باشد، متفاوت با این است که آن عدد واقعاً وجود دارد.2) ارقام بعد از ممیز در بسط اعشاری
را به گروه های نه رقمی تقسی می کنیم و قرار می دهیم.
و نیز
. ما نمی دانیم
یا 
3) می دانیم عدد تام، عددی است که با مجموع مقسوم علیه های سره اش برابر است، مثلاً تام است. مسأله « عدد تام» این است: « آیا عدد فرد تامی وجود دارد یا خیر؟»
دنباله
را به صورت زیر تعریف می کنیم:
قرار دهید
، به وضوح
. اگر
آنگاه برای هر k نتیجه می شود،
؛ یعنی هر عدد تامی زوج است و اگر
، نتیجه می شود که عدد تام فردی در دست داریم. پس اصل تثلیث که بیان می کند به ازای هر 
، یک و فقط یکی از سه رابطه ی
برقرار است، ساختنی نیست. در واقع اصل تثلیث وجود جوابی را برای مسأله ی عدد تام فرد ایجاب می کند.همچنین تابع f که در ریاضیات کلاسیک روی تمام بازه
به صورت
تعریف می شود، ابهامات ساختنی دارد. در واقع در بالا دیدیم که هیچ روش متناهی کلی برای تصمیم در مورد این که عدد حقیقی مشخصی از
، صفر یا مثبت است وجود ندارد. پس هیچ روش متناهی برای تصمیم در مورد این که تابع f چه مقداری را به نقطۀ داده شده X نسبت می دهد وجود ندارد. نتیجه مطلب اخیر این است که در ریاضیات شهود گرا حوزه ی تعریف این تابع تمام 
نیست.4) فرض کنید a یک عدد حقیقی در
باشد که نمی دانیم
.تابع
روی
پیوسته است.
اگر به ازای x ی در
آن گاه
و لذا 
پس نمی توانیم x ی بیابیم که
.لازم به ذکر است که افلاطون گرایان و صورت گرایان از نظر اعتقاد به وجود اشیاء ریاضی در نقطه مقابل یکدیگرند ولی در مبانی استدلال متوافق هستند و شهودگرایان در نقطه مقابل هر دو هستند.
اولین کسی که منطق شهودگرایانه را صوری ساخت آرند هایتینگ بود که در سال 1930 این کار را انجام داد. در این منطق رابط های
به طور مستقل تعریف می شود:
درست است اگر و فقط اگر فرض درستی p به تناقض منجر شود.
درست است اگر و فقط اگر بتوانیم درستی p و درستی q را به طور ساختنی ثابت کنیم.
درست است اگر و فقط اگر بتوانیم درستی p یا درستی q را به طور ساختنی ثابت کنیم.
درست است اگر و فقط اگر بتوانیم ساختمانی متشکل از یک روش ارائه دهیم به طوری که هر اثبات ساختنی از p را به یک اثبات ساختنی از q تبدیل کند.همچنین چنانچه S یک محمول یک متغیره با دامنه متغیر A باشد:
درست است اگر و فقط اگر بتوانیم یک روش ساختنی کلی ارائه دهیم به طوری که هر اثبات ساختنی برای را به اثباتی ساختنی برای Sa تبدیل کند.
درست است اگر و فقط اگر بتوانیم یک عنصر
بسازیم به طوری که Sa به طور ساختنی قابل اثبات باشد.در جدول زیر بعضی از قضایای منطق شهودگرایانه و نیز فرمول هایی که قضیه نیستند، آمده است:
معادل 
است زیرا بنا به (*)
، از طرفی بنا به (**)، از 
نتیجه می شود که 
. همچنین علی رغم آن که استنتاج
در منطق کلاسیک معتبر است، در منطق شهودگرایانه معتبر نیست. مثلاً می دانیم « به ازای هر دسته ی ده تایی از ارقام متوالی بسط اعشاری 
، آن دسته متشکل از ده صفر متوالی است یا نیست». اما این مطلب یک برهان ساختنی برای این ادعا که « ده صفر متوالی در بسط اعشاری
وجود دارد یا هیچ دسته ده تایی از ارقام متوالی این بسط از دقیقاً ده صفر تشکیل نشده است» به دست نمی دهد. در واقع محتوای ساختنی 
بیشتر است.خواص منطق شهودگرایانه بعدها توسط کولموگورف، گنتسن و گودل کشف شد و کریپکی نوعی معناشاسیِ برای منطق شهودگرایانه ابداع کرد.
انتقاداتی به این مکتب وارد است: شهود اعداد طبیعی واقعاً جهانی نیست. تحقیقات پیاژه نشان داده است که کودکان بر اساس تجربیات و روش خاصی از تفکر، اعداد طبیعی را در ذهن خود می سازند. به زعم پیاژه بر خلاف نظر کرونکر که گفت: « خداوند اعداد طبیعی را آفرید بقیه کار انسان است»، اعداد طبیعی را خداوند به ما نداده است ( حداقل نه قبل از هفت سالگی برای اکثر بچه ها در فرهنگ غرب)، بلکه از طریق تناسب و هماهنگی مفاهیم جزئیت و ترتیب در ذهن فرد ساخته می شوند. مسأله ی بعدی این است که بعضی اثبات ها در ریاضیات کلاسیک ظریف، هوشمندانه و کوتاه هستند ولی ساختنی نیستند، پس شهودگرایان آن ها را قبول ندارند و به جایش، آن هم در صورت امکان، یک برهان ساختنی که عموماً طولانی تر است ارائه می کنند. همچنین بعضی احکام ریاضیات شهودگرایان در ریاضیات کلاسیک معتبر نیستند، مثلاً این که « هر تابع حقیقی مقدار که روی تمام خط حقیقی تعریف شود، پیوسته است».
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرنفلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن
