فلیکس کلاین می گوید:
« ریاضیات عالی ترین دستاورد فکری و اصیل ترین ابداع ذهن آدمی است. موسیقی می تواند روح را برانگیزد یا آرام سازد، نقاشی می تواند چشم نواز باشد، شعر می تواند عواطف را تحریک کند، فلسفه می تواند ذهن را قانع و راضی سازد، مهندسی می تواند زندگی مادی آدمی را بهبود بخشد. اما ریاضیات همه این ارزش ها را عرضه می کند.»
زیبایی ریاضیات فرعی بر آن نیست، بلکه یک خصوصیت اصلی ریاضیات است. از دیدگاهی تاریخی، حداقل از دوره طلایی یونان باستان، هیچ گاه ریاضیات زشت مفید نبوده است. بنابراین باید صحبت از زیباترین ها نمود. لیکن در مورد معیارهای انتخاب زیباترین ها، بین ریاضی دان ها توافق وجود ندارد. معلوم نیست که باید بر محتوای قضیه، برهان، مفاهیم مورد بحث یا استراتژی ها تأکید کرد و آن ها را ملاک قرار داد یا باید بر نقش احساسات شخصی و تعصبات ملی و مذهبی نسبت به زیبایی تکیه نمود. به هر حال همچنان که ممکن است بتوانیم شعر زیبا را تعریف کنیم و وقتی خوانده می شود، عده ی کثیری به زیبایی آن پی می برند و لذا معیارهایی برای زیبایی یک شعر داریم، ما نیز می توانیم ملاک هایی به دست دهیم که اکثریت قریب به اتفاق ریاضی دانان برای تشخیص زیبا و زشت از یکدیگر به کار می برند. مهم ترین این ها عبارتند از: غیرمنتظره بودن ( نظیر وجود تابعی از R به R که همه جا پیوسته است ولی هیچ جا مشتق پذیر نیست، وجود منحنی های فضا پر کن، و قضیه باناخ – تارسکی)، قدرت ایجاد ارتباط بین شاخه های مختلف ریاضیات و توانایی نمایش مشابهت ها در ریاضیات ( مانند گروه گالوای یک میدان، گروه بنیادی یک فضای همبند مسیری، و عضوی آزاد در یک رسته)، سادگی برهان ( نظیر این که
واگراست، مجموعه ی اعداد اول نامتناهی است، و... 12345678910111213/0 اصم است)، اختصار در بیان که آتیا آن را بیش و کم مترادف ظرافت می داند ( همچون 
کاربردپذیری در علوم و مهندسی ( مانند قضیه استوکس در آنالیز برداری، وجود و یکتایی جواب معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه، و تبدیل شوارتس - کریستوفل)، عمق ( نظیر قضیه اساسی جبر، فرضیه پیوستار، و حل ناپذیری چند جمله ای های از درجه ی بزرگتر یا مساوی پنج بوسیله رادیکال ها) و کلیت ( مثل قضیه نقطه ثابت بروئر، وجود میدانی با خاصیت کوچکترین کران بالایی، و قضیه هان – باناخ) عمق و کلیت به معنای این است که قضیه ریاضی مورد نظر تکیه گاه ساختارهای ریاضی مختلف و ایجاد کننده ی سؤالات جدید باشد، در اثبات قضایای دیگر به کار رود و یا نمونه ی بارز دسته ای از قضایای شبیه به هم باشد.البته ممکن است میزان زیبایی چیزی با گذشت زمان تغییر کند، چنان که در قرن گذشته یکی از زیباترین اسرار کائنات تصور می شد در حالی که اکنون در نظر اکثر ریاضی دانان یک رابطه ی معمولی است. همچنین مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی
است و در دوره درخشان یونان مظهر زیبایی بود، امروزه در سبک های غایر کلاسیک معماری، زیبا محسوب نمی شود.یک سؤال اساسی این است که چگونه ریاضی دان ها توانسته اند یک علم زیبا و به عنوان عمیق ترین معرفت بشری بیابند؟ در پاسخ باید گفت سخت گیری، بدون بخشش کوچک ترین خطاها ( که عموماً به صورت یک عادت برای ریاضی دان ها در می آید) در کنار روش و معیارهای منطقی آن ها به همراه جدیت، خلاقیت، به غایت اندیشیدن، و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است صرف نظر از ارجمندی صاحبان افکار ( بزرگانی نظیر اقلیدس، فیثاغورس، ارسطو، کانتور، هیلبرت، ...) عامل موفقیت ریاضی دان ها در پرداختن به ریاضیات به عنوان علمی دقیق، منسجم، منظم، قطعی و دارای مبانی واضح و ساده و هیجان انگیز، بوده است.
اینک اجازه دهید به ریاضیات به عنوان یک هنر نگاه کنیم. در واقع نوعی شباهت بین کار ریاضی دان و کار یک هنرمند، مثلاً نقاش، وجود دارد. اولی بدون توانایی ارائه استدلال عمیق و دومی بدون مهارت های فنی واقعی، و نه خیالی، نمی توانند یک ریاضیدان خوب و یک نقاش خوب باشند. به قول هاردی « هم ریاضی دان و هم نقاش، نقش پرداز هستند»، هر دو می توانند اندیشه هایی ناب را منعکس سازند. هر دو مظهر بی نقصی و نمایش دهنده الگوهایی ظریف و درخشان و به تعبیری یک « خیال واقعی» هستند. هر دو به انسان لذت می بخشند، لذتی که فقط با تلاش به دست می آید. اما در هر دو مورد فایده دلیل اصلی فعالیت فرد نیست، بلکه تلذذ از ساختن « دنیایی خیالی» که زیباتر از « دنیای تجربی» است انگیزه ی اوست. البته نقاشی ( همچون موسیقی) احساسات را بیشتر و سریع تر بر می انگیزاند و لذا « هنری تر» از ریاضیات به نظر می آید. در همین راستا باید گفت که تشریح ارزش ریاضیات محض برای عامه مردم کار شاقی است درست مانند این که برای شخصی که هرگز موسیقی نشنیده است یک ملودی پخش کنیم و بگوییم « این عجب ملودی قشنگی است!» و انتظار تأیید از طرف مقابل داشته باشیم.
همه شنیده ایم که روزی یکی از دانش آموزان هیلبرت، ریاضیات را رها کرد تا شاعر شود، وقتی وی از موضوع اطلا ع یافت گفت: « هیچ فکر نمی کردم آن جوان چنان تخیلی داشته باشد که ریاضیدان شود.» مهم ترین عامل ابداعات ریاضی، تخیل است. استدلال منطقی آن را پیرایش کرده و به آن قوام می بخشد. منطق قضاوت می کند ولی چیزی نمی آفریند. تاریخ نشان می دهد که هر ریاضی دانی که قوه ی تصور قوی تری داشته باشد، ریاضیات زیباتری خلق می کند.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن
