ديناميک اينشتين

مکانيک گاليله - نيوتوني با حرکت شناسي قديمي پيوند بسيار نزديک دارد. اصل نسيت سنتي بويژه از اين واقعيت سر مي زند که تغيير سرعت، يعني شتاب در برابر تبديلات گاليله، ناوردا است.
اينک طبعاً منطقي نيست که براي بخشي از رويدادهاي طبيعت يک نوع حرکت شناسي منظور شود، و براي بخش ديگر يک نوع حرکت شناسي ديگر؛ به اين صورت که براي مکانيک ناوردايي در ضمن تبديلات گاليله، و براي الکتروديناميک ناوردايي در ضمن تبديلات لورنتز طلب کنند.
اما مي دانيم، اولي حالت حد دومي است که بر اثر اندازه بينهايت بزرگ سرعت ثابت نور c متمايز مي گردد (1). پس نظر اينشتين را تصديق مي کنيم و مي گوييم، مکانيک سنتي دقيقاً معتبر نيست و به تغييري نيازمند است: قوانين مکانيک در برابر تبديلات لورنتز بايد ناوردا باشند.
به منظور يافتن اين قوانين، بايد ببينيم که کدام قوانين بنيادي مکانيک سنتي را بايست حفظ کنيم و کدام را کنار بگذاريم يا اصلاح کنيم. قانون پايه اي ديناميک که از آن آغاز کرديم قضيه اندازه حرکت است. در اين مورد اندازه حرکت (آمپولس) به صورت تساوي زير تعريف شد.
p = mv.
تغيير اندازه حرکت را به صورت mw نشان داديم، به طوري که w تغيير سرعت را نمايش مي دهد. اما روشن است که اين دستور را نمي توانيم بسادگي حفظ کنيم. چون در حالي که اندازه تغيير سرعت در مکانيک سنتي براي هر دستگاه لخت يکسان است اکنون بنابر قضيه جمع سرعتها در نظريه اينشتين، ديگر چنين حالتي وجود ندارد (77). از اين رو تعريف مزبور هنگامي معنا خواهد داشت که دستورهاي تازه اي ارائه شوند، تا طرز تبديل اندازه حرکت از دستگاهي به دستگاه ديگر مشخص گردد. بنابراين، اين تعريف قابليت آن را ندارد که از طريق تعميم بتواند يک ديناميک جديد عايد کند.
ولي به طور قطع مي توانيم از قانون بقاي اندازه حرکت شروع کنيم(9). قانون مزبور مي گويد، مجموع اندازه حرکتي که دو جسم با خود مي برند، در ضمن برخورد اين دو جسم به چگونگي تغيير سرعت جسمها بستگي نداشته پايدار باقي مي ماند. پس اين شامل فقط همين دو جسمي مي شود که بر يکديگر تأثير مي گذارند و متقابلا متحمل ضربه مي شوند، بدون آنکه تأثير خارجي دخالت کند، يعني مستقل از يک جسم سوم يا دستگاه مختصات. از اين رو انتظار داريم که قانون مزبور در ديناميک جديد نيز اعتبار خود را حفظ کند.
ولي حفظ اعتبار اين قانون در عين نگهداري يک اصل متعارف ديگر مکانيک سنتي که جرم هر جسمي را همواره يک مقدار ثابت مي داند، غيرممکن است. پس اين طور به نظر مي آيد که جرم يک جسم و خود همين جسم يک مقدار نسبي باشد، يعني برحسب دستگاه مرجعي که در آن اندازه گرفته مي شود و به تبعيت از سرعتي که جسم در اين دستگاه دارد، اندازه هاي مختلف به خود بگيرد. روشن است که جرم در يک دستگاه معين فقط مي تواند به مقدار سرعت بستگي داشته باشد، ولي نه مضافاً به جهت سرعت.
به منظور استخراج تابع مجهول m(u)، که نحوه تبعيت جرم m جسمي را از سرعتش نمايش مي دهد، مثال ساده ضربه ناکشسان دو جسم متحرک را انتخاب مي کنيم. «ناکشسان» به اين معناست که دو جسم پس از ضربه بر هم قرار مي گيرند. (2) چنين مثالي به مصداق يک گلوله به جرم است که از يک اسلحه کمري به قطعه چوبي به جرم اصافت کند. گلوله پس از ضربه در چوب فرو مي رود و اين هر دو با سرعت يکسان حرکت مي کنند (ش. 1a).
اين مثال را ابتدا در مکانيک نيوتون بر اساس قانون بقاي اندازه حرکت بررسي مي کنيم. فرض مي کنيم که سرعت باشد قبل از هر ضربه، و سرعت به اندازه صفر، مجموع سرعتها پس از ضربه نيز بالغ بر u باشد. آنگاه مجموع اندازه حرکت:
قبل از هر ضربه
بعد از ضربه
خواهد بود. بنابر قانون اندازه حرکت، دو اندازه حرکت با يکديگر برابرند، پس خواهيم داشت:

اين معادله امکان مي دهد که سرعت u گلوله را از سرعت بعد از ضربه محاسبه کنيم. سابقاً هم که هنوز شيوه هاي نو مانند عکسبرداري براي تعيين حداکثر سرعتها در اختيار نبود، سرعت گلوله ها را عملا به همين ترتيب مشخص مي کرده اند. در واقع اگر باشد، سرعت بسيار کوچکتر از u خواهد بود و آن را به آساني مي توان اندازه گرفت.
اينک جسمهاي برخورد کننده را به منظور سهولت با جرمهاي متساوي انتخاب مي کنيم (مثلاً دو گلوله از جنس موم). سپس خواهيم داشت . توجه مي کنيم که انرژي مکانيکي در ضمن اين ضربه باقي نمي ماند. انرژي جنبشي خواهد بود.
قبل از ضربه
بعد از ضربه
تفاضل دو انرژي در ضمن ضربه به گرما تبديل مي شود. اين آن نتيجه اي است که بر اساس مکانيک سنتي به دست مي آيد.
اينک برخورد دو گلوله را از ديدگاه مکانيک نسبيتي که در آن امکان وابستگي جرم به سرعت منظور مي گردد، بررسي مي کنيم. اما قانون بقاي اندازه حرکت براي همين آزمايش (ش. 1b) مي گويد:

در (α) براي جرم پس از ضربه، رابطه عمومي را انتخاب کرده ايم، چون محقق نيست که درست مطابق با ( )2m بوده باشد.
نخست رابطه اي بين u و را استخراج مي کنيم. معادله (α) در دستگاهي (دستگاه S) اعتبار دارد که در آن گلوله سمت چپ با سرعت u حرکت مي کند، حال آنکه گلوله سمت راست ساکن است (ش. 1b).
اينک همين برخورد گلوله ها را در دستگاه 'S ملاحظه مي کنيم که با سرعت u+ نسبتبه دستگاه S حرکت مي کند. آنگاه گلوله سمت چپ در اين دستگاه بي حرکت است، حال آنکه گلوله سمت راست با سرعت u- حرکت مي کند. اين کيفيت را به آساني مي توان از مش اهده کرد: سرعت u به صفر تبديل مي شود و صفر به u -. حريان ضربه در 'S به علت يکسان بودن گلوله ها کاملاً متقارن است با جريان ضربه در S (ش. 1c). از اين رو سرعت مشترک بعد از ضربه در 'S نيز برابر است با ولي اين سرعت مشترک را به توسط (77a) مي توانيم با سرعت مشترک u ̅ در S مربوط کنيم، بدين نحو که تساويهاي را در دستور مزبور منظور مي کنيم. سپس نتيجه مي شود:

يا پس از حل معادله به حسب u

معادله (β) براي حالت حد سنتي همان نتيجه را که قبلاً شناخته ايم، به دست مي دهد.
گام بعدي استخراج يک رابطه ی ديگر است:

اين تساوي را مي توانيم قانون بقاي جرم بناميم. استخراج (γ) به آساني انجام شدني است، به اين ترتيب که يک سرعت کوچک اضافي v عمود بر u و بر سرعتهاي متوارد مي کنيم و قانون بقاي اندازه حرکت را در مورد مؤلفه v در راستاي محور y به کار مي بنديم (ش. 2). بدين منظور دستگاه مرجع جديد 'S وارد مي کنيم، بدين قرار که اين دستگاه با سرعت v - در راستاي محور y نسبت به دستگاه اصلي S حرکت مي کند. اينک دستورهاي ( ) و ( ) را با يک اختلاف مي توانيم به کار بنديم، يعني به اين صورت که مؤلفه هاي x و y بايد با يکديگر تعويض شوند.

از آنجا که گلوله ها در S قبل و بعد از ضربه در راستاي x مي پرند، هماره u_y = 0 است و معادله ها به صورت زير خلاصه مي شوند:

از اين رو مؤلفه هاي سرعت در S عبارتند از:
ولي در 'S به نحو ديگر است:
اينک جرمها فقط به مقدار سرعت بستگي دارند، يعني به . از اين رو قانون بقاي اندازه حرکت براي مؤلفه هاي y در 'S عبارت است از:

به شرطي که را براي گلوله سمت چپ با 'u و براي جسمهاي متحد پس از ضربه با 'u نمايش مي دهيم.
معادله اخير را به v تقسيم مي کنيم، نتيجه مي شويم:

اين تساوي به ازاء هر اندازه v، همچنان برقرار است، پس همچنين براي v = 0. اگر v = 0 در تساوي (δ) قرار داده شود، فوراً (γ) به دست مي آيد. (δ) صورت عمومي قانون بقاي جرم است، حال آنکه (γ) حالت خاص اين قانون را نشان مي دهد. اينک به منظور استخراج وابستگي جرم از سرعت، (γ) از استفاده مي کنيم.
چنانچه با توجه به تساوي (γ)، m (u) + m(0) را در(α) به جاي M ( ) قرار دهيم، نتيجه مي شود:

يا

و در نهايت با به کار گرفتن(β) (3) به دست مي آوريم:
[1]

بدين نحو معلوم شد که جرم چگونه تابع سرعت است. m (0) = m_0 جرم ساکن جسم ناميده مي شود، يعني جرم اندازه گرفته شده در دستگاهي که در آن جسم ساکن است. در مکانيک سنتي در واقع فقط از اين حالت حد جرم استفاده مي شود.
براي اندازه حرکت جسمي که با سرعت v حرکت کند، داريم:
[2]

به طوري که m در اين رابطه جرمي است که بر طبق رابطه [1] به سرعت بستگي دارد.
اينک مي توانيم معادله را براي نيروهاي پيوسته مؤثر به کار بريم. بدين منظور از طرح مکانيک سنتي و مربوط به اندازه حرکتي که به توسط جسم متحرک حمل مي گردد، استفاده مي کنيم. اينکه اين طرح چگونه بايد به مکانيک جديد انتقال داده شود، البته روشن است، منتها مطلب در اين است که ما آن را براي مؤلفه هاي طولي و عرضي جدا از هم بايد منظور کنيم. در اين صورت، طرح مزبور مي گويد:
يک نيروي K اندازه حرکت را به صورتي تغيير مي دهد که سرعت تغيير مؤلفه هاي طولي و نيز عرضي اندازه حرکت با مؤلفه هاي نظير و متعلق به نيرو برابر باشد.
اينک به آساني مي توانيم معادلات حرکت را تشکيل دهيم. فرض مي کنيم،

مولفه هاي اندازه حرکت جسم در لحظه زماني t = 0 بوده باشند، و سرعت v جسم در همين لحظه زماني بر امتداد x قرار گيرد. اينک اگر نيروي K با مؤلفه هاي

در يک زمان کوتاه τ برجسم وارد آيد، مؤلفه هاي اندازه حرکت از حد قبلي به

تغيير مي دهد،به عبارت ديگر:

نيرو سرعت هاي اضافي کوچک w𝑥و 𝑤𝑦 ايجاد کرده و بر مؤلفه هاي سرعت مي افزايد (ش.3)؛ آنگاه سرعت منتجه عبارت است 𝑣. اينک معادلات اخير به صورت زير در مي آيند:

ازآنجا که w𝑥 و 𝑤𝑦 نسبت به 𝑣 بايست کوچک باشند، در اين جا از مجذور اين مقادير و حاصل ضرب آنها با جمله هايي که فقط تابع خطي اين مقادير باشند، صرف نظر مي کنيم.
چنانچه دستورهاي تقريبي غالباً مکرر:

مورد استفاده واقع شدند، براي x≪1 به کار بنديم و صورت:

را داخل کنيم، با يک محاسبه کوتا به دست مي آوريم:(4)

و سپس از اين رابطه براي مؤلفه هاي اندازه حرکت در امتداد x

و در امتداد y

به دست خواهد آمد.
اينک دو مؤلفه مزبور را در عبارتهايي که در بالا براي اندازه حرکت به دست آمد، قرار داده نتيجه مي شود:

چنانچه مؤلفه هاي شتاب را به صورت:

وارد کنیم، برای مؤلفه های نیرو نتیجه می شود:
[3]

بنابراين، ارتباط بين نيرو و شتاب توليد شده، بر حسب آنکه نيرو در امتداد يا عمود بر حرکت از قبل موجود تأثیر کند، فرق خواهد کرد.
در نخستين سالهاي پيدايش نظريه نسبيت، سعي بر اين بود که دستورهاي مزبور به شکلي ارائه شوند که قوانين پايه اي ديناميک سنتي به صورتي حتي الامکان مشابه در اين دستورها به چشم بخورند. بدين منظور تساويهاي:
[4]

را وارد مي کردند و اين تصاوير را جرمهاي طولي و عرضي مي ناميدند. به اين ترتيب، دستور [3] را در قالب منطبق با قانون پايه اي مکانيک سنتي، مي توان چنين نوشت:
[5]

به منظور اجتناب از ابهام، ذيلا فقط از جرم نسبيتي

استفاده مي کنيم. لزوم اينکه مفهوم جرم از همان آغاز کار فقط بر اساس مقاومت لختي تعريف مي شود، در اين جا نيز کمتر جلب توجه نمي کند؛ در غير اين صورت به کارگيري آن در مکانيک نسبيتي يک امر غيرممکن مي بود، چون براي نيروهاي طولي و عرضي طبعاً جرمهاي متفاوت مطرح مي شوند و اين جرمها ثابتهاي مختصاتي جسم نيستند، بلکه به سرعت جسم بستگي دارند. پس مفهوم جرم نسبيتي از صورت مصطلح عادي آن که جرم نوعي کميت مادي معنا مي دهد، بسيار دور مي شود. جرم ساکن m_0 معياري است براي اين کميت؛ ولي اين در موارد ديگر صدق نمي کند، چنانکه در مکانيک عادي و در يک دستگاه مرجع اختياري برابر است با خارج قسمت نيرو به شتاب.
از نگاهي به دستور [1] چنين برمي آيد که جرم نسبيتي m پابه پاي نزديکتر شدن سرعت v جسم متحرک به سرعت نور، افزايش مي يابد؛ به طوري که براي v = c، بينهايت بزرگ مي شود.
از اين جا نتيجه مي شود که بالا بردن سرعت جسمي با کمک نيروهاي متناهي تا سرعت مافوق نور، يک امر غيرممکن است. مقاومت لختي جسم بينهايت افزايش مي يابد و مانع دسترسي به سرعت نور مي گردد.
اينک ملاحظه مي شود که نظريه اينشتين چگونه به طرز هماهنگ و در قالب يک مجموعه متحد تکميل شود. عدم امکان فراتر از سرعت نور رفتن که يک فرض تقريباً خلاف متعارف به نظر مي رسد، خود به وسيله قوانين طبيعت در قالب جديد جنبه الزامي پيدا مي کند.
دستور [1] در مورد وابستگي جرم به سرعت همان است که لورنتز قبلاً از طريق محاسبات الکتروديناميکي، براي الکترون پَخت خود بافته بود؛ به طوري که m0 به صورت انرژي الکترواستاتيکي S متعلق به الکترون ساکن به همين نحو ظاهر مي گشت، نظير در نظريه آبراهام، يعني به اين شکل:

اکنون مي بينيم که دستور جرم لورنتز از يک معناي بسيار عمومي تري برخوردار است. اين دستور در مورد هر نوع جرمي بايد صدق کند، حال منشاء اين جرم خواه الکتروديناميکي باشد يا نباشد.
آزمايشهاي انجام شده به توسط کرفمان (1901) و سايرين در زمينه منحرف شدن پرتوهاي کاتودي بر اثر ميدانهاي الکتريکي و مغناطيسي تأييد کرده اند که جرم الکترونها بر طبق دستور [1] لورنتز، پا به پاي سرعت افزايش مي يابد. از سوي ديگر، اين اندازه گيريها ديگر تکيه گاهي براي چنين فرضيه اي نيستند که جرمها منشاء الکترومغناطيسي داشته باشند، چون نظريه نسبيت اينشتين نشان مي دهد که هر جسمي مستقل از منشاء خود به طرز يکسان تابع سرعت است، درست به صورتي که دستور لورنتز ايجاب مي کند.
يک دليل تأييدي ديگر راجع به دستور [1] به وسيله طيف نمايي به دست آمد. يک اتم مرکب است از يک هسته سنگين داراي بار مثبت و محاط شده در تعدادي الکترون، به طوري که در مجموع از حيث الکتريکي خنثي خواهد بود. طيف نمايي تأثير متقابل الکترونها با نور را بررسي مي کند. حرکت الکترونها بر طبق قوانين مکانيکي انجام مي شود. بر اثر دقتي که در اندازه گيريهاي طيف نمايي وجود دارد، ميزان انحراف از ديناميک سنتي را به وسيله حرکت الکترونها به آساني مي توان تشخيص داد. محصول اين آزمايشها صحت ديناميک اينشتين را تمام و کمال تأييد کرده است.

پي‌نوشت‌ها:

1. تذکر بين دو هلال از مترجم.
2. درست در نقطه مقابل ضربه کاملاً کشسان. در آن جا جسمها بر اثر ضربه کمترين تغييرشکلي پيدا نمي کردند و تبديل انرژي از يک نوع به نوع ديگر نيز به هيچ وجه روي نمي داد.
3. طرز محاسبه چنين است، با توجه به مقدار u از تساوي β نتيجه مي شود:

از طرف دیگر، داریم:

سپس با استفاده مجدد از (β)

نتيجه مي شود که از اتحاد آن با نتيجه قبلي در نهايت به دست مي آيد:

4. ابتدا رابطه زير برقرار است:

از این جا نتیجه می شود:

علاوه بر اين تقريب مي توان نوشت:

که در واقع يعني:

پس همان دستور به دست آمد.

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.