نسبيت در حرکتهاي اختياري

نيوتون فرض فضاي مطلق را بر وجود مقاومتهاي لخت و نيروهاي گريز متکي مي سازد. اين عوامل ظاهراً نمي توانند به تأثير متقابل از جسمي به جسم ديگر مربوط باشند، زيرا که در سراسر عالم، تا جايي که در دسترس مشاهده قرار مي گيرد، به طرز يکسان و مستقل از توزيع محلي جرم ظاهر مي گردند. از اين رو نيوتون نتيجه مي گيرد که عوامل مزبور به شتابهاي مطلق بستگي دارند. بدين نحو فضاي مطلق به عنوان علت فرضي پديده هاي فيزيکي مطرح مي شود.
نارسايي اين نظريه ها از مثالهاي زير شناخته مي شود:
فرض مي کنيم که دو جسم مايع و همجنس و به مقدار يکسان در فضاي عالم چنان از يکديگر دور باشند که تأثيرات گرانش معمولي يکي بر ديگري نامحسوس و اندک باشد (ش. 1). در ضمن فرض مي شود که هر يک از اين دو تحت تأثير گرانش اجزاي خود بر يکديگر و ديگر نيروهاي فيزکيي به حالت تعادل بوده باشد، به طوري که اجزاي آن هيچ نوع حرکت نسبي در برابر يکديگر نداشته باشند. ولي اين هر دو جسم بايستي با سرعت دوراني ثابت، يک حرکت دوراني نسبي گرد خط اتصال مرکزي دو جسم اجرا کنند. اين بدان معناست که ناظري از جسم〖 S〗_1 جسم ديگر 〖 S〗_2 را نسبت به خود در حال يک حرکت دوراني يکنواخت مشاهده کند، و بعکس. اينک شکل هر يک از دو جسم به توسط ناظري که نسبت به همان جسم ساکن است، بايست سنجيده شود. نتيجه اين خواهد بود که صورت يک کره، و به صورت يک بيضوي دوراني نمايان گردد.
نتيجه گيري مکانيک نيوتوني از اين رفتار متفاوت دو جسم چنين مي توانست باشد که: در فضاي مطلق ساکن است، اما يک حرکت دوراني مطلق اجرا مي کند؛ نيروهاي گريز نيز موجب تختي مي شوند.
در اين مثال آشکارا ديده مي شود که فضاي مطلق در حکم علت (فرضي) به ميان مي آيد؛ چون تختي که ارتباطي به نمي تواند داشته باشد، اين دو جسم در واقع تحت شرايط يکسان در برابر يکديگر قرار گرفته اند و ديگرديسي آنها نمي تواند متفاوت باشد.
ولي فضا، به عنوان علت، شرط ضرورت عليت را تأمين نمي کند، چون براي اثبات وجود آن هيچ نشانه اي جز نيروهاي گريز در دست نيست. پس در مورد فرضيه زمان مطلق، جز واقعيتهايي که توضيح آنها دخالت اين فرضيه را موجب مي گردد، هيچ سند ديگري نمي توان ارائه نمود. و يک نقد معرفت سالم چنين فرضيه هايي فراخورد هدف را رد مي کند؛ اين گونه فرضيه ها ارزشي ندارند و همه روشهايي را که پژوهش باريک بين در حکم مانع بين ثمرات و تصورات واهي اين فرضيه ها ترتيب مي دهد، نقض مي کنند. مثلاً هنگامي که مطلبي را روي ورق کاغذي مي نويسم و آن ورق را روي ميز قرار مي دهم، اگر اين ورق ناگهان به هوا بپرد، البته مختارم و مي توانم فرض کنم، روح نيوتون که قرهنهاست از اين دنيا رفته، اينک ورق کاغذ را به حرکت درآورده است. ولي يک عقل سليم اين گونه فکر نمي کند و جريان هوا را علت حرکت ورق کاغذ مي داند، به اين صورت که پنجره باز بوده و همسرم در اتاق را باز گذاشته و جريان هوا ايجاد شده است. حتي اگر شخصاً هم اين جريان هوا را حس نکرده باشم، باز چنين فرضيه اي معقول است، زيرا که نظير همين وضع را در مورد تأثير جريان هوا بارها ديده ام و اينک چنين کيفيتي تداعي مي شود. اين ملاک انتخاب علتهاي مجاز جهانبيني علي معقول را، که پژوهش فيزيکي را شامل است، از تخيلات افسار گسيخته عرفاني و تصوراتي از قبيل اصالت روح جدا مي سازد.
اما فضاي مطلق تقريباً داراي خصلت ماوراي طبيعي است. اگر بپرسند: «علت نيروهاي گريز چيست؟» پاسخ اين خواهد بود: «فضاي مطلق». آنگاه اگر بپرسند: «فضاي مطلق چيست و جز به صورت نيروهاي گريز چگونه وجود خود را آشکار مي کند؟» هيچکس پاسخ ديگي در برابر اين پرسش ندارد و فقط مي گويد: «فضاي مطلق علت نيروهاي گريز است و هيچ صفت ديگري ندارد». اين مناظره کافي است براي آنکه فضا به عنوان علت فرايندهاي فيزيکي از هيئت عالم ناگزير برکنار گردد.
شايد توجه به اين مطلب بيفايده نباشد که، اگر پديده هاي الکترومغناطيسي را هم مشمول همين قضاوت مربوط به فضاي مطلق کنند، باز تغييري در اين قضيه روي نمي دهد. در ضمن پديده هاي الکترومغناطيسي، تأثيراتي بر دستگاهاي مختصات دوران کننده وارد مي شوند که به نيروهاي گريز مکانيکي شباهت دارند. ولي اين تأثيرات دلايل جديد و مستقلي اند که بر موجوديت فضاي مطلق حکم مي کنند. چون همان طور که مي دانيم، مکانيک و الکتروديناميک از طريق قانون انرژي لخت به هم جوش خورده متحد مي شوند. فقط عمل کردن با مفهومهاي مکانيک براي ما آسانتر است، وگرنه فرق ديگري وجود ندارد.
اينک اگر به مثال دو جسم و برگرديم و فضا را در حکم علت رفتار متفاوت اين جسم رد کنيم، ناگزيريم علل واقعي ديگري را براي اين تفاوت ارائه دهيم.
فرض مي کنيم که خارج از اين دو جسم و هيچ جسم ديگري وجود نداشته باشد، در اين صورت، تفاوت رفتار و واقعاً غيرقابل توجيه خواهد بود. اما مي پرسيم اين دو نوع رفتار آيا يک واقعيت تجربي اند؟ بدون ترديد نه. هرگز چنين امکاني وجود ندارد که اطلاعاتي راجع به رفتار دو جسم منفرد در فضاي عالم به دست آوريم. فرض مبتني بر اين که دو جسم واقعي و رفتارشان تحت شرايط مذکور متفاوت باشد، به هيچ وجه قابل اثبات نيست. پس بايد انتظار داشت که يک مکانيک قابل قبول چنين فرضي را از بحث خارج کند.
حال اگر اين تفاوت رفتار تشريح شده را در مورد دو جسم واقعي و ملاحظه کنيم (مثلا حالت کمابيش تخت سيارات را مي شناسيم)، تنها علتي که براي آن مي توان ذکر کرد، وجود جرمهاي دور افتاده است؛ حقيقتاً هم اين قبيل جرمهاي دور افتاده (انبوه ستارگان) در جهان واقعي وجود دارند. هر يک از جسمهاي عالم را که بنگريم، در درون بينهايت جسمهاي فوق العاده دور افتاده محاط شده است، و حرکت اين جسمها به اندازه اي نسبت به يکديگر بطئي انجام مي شود که تأثيرشان بر جسم مورد نظر مانند تأثير جرمي است يکپارچه که سخت و توخالي بوده باشد.
موضوع جرمهاي دورافتاده که علت بروز نيروهاي گريز بايد باشند، نخستين بار به توسط ارنست ماخ بيان شد، همان فيزيکدان و فيلسوفي که نوشته هايش تأثير فراوان بر اينشتين گذاشت. هيچ وقوف تجربه اي که بر خلاف اين نظر حکم کند، وجود ندارد. چون دستگاه مرجع اخترشناسي که نسبت به آن حرکتهاي دوراني جسمهاي آسماني تعيين مي شوند، به صورتي انتخاب شده است که نسبت به مجموعه ثوابت ساکن است، اگر دقيقتر بگوييم، به طوري است که حرکتهاي ظاهري ثوابت نسبت به دستگاه مرجع کاملاً بدون ترتيب صورت مي گيرند و داراي مسير خاص نيستند. هر قدر سرعت دوراني سياره نسبت به اين دستگاه مرجع متصل به جرمهاي دورافتاده بيشتر باشد، تختي سياره نيز زيادتر است.
بنابراين، قوانين مکانيک و به طور کلي فيزيک الزاماً فقط موقعيتهاي نسبي و حرکتهاي نسبي جسمها را در بر مي گيرند. برخلاف کيفيتي که براي دستگاه هاي لخت در مکانيک نيوتوني و در نظريه نسبيت خاص وجود دارد، در اينجا جايز نيست که امتيازي براي دستگاه مرجعي قائل شوند. چون در غير اين صورت قوانين طبيعت، نه فقط حرکت نسبي جسمها، بلکه مضافاً شتابهاي مطلق در برابر اين نوع دستگاههاي مرجع امتياز يافته را نيز در بر خواهند گرفت.
پس به اصل موضوعي مي رسيم که مي گويد، قوانين حقيقي فيزيک در مورد دستگاههاي مرجع متحرک اختياري بايست به نحو يکسان حکم کنند. اين همان گسترش قابل ملاحظه اي است که به اصل نسبيت داده مي شود.

اصل هم ارزي

اجراي اين اصل موضوع مستلزم آنست که قانون لختي به صورتي کاملاً نو انشا شود، زيرا که اين اصل پايه اي است براي مقام خاص دستگاه هاي لخت. لختي يک جسم از اين پس مي بايد در حکم تأثير ديگر جسمها تلقي گردد، و نه به عنوان تأثير فضاي مطلق.
اينک فقط تأثير متقابل بين کليه جسمهاي مادي را مي شناسيم، يعني تأثير گرانش را. مضافاً نيز واقفيم که يک ارتباط شگفت انگيزترين گرانش و لختي وجود دارد، قضيه برابري سنگيني و لختي جرم. پس دو پديده لختي و جاذبه که در انشاي نيوتوني صورتي آنچنان متفاوت به خود مي گيرند، يک ريشه مشترک دارند.
اين کشف بزرگ اينشتين است که اصل نسبيت عام از يک اصل موضوع نقد معرفت به يک اصل علمي دقيق مبدل مي شود.
هدف بررسي زير را به اين شرح مي توانيم مشخص کنيم: حرکت يک جسم سنگين (که نيروهاي الکترومغناطيسي يا ديگر نيروها بر آن تأثير نداشته باشند) در مکانيک معمولي به توسط دو علت معين مي شوند: 1) لختي. جسم در ضمن شتابهاي در برابر فضاي مطلق، 2) گرانش ديگر جرمها. اينک قانون حرکت به صورتي بايست انشا شود که لختي و گرانش در قالب يک مفهوم در سطح بالاتر به يکديگر جوش بخورند، به طوري که حرکت فقط بر اساس توزيع ديگر جرمها در جهان معين باشد. ولي بيش از آنکه به اين قانون جديد برسيم، بايد يک راه نسبتاً طولاني را طي کنيم و از تعدادي دشواريهاي مفهومي بگذريم.
قضيه برابري سنگيني و لختي را قبلاً به تفصيل بيان کرده ايم. اين قضيه در مورد فرايندهاي زميني مي گويد: همه جسمها با سرعت يکسان سقوط مي کنند. براي جسمهاي آسماني مي گويد، شتاب به جرم جسم متحرک بستگي ندارد. همچنين قبلاً گفته بوديم که حکم قضيه اوتوش در مورد اندازه گيري هاي فوق العاده دقيق البته معتبر است، ولي با اين وصف در جمع قوانين پايه اي مکانيک سنتي وارد نمي شود و فقط يک فرضيه اضافي است که از ناحيه طبيعت تقريباً تصادفي عايد مي گردد.
اينک وضع عوض مي شود: اين قضيه در رأس مکانيک و به طور کلي در رأس سراسر فيزيک قرار مي گيرد.
از اين رو آن را به نحوي بايد روشن کنيم که محتواي زيربنايي آن کاملاً برجسته نمايان گردد. در اين مقام به خواننده توصيه مي شود که آزمايش زير را انجام دهد. دو شيئي سبک را که سنگيني آنها متفاوت باشد، مثلا يک سکه و يک تکه مدار را در کف دست قرار داده سنگيني اين دو را در حکم فشار بر کف دست امتحان کند، سپس احساس خواهد کرد که سنگيني اين دو متفاوت است. اينک دست را با سرعت به سمت پايني حرکت دهد، يک کاهش فشار در مورد هر دو جسم احساس خواهد کرد. چنانچه اين حرکت پي در پي تندتر انجام شود، سرانجام لحظه اي فرا خواهد رسيد که جسمها از کف دست جدا مي شوند و در ضمن جابه جايي دست از حرکت آن عقب مي مانند. اين وضع محققاً هنگامي روي مي دهد که حرکت دست از سقوط آزاد جسمها سريعتر انجام شود. از آنجا که جسمهاي مزبور با وجود اختلاف سنگيني همزمان سقوط مي کنند، به هنگام جداشدن از کف دست نيز در ارتفاع يکسان در يکديگر قرار خواهند گرفت.
اينک فرض کنيم که آدمکهايي غيبي بر کف دست زندگي کنند که اطلاعي از جهان خارج نداشته باشند، اين آدمکها سراسر اين فرايند را چگونه مي بينند؟ هنگامي که اين آزمايش انجام مي گيرد و به عوض شدن فشار و حرکت جسمها توجه مي شود، مي توان خود را به جاي آدمکهاي مزبور قرار داد و فکر آنها را خواند. آدمکها به هنگامي که دست ساکن است، تشخيص مي دهند که وزن اين دو جسم با هم فرق دارد. اينک در ضمن فرود آمدن دست، احساس مي کنند که از وزن جسمها کاسته شده است؛ آنگاه در پي علت اين کاهش خواهند رفت و حس مي کنند که مقر آنها کف دست باشد، نسبت به جسمهاي محيط، مثلاً ديوارهاي اتاق، سقوط مي کنند. ولي همين آزمايش را مي توان به اين صورت انجام داد که آدمکها را با جسمهاي آزموني در جعبه اي مسدود زنداني کنند و اين جعبه را با دست به سمت پايين حرکت دهند. در اين صورت، آدمکها در جعبه چيزي حس نمي کنند، ولي مي تواند به وجود حرکت جعبه پي ببرند. سپس به آساني به اين واقعيت مي رسند که وزن همه جسمها در جعبه يکسان کاهش مي يابد. حال اگر جعبه با سرعتي به سمت پايين حرکت داده شود که جسمها از کف جعبه جدا شده از حرکت آن عقب بمانند، براي ناظران درون جعبه با شگفتي وانمود مي شود که اشياء سنگين به سمت بالا حرکت مي کنند؛ به اين معنا که اين اشياء وزن منفي پيدا مي کنند، يا دقيقتر اينکه نيروي سنگيني ديگر به سمت پايني تأثير نمي کند، بلکه تأثير آن به سمت بالا خواهند بود. ديگر آنکه دو جسم آزموني، با وجود اختلاف سنگيني، با سرعت يکسان به سمت بالا حرکت مي کنند. ناظران درون جعبه اين مشاهده را به دو نوع مي توانند توجيه کنند: يا فکر مي کنند که ميدان سنگيني بدون تغيير همچنان محفوظ مي ماند، ولي جعبه در امتداد ميدان شتاب مي گيرد؛ يا گمان مي کنند که جرم قسمت پايين جعبه از بين رفته و در عوض در قسمت بالا وارد شده است، و بدين نحو نيروي سنگيني با جهت معکوس ظاهر مي گردد. اينک مي پرسيم: آيا نوعي وسيله تجربي وجود دارد که در درون جعبه بتوان دو شق ممکن را از يکديگر تميز داد؟
پاسخي که بايد بدهيم اينست که، فيزيک چنين وسيله اي را نمي شناسد. واقعاً هم تميز بين تأثير سنگيني و تأثير شتاب به هيچ طريقي ممکن نيست: هر دو کاملا هم ارزند. و اين اساساً مربوط به اين ست که همه جسمها با سرعت يکسان سقوط مي کنند. اگر چنين وضعي وجود نمي داشت، تشخيص اين امر به آساني ممکن مي بود که آيا حرکت شتابدار جسمهاي متفاوت سنگين واقعاً براثر جاذبه جرمهاي بيگانه توليد مي شود يا فقط اشتباهي است که به علت شتاب موضوع ناظر به چشم مي خورد. چون در حالت اول جسمهاي با سنگيني متفاوت با سرعتهاي متفاوت حرکت مي کنند، ولي در حالت دوم شتاب نسبي همه جسمهاي متحرک در برابر ناظر به يک اندازه است. اين جسمها با وجود اختلاف وزن با سرعت يکسان سقوط مي کنند.
پس اين اصل هم ارزي اينشتين در ذيل احکامي قرار مي گيرد که ما براي آنها در اين کتاب اهميت بسيار قائل شده ايم، منظور همان احکامي است که عدم قابليت تشخيص يک قضيه فيزيکي، يعني غيرقابل تميز بودن دومفهوم را تصريح مي کنند. فيزيک اين گونه مفهومها و قضيه ها را رد مي کند و جاي آنها را به مفهومها و قضيه هاي جديد مي دهد، زيرا که فقط واقعيتهاي قابل تشخيص حقيقت فيزيکي دارند.
مکانيک سنتي بين حرکت يک جسم به خود واگذاشته که تحت تأثير هيچ نيرويي قرار ندارد (حرکت لخت) و حرکت جسمي که تحت تأثير گرانش قرار دارد، فرق قائل مي شود. اولي در يک دستگاه لخت در امتداد مستقيم و يکنواخت انجام مي شود، دومي مسير خميده دارد و غير يکنواخت صورت مي گيرد. اما اين تفاوت بنابر اصل هم ارزي از ميان برداشته مي شود، چون حرکت لخت مستقيم و يکنواخت را تنها از طريق انتقال به يک دستگاه مرجع شتابدار مي توان به حرکت خميده شتابدار تبديل کرد، به طوري که با يک حرکت توليد شده بر اثر گرانش فرقي نداشته باشد؛ عکس اين قضيه نيز صادق است، دست کم در مورد تکه هاي محدود حرکت - بعداً در اين زمينه صحبت خواهيم کرد. از اين پس هر حرکت جسمي را که فقط تحت تأثير جرمهاي جاذبه قرار گرفته باشد، يعني هيچ نيرويي با منشاء الکتريکي مغناطيسي يا نوع ديگر بر آن وارد نيايد، يک حرکت لخت مي ناميم؛ پس اکنون معناي اين اصطلاح از معناي پيشين خود عمومي تر است. اينک قضيه معمولي لختي که مي گويد، حرکت لخت نسبت به يک دستگاه لخت مستقيم و يکنواخت صورت مي گيرد، طبعاً از بحث ما خارج مي گردد، و مسئله ما در واقع دقيقاً اين است که: قانون حرکت لخت را به معناي عام
بيان کنيم.
حل اين مسئله ما را از فضاي مطلق خلاص مي کند و در عين حال نظريه گرانش را در اختيار مي گذارد، بخصوص که ارتباط اين نظريه با اصلهاي مکانيک به مراتب عميقتر از ارتباط نظريه گرانش نيوتوني است.
اينک مي خواهيم جنبه کمي مسئله را نيز بر اين بحث بيفزاييم. معادلات حرکت در مکانيک، نسبت به يک دستگاه S که در برابر دستگاه هاي لخت داراي شتاب ثابت k باشد، به صورت
Mb=K’
نوشته مي شود، K’ در اين معادله عبارت است از حاصل جمع نيروي واقعي K و نيروي لخت mk - :
K’=K-mk
حال اگر K نيروي سنگيني بوده باشد، K = mg مي شودف يعني
K’ = m (g - k).
در صورتي که شتاب k متعلق به دستگاه مرجع S مناسب انتخاب شود، براي تفاضل g - k مي توان به دلخواه هر اندازه مثبت يا منفي، حتي صفر، به دست آورد. چنانچه به تشابه با الکتروديناميک، نيروي وارد بر يکاي جرم را «شدت ميدان» سنگيني و فضايي را که در آن اين سنگيني اثر مي کند، «ميدان سنگيني» بناميم، مي توان گفت: از طريق انتخاب مناسب دستگاه مرجع مي توان يک ميدان سنگيني ثابت ايجاد کرد، يعني ميدان موجود تضعيف شود، ناپديد شود، تقويت شود و برگشت کند.
هر ميدان سنگيني اختياري را در درون يک حوزه فضايي به اندازه کافي کوچک در فاصل زماني بسيار کوتاه مققاً مي توان ثابت تلقي کرد. از اين رو هماره دستگاه مرجعي را مي توان يافت که هيچ ميدان گرانشي نسبت به آن در يک حوزه محدود فضا - زماني وجود نداشته باشد.
حال اين سؤال پيش مي آيد که، آيا تنها با انتخاب مناسب دستگاه مرجع امکان تواند داشت که هر ميدان گرانشي در کليه ابعادش براي همه زمانها از بين برود، يعني آيا در اين صورت هر گرانشي را در حکم «وجود بالقوه» مي توان تلقي کرد. محققاً نه، مثلاً ميدان کره زميني را نمي توان کاملاً از بين برد. چون اين ميدان به سمت مرکز متوجه است، و گرنه شتاب سنگيني از مرکز به سمت خارج متوجه مي بود. ولي اين حذف ميدان فقط براي يک زمان محدود امکان پذير است، حتي اگر قرار باشد که دستگاه مرجع حالت صلب نداشته باشد (ما اين قرار را بايد بپذيريم)، بلکه گرد مرکز زمين شتابان منبسط شود. اينک يک نيروي لخت موسوم به نيروي گريز از مرکز بر اثر دوران دستگاه مرجع حول محور که از محور به سمت خارج متوجه است، ظاهر مي گردد:

اين نيرو با نيروي سنگيني زمين در ضمن يک زمان گردش مشخص T فقط در يک فاصله r معين سر به سر مي شود، مثلا در شعاع مدار ماه که دايره وار به تصور مي آيد.
پس ميدانهاي گرانشي «حقيقي» وجود دارند، منتها در نظريه نسبيت به معنايي ديگر که با معناي در مکانيک سنتي فرق دارد. چون هميشه با انتخاب مناسب دستگاه مرجع مي توان يک بخش کوچک ميدان را تا حد کافي و اختياري برطرف کرد.
بعداً مفهوم ميدان گرانش را دقيقتر مشخص خواهيم کرد.
طبعاً ميدانهاي گرانشي معيني وجود دارند که با انتخاب مناسب دستگاه مرجع، يکسره با تمام ابعاد خود از بين مي روند، به منظور يافتن اين نوع ميدانها، البته فقط لازم است که ابتدا از دستگاه مرجعي که در آن يک بخش فضا فاقد ميدان باشد، استفاده شود و سپس يک دستگاه مرجع شتابدار به نحوي وارد گردد. آنگاه يک ميدان گرانش نسبت به دستگاه اخير وجود خواهد داشت. ولي اين ميدان به محض آنکه به دستگاه اوليه عودت داده شود، فوراً ناپذير خواهد شد. ميدان گريز از مرکز k=(4〖π〗^2 r)⁄T^2 از همين نوع است. به اين پرسش که، ميدان گرانش را با تما ابعادش چه وقت مي توان از طريق انتخاب مناسب دستگاه مرجع محو کرد، طبعاً نخست يک نظريه تکميل شده پاسخ خواهد گفت.

ناتواني هندسه اقليدسي

معمول ما اين است که حرکتها را در جهان مينکوفسکي با خطهاي جهاني نمايش دهيم. چوب بست اين هندسه چهار بعدي به وسيله خطهاي جهاني پرتوهاي نور و خط سير جرمهاي لخت متحرک آزاد از نيروها به دست مي آمد. اين خطهاي جهاني در نظريه قديمي نسبت به دستگاه هاي لخت به صورت خطهاي راست ظاهر مي شوند. حال اگر نسبيت عام را معتبر بدانيم، دستگاه هاي مرجع شتابدار را با يکديگر هم ارزند، و خطهاي قبلاً راست اينک در اين دستگاه هاي مرجع خميده اند. در عوض خطهاي جهاني ديگري مستقيم خواهند بود. مضافاً اين وضع در مورد خط سيرهاي فضايي نيز صادق است. مفهومهاي راست و خميده، تا جايي که به مسيرهاي پرتوهاي نور و جسمهاي آزادانه متحرک مربوط شود، جنبه نسبي دارند.
بدين نحو سراسر بناي هندسه اقليدسي فضاي عالم به لرزه در مي آيد. چون اين بنا اساساً متکي است بر قانون لختي سنتي که خود بر خطاي راست تثبيت مي گردد.
اينك ممكن است اين فكر پيش آيد كه مشكل به اين صورت قابل حل خواهد بود، اگر در تعريف عناصر هندسي از قبيل خط راست، سطح هموار و غيره فقط خط كشها را به كار برند، ولي آنچنانكه اينشتين نشان مي دهد، اشكال از اين راه نيز برطرف نمي شود، به اين شرح كه:
مطلب را با يك حوزه فضايي آغاز مي كنيم، به اين صورت كه در طول يك زمان معين هيچ قسم ميدان گرانشي نسبت به دستگاه مرجع انتخابي S وجود نداشته باشد.
سپس جسمي را در نظر مي گيريم كه با سرعت زاويه اي ثابت در اين حوزه دوران كند مثلا يك شكل مسطح روي صفحه دايره اي عمود بر محور دوران (ش. 2). فرض مي کنيم که يک دستگاه مرجع 'S با اين صفحه دايره اي اتصال دارد. اينك يك ميدان گرانش در 'S و به سمت خارج پديد مي آيد كه با شتاب گريز از مركز k=(4π^2 r)⁄T^2 مشخص مي شود.
حال ناظري كه در 'S به سر مي برد، مي خواهد صفحه دايره اي را اندازه بگيرد. براي يكاي طول از يك خط كش با طول معين استفاده مي كند كه در ضمن نسبت به 'S بايد ساكن باشد. يك ناظر ديگر S نيز همين خط كش را به عنوان يكاي طول به كار مي برد، منتها خط كش اين بار نسبت به S ساكن باشد.
فرض ميكنيم كه درستي نتايج اصلي نسبيت خاص همچنان باقي است، البته تا جايي كه خود را در پاره هاي فضايي و پاره هاي زماني محدود كنيم، بدان سان كه حركت در اين بخشهاي فضايي زماني يكنواخت تلقي گردد. براي آنكه چنين امري ممكن شود، خط كش يكا را در قياس با شعاع صفحه كوچك اختيار مي كنيم.
چنانچه ناظر 'S خط كش را در امتداد شعاع صفحه قرار دهد، ناظر S چنين تشخيص خواهد داد كه طول خط كش متحرك نسبت به S بدون تغيير برابر است با 1؛ چون حركت خط كش در امتداد عمود بر امتداد عمود بر امتداد طول خط كش است.
اما اگر ناظر 'S خط كش را بر محيط دايره اي قرار دهد، طول اين خط كش بر طبق نظريه نسبيت خاص به چشم ناظر S كوتاه شده ظاهر مي شود. اينك فرض مي كنيم كه 100 خط كش كوچك را بايد به دنبال يكديگر قرار داد، تا قطر صفحه دايره اي را پر كند. در اين صورت، ناظر S به اندازه π=3/14… ضرب در 100، يعني 314 عدد از خط كشهاي كوچك خود را كه نسبت به S سا كنند، لازم دارد، براي آنكه محيط صفحه دايره اي را اندازه بگيرد، حال آنكه اين تعداد خط كش منظور ناظر 'S را تامين نمي كرده، چون خط كشهاي ساكن در 'S از نظر ناظر S كوتاه شده اند، به طوري كه 314 خط كش محيط دايره را پر نمي كند.
به اين ترتيب ناظر 'S مي توانسته ادعا كند كه نسبت به محيط دايره به قطر آن از رقم بزرگتر مي نمايد. اين نسبت همراه با افزايش قطر بزرگتر مي شود، چون ميدان گرانش با شعاع r متناسب است. و اين با هندسه اقليدسي تناقض دارد.
مطابق همين كيفيت براي اندازه گيري زمان صادق است. تعدادي ساعت همزمان شده را به حالت سكون در دستگاه S به تصور مي آوريم، و تعداد يساعتهاي ديگر و از زمان نوع همين ساخت را روي يك خط شعاع صفحه را در حال دوران، به طوري كه نسبت به 'S ساكن باشد. آنگاه از مقايسه اين دو دسته ساعت چنين برمي آيد كه ساعتهاي روي صفحه كندتر كار مي كنند، و اين كندي با افزايش فاصله از مركز زيادتر مي شود. فقط دستگاه ساعتي كه در مركز صفحه قرار گرفته است، با ساعتهاي دستگاه S ميزان كار ميكند، چون نسبت به S سرعت ندارد.
اما مضافاً مي بينيم كه حتي ساعتهاي روي صفحه هم با يكديگر ميزان كار نمي كنند، به اين صورت كه كندي كار ساعت با ازدياد فاصله آن از مركز افزايش مي يابد. از اين رو يافتن يك تعريف معقول براي زمان، با كمك ساعتهاي ساكن نسبت به دستگاه مرجع دوران كننده (شتابدار) يا آنچه كه بنابر اصل هم ارزي به همين معناست (يعني اگر ميدان گرانش در اين دستگاه وجود داشته باشد)، غيرممكن خواهد بود.
در ميدان گرانش، بر حسب آنكه خط كش در كجا قرار گرفته باشد، بلندتر يا كوتاه تر است، به همين نحو بر حسب آنكه ساعت در كجاي ميدان قرار گرفته باشد، تندتر يا كندتر كار مي كند.
ولي به اين ترتيب پايه جهان فضا زماني كه ركن اصلي بحثهاي ما را تشكيل مي داده است، در هم مي ريزد، و از نو به تعميم مفهوم فضا و زمان ناگزير مي شويم، ولي اين بار به تعميم ريشه اي كه اساساً از حالت قبلي بسيار پيشرفته تر است.
مسلماً بي معناست كه مختصات مكان و زمان x، y، z، t به طرز معمولي تعريف مي شوند؛ چون مفهومهاي بنيادي از قبيل خط راست، سطح، دايره و غيره بسيار صاف و ساده بديهي تلقي مي شوند، به طوري كه اعتبار هندسه اقليدسي در فضا و به همين نحو اعتبار جهان فضا زماني تعميم يافته مينكوفسكي صورت مشروط به خود مي گيرد.
به همين ملاحظه تكليف اين است كه جهان چهار بعدي و قوانين آن نمايش داده شود، بي آنكه هندسه مشخصي از قبل مبنا قرار گيرد.
چنين مي نمايد كه گويي اكنون زمين قابل اطمينان زير پا سست شده باشد؛ همه چيز نوسان مي كند، خط راست خميده مي شود، خط خميده به صورت خط راست درمي آيد. ولي دشواري اينشتين را در اقدام نمي هراساند. كارهاي مهم مقدماتي را علم رياضي انجام داده بود؛ گوس (1827) نظريه سطحهاي خميده را به صورت يك هندسه دو بعدي عمومي طرح كرده بود و ريمان (1854) اين طرح را تحت آموزش فضاي گوناگونيهاي پيوسته بسيار بعدي در حد دلخواه گسترش داده بود. صورت ساده و قابل استفاده اين نظريه را كه امروزه مورد استفاده واقع مي شود، به دو رياضيدان برجسته ريچي (1) و لوي - چيويتا (2) (1901) مديونيم. ما در اين جا نمي توانيم از اين رياضيات استفاده كنيم. ولي فهم عميق نظريه نسبيت بدون چنين رياضياتي غيرممكن است. از اين رو خواننده نبايد انتظار داشته باشد كه از تقريرات سطور آينده، ديد كاملاً روشن راجع به آموزش اينشتين به دست آورد. خواننده تصويرها و مشابهتهايي را از نظر خواهد گذراند كه هيچگاه جاي مفهومهاي دقيق را نمي گيرند. اما اگر اين اشارات خواننده را به مطالعه ‍ژرفتر برانگيزاند، مقصود حاصل شده است.

هندسه بر پهنه هاي خميده

طرح يك بناي هندسي بدون چوب بست از قبل بديهي خطهاي راست و قوانين انطباقي اقليدسي آن، بدان سان كه دربادي امر به نظر مي رسد، به هيچ وجه آنقدرها غيرعادي نيست. فرض كنيم كه مساحي مي خواهد يك قطعه زمين تپه اي سراسر پوشيده از جنگل انبوه را اندازه بگيرد و نقشه اي براي اين زمين طرح كند. اين مساح در هر نقطه اي از اين زمين فقط يك محوطه بسيار محدود را مي تواند ببيند. افزارهاي اپتيكي (تئودوليت) به درد او نمي خورند، ناگزير است كه از متر مساحي استفاده كند. ولي با اين متر مثلثها يا مربعهاي كوچكي را كه گوشه هايشان به وسيله شمشه هاي متر مشخص مي گردند، اندازه مي گيرد و از طريق به هم پيوستن اين شكلهاي مستقيماً قابل اندازه گيري، رفته رفته به قسمتهاي دورافتاده مي رسد كه مستقيماً قابل رؤيت نيستند.
به تجريد و در معنا كه بنگريم، مساح شيوه هاي هندسي اقليدسي عادي را براي حوزه هاي كوچك نمي تواند به كار بندد. به همين ملاحظه سراسر قطعه زمين يكپارچه اندازه گيري نمي شود، بلكه اين امر قدم به قدم، از محلي به محل ديگر پيش مي رود و به طرز هندسي انجام مي گيرد. وانگهي يك نكته ديگر: هندسه اقليدسي در محوطه هاي تپه اي دقيقاً صدق نمي كند، در اين گونه محوطه ها اصولاً خط مستقيم وجود ندارد، پاره خطهاي كوتاه در حد متر اندازه گيري را مي توان در حكم خطهاي مستقيم تلقي كرد. ولي از اين سوي دره به آن سوي دره و يا از اين سمت كوه به آن سمت كوه، ارتباط مستقيم بين نقاط زمين نيست. پس هندسه اقليدسي تقريباً فقط در محوطه هاي بسيار محدود، در حوزه هاي بينهايت كوچك اعتبار دارد. ولي براي ابعاد وسيع، يك آموزش فضا، يا دقيقتر، يك آزمايش سطح جامعتر معتبر است.
چنانچه مساح بخواهد با نظم و ترتيب عمل كند، ابتدا سطح زمين جنگل را با يك شبكه مي پوشاند، به طوري كه رشته هاي شبكه به وسيله شمشه هاي متر يا درختهاي نشانه دار علامتگذاري شوند. وي اينك به دو دسته خط احتياج دارد كه يكديگر را قطع كنند (ش. 3). اين خطها حتي الامكان كشيده و صاف، منظور را با انحناي پيوسته انتخاب مي شوند و در هر گروه شماره ترتيب پيدا مي كنند. حرف x به عنوان علامت يكي از اين گروهها، و حرف y به عنوان علامت گروه ديگر منظور مي شود.
آنگاه هر محل تقاطعي داراي دو شماره y و x خواهد بود، مثلاً x = 3 و y = 5. نقطه هاي مياني را مي توان با اندازه هاي كسري x و y نشانه گذاري كرد.
اين روش تعيين نقاط يك سطح خميده را نخستين بار گوس به كار برد. از اين رو x، y را مختصات گوس مي خوانند.
مطلب عمده در اين جا اينست كه اعداد x و y طول، زاويه يا ديگر كميتهاي هندسي قابل اندازه گيري را نمي رسانند و چيز ديگري جز شماره نيستند، درست مانند روش شماره گذاري خيابانها در آمريكا.
عمل بعدي مساح اين است كه اندازه ها را به اين شماره گذاري انتقال دهد. متر مساحي او تقريباً ابعاد يك روزنه شبكه مختصات گوس را در بر مي گيرد.
اينك مساح شبكه به شبكه مشغول اندازه گيري مي شود؛ هر شبكه اي در حكم يك متوازي الاضلاع به شمار مي رود و به وسيله اندازه هاي دو ضلع و يك زاويه مشخص مي شود. اين اندازه ها را مساح بايد به دست آورد و براي هر روزنه اي در نقشه درج كند. پس از آنكه اين عمليات را تا آخر انجام داد، طبعاً مختصات هندسي محوطه مزبور را با كمك نقشه خود كاملاً مي شناسد.
متداول اين است كه به جاي 3 معلوم براي هر روزنه (دو ضلع و يك زاويه)، روش ديگري در تعيين اندازه ها به كار مي رود كه حسن آن از لحاظ تقارن بيشتر است.
روزنه يا متوازي الاضلاعي را از يك شبكه در نظر مي گيريم كه اضلاع آن مطابقت كنند با دو شماره صحيح متوالي (مثلاً x = 4 ،x = 3 و y = 8 ،y = 7)، (ش. 4). فرض مي كنيم كه P يك نقطه غيرمشخص داخلي باشد، به طوري كه فاصله آن را تا نقطه گوشه o داراي شماره هاي كوچكتر، s فرض كنيم. s به وسيله متر مساحي اندازه گرفته مي شود. از نقطه P دو خط به موازات خطهاي روزنه ترسيم مي كنيم، به طوري كه اين خطها را در نقاط A و B قطع كنند. مضافاً C پاي خط قائم از نقطه P برخط مختصات x را معرفي مي كند.
اينك نقطه هاي A و B نيز شماره يا مختصات گوسي در شبكه را دارند. محل A به اين صورت تعيين مي شود: ضلعي از متوازي الاضلاع را كه نقطه A بر آن قرار گرفته و نيز پاره خط را اندازه مي گيرند و نسبت اين دو طول را به عنوان افزايش مختصات x متعلق به A بر مبناي O به حساب مي آورند. اينك فرض مي كنيم كه O مبداء مختصات است و افزايش مزبور هم با ξ نماش داده مي شود. به همين ترتيب مختصات گوسي η متعلق به B را از طريق ضلع متوازي الاضلاع مربوطه تعيين مي كنيم، يعني به صورت نسبت دو طول اندازه گيري شده. سپس مختصات گوسي نقطه P را نسبت به O نمايش مي دهند. هرگاه x، y مختصات روزنه هاي از محل نقطه O باشند، يعني مختصات گوسي روزنه ها بر حسب يك مبداء اختياري تثبيت شده باشد، آنگاه η و ξ اضافات جزئي x، y خواهند بود.
ولي طول واقعي البته نيست و به حد بالغ مي گرد، به طوري كه a يك عدد ثابت است كه از طريق اندازه گيري به دست مي آيد؛ به همين نحو طول واقعي به اندازه است و نه . چنانچه P به اين سو و آن سو برده شود، مختصات گوسي آن تغيير خواهد كرد، ولي اعداد a و b كه نسبت مختصات گوسي را به طولهاي واقعي معرفي مي كنند، تغيير نخواهند كرد.
اينك حكم قضيه فيثاغورث را در مورد ضلع و متعلق به يك مثلث opc و متعلق به مثلت OPC به صورت زير مي نويسيم:

ولي با توجه به تساوي خواهيم داشت

از سوي ديگر، از مثلث قائم الزاويه APC نتيجه مي شود:

و سپس

حال مي دانيم كه علاوه بر اين، تصوير را نمايش مي دهد؛ پس با يك نسبت ثابت برقرار مي كند، به اين معنا كه از اين رو به دست مي آيد؛

c ،b ،a ضريبهاي ثابت تناسب را معرفي مي كنند. معمول اين است كه 3 عامل معادله را به صورتي ديگر نمايش دهند، به اين شرح كه مي نويسند
[1]

مي توان گفت كه اين معادله در واقع قضيه فيثاغورس تعميم يافته در مختصات گوسي است.
به منظور تعيين مشخصات دقيق يك متوازي الاضلاع، 3 مقدار را، درست مانند اضلاع و زاويه، مي توان مورد استفاده قرار داد. به همين ملاحظه اين سه عامل را ضريبهاي متريك، و s_2 را كه از دستور [1] به دست مي آيد، متريك سطح مي نامند. اندازه ضريبهاي متريك از روزنه به روزنه فرق مي كند. اين اندازه ها يا به صورت رقومي به نقشه منتقل مي گردند، يا به صورت توابع رياضي x، y (مختصات گوسي از مبداء O) بيان مي شوند. چنانچه اين اندازه ها در مورد هر روزنه اي معلوم باشند و مضافاً شماره ها با مختصات گوسي x ، y از O نيز در دست باشد، فاصله حقيقي نقطه اختياري P واقع در حوزه يك روزنه اختياري از نقطه صفر روزنه قابل محاسبه خواهد بود.
پس ضريبهاي متريك بدين نحو سراسر هندسه را در سطح معرفي مي كنند.
اينك گفته مي شود كه اين ادعا صحت ندارد و ايرادي به آن وارد است، چون شبكه مختصات گوسي كاملاً اختياري انتخاب شده است. پس اين اختيار در نيز داخل مي شود. محققاً همين طور است. به اين ترتيب اگر يك شبكه ديگر انتخاب شود، باز دستوري نظير [1] براي فاصله همين نقطه P حاصل خواهد شد، ولي با عاملهاي که با عاملهاي قبلي فرق دارند. منتها البته قاعده اي است که g_13، g_12، را به مرتبط و تبديل مي كند. اين قاعده هاي تبديل مشابهند با همان نوعي كه ما آن را قبلا شناخته ايم .
پس ظاهراً بايد امكان داشته باشد كه هر كيفيت هندسي واقعي بر سطح به وسيله دستورهايي بيان شود كه در ضمن تعويض مختصات گوسي تغيير نكند، يعني در حقيقت ناوردا بوده باشد. بدين نحو هندسه سطح به يك نظريه ناوردايي از نوع بسيار عمومي مبدل خواهد گشت، چون خطهاي شبكه مختصات كاملاً اختياري اند؛ فقط بايد چنان انتخاب شوند كه منحنيهاي پيوسته باشند و سطح را يكنواخت و بي نقص بپوشانند.
اينك مساح پس از شناسايي اندازه ها، چه مسئله هندسي را بايد حل كند؟
بر سطح خميده خطهاي راست وجود ندارد، ولي البته راستترين خطهايي كه وجود دارند كه كوتاهترين ارتباط بين اين دو نقطه را تشكيل مي دهند. نام علمي اين خطها و «خطهاي ‍ژئودزي» (زمين سنجي) است، و خود از لحاظ رياضياتي چنين توصيف مي شوند: خط دلخواه واقع بر سطح را به پاره هاي كوچك قابل اندازه گيري با طولهاي تقسيم مي كنند؛ آنگاه حاصل جمع

براي خط ژئودزي بين دو نقطه P_1 و P_2 از هر خط ديگر بين اين دو نقطه كوتاهتر است (ش. 5). چنانچه اندازه هاي در دست باشد، را از طريق محاسبه مي توان به وسيله قضيه فيثاغورس تعميم يافته [1] مشخص كرد. چنانكه مي دانيم، «بزرگترين دايره هاي كره» (دايره هاي عظيمه) كوتاه ترين خطها را تشكيل مي دهند. اين دايره ها از برش سطحهاي مستويي كه از مركز كره گذشته باشند، پديد مي آيند. برشهايي كه به همين نحو بر سطحهاي خميده نوع ديگر پديد مي آيند، صورت منحنيهاي پيچيده تري را به خود مي گيرند؛ اين منحنيها چوب بست بناي هندسي بر سطح را تشكيل مي دهند، درست مانند خطهاي راست در حكم چوب بست هندسه اقليدسي در سطح مستوي.
خطها ژئودزي طبعاً به وسيله دستورهاي ناوردا معرفي مي شوند. اينها صفات واقعي هندسه سطحند. از اين ناورداها مي توان همه ناورداهاي بالاتر را استخراج كرد، منتها در اين مورد نمي توانيم تا آن حد پيش برويم.
يك صفت اصلي ديگر سطح عبارت است از انحناي سطح. انحنا معمولاً به توسط بعد سوم تعريف مي شود؛ انحناي يك كره را مثلاً به توسط شعاع كره اندازه مي گيرند، يعني به وسيله فاصله اي كه در سطح كره قرار نمي گيرد. مساح در تپه جنگلي نمي تواند از اين وسيله استفاده كند، چون از سطح كه نمي تواند خارج شود، پس اندازه انحناها را فقط بايد به وسيله متر مساحي به دست آورد. اما اينكه به كار بردن چنين شيوه اي ميسر است، به توسط گوس با سبك و اسلوب منظم اثبات شده است، و ما آن را با بررسي ساده زير مي توانيم روشن كنيم:
مساح دوازده ريسمان به طولهاي متساوي را با متر مساحي خود اندازه مي گيرد و از آنها يك شكل شش پهلو تشكيل مي دهد (ش. 6). بر طبق قضيه اي در هندسه مسطح واقعاً چنين امكاني وجود دارد كه 12 ريسمان را به اين ترتيب يكجا روي سطح مستوي به حالت صاف قرار دهند. اين مطلب در واقع بسيار شگفت انگيز است، چون پس از آنكه مثلاً 5 ضلع از 6 ضلع متساوي شكل هندسي مزبور صاف قرار گرفت، آخرين ريسمان خود به خود بايد درست به اندازه ضلع ششم باشد. در مدرسه آموخته مي شود كه اين كار شدني است، و آنچه كه در مدسه آموخته شود، راجع به صحت و سقم آن معمولاً بعداً زياد فكر نمي كنند. با اين حال باز بسيار عجيب است كه ضلع خالي مانده درست به وسيله يك ريسمان با طول يكسان مانند ضلعاي ديگر پر مي شود.
اين وضع واقعاً فقط در سطحهاي مستوي پيش مي آيد. اما همين آزمايش اگر روي يك سطح خميده انجام شود، به اين ترتيب كه مركز كثيرالاضلاع و شش گوشه آن بر سطح مزبور قرار گيرند، محيط اين شش ضلعي بسته نخواهد شد. در برآمدگيها و فرو رفتگيها آخرين ريسمان بلند در مي آيد؛ در تنگه ها (سطحهاي خميده زين مانند) كمبود پيدا مي كند.
به خواننده توصيه مي شود كه اين آزمايش را با 12 تكه نخ و بالش انجام دهند! به اين ترتيب ملاكي به دست خواهد آمد كه خميدگي را بدون خارج شدن از سطح بتوان به دست آورد. چنانچه شكل شش ضلعي درست گسترده شود، سطح مستوي است؛ در غير اين صورت خميده است. ولي ما در اين جا به دنبال استخراج اندازه خميدگي نمي رويم، همين اشاره احتمالاً كافي است كه دشواري توضيح دقيق چنين اندازه اي تصديق شود. اين دشواري محققاً مربوط به آنست كه عاملهاي تعيين اندازه به چه نحو از محلي به محل ديگر تغيير كند؛ اندازه انحنا، چنانكه گوس اثبات كرده است، به وسيله قابل شناسايي است و به شبكه گوسي انتخاب شده بستگي ندارد، در واقع يك ناورداي سطح است.
نظريه گوس درباره سطح يك نوع عمليات هندسي است كه مي توان آن را با يك طرز بيان عاريت داده شده به فيزيك در حكم نظريه تأثير قريب به شمار آورد. قوانين سطح تماماً مقام اوليه را ندارند، بلكه خصوصيات ديفرانسيلي اين قوانين، يعني مشخصات اندازه ها و ناورداهاي مترتب از اين مشخصات، به ويژه اندازه خميدگي در اين مقام قرار مي گيرند. پس سيماي سطح و صفات هندسي آن را مي توان از طريق محاسبات نظير راه حل معادلات ديفرانسيل در فيزيك، تماماً مشخص كرد. هندسه اقليدسي بر خلاف نظريه گوس، يك نظريه تأثير بعيد است. به همين ملاحظه فيزيك جديد كه يكسره بر پايه مفهومهاي تأثير قريب ميدان بنا شده است، با طرح هندسه اقليدسي نمي تواند رفع نياز كند و از اين رو به پيروي از گوس، ناچار است كه راههاي جديد را برگزيند.

5. پيوستار دو بعدي

فرض كنيم كه مساح به منظوراندازه گيري خميدگي محوطه، به دستگاري با ريسمان شش ضلعي مشغول مي شود. ولي توجه ندارد كه در داخل شش ضلعي او يك نقطه تنگ در جنگل هست كه به آنجا آفتاب مي تابد و به محل انتهايي و ارتباطي ريسمانها نور مي تاباند، ريسمانها بر اثر گرماي آفتاب به يك اندازه منبسط مي شوند. از اين رو 6 ريسمان شعاعي از شش ريسمان ضلعي درازتر مي شوند، و در نتيجه شش ضلعي بسته نخواهد شد. اگر محوطه واقعاً مسطح باشد، مساح تصور خواهد كرد كه يك برآمدگي (يا يك فرورفتگي) را اندازه مي گيرد. و اگر در كارش دقيق باشد، اندازه گيري را با ريسمانهايي از جنس ديگر تكرار مي كند. اينريسمانهاي جديد نيزبر اثر گرما كمتر يا بيشتر از ريسمانهاي قبلي منبسط مي شوند، و مساح از اين طريق به وجود خطا پي مي برد و آن را تصحيح مي كند.
ولي اگر هم فرض كنيم كه ميزان انبساط ناشي از گرما براي همه مواردي كه براي توليد ريسمان به كار مي روند، يكسان است، باز خطا هرگز از ميان نخواهد رفت. همواريها در حكم برآمدگيها، برآمدگيها در حكم همواريها محسوب مي شوند. يا فرضاً تصور كنيم كه يكنوع نيروهاي طبيعي ناشناس بر طول خط كشها و ريسمانها وارد مي آيند، ولي تأثيرشان بر اين هر دو يكسان است. در اين صورت، هندسه اي كه مساح با متر مساحي و چند ضلعي خود مشخص مي كند، از هندسه واقعي سطح جداست و كاملاً به صورتي ديگر منعكس مي شود. اما تا زماني كه مساح فقط پي در پي سطح را دستكاري مي كند و امكان ديگري ندارد كه به يك مرحله بالاتر گام نهاده از بعد سوم استفاده كند، سخت يقين خواهد داشت كه هندسه صحيح را تحقيق كرده است.
از اين بررسيها چنين استنباط مي شود كه مفهوم هندسه در سطح، يا به گفته گوس «geometria intrinsica» (هندسه ذاتي) با آن سيمايي كه سطح از خود به چشم يك ناظر داراي حس تشخيص بعد سوم فضا نمايان مي كند، هيچگونه ربطي ندارد. هنگامي كه يكاي طول از سه معلوم متر مساحي، شبكه گوس و متريك در دست باشد، هندسه در سطح نسبت به همين دستگاه كاملاً تثبيت شده است، همچنين جايز است كه همه تغييرات ممكن در جريان اندازه گيري در حقيقت بر خط كش وارد آيد. اين تغييرات، تا زماني كه به طرزي يكسان بر همه موارد وارد آيند، از نظر يك موجود فرضاً حلول كرده در قالب سطح، وجود خارجي ندارند. لذا اين موجود خميدگيهايي را تشخيص مي دهد كه در حقيقت خميده نيستند، و بعكس. اما اين «در حقيقت» بي معنا خواهد شد، اگر به موجودات مسطحي مربوط گردد كه از بعد سوم فضا هيچگونه تصوري ندارند، مانند ما انسانها كه از چهارمين بعد فضا تصوري نداريم. آنگاه براي اين موجودات نيز بي معناست، اگر جهان كه در يك فضاي سه بعدي جا گرفته و جفت شده است، در حكم «سطح» تلقي كنند. چنين جهاني بيشتر يك «پيوستار دو بعدي» است كه يك هندسه خاص و معين دارد، به اين معنا كه كوتاهترين خطها كه خطهاي ژئودزي باشند، در هر موضوع يك «مقدار خميدگي» معين دارند. ولي موجودات مسطح همان تصوري را كه ما از مفهوم روشن خميدگي يك سطح داريم، به هيچوجه از مفهوم «مقدار خميدگي» به دست نمي آورند، بلكه از آن فقط اين را مي فهمند كه شش ضلعي رشته اي كم و بيش بسته مي شود - همين و بس.
خواننده اگر موفق شده باشد كه احساس اين موجود مسطح را درك كند و جهاني را كه به نظر موجود مزبور ظاهر مي شود، به تصور آورد، آنگاه به بلوغي كه مستلزم ادامه بحث انتزاعي بعدي است، رسيده است.
البته بعيد نيست كه نظير همين جريان بر ما انسانها در جهان چهار بعدي بگذرد. شايد اين جهان، درست مانند يك سطح در فضاي سه بعدي ما، در يك فضاي چهار بعدي جاي گرفته باشد؛ و همه طولها بر اثر نيروهاي ناشناخته در بخشهاي فضايي مشخص تغيير كنند، بدون آنكه اين تغيير هرگز براي ما محسوس بوده باشد. سپس در چنين وضعي غيرمتحمل نخواهد بود، اگر يك چند وجهي فضايي از نوع شش ضلعي مذکور در فوق كه در هندسه معمولي بايد بسته شود، در اين بخشهاي فضايي بسته نشود.
آيا هرگز نظير اين كيفيت را مشاهده كرده ايم؟ هندسه اقليدسي از دوران باستان به اين طرف هميشه دقيقاً صحيح تلقي شده است. نقد فلسفي كانت (1781) صحت قضيه هاي اين هندسه را حتي به عنوان قبلي معرفي كرده و براي آنها نوعي قداست قائل شده است. ولي رياضيدانان و فيزيكدانان، بخصوص گوس و ريمان و همچنين هلمهولتز، هيچگاه در بست چنين اعتقادي نداشته اند. گوس حتي شخصاً به منظور آزمودن هندسه اقليدسي، اندازه گيري بسيار جالبي ترتيب داد. اين اندازه گيري به حكم قضيه اي مربوط بوده است كه مي گويد: مجموع زاويه هاي يك مثلث برابر با دو قائمه است. گوس مثلثي را كه از سه رأس بروكن، هوهرهاگن و اينزلبرگ تشكيل مي شود، اندازه گرفت و به اين نتيجه رسيد كه، با توجه به خطاي اندازه گيري، مجموع زاويه هاي مثلث مزبور در قائمه است.
گوس را از لحاظ فلسفي به علت آزمايشي كه انجام داده بود، مورد حمله قرار دادند. بخصوص مي گفتند، او اگر هم اختلافي به دست مي آورد، نكته اي كه مؤيد عدم اعتبار هندسه اقليدسي يا جز آن باشد، به ثبوت نمي رسيد، بلكه حداكثر معلوم مي شد كه پرتوهاي نور بر اثر برخي نيروها كه منشاء فيزيكي آنها احتمالاً ناشناخته است، در ضمن عبور از دوربينها منحرف مي شوند.
اينشتين مدعي است كه هندسه جهان حقيقي هندسه اقليدسي نيست. او ادعاي خويش را با مثالهاي مشخصي كه مي آورد، مستند مي سازد.

پي‌نوشت‌ها:

1. Ricci
2. Levi - Civita

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.