آلیکساندرِف، پاول سیرگییویچ

[pāvel sirgeyivič āliksānref]
(Alexandroff یا) Pavel Sergeevich Aleksandrov
(ت. بگاروتسک [ناگینسکِ سابق]، روسیه، 18 اردیبهشت 1275 / 7 مه‌ی 1896؛ و. مسکو. ا.ج.ش.س. 25 آبان 1361 / 16 نوامبر 1982)، ریاضیات.
پاول سیرگییویچ آلیکساندرف کوچکترین فرزند از شش فرزندِ (چهار پسر و دو دختر) خانواده بود. پدرش، سیرگئی آلیکساندرویچ آلیکساندروف، پزشک دولتی روستا بود و مادرش، تسزاریا آکیمونا آلیکساندرووا (با نامِ خانوادگی از دانفسکایا)، نام داشت، که دلمشغولی عمده‌اش تربیت فرزندانش بود. هم پدر و هم مادر علاقه‌ی شدید به علم و موسیقی را به وی القا کردند. مادرش، که آلمانی را مثل زبان مادریش روسی می‌دانست، به او آلمانی و فرانسوی آموخت. تحصیلات ابتدایی آلیکساندرف در مدرسه‌های دولتی اسمولنسک سپری شد، زیرا پدرش در 1276 به آنجا نقل مکان کرده پزشک ارشد بیمارستان دولتی اسمولنسک شده بود. رشد تواناییهای ریاضی آلیکساندرف و علاقه‌ی وی به مسائل بنیادی ریاضیات دبیرستانِ او، بود. (در 1300 آلیکساندرف با ییکاترینا رامانووا اِیگس، خواهر معلمش، ازدواج کرد و مدت کوتاهی با او بسر برد.)
آلیکساندرف، که قصد داشت معلم شود، در شهریور 1292 به عنوان دانشجو از بخش ریاضیات دانشگاه مسکو پذیرفته شد. در پاییز 1293 در یکی از جلسات درس ریاضیدان برجسته‌ی جوان، نیکالای نیکالایوچ لوزین، شرکت کرد و پس از آن شاگرد پیشتاز وی شد. در 1294 آلیکساندرف اولین ثمره‌ی کار خود در ریاضیات را در مورد ساختار مجموعه‌های بوْرِل بدست آورد. لوزین، هنگامی که نخستین بار شرح کار وی را شنید، در کارآمد بودنِ روشِ آلیکساندرف تردید داشت و پیشنهاد کرد که رهیافت دیگری در پیش گیرد. اما آلیکساندرف بر سر روش خود اصرار می‌ورزید. نتیجه‌ای را که بدست آورد می‌توان چنین بیان کرد: هر مجموعه‌ی بوْرل ناشمارای متناهی یک زیرمجموعه‌ی کامل دارد.
آلیکساندرف، که از توفیق این طرح نخستین سرمست شده بود، طرح تحقیق دوم خود – فرضیه‌ی پیوستار – را فعالانه آغاز کرد. اکنون می‌دانیم که فرضیه‌ی مشهور کانتور در چارچوب نظریه‌ی مجموعه‌ها قابل اثبات یا قابل نقض کردن نیست، و در نتیجه تلاشهای آلیکساندرف برای بدست آوردن نتیجه‌ی قطعی محکوم به شکست بود. دست نیافتن به موفقیت کامل او را به این نتیجه رسانید که دوره‌ی زندگی ریاضی وی به پایان رسیده است. پس دانشگاه را ترک کرده به نوفگرت سویرسکی رفت و در آنجا در تئاتر محلی به عنوان تهیه کننده به کار پرداخت، و مدتی بعد به چیرنیگف رفت و در بهار 1298 به تأسیس «تئاتر دراماتیک شورایی چیزنیگف» کمک کرد.
زندگی در سالهای 1297 تا 1299 سرشار از ناآرامیهای متعاقب انقلاب اکتبر 1917 (1296) بود. آلیکساندرف در 1298 توسط گروهی از مخالفان دولتِ جدید شوروی دستگیر شد و مدتی در زندان بسر برد، اما وقتی که ارتش شوروی چیرنیگف را بار دیگر اشغال کرد وی آزاد شد. او، علاوه بر کار در تئاتر، به ایراد رشته سخنرانیهائی عمومی در زمینه‌ی ادبیات و ریاضیات پرداخت. در آذر 1298، بعد از شش هفته بیماری، تصمیم گرفت به دانشگاه مسکو برود و به تحصیل در زمینه‌ی ریاضیات ادامه دهد.
آلیکساندرف، پس از آن‌که در شهریور 1299 به مسکو بازگشت، با درس خواندن نزد پاول سموئیلویچ اوریسون خود را برای امتحانات فوق لیسانس آماده کرد. همکاری آنها به دوست عمیقی انجامید. در طی تابستان 1301 این دو پِ.سِ (دوستانشان آنان را به این نام می‌خواندند) و چند دوست دیگر ویلائی روستایی در سواحل رود کلیاسما اجاره کردند. این دو ریاضیدانِ جوان مطالعه درباره‌ی توپولوژی، رشته‌ای از ریاضیات را که بتازگی شکل گرفته بود، شروع کردند. راهنمای کار آنها در آن تابستان و پاییز تنها معدودی مقاله بود، که از آن میان کار پیشگامانه‌ی موریس فوشه (1285) و اثر ماندگارِ فلیکس هاوسدورف به نام Grundzüge der Mengenlehre («مبانی نظریه‌ی مجموعه‌ها»، 1914) نام بردنی است. هدفِ اولیه‌ی آنها بدست آوردن شرایط لازم و کافی برای متریک‌پذیر بودنِ فضای توپولوژیک بود. حاصل پژوهش آنها مقاله‌ی بلند و معتبری بود با عنوان «یادداشتهائی درباره‌ی فضاهای توپولوژیک فشرده»، که، به دلایل مختلف، تا 1308 چاپ نشد.
جستجوی آنها برای یافتن قضیه‌ی متریکسازی موفقیت‌آمیز بود، اما نحوه‌ی فورمولبندی آنها کاربرد قضیه را دشوار می‌کرد. جستجو برای یافتن نتیجه‌ای عملی ادامه داشت تا آن‌که یکی از شاگردان آلیکساندرف، به نام یوری م. اسمیرنوف، به همراه ج. ناگاتا و ر. ه‍. بینگ، مستقلاً به فورمولبندی عملی‌ای دست یافت (1330-1331). با استفاده از اصطلاحات جدید، می‌توان شرطی را که آلیکساندرف و اوریسون بدست آوردند چنین بیان کرد: یک فضای توپولوژیک متریک‌پذیر است اگر و فقط اگر پیرافشرده (paracompact) باشد و دستگاه تظریفِ شمارای پوششهای باز داشته باشد.
این دو مرد جوان، که از کارشان دلگرم شده بودند، از گوتینگن، که محل نشو و نمای ریاضیات آلمان بود، دیدار کردند (برای تأمین مخارج سفرشان به ایراد رشته سخنرانیهائی درباره‌ی نظریه نسبیت در مسکو و اطراف آن پرداختند). در تابستان 1302، این دو نفر نتایج کارشان را عرضه کردند، نتایجی که با استقبال پرشور ریاضیدانانی چون اِمی نوتر، ریچارد کورانت، و داویت هیلبرت روبه‌رو شد. برجسته بودن این تابستان تنها به این سبب نبود که اولین بار بعد از انقلاب اکتبر ریاضیدانان شوروی به خارج از کشور سفر می‌کردند، بلکه به این دلیل نیز بود که شرایط را برای تبادل علمی در زمینه‌ی ریاضیات بین مسکو و گوتینگن فراهم کرد. در واقع، آلیکساندرف تا 1311 هر سال تابستان به گوتینگن باز می‌گشت؛ در این سال این‌گونه تبادلات علمی به علت محدودیتهائی که دولت آلمان بوجود آورد غیرممکن شد.
آلیکساندرف و اوریسون در تابستان 1303 به گوتینگن بازگشتند؛ آنها در بون با فلیکس هاوسدورف و در هلند با ل. ا.‌ی. بروئوور نیز ملاقات کردند. این دو جوانِ اهل شوروی، پس از ملاقات با بروئوور، به پاریس رفتند و سپس برای مدتی کار و استراحت رهسپار سواحل اقیانوس آرام در فرانسه شدند. سفر آنها در 26 مرداد 1303، هنگامی که اوریسون در باتس، فرانسه، در دریا غرق شد، به نحوی غم‌انگیز خاتمه یافت.
به نظر می‌رسد که مرگِ دوست آلیکساندرف علاقه‌ی او را به توپولوژی و به سمیناری که سازماندهی آن را به طور مشترک در بهار 1303 آغاز کرده بودند شدت بخشید. یکی از دانشجویان ممتاز این سمینار از اولین شاگردان آلیکساندرف بود که کارهای بنیادینی در ریاضیات به طور اعم و در توپولوژی به طور اخص انجام داد. آندرئی نیکالایویچ تیخونوف مفهوم حاصل ضرب تعداد نامتناهی فضای توپولوژیک را (دست کم برای تعداد بیشماری بازه‌ی بسته‌ی واحد [0، 1] پرورده ساخت. او این مفهوم را برای حل مسأله‌ای بوجود آورد که آلیکساندر طرح کرده بود: آیا هر فضای متعارف به صورت زیر فضائی از فضای فشرسده‌ی هاوسدورف جاپذیر است؟
آلیسکاندرف، پس از مرگ اوریسون، به مسکو بازگشت و قصد داشت که سال تحصیلی 1304-1305 را در هلند با بروئوور بگذراند. یکی از دلایل این امر آن بود که آلیکساندرف و اوریسون، در مقالاتِ سال 1303 خود با بروئوور، متقاعد شده بودند که تحقیق خود در زمینه‌ی توپولوژی را در نشریه‌ی Verhandelingen der Koniklijke akademie van Wetenschappen («مذاکرات فرهنگستان سلطنتی علوم») چاپ کنند. این اثر ماندنی، به دلایل مختلفی که کار را به تأخیر می‌انداختند، تا 1308 چاپ نشد. اصل این اثر به زبان فرانسوی بود؛ بعد از آن سه بار (129، 1230، 1350) به زبان روسی چاپ شد، و هر بار آلیکساندرف پانوشتهائی بر آن می‌افزود و در آنها نظر نویسندگانی را که به پرسشهای مطرح شده دراین اثر پاسخ می‌گفتند روزآمد می‌کرد.
آلیکساندرف در طی اقامتهای تابستانی خود در گوتینگن دوستیهای مادام‌العمر بوجود آورد، که مهمترین آنها دوستی با هاینتس هوپف بود، که در 1305 شروع شد. دوستی آنان در سال تحصیلی 1306-1307، که در دانشگاه پرینستن بودند، بیشتر شد. هنگامی که آنان به گوتینگن بازگشتند تا در تابستان 1307 سمیناری در مورد توپولوژی برگزار کنند، ریچارد کونت از آنها خواست که کتابی درباره‌ی توپولوژی بنویسند تا به صورت بخشی از «مجموعه‌ی زرد» او برای انتشارات اشپرینگر درآید. این درخواست منجر به همکاری هفت‌ساله‌ای شد که در 1314 با انتشار Topologie، کتاب درسی برجسته‌ای در زمینه‌ی توپولوژی، به اوج رسید. برای این کتاب در اصل دو جلد دیگر نیز پیش‌بینی شده بود، اما جنگ مانع از کامل شدن این طرح گردید.
آلیکساندرف به شنا کردن و پیاه‌رویهای طولانی در حین بحث درباره‌ی مسائل ریاضی با دانشجویان بسیار علاقه داشت. دید چشم او، که از دوره‌ی نوجوانی بسیار ضعیف بود، علایق ورزشی او را محدود می‌کرد. (او در سه سال اخر زندگی کاملاً کور بود.)
در 1314 آلیکساندرف و دوستِ نزدیک او، آندرئی نیکالایویچ کلماگورف، صاحب خانه‌ای صدساله در روستای کماروفکا در اطراف مسکو شدند. آنها این خانه و باغ اطراف را به اشتراک در اختیار داشتند تا آن‌که مرگ آنان را از هم جدا کرد. این خانه نه تنها محلی مناسب و دوست‌داشتنی برای جمع شدن آلیکساندرف و شاگردانش شد، بلکه پناهگاه بسیاری از ریاضیدانان پرآوازه‌ای بود که برای ملاقات و کار کردن با آلیکساندرف یا کلماگورف به آنجا می‌آمدند.
دستاوردهای آلیکساندرف محدود به ریاضیات محض نبود. او از 1337 تا 1341 نایب رئیس «کنگره‌ی بین‌المللی ریاضیدانان» بود. کرسی هندسه‌ی عالی و توپولوژی در دانشگاه دولتی مسکو را در اختیار داشت، رئیس بخش ریاضیات دانشگاه بود، و به عنوان رئیس بخش توپولوژی عمومی «مؤسسه‌ی ریاضیات استکلوف» وابسته به فرهنگستانِ علوم شوروی خدمت می‌کرد. آلیکساندرف مدت سی و سه سال رئیس «انجمن ریاضی مسکو» بود؛ در 1343 به ریاست افتخاری این انجمن انتخاب شد. علاوه بر خدمت در مقام ویراستار چندین مجله‌ی ریاضی، سرویراستار نشریه‌ی Uspekhi matematicheskikh nauk («بررسیهای ریاضی روسی») بود. در 1308 به صورت عضو وابسته‌ی فرهنگستان علوم شوروی و در 1332 به عنوان عضو پیوسته‌ی آن انتخاب شد. عضو فرهنگستان علوم گوتینگن، فرهنگستان علوم اتریش، فرهنگستان لئوپولدینا در هاله، فرهنگستان علوم لهستان، فرهنگستان علوم جمهوری دموکراتیک آلمان، فرهنگستان ملی علوم (ایالات متحد)، و «انجمن فلسفه‌ی امریکا»، و عضو افتخاری «انجمن ریاضی لندن» بود. «انجمن ریاضی هلند» و دانشگاه هومبولت در برلین به او دکتری افتخاری اعطا کردند.
آلیکساندرف در سالهای آخر عمر بر ویرایش و چاپ مجموعه‌ای سه جلدی که مهمترین آثار خود بشمار می‌آورد سرپرستی می‌کرد: Teoriia funktsii deistvitel"nogo Peremennogo i teoriia topologicheskikh prostranstv («نظریه‌ی تابعهای دارای متغیرهای حقیقی و نظریه‌ی فضاهای توپولوژیک»، 1978)؛ Teoriia razmernosti i smezhnye voprosy: Stat"I obshchego kharaktera («نظریه‌ی بُعد و مسائل مربوط به آن: مقاله‌هائی که ماهیتی عمومی دارند»، 1978)؛ و Obshchaia teoriia gomologii («نظریه‌ی عمومی مانستگی»، 1979).
به علاوه آلیکساندرف زندگینامه‌ای از خود نوشت که بخشهائی از آن در دو قسمت با عنوان «Stranitsii avtobiografü» («برگهائی از یک زندگینامه‌ی خودنوشت»)، به همراه مقاله‌های عرضه شده در کنفرانس بین‌المللی توپولوژی در مسکو (تیر 1358) که وی سازمان‌دهنده‌ی اصلی آن بود، در مجله‌ی «بررسیهای ریاضی روسی» چاپ شد.
کارهای ریاضی آلیکساندرف متنوع و اساسی بودند. در طی کار مشترک با اوریسون، افتخار بدست دادن تعریف فضاهای فشرده و فضاهای موضعاً فشرده (که پیشتر فضاهای دوفشرده خوانده می‌شدند) نصیب او شد. در 1304 برای اولین بار تعریف جدید مفهوم فضای توپولوژیک را فورمولبندی کرد. بی‌شک مفهوم فضای فشرده به تعریف پوششِ موضعاً محدود فضائی انجامید که وی به کمک آن فضا ثابت کرد که هر پوششِ بازِ یک فضای متریک جدایی‌پذیر دارای یک پوششِ موضعاً محدودِ باز است، یا، به بیان امروزی متریکِ جدایی‌پذیر پیرافشرده است. این نظر بعدها در نتیجه‌گیری ا. ه‍. استون ظاهر شد که می‌گفت هر فضای متریک پیرافشرده است؛ اسمیرنوف، ناگاتا، و بینگ از این واقعیت در قضیه‌ی متریکسازی خود استفاده کردند.
در سالهای 1304 تا 1308 اعتبار آلیکساندرف به سبب پایه‌گذاری نظریه‌ی مانستگی فضای توپولوژیک عمومی است. این شاخه‌ی توپولوژی آمیزه‌ای از توپولوژی و جبر است، که آلیکساندرف بررسی آن را از اِمی نوتر در طی تابستانهای سپری شده در گوتینگن و نیز در ملاقاتی که اِمی در زمستانِ 1304 با بروئوور داشت (و در آن هنگام آلیکساندرف با بروئوور کار می‌کرد) الهام گرفت. در این ملاقات بود که آلیکساندرف به مفهوم گروه بتی، که می‌خواست در اثرش از آن استفاده کند، علاقه‌مند شد. (اصطلاح «هسته‌ی همریختی» را، که برای اولین بار در پیوست جبری کتاب Topologie ظاهر شد، او وضع کرد.)
در مباحثات آلیکساندرف از مفهوم عصب یک پوشش، که او در 1304 طرح کرده بود، استفاده می‌شد. عصب پوششِ ω در فضای توپولوژیک X، یک مجتمع سادکی Nω است که رأسهای آن با عناصر ω تناظر یک‌به‌یک دارند، و هر یک از رأسهای ek,… , e1 از Nω یک سادک در Nω تشکیل می‌دهند اگر و فقط اگر عناصر متناظر با این رأسها در ω تقاطع ناتهی داشته باشند. برمبنای این مفهوم، می‌توان تبدیل سادکی را تعریف کرد (ώ پوششی است واقع در ω یا متوالی با آن)، که «تصویر» عصب Nώ به روی Nω نامیده می‌شود.
در فضای فشرده‌ی X، مجموعه‌ی تمام چنین تصویرهائی، که با تغییر ω در خانواده‌ی سودار تمام پوششهای بازِ محدود X بدست می‌آید، طیف تصویری S از X است. این طیف تصویری، خانواده‌ی سودار مجتمعهای Nω است که با تصویرهای پیوند دارند. فضای حدیِ طیف تصویری نسبت به X همریخت است، و در نتیجه خواص توپولوژیکی فضای X را می‌توان به خواص این مجتمعها و نگاشتهای سادکی آنها تحویل کرد. از میان نتایج دیگر، این نتیجه به قضیه‌ی آلیکساندرف انجامید که بنابر آن هر مجموعه‌ی فشرده با بُعد معلوم در فضائی هیلبرتی را می‌توان به ازای هر به کمک یک –Є کژدیسی – یعنی کژدیسی پیوسته‌ای که در آن هر نقطه حداکثر به اندازه‌ی Є جابه‌جا می‌شود – به چند وجهی‌ای با ابعاد مساوی تبدیل کرد.
این مفاهیم در سالهای 1307 تا 1309 به پیدایش نظریه‌ی مانستگیِ بُعد انجامید. آثار آلیکساندرف غالباً مانند تخته پرش ریاضیدانان دیگر، از جمله بسیاری از شاگردان خود او، بود که اگر بخواهیم اندکی از آنان را نام ببریم عبارتند از: آ. ن. تیخانف، ل. س. پانتریاگین،‌ی. م. اسمیرنوف، ک. آ. سیتنیکف، ا. و. آرخانگلسکی، و.ی. پوناماریف، و.ی. زایتسف، و‌ی. و. اشچپین.
آلیکساندرف، در زندگینامه‌ای که از خود نوشته است، زندگی ریاضی خویش و نوشته‌های مرتبط با آن را به شش دوره تقسیم کرده است:
1. تابستان 1294- ساختار مجموعه‌های بورل و عملگری A.
2. اردیبهشت 1301 تا مرداد 1303 – مقاله‌های بنیادی در مورد توپولوژی عمومی.
3. مرداد 1304 تا بهار 1307 – تعریف عصب خانواده‌ای از مجموعه‌ها و بدست دادن وسایل پایه‌گذاری نظریه‌ی مانستگیِ فضای توپولوژیک عمومی با روشی که به وی امکان داد که روشهای توپولوژی ترکیباتی را در مورد توپولوژی عمومی بکار ببرد.
4. زمستان 1308 تا آخر بهار 1309 – پی‌ریزی نظریه‌ی بُعد مانستگی، که بر مبنای نظریه‌ی طیفی وی بنا شد.
5. دی 1320 تا اردیبهشت 1321 – به سبب جنگ جهانی دوم، آلیکساندرف، کلماگورف، و دانشمندان دیگر در تیر 1320 به غازان فرستاده شدند. اگرچه آلیکساندرف در شروع دوره‌ی تحصیل پاییزی به مسکو بازگشت، به او گفتند که به غازان برگردد. او در آنجا، در زمستان 1320 اثری نوشت که به بررسی شکل و نحوه‌ی چیدن یک مجموعه‌ی بسته (یا مجتمع) در یک مجموعه‌ی بسته (یا مجتمعِ)‌ پوشاننده از طریق وسایل مانستگی اختصاص داشت. یکی از نتایج فرعی مهم این مقاله پیدا شدن مفهوم یک دنباله‌ی کامل بود، یعنی ابزار جبری مهمی که در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات بکار رفته است.
6. زمستان 1325 – قضیه‌های دوگانگی برای مجموعه‌های نابسته؛ او مقاله‌ی حاوی این نتایج را آخرین کار مهم خود می‌دانست.
در اواخر دهه‌ی 1320 و اوایل دهه‌ی 1330، آلیکساندرف و شاگردانش پایه‌های این کار آخر را با ساختن نظریه‌ی مانستگی برای مجموعه‌های نابسته در فضاهای اقلیدسی محکم کردند. به نظر می‌رسید که در همه‌ی دوره‌ها محرک و راهنمای کارهای او افکار هندسی‌ای بودند که بی‌شک از دلبستگی دوره‌ی جوانی او به این موضوع سرچشمه می‌گرفتند.
یکی از عناصر جاری در آثار آلیکساندرف نظریه‌ی نگاشتهای پیوسته‌ی فضاهای توپولوژیک است، که با نظریه‌ی او درباره‌ی تجزیه‌های پیوسته‌ی فضاهای فشرده‌ی اندازه‌پذیر شروع شد، و به نظریه‌ی نگاشتهای کاملِ فضاهای کاملاً منظم و دلخواه انجامید. این نظریه شامل قضیه‌ی آلیکساندرف درباره‌ی نمایش هر فضای فشرده‌ی اندازه‌پذیر به صورت تصویر پیوسته‌ی یک مجموعه‌ی کانتوری تام است. این نتیجه به این قضیه انجامید که هر فضای فشرده‌ی اندازه‌پذیر تصویر پیوسته‌ای از یک فضای فشرده‌ی اندازه‌پذیر صفر بُعدی با همان وزن است، و ضمناً بخشی از مبنای نظریه‌ی فضاهای فشرده‌ی اندازه‌پذیر دودویی است.
بیشتر عمر آلیکساندرف به تدریس و پژوهش دانشگاهی گذشت، و به انحای مختلف در حول آموزش و شاگردانش دور می‌زد. بازدیدهای او از کاماروْفکا، برنامه‌های موسیقی شبانه در دانشگاه، سخنرانیهای عمومی، و کنسرتهای خصوصی از آن جمله‌اند. به نظر می‌رسد که بیست و پنج سال آخر عمر وی به طور کلی وقف شاگردان و تعلیم و تربیت شده باشد، و این نکته از خلال مقاله‌های تحقیقی‌ای که در این دوره نوشته است آشکار می‌شود. ظاهراً در اطراف او همان مغناطیس و شور و شوق مسری به ریاضیات وجود داشت که نخست آلیکساندرف، اوریسون، و دیگر شاگردان جوان را در سالهای دانشجویی آنان به خوشه‌ی اطراف لوزین جذب کرده بود.

کتابشناسی

یکم. کارهای اصلی. «Some Results in the Theory of Topological Spaces, Obtained Within the Last Twenty – five Years»، در RMS، 15، شماره‌ی 2 (1960)، 23-84؛ Teoriia funktsii deistvitel"nogo peremennogo i teoriia topologicheskikh prostransty («نظریه‌ی تابعهای دارای متغیرهای حقیقی و نظریه‌ی فضاهای توپولوژیک»، مسکو، 1978)؛ Teoriia razmernosti i smezhnye voprosy: Stat"i obshchego kharaktera («نظریه‌ی بُعد و مسائل مربوط به آن: مقاله‌هائی که ماهیتی عمومی دارند»، مسکو، 1978)؛ «The Main Aspects in the Development of Set- Theoretical Topology»، در RMS، 33 شماره‌ی 3 (1978)، 1-53، با همکاری و. و. فیودرچوک؛ Obshchaia teoriia gomologii («نظریه‌ی عمومی همسانی»، مسکو، 1979)؛ «Pages from an Autobiography»، در RMS، 34، شماره‌ی 6 (1979)، 267-302، و 35 شماره‌ی 3 (1980)، 315-358.
دوم. خواندنیهای فرعی. «Pavel Sergeevich Aleksandrov»، از آ. و. آرخانگلسکی و دیگران (در هشتادمین سال تولد او)، در RMS، 31، شماره‌ی 5 (1976)، 1-13؛ و RMS، 21، شماره‌ی 4 (1966)، شماره‌ای مختص آلیکساندرف همراه با مقدمه در شرح زندگی او به قلم آ. ن. کلماگورف و دیگران.
منبع مقاله :
کولستون گیلیپسی، چارلز؛ (1387)، زندگینامه علمی دانشوران، ترجمه‌ی احمد آرام... [و دیگران]؛ زیرنظر احمد بیرشک، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول