آیا فراکتالها ربطی به فیزیک هم دارند؟

لئو پ. کادانوف
چکیده: با بررسی جنبه‌های عملی و نظری اجسام فراکتالی نتیجه می‌شود که هنوز شالوده نظری مستحکمی‌برای فیزیک فراکتالها به وجود نیامده است.
این همه هیاهو درباره فراکتالها (برخالها) برای چیست؟ مجله Phys دادش در آمده است که از هر سه مقاله ای که دریافت می‌کند یکی به نحوی به فراکتالها مربوط می‌شود. آزمایشگاههای تحقیقاتی وابسته به صنایع، مثل آزمایشگاههای اگزان و آی بی ام، رقم قابل توجهی از کل بودجه تحقیقات بنیادی خود را صرف مطالعه سیستمهای فراکتالی می‌کنند. پنج شش تا از کنفرانسهای پارسال به فراکتالها اختصاص یافته بود. چرا؟ اول باید بگوییم که فراکتالها چی هستند. مردم از واژه فراکتال متشکل از ساختواره‌های همانندی هستند که یکی در دل دیگری جای گرفته است؛ مثل جعبه‌های چینی "یا" "عروسکهای تو در توی" روسی. نمونه ای از ساختواره هاست که واشر سرپینسکی نامیده می‌شود و از مثلثلهای در داخل مثلثهای دیگر که خود در داخل مثلثهای دیگر قرار گرفته اند، و الی آخر، تشکیل شده است. ترسیم کوچکترین مثلثها مشکل است اما توصیف آنها آسان است: این مثلثها هر کدام نسخه کوچکی از کل جسم اند. ساختار بعضی فراکتالها کتره‌ای‌تر است. آلگوریتم اصلی را DLA توماس آ. ویتن و لئونارد ام . ساندر نوشته‌اند. در آلگوریتم .... درخت واحد به واحد به طریق زیر رشد می‌کند: ذره ایکه مختصه DLA آن کتره ای انتخاب شده است بالای درخت قرار داده می‌شود. این ذره با "گامهای کتره ای" راه می‌افتد و در هر گام به یکی از مواضع شبکه ای مجاور می‌رود.
انتخاب موضع مجاور با "تاس ریختن" تعیین می‌شود. راه رفتن ادامه پیدا می‌کند تا این که ذره به موضعی در مجاورت درخت می‌رسد و در آن جا متوقف می‌شود. درخت با الحاق این ذره به اندازه یک واحد رشد می‌کند و تمام فرایند با ذره جدیدی از سر گرفته می‌شود. واحدهای بنیادی این نمونه توبهای طلایی کوچکی هستند، و فرایند اساساً همان است با این تفاوت که شی دنیای واقعی سه بعدی است (شی کامپیوتری دو بعدی است). مثال آخر را می‌بینیم. الکترونهای تک انرژی مگا الکترون ولتی به یک قطعه اصات می‌کنند و در لایه نازکی به ضخامت تقریباً یک سانتی متر زیر سطح متوقف می‌شوند. بعد از این که تزریق کامل شد میخی در جسم قرار داده می‌شود. در نتیجه الکترونها به بیرون کشیده می‌شوند و ردی از خود بر جای می‌گذارند که شبیه یک شبکه رودخانه ای است.
یکی از دلایل توجهی که به اجسام فراکتال می‌شود اهمیت این اجسام در کارهای عملی است. متخصصان علم مواد در فکر ایجاد ساختواره‌های کاملاٌ جدیدی نظیر اسفنج هستند که خواص کاملاً جدیدی داشته باشند.
این اجسام وقتی خیلی زیاد رشد کنند در داخلشان فضاهای تهی عظیمی‌ایجاد می‌شود و چگالی آنها طبق رابطه) 0ρ=ρکم می‌شود که نسبت به شعاع توپهاست. شکست دی الکتریکی از اهمیت تکنیکی قابل توجهی برخوردار است. به عنوان مثال آخر، لایه‌های سنگی حاوی نفت را در نظر بگیرید. این لایه ها نوعاً شامل منفذهایی پر از شاره، با اندازه‌های مختلف هستند که می‌توان آنها را عملاً یک جسم فراکتالی دانست.
فراکتالها همان قدر که از لحاظ تکنیکی جالب توجه اند جاذبه‌های نظری هم دارند اتساع (r ar )انتقال (r r+b) دو تا از تفاوتهای اساسی طبیعت اند. این تفاوتها را می‌توان به ترتیب به "تغییر بکای طول" و "تغییر مبدأ مختصات" تعبیر کرد. اجسام فراکتالی نمایشهای کاملاً غیر بدیهی این تفاوتها هستند. مثلاً می‌توان یک قطعه انساع یافته واشر سرپینسکی را طوری جا به جا کرد که به کل واشر منطبق شود. این کار را به بی نهایت راه مختلف می‌توان انجام داد. فراکتالهای کتره ای تر احتمالاً از ترکیب تفاوتهای انتقال – اتساع مشابهی پیروی می‌کنند.
مثال دیگر از رفتار متقارن نسبت به اتساع، که به تفصیل مطالعه شده است، پدیده‌های بحرانی در نزدیکی تغییر حالتهای "مرتبه دوم" است.
مشروح پدیده شناسی این تغییر حالتها به کمک مفهوم عمومیت – یعنی این مفهوم که تغییر حالتهای گوناگون ممکن است رفتار کمی ‌یکسانی داشته باشند – بررسی شده است. این مفهوم را می‌توان به فرایندهایی که تولید فراکتال می‌کنند تعمیم داد. مثلاً باید دید که آیا جزئیات نقشهایی که از شکست دی الکتریکی در شرایط متفاوت حاصل می‌شود یکسان است؟ و نیز آیا شکستهای واقعی در دو بعد با مدلهای نظری رشد گام به گام، یا حتی احتمالاً با مدل شبیه سازی شده یکی هستند؟ یک راه پاسخ دادن به این پرسشها انجام اندازه گیریهای مناسب روی اجسام مورد بحث است. کمیتی که معمولاً اندازه گیری می‌شود، بعد فراکتالی است. (این بعد همان مفهومی‌است که شکل دیگر آن را فلیکس هاوسدرف ریاضیدان بیان کرده است). بعد فراکتالی به صورت d lnM(R)d lnR تعریف می‌شود که در آن M(R)جرم موجود در فاصله R از یک نقطه جسم است. برای آن که دو جسم یکسان باشند دست کم باید بعد فراکتالی آنها یکسان باشد.
با آن که این تک اندازه گیری نسبتاً ابتدایی، تمایز میان اجسام مختلف را ممکن می‌کند اما متأسفانه به کمک آن هرگز نمی‌توانیم دلیل قانع کننده ای برای یکی بودن آنها ارائه کیم. پیشرفتهایی در تشخیص خواص دیگری از اجسام فراکتالی (به جز بعد فراکتال)، که ممکن است عمومیت داشته باشند، حاصل شده است. اما برای حصول به پیشرفت بیشتر در این زمینه باید شالوده نظری محکمتری بنا کرد تا بتوان شکل هندسی را از ساز و کارهای مولد آن استنتاج کرد. بدون این که شالوده نمی‌شود. خیلی دقیق گفت که چه نوع پرسشهایی ممکن است پاسخهای جالب توجه داشته باشند. می‌توان امیدوار بود، یا حتی انتظار داشت که سرانجام یک شالوده نظری – نظیر روش باز بهنجارش کنت ویلسون – برای منجسم کردن این موضوع بنا شود.
بدون این که شالوده نظری مستحکم، بیشتر کارهایی که تا کنون روی فراکتالها انجام شده است تا حدودی سطحی و حتی بی معنی می‌نماید.
شبیه سازی کامپیوتری انواع این مدلها و مقایسه آنها با همدیگر و با نتایج دنیای واقعی کار آسانی است: خیل هم آسان است. اما بدون اصول نظم دهنده، به وارسی باغ وحشی از جانوران جالب و رده بندیهای سرسری تنزل پیدا می‌کند. علی رغم زیبایی و ظرافت مشاهدات پدیده شناختی که این رشته براساس آنها بنا شده است باید گفت که فیزیک فراکتالها هنوز متولد نشده است.