سال ۲۰۰۴ هاوکینگ در طی سخنرانی‌اش در کمبریج اظهار داشت که تحقیق در مورد «نظریهی وحدت جامعه را برای همیشه رها کرده است. او دریافت که امید به یافتن نظریه ای وسیع و جامع که به درونی ترین بخش های عالم پی ببرد و حتی آن را کنترل کند، فریبنده بوده است. از ابتدا به نظر نمی رسید که استوار کردن نظریه ای درباره عالم با چند عبارت معدود، ممکن باشد.
در آن جلسه هاوکینگ با کمال تعجب به اصل ناتمامیت گودل اشاره کرد. این اصل اثر ریاضی دان اتریشی، کورت گودل" (۱۹۷۵-۱۹۰۶)، شاید بزرگترین منطقدان قرن بیستم است. این اصل که سال ۱۹۳۰ ابداع شد بیان می دارد که سیستم محدودی از اصول موضوعه همیشه شامل قواعدی است که در داخل خود سیستم نه قابل اثبات و نه قابل ابطال اند. برای ترسیم وضعیتی مشابه آنچه گفته شد مثالی که از گذشته رایج بوده این است که کسی می گوید: «این گزاره غلط است». اگر گوینده از پیش فرض کرده باشد که اساسا تمامی گزاره ها یا درست و یا غلط اند (به عنوان یک سیستم دارای تمامیت)، بنابراین گزاره مذکور دقیقا درست ساخته شده است در حالی که غلط است. به این ترتیب تناقض به وجود می آید.
در هر صورت هاوکینگ نظریه‌های گودل را به درستی فهمیده و آنها را نقل می کند. با وجود این کار او تنها تکرار تجاربی بود که ریاضی دان‌ها و دانشمندان علوم نظری، در دهه های پیش در آنها پیش قدم شده بودند. پیش از این، در سال ۱۹۱۰ گسترش ریاضیات موجب شد که نزاعی در مورد اصول بنیادین این علم در گرفته شود. نزاعی که تا به امروز پابرجاست و مخصوصا در مورد اعتبار نظریه ی مجموعه ها و اصل طرد شق ثالث است. کسانی مانند من که به نحو تمام و کمال از دهه ۱۹۷۰ تا کنون با نتایج نظریه های علمی در ارتباطند، نباید از تغییر ناگهانی عقاید هاوکینگ متعجب شده باشند.برای تفکر ریاضی ممکن نبود که توسط خود ایستایی و برهانهای برساختی عاری از تناقض، روشی به کار گیرد که برای عموم قانع کننده باشد. بنابراین آیا می توانیم به جای نظریهی جامع خدا را در نظر بگیریم؟ برای اینکه بتوانیم به سؤال مذکور پاسخ دهیم باید مسائل مربوط به بنیادهای علم ریاضی را مورد بررسی قرار دهیم.
از همان آغاز عصر جدید ریاضیات پا به پای فیزیک دائما و به نحو اجتناب ناپذیری گسترش پیدا کرد. ریاضیات به واسطه‌ی کاربردهایی که در مکانیک سماوی، صداشناسی، نورشناسی، الکتریسیته و تمام شاخه های علم و تکنولوژی داشت، به موفقیت های پی در پی دست پیدا کرد. بنابراین آیا رویای لایب نیتس و دکارت مبنی بر پایه گذاری علوم بر اساس ریاضیات، تحقق پیدا کرد؟ در این بخش قصد دارم به بررسی یکی از مشکل ترین مسائل مبادرت بورزم. هرچند این مسئله ممکن است تنها برای مخاطبان خاص ریاضیات و منطق قابل توجه باشد، اما تأثیر بسزایی در رابطه‌ی بین علم و دین داشته است. به این ترتیب کسانی که علاقه چندانی به ریاضیات ندارند ممکن است برای پریدن به صفحات بعدی لحظه شماری کنند.
ریاضیات بدون تناقض
این تلقی که ریاضیات یک علم قطعی و یقینی و مبنای تمام علوم است، منجر به یک بحران شد. در آغاز نیمه‌ی دوم قرن بیستم، نظریه ی مجموعه ها توسط جرج کانتور ( ۱۸۵۴ - ۱۹۱۸ )، ریاضیدان آلمانی ابداع گردید و قطعی بودن ریاضیات و همچنین تناقض ناپذیری آن را زیر سؤال برد. این امر به تعارضها، تضادها و تناقض هائی منتهی شد: گزاره هائی که میشد همزمان آنها را هم اثبات و هم ابطال کرد. به عنوان مثال یکی از معروف ترین آنها پارادوکس «مجموعه ی اعداد ترتیبی» است که طبق پارادوکس بورالی فورتی: برای هر مجموعه از اعداد ترتیبی یک عدد ترتیبی وجود دارد که بزرگتر از تمامی اعداد ترتیبی حاضر در مجموعه است. اما هر عدد ترتیبی که بزرگتر از «مجموعهی اعداد ترتیبی» باشد نمی تواند عضو آن مجموعه باشد (چون بزرگتر است). در صورتی که - چنان که می توان اثبات کرد - این عدد باید عضوی از آن مجموعه باشد. چون در غیر این صورت مجموعه ای به نام مجموعه ی اعداد ترتیبی نخواهیم داشت.بدین ترتیب درافتادن با تضادهای ریاضی - منطقی و زبان شناختی (معنایی و دستوری) بحرانی بر سر بنیادهای ریاضیات به وجود آورده بود. برای اولین بار در تاریخ ریاضیات مسئلهی نامتناقض بودن یک نظریه ی ریاضی مطرح شده بود. تلاش های بسیاری برای حل این مسئله به روش های مختلف صورت گرفت. سرانجام سه تفسیر استاندارد اما متفاوت گسترش یافت که این تفاسیر - که در عین حال در آن زمان سه مکتب بودند- اگرچه هر کدام چهارچوب خاص منطقی خود را داشتند اما با یکدیگر متناقض بودند. این سه مکتب عبارت بودند از: منطق گرایی (فرگه، راسل وایتهد)، شهودگرایی (براور) و صورت گرایی (هیلبرت). امانه منطق گرایان که ریاضیات را از منطق بر می گرفتند و نه شهودگرایان (ساختارگرایان) که می خواستند ریاضیات را به وسیلهی شهود اصول یقینی آن منطقی کنند و نه صورت گرایان که منطق و ریاضیات را شامل قواعدی می دانستند که از اصل موضوع های حساب برگرفته شده اند و فاقد معنی هستند، هیچ کدام مورد پذیرش عموم قرار نگرفتند.
دومین اصل معروف ناتمامیت گودل در سال ۱۹۳۰ و در شرایط تاریخی ویژهای قرار گرفت. گودل ثابت کرد که کسی نمی تواند ثابت کند که سیستم‌ها در محدودهی خودشان عاری از تناقض اند و تنها در برخورد با سایر سیستم ها دچار تناقض میشوند، تا جایی که بگوییم آن سیستم ها عموما نامتناقض اند. در نتیجه بیشتر اصول موضوعهی سیستم های ریاضی نمی توانند ثابت کنند که خود عاری از تناقض اند. برای تفکر ریاضی ممکن نبود که توسط خود ایستایی و برهانهای برساختی عاری از تناقض، روشی به کار گیرد که برای عموم قانع کننده باشد. لطیفهای که در میان ریاضیدانان رایج شده این است که به گفته آندره ویل: خدا وجود دارد چرا که ریاضیات عاری از تناقض است و شیطان وجود دارد چون این عدم تناقض را نمی توان اثبات کرد.
منبع: علم و دین، هانس کوک، ترجمه رضا یعقوبی، چاپ اول، نشر تمدن علمی، تهران 1395
