مقدمه ایی بر منطق فازی

1.مقدمه

منطق فازی برای اولین بار در سال 1965 توسط لطفی زاده، پروفسور علوم کامپیوتر دانشگاه برکلی کالیفرنیا معرفی شد. در اصل، منطق فازی(FL) یک منطق چند مقداره است واین امکان را فراهم می کند که مقادیر واسطه بین ارزیابی های قراردادی مانند درست/غلط، بله/ خیر، زیاد/کم و غیره قرار گیرند. اصطلاحاتی چون نسبتا بلند یا خیلی سریع می توانند به صورت ریاضیاتی فرمول بندی شوند و برای اینکه یک روش تفکر انسانی در برنامه ریزی کامپیوترها استفاده شود، توسط کامپیوتر ها پردازش می شوند. سیستم های فازی نمونه ای از عضویت مجموعه و منطق هستند که ریشه در فلسفه یونان باستان دارند. دقت ریاضیاتی مربوط به موفقیت ان در بخش اعظمی از تلاشهای آریستوتول و فلاسفه ایی است که قبلا می زیسته اند. در تلاش برای ثبت تئوری مختصر در منطق و ریاضی، آنها "قوانین تفکر" را مطرح کردند.یکی از این قوانین، " قانون اشتراک استثنایی" است که می گوید خر گزاره یا درست است یا نادرست. حتی وقتی پارمیندز اولین نسخه از این قانون را معرفی کرد( حدود 400 سال قبل از میلاد) مورد اعتراضات جدی قرار گرفت. هراکلیتوس پیشنهاد کرده که هر چیز می تواد همزمان یا درست باشد یا نادرست. پلاتو اساس کارش را بر منطق فازی گذاشته و گفته به جز درست و غلط جزء سومی هم وجود دارد.دیگر فلاسفه هم از این دیدگاه تبعیت کرد اند از جمله هگل، مارکس و انگلس. لوکاسیویکز کسی بود که برای اولین بار روش سیستماتیکی را ارائه کرد که نمونه ایی از منطق دو مقداره آریستوتل است. حتی در زمان حال، برخی یونانیان در جریان فازی سازی پیش قدم هستند. (توجه: ارتباط با منطق در طی 2 هزار سال قبل از بین رفته بود). منطق فازی یک ابزار سودمندبرای کنترل و راهنمایی سیستم ها و فرآیندهای صنعتی پیچیده است و در زمینه های وسایل برقی خانگی ،ابزارهای تفریحی ، سیستم های تخصصی و همچنین طبقه بندی اطلاعات SAR کاربرد دارد.

2. مجموعه های فازی و مجموعه های قطعی (کریسپ):

یکی از نمونه های اصلی سیستم های فازی، مجموعه ( زیر مجموعه) فازی است. در ریاضیات کلاسیک، ما با مجموعه های قطعی آشنا هستیم. مثلا در مجموعه X تداخل سنجی احتمالی مقادیر g ، کل اعداد واقعی بین 0 و 1 را در بر می گیرد. از مجموعه X می توان زیر مجموعه A را تعریف کرد( مثلا کل مقادبر 0≤g≤0.2). مشخصه تابع A ( مثلا این تابع بسته به اینکه آیا جزء در زیر مجموعه A قرار دارد یا نه،عدد 1 یا 0 را به هر جزء در X اختصاص می دهد) در شکل 1 نشان داده شده است. عناصری که عدد 1 به آنها اختصاص داده شده آنهایی هستند که در مجموعه A قرار دارند و عناصری که عدد صفر به آنها اختصاص داده شده در مجموعه A قرار نمی گیرند.

شکل 1: مشخصات تابع در یک مجموعه قطعی

این نظریه کاربرد های زیادی دارد ولی در برخی زمینه ها از جمله طبقه بندی آنالیز اطلاعات دریافتی از راه دور فاقد انعطاف پذیری هستند. مثلا، در تصاویر SAR می بینیم که آب دارای ارتباط تداخل سنجی کم g است. چون g از صفر شروع می شود، باید حد پایین این مجموعه مشخص باشد. از طرف دیگر حد بالاتر به راحتی قابل تشخیص نیست. در ابتدا ما حد بالاتر را0.2 در نظر می گیریم.بنابراین B به عنوان فاصله قطعی B=[0,0.2] بدست می آید. این به آن معناست که g به مقدار 0.2 کم است ولی اگر این مقدار 0.21 باشد مقدار کمی محسوب نمی شود. مشخص است این یک مسئله ساختاری است زیرا اگر ما از مرز بالایی g= 0.2 به سوی یک نقطه اختیاری پیش برویم، می توانیم سوال مشابهی را مطرح کنیم. یک روش طبیعی تر برای ایجاد مجموعه B، تمایز مرز "کم است" و "کم نیست" می باشد. این کار نه تنها می تواند با ایجاد تصمیم گیری قطعی بله/ خیر انجام شود بلکه می تواند از طریق قوانین انعطاف پذیری چون " نسبتا کم" امکان پذیر باشد. مجموعه فازی به ما امکان می دهد تا این نظریه را تعریف کنیم. هدف از آن استفاده از مجموعه های فازی ، ساخت کامپیوترهای هوشمند است. بنا براین نظریه فوق را می توان به صورت رسمی تر کد بندی کرد. در مثال، کل عناصر با 0 و 1 کد بندی شده اند. یک روش دقیق برای تعمیم این موضوع این است که مقادیر بیشتری را بین 0 و 1 در نظر بگیریم. در حقیقت، بسیاری از جایگزین ها می توانند بین مرزهای 0 و 1 قرار گیرند یعنی فاصله واحد برابر با I= [0,1] است. تفسیر اعدادی که به کل عناصر اختصاص داده شده است بسیار مشکل می باشد. البته اختصاص عدد 1 به یک عنصر به این معناست که عنصر در مجموعه B قرار گرفته و اختصاص عدد 0 به این معناست که عنصر قطعا در مجموعه B قرار ندارد. این نتیجه در شکل 2 آمده است. تابع عضویت یک نمودار گرافیکی از میزان مشارکت هر ورودی است که با زیاد شدن مقدار توسط هر کدام از ورودی هایی که پردازش شده اند ارتباط دارد. همچنین هم پوشانی میان ورودی ها تعریف شده است و در نهایت پاسخ خروجی تعیین می شود. قوانین از مقادیر عضویت ورودی به عنوان فاکتورهای افزایشی برای تعیین تاثیر آنها بر مجموعه های خروجی فازی استفاده می کنند تا خروجی نهایی بدست آید.
در اینجا، تابع عضویت که در مجموعه های فازی ارتباط تداخل سنجی g نقش دارد، مقداری بین 0.0 و 1.0 است. مثلا،ارتباط تداخل سنجی g به میزان 0.3 دارای عضویت 0.5 برای مجموعه ایی با کمترین ارتباط است.( شکل 2). خاطر نشان می شود که باید تفاوت میان منطق فازی و احتمالات در نظر گرفته شود. هر دو در دامنه عددی یکسان فعال هستند و دارای مقادیر مشابهی می باشند: 0,0 نشانگر اصطلاح غلط (یا غیر عضو) و 1.0 نشانگر اصطلاح درست ( یا عضویت کامل) می باشد. به هر حال تفاوتی بین این دو گزاره وجود دارد: روش احتمالات گزاره فرضیه زبان طبیعی را نشان می دهد" شانس اینکه g کم باشد، 50 درصد است" در حالی که دراصطلاح فازیگفته می شود" درجه عضویت g در مجموعه ارتباط تداخل سنجی 50/0است".تفاوت معنایی موجود در این عبارات مهم است: اولین دیدگاه می گوید که g یا کم است یا کم نیست. درست مثل اینکه ما فقط 50 درصد شانس داشته باشیم تا بدانیم در چه مجموعه ایی قرار دارد. در مقابل، اصطلاح فازی نشان می دهد که g "کم و بیش" کم است یا می تواند معادل عدد 50/0 در نظر گرفته شود.

شکل 2: تابع مشخصات یک مجموعه فازی

3. عملکردهای سیستم فازی

می توان عملکردهای اصلی مجموعه های فازی را معرفی کرد. همانند عملکردهای مجموعه های واقعی، ما می خواهیم به تقسیم، اصلاح و خنثی کردن (بی اثر کردن) مجموعه های فازی بپردازیم. لطفی زاده در اولین مقاله خود در مورد مجموعه های فازی حد اقل اپراتور را برای اصلاح و حد اکثر اپراتور را برای ترکیب دو مجموعه فازی پیشنهاد کرده است. نشان داده شده که این اپراتورها منطبق با یکی سازی واقعی هستند و اگر ما فقط میزان عضویت 0 و 1 در نظر بگیریم، تقسیم انجام می شود. مثلا اگر A یک فاصله فازی بین 5 و 8 و B هم عدد فازی در حدود 4 باشد، نتیجه به صورت شکل زیر نشان داده می شود:

شکل 3: نمونه ایی از مجموعه های فازی

در این حالت، مجموعه فازی بین 5 و AND 8 حدود 4 است که به اینصورت نشان داده می شود:

شکل 4: مثال: AND فازی

مجموعه بین 5 و OR 8 حدود 4 است که در شکل بعد آمده است.
NEGATION مجموعه فازی A در زیر نشان داده شده است.

4. طبقه بندی فازی

شکل 5. مثال: OR فازی

شکل 6: مثال: NEGATION فازی

یکی از موارد کاربردی تئوری فازی، طبقه بندی کننده های فازی هستند. در این جریان، دانش کارشناسی مورد استفاده قرار گرفته و می تواند با استفاده از متغیرهای زبانی به صورت طبیعی بیان شود که توسط مجموعه های فازی شرح داده می شوند.
حال دانش کارشناسی برای این متغیرها را می توان به صورت قوانین زیر فرمول بندی کرد.
اگر ترکیب ( کیفیت) A کم و ترکیب ( کیفیت)B، C ,و Dمتوسط باشند پس این گروه متعلق به طبقه 4 است.
این قانون را می توان در یک جدول نشان داد:

طبقه	ترکیب D	ترکیب C	ترکیب B	ترکیب A	R#
طبقه1	متوسط	متوسط	متوسط	کم	1:
طبقه 2	کم	متوسط	زیاد	متوسط	2:
طبقه 3	زیاد	متوسط	زیاد	کم	3:
طبقه 1	زیاد	متوسط	زیاد	کم	4:
طبقه	متوسط	متوسط	متوسط	متوسط	5:
...	...	...	...	...	…:
مجهول	کم	متوسط	زیاد	کم	N:

جدول 1: مثالی برای مبنای قانون فازی: قوانین به اینصورت خوانده می شوند ( قانون شماره 1: اگر A کم باشد و H در حد متوسط، و αو A در حد متوسط باشند، پس پیکسل طبقه 1 است).
قوانین زبانی به شرح سیستم کنترل بر طبق دو بخش می پردازد: یکی بلوک مرجع( بین اگر و سپس) و دیگری بلوک تالی( منطقی) ( به دنبال پس). با توجه به در نظر گرفتن سیستم، لازم نیست به ارزیابی هرکدام از ترکیب های ورودی احتمالی بپردازیم چون برخی ممکن است به ندرت رخ دهند یا اصلا رخ ندهند. با انجام این ارزیابی که معمولا توسط اپراتور مجرب انجام می شود، قوانین کمتری را می توان ارزیابی کرد ساده ترشده و حتی عملکرد سیستم منطق فازی را بهبود می یابد.

شکل 7: مثال: متغیر های زبانی

یابدورودی ها با استفاده از اپراتور به صورت منطقی ترکیب شده و پاسخ خروجی را ارائه می کنند.. قدرت ترکیبی برای هر تابع عضویت خروجی محاسبه شده است. آن چه که باقی می ماند برای ترکیب این مجموع منطقی در فرآیند غیر فازی شدن استفاده می شود تا خروجی واقعی بدست آید. مثلا برای قانون، نتایج مربوط به هر گروه که تداخل حداقل- حداکثرو یکسانی نام دارند، بدست می آید که تابع مشخصات مورد نظر است. مثلا بر اساس داده های جفت ورودی زیر، شکل زیر بدست می آید:
H= 0.35 , آلفا=30

شکل 8: تداخل برای قانون "اگر H خیلی کم و کم باشد، پس در گروه 1 قرار می گیرد".

خروجی های فازی برای کل قوانین در یک مجموعه فازی قرار می گیرد. برای تصمیم گیری قطعی از این خروجی فازی، می توان مجموعه فازی را از حالت فازی خارج کرد .بنابراین، ما باید یک مقدار معرف را به عنوان خروجی نهایی انتخاب کنیم. چندین روش ( روش های غیر فازی سازی) وجود دارد. یکی از آنها به عنوان مثال گرفتن مرکز ثقل مجموعه فازی است که در شکل 7 نشان داده شده است که برای مجموعه های فازی کاربرد زیادی دارد.

شکل 9: دی فازی شدن با استفاده از روش مرکز ثقل

4.1: مثال: طبقه بندی اطلاعات قطب سنجی SAR
یکی از روشهای کاربرد منطق فازی برای طبقه بندی اطلاعات SAR استفاده از مبنای قانونی فازی برای ترکیب دانش تخصصی است. این قوانین با روشی توصیفی ارائه می شوند و در ارزیابی آنها می توان از روشهای استدلال محاسباتی استفاده کرد. در مقاله به چند منبع علمی که به این نکته پرداخته اشاره شده و شرح داده شده است.

تصمیم	α	H	λ
شهری		متوسط	بسیار بالا
شهری	متوسط/ زیاد	بسیار کم	بالا یا خیلی بالا
جنگل		بالا	بالا
جنگل گیاه گیاه	متوسط/ زیاد متوسط/ کم کم	بالا متوسط کم یا بسیار کم	متوسط متوسط متوسط
بستر رودخانه (گذرگاه)			(بسیار) کم

جدول 2: قوانین طبقه بندی

در ابتدا ما مجموعه " قوانین تخصصی" را که در طبقه بندی تصویر استفاده می شود تثبیت می کنیم. مثلا خط سوم به اینصورت خوانده می شود: اگر λ زیاد و H زیاد باشد پس پیکسل جزء گروه جنگل قرار می گیرد. هر اصطلاح که در آن قانون " λ زیاد است" متغیر زبانی نامیده می شود، دارای ماهیتی مبهم است. بر اساس نظریه زاده، می توان آنها را با مجموعه های فازی شرح داد. مجموعه فازی A توسط تابع عضویت Aμ از Xi (مثلا مقادیر احتمالی متغیر –XH= [0,1] برای آنتروپی H، Xα= [0,90] برای زاویه α) برای فاصله مورد نظر [1و0] تعریف می شود. ما A(x)μ را به عنوان درجه عضویت x در A تفسیر می کنیم. متغیر های زبانی و معرف آنها به عنوان مجموعه های فازی در شکل 10 نشان داده شده است. برای آنتروپی و پارامترهای زاویه α می توان اطلاعات مجموعه های فازی را به صورت مستقل تعریف کرد. معمولا نمی توان برای اولین مقدار ویژه و بر اساس اطلاعات این تعریف را داشت. بنابراین این مجموعه های فازی برای متغیر های زبانی به صورت متقابل تعریف شده اند. در پایان برای دیدن اولین مقدار ویژه، لگاریتم آن استفاده شده و در فاصله خاکستری رنگ [0,255] درجه بندی می شود.در این فاصله 6 مقدار اتفاقی (خاکستری) انتخاب شده است( مثلا از بسیار کم (آب یا هر سطح بسیار نرم) تا بسیار زیاد( انعکاس های حاصل از ساختمان)

انتخاب شده اند. این مقادیر تعیین کننده شکل تابع عضویت (شکل 10) می باشند. برای تسهیل محاسباتی در کل موارد، بخشهای مثلثی یا ذوزنقه ایی انتخاب شدند.

شکل 10: متغیر های زبانی و نمایش آنها به صورت مجموعه های فازی

حال به دنبال قوانین بدست آمده در جدول2 و با کمک نتایج ارائه شده توسط ممدانی، الگوریتم بدست آمده برای گروه پیکسل نشان داده می شود.
برای پیکسل تصویر، ورودی سیستم دارای سه مقدار است (,H,αλ ). در اولین مرحله، این سه مقدار فازی شده اند مثلا برای هر متغیر زبانی، درجه (میزان) بر اساسی تعیین می شود که (,H,αλ ) آن را کامل می کند. این کار با ارزیابی مقادیر توابع عضویت انجام می شود. مثلا برای سه مقدار100, 0.5, 30]] = [(,H,αλ ).]، درجه "λ متوسط" به صورت medium-λ= 0.74 μ می باشد. درجه (میزان) اصول قبلی را می توان با حداقل در نظر گرفتن کل درجات موجود محاسبه کرد. همچنین این درجه چیزی است که قانون در آن کامل شده است. مثلا درجه (میزان) نتیجه. به عنوان مثال سه مقدار (100, 0.5, 30) می تواند قانون سوم را با درجه degree(rule3)=min{μhigh –λ(100), μhigh- entropy(0.5)}= min{0.74, 1}=0.74 کامل کند.پس درجه گروه :جنگل" با در نظر گرفتن حد اکثر در کل قوانینی که به شرح این گروه می پردازد، محاسبه می گردد مثلا degrre(forest)= max {degree (rule3), degree (rule 6)}.. پس ممکن است پیکسل متعلق به چندین گروه با درجات مختلف باشد. این حقیقتی است که نشان می دهد مسئله در یک رزولوشن بیش از یک گروه را شامل می شود. برای رسیدن به طبقه بندی قطعی از طبقه بندی فازی، خروجی فازی سیستم باید از حالت فازی خارج شود. مثلا این کار می تواند با انتقال گروه با حداکثر درجه به پیکسل انجام شود. به هر حال، با این کار، آخرین مرحله اطلاعات از بین می رود. مثلا پیکسلی که متعلق به گروه " جنگل" است با درجه 8/0 و آنکه متعلق به گروه "شهر" است با درجه 9/0 به گروه " شهر" اختصاص داده می شوند. وجود اطلاعات اضافی یکی از محاسن سیستم فازی نسبت به سیستم های طبقه بندی قطعی است. مثلا در زمینه بعدی بر اساس فیلترسازی ، این اطلاعات در صورتی قابل ارزیابی هستند که یک پیکسل متعلق به گروه A توسط پیکسل های متعلق به گروه B باشد و میزان عضویت برای گروه B پیکسل مورد نظر زیاد باشد.

شکل 11: متغیر های زبانی و نمایش آنها به عنوان مجموعه های فازی

6. نتیجه گیری

منطق فازی می تواند روش متفاوتی برای کنترل یا طبقه بندی مسئله ارائه کند. این روش به جای اینکه سعی داشته باشد بفهمد سیستم چگونه کار می کند،بیشترتکیه بر چیزی دارد که سیستم باید انجام دهد حتی اگر مدلسازی ریاضیاتی سیستم امکان پذیر باشد، فرد باید بیشتر بر حل مسئله توجه داشته باشد. از طرف دیگر، روش فازی نیاز به دانش تخصصی کافی برای فرمول بندی قانون، ترکیب مجموعه ها و خارج کردن از حالت فازی دارد. عموما، برای مراحل بسیار پیچیده در زمانی که مدل ریاضیاتی ساده ( مانند تبدیل مسائل) برای مراحل غیرخطی یا در زمانی که فرآیند دانش تخصصی ( به صورت زبانی فرمول بندی شده) استفاده می شود، کاربرد منطق فازی می تواند مفید باشد.بر طبق مقالات ارائه شده، اگر روشهای قدیمی نتایج رضایت بخشی را به همراه دارد، اگر مدل ریاضیاتی کافی و قابل حل وجود داشته باشد و یا اگر مسئله غیر قابل حل است، کاربرد منطق فازی قابل توصیه نمی شود.
منابع :
[1] L.A. Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control, 1965
[2] L.A. Zadeh, Outline of A New Approach to the Analysis of of Complex Systems and Decision Processes, 1973
[3] L.A. Zadeh, ”Fuzzy algorithms,” Info. & Ctl., Vol. 12, 1968, pp. 94-102.
[4] L.A. Zadeh, ”Making computers think like people,” IEEE. Spectrum, 8/1984, pp. 26-32.
[5] S. Korner, ”Laws of thought,” Encyclopedia of Philosophy, Vol. 4, MacMillan, NY: 1967, pp.414-417.
[6] C. Lejewski, ”Jan Lukasiewicz,” Encyclopedia of Philosophy, Vol. 5, MacMillan, NY: 1967, pp.104-107.
[7] A. Reigber, ”My life with Kostas”, unpublished report, Neverending Story Press , 1999
[8] J.F. Baldwin, ”Fuzzy logic and fuzzy reasoning,” in Fuzzy Reasoning and Its Applications, E.H.Mamdani and B.R. Gaines (eds.), London: Academic Press, 1981.
[9] W. Bandler and L.J. Kohout, ”Semantics of implication operators and fuzzy relational products,”
in Fuzzy Reasoning and Its Applications, E.H. Mamdani and B.R. Gaines (eds.), London: Aca-
demic Press, 1981.
[10] M. Eschbach and J. Cunnyngham, ”The logic of fuzzy Bayesian influence,” paper presented at the International Fuzzy Systems Association Symposium of Fuzzy information Processing in Artificial Intelligence and Operational Research, Cambridge, England: 1984.
[11] F. Esragh and E.H. Mamdani, ”A general approach to linguistic approximation,” in Fuzzy Rea-soning and Its Applications, E.H. Mamdani and B.R. Gaines (eds.), London: Academic Press,1981.
[12] J. Fox, ”Towards a reconciliation of fuzzy logic and standard logic,” Int. Jrnl. of Man-Mach.Stud., Vol. 15, 1981, pp. 213-220.
[13] S. Haack, ”Do we need fuzzy logic?” Int. Jrnl. of Man-Mach. Stud., Vol. 11, 1979, pp.437-445.
[14] T. Radecki, ”An evaluation of the fuzzy set theory approach to information retrieval,” in R.
Trappl, N.V. Findler, and W. Horn, Progress in Cybernetics and System Research, Vol. 11:
Proceedings of a Symposium Organized by the Austrian Society for Cybernetic Studies, Hemi-
sphere Publ. Co., NY: 1982.
[15] R. Kruse, J. Gebhardt, F. Klawon, ”Foundations of Fuzzy Systems”, Wiley, Chichester 1994
[16] Zimmermann H.J., Fuzzy Sets, Decision Making and Expert Systems , Boston, Kluwer 1987
[16] M. Hellmann, ”Classification of fully polarimetric SAR for Cartographic Applications”, DLR Forschungsbericht FB–2000–19 , PhD thesis, DLR, Oberpfaffenhofen, Germany, 2000
/ع