ریاضیات، گذشته، حال، و آینده

کتاب اصول که توسط اقلیدس در بیش از بیست و سه قرن قبل تأ‌لیف شد چنان به زیبایی و استواری تحریر شده است که در همه‌ی اعصار مایه‌ی‌اعجاب ریاضی‌دانان بوده است. اقلیدس هم‌چنین، استنتاج را به استواری در ریاضیات نهادینه کرد، چیزی که زبان دانش امروز ماست. اما به نظر می‌سد که رخنه‌هایی در این کاخ استوار منطق، در حال ظهور است. موضوع، برون داده‌های کامپیوتری است. کامپیوتر به سرعت به محاسبه‌ی میلیاردها محاسبه‌ی پیچیده می‌پردازد و روش پژوهشی جدیدی در ریاضیات به نام ریاضیات تجربی را به وجود آورده است. ریاضیات تجربی دیگر سعی نمی‌کند گام به گام، اثبات قضایا را استنتاج کند بلکه از راه استقراء به حل مسائل می‌پردازد و این کاری است که غالبِ دیگر دانشمندان نیز انجام می‌دهند، با این تفاوت که این دیگر دانشمندان، آزمایش‌های خود را روی اجزای دنیای واقعی انجام می‌دهند در حالی که نسل جدید ریاضی دانان تجربی به دنبال الگوها در فضاهای انتزاعی که فقط در درون کامپیوتر وجود دارد می‌پردازند. اگر در گذشته اثبات یا رد مستدل قضیه‌ای در مقاله‌ای ریاضی لذت بخش می‌بود اکنون ممکن است در چنین مقاله‌هایی با تصاویر رنگی کامپیوتری‌ای رو به رو شویم از چیزی که مؤلف ادعای پیدا کردنش را دارد و به خاطر آن فریاد شادی می‌کشد. به نظر می‌رسد اثبات‌هایی منطقی از نوع اقلیدسی به عهده‌ی دیگران گذاشته شده است زیرا ریاضی دانان تجربی آن‌قدر سرشان را با آزمایش گرم کرده‌اند که فرصت انتزاع ندارند.
برای بسیاری از دانش‌آموزانِ مدرسه‌ای، درس ریاضی مشکل جلوه‌گر می‌شود زیرا واقعاً نمی‌دانند یک ریاضی‌دان چه می‌کند و به چه می‌اندیشد. در مدارس، عمدتاً یک سری روش‌های کلیشه‌ای ریاضی تدریس می‌شود که تنها به درد حل مسائل کلیشه‌ای ریاضی می‌خورد، مثلاً برای یافتن ارتفاع صعود توپی که با نیرویی معین به بالا پرتاب شده است یا انجام محاسباتی در آمار و احتمال.

می‌توان گفت که ریاضیات به طور اصولی از روش اقلیدس پیروی می‌کند. روش اقلیدس روشی مبتنی بر اصول موضوعی و استنتاج یا حل قضیه است. اصولی مثل این که از یک نقطه خارج از یک خط مستقیم در صفحه یک و تنها یک خط به موازات خطی مفروض می‌توان رسم کرد یا کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه خطی مستقیم است اصولی موضوعی است، و قضایایی مثل مجموع زوایا در یک مثلث صد و هشتاد درجه است گام به گام طی فرایندی منطقی به نام اثبات از اصول موضوعی استنتاج می‌شود. به خاطر همین که ریاضیات عمدتاً بر روش منطقی اقلیدسی مشی می‌کرد بر خلاف دیگر علوم در قرن بیستم هم‌چنان یک‌دست و بدون انشقاق باقی ماند. حتی هنگامی که ریاضی‌دانان تعمداً اصول موضوعی را تغییر می‌دانند و بر مبنای آن‌ها هندسه‌های نااقلیدسی را توسعه می‌دادند این کار آن‌ها هم‌چنان در چارچوب منطق حاکم بر ریاضیات و مشی اقلیدسیِ استنتاج بود. درخشان‌ترین پژوهش‌های ریاضی در نتیجه‌ی وحدت رشته‌های تخصصی ریاضی در همین چارچوب پدید آمد. مثلاً از ترکیب حساب دیفرانسیل و انتگرال با توپولوژی، که نوعی از هندسه است که در آن می‌توان شکل‌ها را کش داد یا خم نمود یا فشرده ساخت اما نمی‌توان آن‌ها را برید، یکی از معروف‌ترین نظریه‌های فیزیک‌دان‌ها در دهه‌ی هزار و نهصد و هشتاد میلادی به نام نظریه‌ی اَبَرریسمان‌ها به دست آمد. آن چه به نظر می‌آید می‌توان آن را تفرقه‌ای در ریاضیات نام داد ظهور ریاضیات تجربی است. این تفرقه از نوع تفرقه‌ای است که قبلاً دیگر علوم دچار آن شده‌اند، مثلاً پدید آمدن فیزیک مدرن انشقاق عظیمی را در فیزیک کلاسیک نیوتونی پدید آورد که حداقل نتیجه‌ی آن تمایل فیزیک‌دان‌ها به قانون‌سازی‌های جدید به جای سعی در تطبیق با قوانین موجود کلاسیکی است.
در واقع آن‌چه همواره دنیای ریاضی‌دانان را متمایز می‌کرده است قدرت انتزاع آن‌ها و فرو رفتنشان در دنیای زیبای افکار منطقی و دیدن و حل مسائلی که دیگران قادر به درک آن‌ها نبودند بوده است. گاه روزها به تفکر در باره‌ی نحوه‌ی اثبات قضیه‌ای می‌پرداختند در حالی که تنها کاغذ و قلمی در اختیار داشتند. ذهن آن‌ها دنیای ناشناخته‌های مجرد را می‌کاوید. اما حال ریاضی‌دانانی یافت می‌شوند که زمانی بیش از نوجوانانِ علاقه‌مند به بازی‌های کامپیوتری پشت کامپیوترشان می‌نشینند. برخی از ایشان برای خود نام ریاضی‌دان تجربی را برگزیده‌اند و نمی‌توانند چندان با هم‌کاران سنتی‌شان کنار آیند. در دانشگاه‌ها بخش‌هایی تحت عنوان ریاضیات تجربی تأسیس شده است و مجله‌هایی در این باره منتشر می‌شود. می‌توان گفت در ابتدا مرسوم چنین بود که بنا بر روشی که کارل گوس بنیان‌گذار آن بود ریاضی‌دانی که قصد آزمایش داشت به انجام محاسبات روی کاغذ می‌پرداخت و انواع حالت‌های خاص قضیه‌ای را که فکر می‌کرد درست باشد می‌آزمود. سپس هنگامی که تعداد موارد محاسبه شده به حدی می‌رسید که ریاضی‌دان متقاعد می‌شد قضیه درست است سعی می‌کرد آن را اثبات کند و در صورت عدم توفیق آن را به عنوان مسأله‌ای حل نشده اعلام می‌کرد. یادداشت‌های خصوصی گوس مملو از تعداد بسیار زیادی از این گونه محاسبات است. می‌توان گفت چنین آزمایش‌هایی به اندازه‌ی خود ریاضیات قدمت دارند. صدها سال قبل از آن که قضیه‌ی فیثاغورث در مورد مثلث‌های قائم‌الزاویه توسط فیثاغوث اثبات شود این قضیه به طور تجربی توسط بابلی‌ها کشف شده و مورد استفاده قرار گرفته بود. همین موضوع دست‌آویز تجربه‌گرایان ریاضی است. آنها در پی کشف قضایای جدید ریاضی به طور تجربی هستند بدون این که نگران اثبات آن‌ها باشند یا وقت خود را بر روی سعی در اثبات آن‌ها بگذارند.
ریاضی‌دانان تجربی برآنند که روش تجربی هم‌چنان‌که با ارائه‌ی مثالی در مورد قضیه‌ی فبثاغورث در بالا بیان شد درواقع اساس پیش‌رفت ریاضیات بوده است اما مدت‌ها حال و هوایی که ریاضی‌دانان در آن کار می‌کنند باعث شده بوده است که روش تجربی را دست کم بگیرند و بعضاً پیش گرفتن روش‌های تجربی در ریاضیات دون شأن ریاضیات انگاشته می‌شد. ریاضی دانی تعریف می‌کند مقاله‌ای یک صد و چهل صفحه‌ای نوشت و به خاطر آن جایزه‌ای را نصیب خود کرد، در حالی که مقاله نتیجه‌ی دو سال آزمایش کامپیوتری و انجام محاسباتی بی‌شمار بود در حالی که تنها نیم صفحه از این مقاله به این محاسبات و آزمایش‌ها اختصاص یافته بود و بقیه همه نظریه‌پردازی بود. او می‌گوید تمام جهت‌گیری این پژوهشش و این که در هر مرحله‌ای چه‌کار انجام دهد و چه چیزی را امتحان کند به طور تجربی تعیین شد، در حالی که گزارش این کارهای تجربیش در ده‌ها صفحه مقاله‌اش تنها نیم صفحه به خود اختصاص داد. این به وضوح نمایان‌گر دید و تمایل غیر تجربی ریاضی‌‌دانان است که ریاضی‌دانان تجربی را در ارائه‌ی کارهای خود چنین بی‌جرأت می‌سازد. به عقیده‌ی تجربه‌گرایان در دنیای ریاضی، لازم است آزمایش و آزمایش‌گرایی در ریاضیات از روطه‌ی فراموشی به در آید.
اما تفاوت است بین تجربه‌گرایی ریاضی امروز و دوران قدیم. قاعدتاً برای آن که بابلی‌ها قضیه‌ی فیثاغورث را به طور تجربی کشف کنند لازم بوده‌ است که مثلث‌های قائم ازاویه‌ی مختلفی ترسیم می‌کردند (شاید روی شن) و روی هر سه ضلع هر کدام مربع ترسیم می‌کردند به گونه‌ای که آن ضلع، ضلع مربع نیز باشد. آن‌گاه با برش‌های مناسبی که به مربع‌ها می‌دادند و قیاس‌هایی که بین مساحت‌های مربع‌ها انجام می‌دادند درمی‌یافتند که همواره مساحت مربع وتر برابر مجموع مساحت‌های مربع‌های دو ضلع دیگر است. این تجربه به نظر چندان مشکل نمی‌آید. اما ریاضیات تجربی امروز بسیار پیچیده‌تر از آن است که بدون استفاده از کامپیوتر شدنی باشد. افزایش قدرت محاسبه‌ی کامپیوترها انجام محاسباتی که از لحاظ کمی و کیفی بسیار بسیار عظیم هستند را در زمان کوتاهی ممکن می‌سازد. چند سال قبل راه حلی از طریق همین محاسبات عظیم کامپیوتری برای یک مسأله‌ی قدیمی حل نشده‌ی ریاضی به نام مسأله‌ی چهار رنگ ارائه شد و خوش‌حالی بزرگی را در جهان ریاضیات برانگیخت در حالی که ادعا می‌شد بدون کمک کامپیوتر و رسم این همه گراف در حالت‌های مختلف، این مسأله امکان حل نداشت. (مسأله‌ی چهار رنگ در واقع درخواست اثباتی بر این قضیه است که نقشه‌ی مناطق هم‌جوار بر روی یک سطح تخت هر چقدر هم که پیچیده باشد به بیش از چهار رنگ مختلف برای متمایز کردن مناطق از یک‌دیگر نیاز ندارد.) هم‌چنین تنها با استفاده از کامپیوتر بود که رسم تصویری از پدیده‌ی آشوب (chaos) ممکن گردید.
ریاضی‌دانان روز به روز گرایش شدیدتری به استفاده از کامپیوتر در تحقیقاتشان پیدا می‌کنند و بعضاً کامپیوتر جزء جدایی ناپذیری از زندگی شغلی آن‌ها می‌شود. برنامه‌های نرم افزاری فراوانی عرضه شده و می‌شود که محاسباتی که به طور معمول وقت زیادی از ریاضی‌دان می‌گرفتند را به سرعت انجام می‌دهند. چنین برنامه‌هایی زحمت حل معادلات متعدد را برطرف می‌کنند و بدین‌گونه جذابیت بخش‌هایی از ریاضیات که تا پیش از این دشوار و خسته کننده محسوب می‌شدند بیش‌تر می‌شود. به علاوه، دسته‌ای از برنامه‌های نرم‌افزاری به بازار می‌آیند که برای آزمایش در زمینه‌های ویژه‌ای طراحی شده‌اند. مثلاً برنامه‌ی مک کاولی از انستیتو تکنولوژی ماساچوست عملاً باعث احیای رشته‌ای از حساب به نام نظریه‌ی حلقه شده است، یا توسط برنامه‌ی کامپیوتری اکسیوم اثبات بعضی قضایا ممکن گردید.
به نظر ریاضی‌دانان تجربه‌گرا تهیه‌ی نرم‌افزارهای آزمایشی جدید ارزش گذاشتن وقت و صرف هزینه را دارند چون آزمایش‌هایی که با آن‌ها انجام می‌شود دید دانشمندان از چند و چون و فواید ریاضیات را گسترش می‌دهند. آزمایش‌های ریاضی همواره سرآغاز پژوهش‌های نوین بوده‌اند که بعضاً منجر به ارائه‌ی راه‌ها و روش‌های جدیدی برای مطالعه‌ی موضوعات قدیمی می‌شوند. به این ترتیب ریاضی‌دانان تجربی احساس می‌کنند که با پیش گرفتن تجربه، روح خلاق ریاضیات آزاد می‌شود اما ریاضی‌دانان محافظه‌کار یا محتاط نگران آنند که شاید برای چنین تغییری لازم باشد بهای گزافی پرداخت شود. آنها نگران از دست رفتن یک‌پارچگی و وحدت ریاضیاتند. به عقیده‌ی آن‌ها علت استحکام ریاضیات دقیقاً همین است که تنها از آنچه اثبات شدنی است تشکیل شده است. تجربه گرایان اما نمی‌توانند چشم بر روی وجود واقعیاتی که نمی‌توانند مستقیماً و فوراً اثبات کنند ببندند. ریاضی‌دانان سنتی می‌گویند در گذشته بسیاری از نظریاتی که بر مبنای حدس و گمان ارائه شدند اشتباه از کار درآمدند و احتمال دارد نظریاتی که منحصراً بر مبنای تجربه ارائه می‌شوند نبز چنین باشند.

اختلاف نظر موجود بین این دو گروه ریاضی‌دان به هیچ وجه جزئی و کم اهمیت نیست. ریاضی دانان کلاسیک از تجربه‌ی زیاد توأم با استدلال اندک نامطمئنند. همین امر باعث بروز اختلاف نظر شدیدی بین این دو گروه در باره‌ی اعتبار کارهای انجام شده در رابطه با برخال‌ها (یا فرَکتال‌ها) شده است. برخال‌ها را می‌توان بارزترین نمود ریاضیات تجربی دانست. برخال‌ها شکل‌های پرپیچ و خمی هستند که هر چه هم از نزدیک به آن‌ها نگاه شود باز به همان فرمِ نگاه دور، پرپیچ و خم به نظر می‌رسند. اصطلاحاً اَشکالی خودمتشابه هستند. مثلاً مثلثی متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید که با رسم میانه‌های آن چهار مثلث از آن به دست می‌آید. اگر با تکرار این عمل برای مثلث‌های سه گوشه (و نه مثلث میانی) فرایند تقسیم به چهار مثلث را تکرار کنیم و همین عمل را بی‌نهایت بار تکرار کنیم یک برخال به دست خواهیم آورد که هر مثلث گوشه‌ای در آن هر چقدر هم که کوچک باشد کاملاً شبیه مثلث اولیه (یا هر کدام از مثلث‌های گوشه‌ای بزرگ‌تر) است. به نظر می‌آید اَشکالی در طبیعت از نوع برخال باشند، مثلاً شکل بلورهای برف به نظر می‌رسد تا مراتب بسیاری هر بخش کوچک‌تر آن در نظر گرفته شود شبیه شکل بزرگ‌تر است. یا مرز بین اقیانوس و خشکی از فاصله‌های دور ماهواره‌ای دندانه‌ای است و هم‌چنان از فاصله‌ی نزدیکترِ نظاره از هواپیما نیز دارای دندانه‌های کوچک‌تری است و با نگاه از روی زمین نیز دارای دندانه‌های باز هم ریزتری است. درواقع در حدود نود سال پیش این اَشکال مورد توجه ریاضی‌دانان قرار گرفت و در دهه‌ی 1920 میلادی گاستون ژولیا، ریاضی‌دان فرانسوی، قضایایی را در مورد آن‌ها اثبات می‌کرد. اما تنها تقریباً اخیراً پس از گسترش استفاده از کامپیوتر، برخال‌ها شهرت زیادی یافتند. علت این فاصله‌ی نسبتاً طولانی فراموشی برخال‌ها پس از کشفشان این بود که آن‌ها را نمی‌توان با مداد مانند دیگر اَشکال بر کاغذ رسم کرد و نیاز به برنامه‌های کامپیوتری برای تشکیل آنهاست. به همین دلیل پی‌گیری آین موضوع برای بسیاری از ریاضی‌دان‌ها کسل کننده بود. در دهه‌ی 1960 میلادی بنوا مندلبرات از کامپیوتر برای رسم برخال‌ها استفاده کرد و به همین خاطر نام او بر مشهورترین مجموعه برخالی نهاده شد. به زودی همگان قادر بودند شکل‌های خیره کننده‌ای که زمانی تنها در ذهن ژولیا موجود بود را بر صفحه‌ی کامپیوتر مشاهده کنند. مشاهدات نشان می‌داد که رسم برخال بسیار ساده‌تر از اثبات قضیه‌ای در مورد آن بود.
همین امر سبب بروز مباحثات فراوانی بین دو گروه ریاضی‌دانان استدلال گرا و تجربه‌گرا گردید که هم‌چنان ادامه دارد. استدلال‌گرایان اعتقاد دارند که برخال‌ها که امروزه این‌قدر محبوبیت یافته‌اند، به طوری که تقریباً در یک سوم از مقالاتی منتشر شده توسط معتبرترین ژورنال فیزیکی دنیا، فیزیکال ریویو لترز، به آن‌ها اشاره می‌شود، تنها مُد روز هستند و اصالت چندانی ندارند. تصاویر زیبای فراوانی ارائه می‌شود اما قضایا اندکند. این موضوع از نظر آن‌ها ساده، پر زرق و برق، و تقریباً بی‌فایده است. برخی از ریاضی‌دانانِ این گروه نگرانیِ بیش‌تری دارند از این‌که معامله‌ی رها کردنِ استدلال به بهای گرفتن تجربه، پر ضرر است؛ شاید کار، الآن ساده به نظر رسد ولی مشکل بعدها که قرار است قضایای نامرتبی که به وجود آمده‌اند سروسامان بگیرند بروز می‌کند و چه بسا آن زمان معلوم شود سال‌ها اشتباهی، درست انگاشته می‌شده است، چیزی که در علوم دیگر به ویژه فیزیک موارد مشابه چندی دارد. گروه تجربه‌گرا اعتقاد دارند گرچه اثبات قضایا هم مهم است ولی ادامه‌ی تجربه و تحقیق در برخال‌ها باعث به تکاپو افتادن ذهن و تخیل می‌گردد. به عقیده‌ی آن‌ها مطالعه در این مبحث باعث شده است که شناخت ما از طبیعت عمیق‌تر شود و همین موضوع، صرف نظر از اعتبار دقیق مبحث، دارای اهمیت است.
چنان که مشاهده می‌شود این دو دیدگاه مربوط به ریاضی در دو جهت مخالف یک‌دیگر هستند، یکی درجه‌ی اول اهمیت را به اثبات‌ها و دیگری به شناخت‌های تجربی می‌دهد افراط در هر دو به ضرر آن‌هاست زیرا تجربه‌گراها ممکن است اشتباه را به اشتباه درست بپندارند (چنان که به زودی نمونه‌ای را در این زمینه در پاراگراف ذکر می‌کنیم) و اثبات‌گرایان ممکن است در تعقیبِ صرف اثبات و استدلال فرصت‌هایی برای توسعه و عمق بخشیدن به شناخت خود را از دست بدهند. به هر حال اما کدام درست‌تر است: اثبات یا شناخت؟ اقلیدس یا آزمایش؟ این مسأله‌ای ذاتی برای ریاضیات محسوب می‌شود. به نظر می‌رسد طرفداران اثبات و استدلال هم‌چنان پرتعدادترند. آن‌ها برای اثبات ارزش بیش‌تری قائلند. از نظر آن‌ها درست است که شناخت، مسأله‌ای اساسی است، اما چگونه می‌خواهید نشان دهید که به شناخت رسیده‌اید؟ چیزی که باعث خشم بسیاری از ریاضی‌دانان می‌شود این است که کسی یک سری آزمایش‌های کامپیوتری انجام دهد و بگوید حالا می‌فهمم موضوع از چه قرار بود، بدون این که سعی کند یافته‌ها و ادعای خود را ثابت کند. به این روش خیلی‌ها وسوسه می‌شوند چنین کنند و ریاضی را به همان انشقاق فیزیک دچار سازند.
اتفاقاً بحثی که بر سر خودِ مجموعه‌ی مندلبرات درگرفت حکایت از سنگینی کفه‌ی ترازو به نفع اثبات‌گرایان می‌کند. این بحث یکی از معدود ادعاهای ریاضی است که بالاخره خلاف آن به وضوح به اثبات رسید. پرسش این بود که آیا مجموعه مندلبرات آن‌چنان که فرض یا تصور تجربه‌گرایان بود مجموعه‌ای از جزیره‌های مجزا از هم است یا این که شکل به هم پیوسته و واحدی است. برای روشن شدن این مسأله به شکل برخالی زیر که یک مجموعه‌ی مندلبرات است توجه کنید.

اگر قرار نبود این یک برخال باشد دایره‌ی سمت چپ و شکل دل مانند سمت راست بر هم مماس بودند و یک شکل پیوسته را به وجود نمی‌آوردند. اما در حالت برخالی، کناره‌ها در محل تماس دارای اَشکال مشابه بی‌نهایت ریزی هستند که این پرسش را مطرح می‌کنند که آیا این زبری بی‌نهایت ریز در محل تماس می‌تواند باعث پیوستگی دو تکه شکل چپ و راست شود یا نه. تجربه‌گرایان که هم‌چنان به صدور ادعاهای بدون اثبات عادت کرده بودند سرسختانه مدعی بودند که هم‌چنان دو تکه شکل ناپیوسته‌اند، زیرا به نظر آن‌ها هر چه به صورت نزدیک و نزدیک‌تر به محل تماس نگاه کنیم، یا به عبارتی محل تماس را بزرگ و بزرگ‌تر به نمایش درآوریم، شاهد جدایی مرزها خواهیم بود. اما اثبات شد که عکس این مسأله درست است و مجموعه‌ی مندلبرات یک‌پارچه است. تصوری که آزمایش می‌پروراند اشتباه است. به این ترتیب مشاهده می‌کنیم که حتی در بطن ریاضیات نیز روش تجربی جدید می‌تواند منجر به نتیجه‌ای اشتباه گردد. ریاضی‌دانی که با انتشار مقاله‌اش یک‌پارچگی مجموعه‌ی مندلبرات را نشان داد خود از روش آزمایش ذهنی برای متقاعد شدن برای تلاش برای اثبات، که همان روش اقلیدسی است، می‌گوید. او پس از ساعت‌ها خیره شدن به تصاویری از مجموعه‌ی مندلبرات متقاعد شد که یک‌پارچه است. برای او تصاویر، عمدتاً نقش الهام دهنده به او را داشته‌اند. آن چیزی که باعث شد نتیجه بگیرد که این مجموعه یک‌پارچه است بیشتر آزمایشی ذهنی بود نه کامپیوتری. او با نگاه کردن به تصاویر، در این عقیده استوار شد که به طور موضعی یک‌پارچه است و سعی کرد وضعیتی که در حالت‌های خاص اتفاق می‌افتد، و به نظر می‌رسید در تضاد با توپولوژی باشد، را تجسم کند. آن چه در این مرحله به دست آورده بود اثبات مسأله نبود بلکه شناختی بود تا بداند چه چیزی را باید اثبات کند.
این که به یک‌باره برخلاف انتظار، یک‌پارچگی مجموعه‌ی مندلبرات اثبات شد نشان دهنده‌ی این است که چرا در بیش از صد سال اخیر، ریاضی‌دانان بر اثبات‌های دقیق و رسمی تأکید کرده‌اند. این که صرفاً بر اساس شهود ظاهری، مجموعه‌ی مندلبرات ناپیوسته فرض شود کار ساده‌ای است. اما حقیقت چیست؟ این روشِ تساهلِ منجر به خطا همیشه در علوم دیگر جاری بوده است، اما همان‌گونه که دریافت ریاضی‌دانان قرن نوزدهم نیز چنین بود اتخاذ چنین روشی در ریاضیات نوعی نقض غرض است و فاجعه‌بار.

ریاضی چموش

در قرن نوزدهم میلادی موجی در جهان ریاضیات افتاد که سعی آن بر یافتن تناقضاتی در ریاضیات و به ویژه در حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتون و لایپ نیتز بود. آن چه البته یافته شد تنها تناقضاتی ظاهری و غیر واقعی بود. اما همین تلاش‌ها منجر به کشف‌های جالبی شد، از جمله پئانو منحنی حیرت‌آوری را معرفی کرد که در تناقضی ظاهری با یک بعدی بودنِ خود، صفحه‌ی دو بعدی را پر می‌کرد. هم‌چنین منحنی‌های پیوسته‌ای معرفی شد که در هیچ نقطه‌ی خود مشتق‌پذیر نبودند (به عبارتی دارای زبری بی‌نهایت ریزی بودند، شاید چیزی مشابه با آن‌چه در مورد محل تماس دو تکه شکل در مجموعه‌ی مندلبرات در بالا گفتیم).
آن چه که به این تناقض‌گرایی‌هایِ غیر اصیل میدان جَوَلان می‌داد این بود که به نظر می‌رسید ریاضی‌دانان تنبل شده‌اند و به درستی از الگوی اقلیدس پیروی نمی‌کنند. کم‌تر سعی می‌کردند اثبات‌های خود را منحصراً از اصول موضوعه استنتاج کنند. فرضیاتی را می‌پذیرفتند و در اثبات قضایا دقت نمی‌کردند. تصور دقیقی از مفاهیم اولیه نداشتند و به راحتی به خود اجازه می‌دادند در مراحل مختلف اثبات، برداشت‌های متفاوتی از مفاهیم اولیه داشته باشند و همین امر آن‌ها را به تناقض می‌کشاند. بسیاری از قضایا را تنها با ارائه‌ی یک مثال و تعمیم آن به تمام موارد، به اصطلاح اثبات می‌کردند. در مقابل این بی‌بندوباری در ریاضیات چاره‌ای نبود جز تأکید بر ارائه‌ی استدلالی محکم برای اثبات آن چه که بر مبنای فرضیات ادعا می‌شود. اما ریاضی‌دانانی که به تفکر آزاد بر مبنای حدس‌هایشان عادت کرده بودند در مقابل این سخت‌گیری مقاومت می‌کردند. در نظر آن‌ها منطق تنها حکم بهداشت در ریاضیات را داشت که تنها بهتر است نظریات آنها بدان پیراسته شود و ادب اقتضا می‌کند که قبل از ارائه‌ی قضیه‌ای، آن را توسط منطق تمیز کنند.
وقتی بر سر دو راهی تساهل و سخت‌گیری، ریاضی‌دانان قرن نوزدهم بالاخره سخت‌گیری را انتخاب کردند در واقع به بازگشت ریاضیات به اصل خود رآی دادند. وضعیت قرن نوزدهم امروز در حال تکرار شدن است. موجی از ریاضیات تجربی به راه افتاده است که به استدلال بهای لازم را نمی‌دهد. اما ملاک‌های امروز مشابهتی با آن‌چه در قرن نوزدهم بود ندارد. این عمدتاً ریاضی‌دانان جوان امریکایی هستند که به عشق رهایی از قید و بندها در طلب ریاضیات آزاد بر ریاضیات تجربی پافشاری می‌کنند. آنان نمی‌خواهند خود را به اصول اقلیدسی مقید کنند. اما اگر به دقت به این موج بنگریم خواهیم دریافت که منشأ آن بیش از این که جنبه‌ای فرهنگی و اجتماعی داشته باشد پی‌آمدی ناشی از تحولی فنی است. کامپیوترها آن‌چنان قدرت گرفته‌اند که کار با آن‌ها برای ریاضی‌دانان به صورت امری ضروری درآمده است، و این امری بی‌سابقه است. ریاضیات عبارت است از تفکر. با تفکر به مسائل بغرنجی می‌رسیم که کامپیوتر در حل آن‌ها کمک شایانی به ما می‌کند. روال کمکی که کامپیوتر در حل مسائل می‌کند خود برانگیزنده‌ی مسائل و قضایای جدیدی است که حل آن‌ها نیاز به تفکر بیش‌تر و نیز استفاده‌ی بیش‌تر از کامپیوتر دارد. ریاضی‌دان تجربی می‌گوید نمی‌توان به خاطر آن که مسائل زیادند و فرصت و امکان حل اثباتی آن‌ها وجود ندارد صورت مسأله را پاک کرد. آزمایش کردن، خود روش دیگری برای دست و پنجه نرم کردن با مسائل ریاضی است که از روش‌های پذیرفته شده به وضوح متمایز است. به نظر می‌رسد در این عصر از ریاضیات این جوانترها هستند که مشغول یاد دادن چیزهایی به بزرگ‌ترها هستند.
تجربه‌گرایان در ریاضیات مایلند آزمایش‌های خوب به رسمیت شناخته شوند چه همراه با ارائه‌ی قضیه باشند چه نباشند. آن‌ها می‌گویند این یک ضرورت است که این گرایش از اثبات به سوی شناخت به رسمیت شناخته شود، و برای باب شدن این موضوع لازم است دانشنامه‌های دکتری نه تنها برای نوشتنِ کارهای نظری که برای ارائه‌ی برنامه‌های کامپیوتری مفید در راستای تجربه در ریاضیات نیز اعطا شود.
ریاضی دانان آزاداندیش عصر ما این آموزش را به خود داده‌اند که با برنامه‌های کامپیوتری فکر کنند و از آن‌ها الگوی کار دریافت دارند و در این زمینه دست به خلاقیت بزنند. آزمایش، راهی برای پرهیز از سکون است زیرا اعتقاد به درستی قضیه‌ای را در ذهن جای می‌دهد و ذهن را برای یافتن راهی برای اثبات به تکاپو وامی‌دارد. اثبات قضیه وقتی ساده‌تر می‌شود که به درستی آن ایمان آورده باشی. این شاید جنبه‌ای دیگر از این ضرب المثل است که نیمی از راه حل مسأله فهمیدن صورت مسأله است، هرچند چون نیک بنگری درمی‌یابی درست فهمیدن صورت مسأله و تمام جزئیات مربوط به آن تمام راه حل مسأله است. اگر در حل مسأله‌ای تردید داشته باشید سعی در اثبات مسأله و بعد متوجه نادرستی مسأله شدن، یا به عبارتی انجام آزمون و خطا، به مقدار زیادی از سرعت کارها می‌کاهد.
ریاضی‌دانان تجربی قبول دارند که گاهی ممکن است مانند آن‌چه در مورد مجموعه‌ی مندلبرات گفته شد موقتاً معتقد به مطلب نادرستی شوند اما همین امر می‌تواند خود پیش درآمدی بر پیش‌رفت‌هایی جدید باشد. مثلاً ریاضی‌دانان قرن نوزدهم که تعمداً اصول موضوعه‌ی اقلیدس را تغییر دادند و هندسه‌های نااقلیدسی را کشف کردند در ابتدا به نیت این که ثابت کنند امکان ندارد دنیای نااقلیدسی وجود داشته باشد اقدام به این کار کردند. اما کاخ عظیمی که از هندسه‌های نااقلیدسی به وجود آمد خیلی به درد ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان خورد. یا سیستم اعداد مختلط که فرض‌های اولیه‌ی آن در مغایرت با حساب اعداد حقیقی است وسیله‌ی کمکی بسیار کارآمدی در ریاضیات و فیزیک پدید آورده است. پیش‌رفت، حتی اگر نامطمئن باشد بهتر از هیچ و سکون است. بسیاری از مردم با آزمایش کردن بیش‌تر ارضا می‌شوند. مطالب انتزاعی در ریاضیات بسیار است. این که بتوانیم به نحوی آن‌ها را با اعداد و ارقام ربط دهیم و در صفحه‌ی کامپیوتر به نمایش درآوریم تا حدی از انتزاعی بودن آن‌ها می‌کاهد و برای خیلی‌ها ارضا کننده است.
آزمایش، روالی همیشگی در ریاضیات بوده است. ریاضی‌دانان همواره مثال‌ها را بالا و پایین می‌کنند و راه حل‌های اولیه را سبک و سنگین می‌کنند و حالت‌های مختلف را می‌آزمایند. آن چه اکنون به صورت یک چالش به نظر می‌رسد ابداع روشی جدید نیست بلکه گسترده‌تر شدن همان روش آزمایشگری قدیمی است. این گستردگی، محافظه‌کاران را نگران کرده است که مبادا تا قبل از این که فرصت اثبات بیابند کنترل اوضاع از دست برود. شاید بتوان گفت که کل ریاضیات در حال تحمل تجربه‌ای سنگین از ریاضیات تجربی است.