انقلاب در ریاضیّات

بذر انقلاب ریاضیات، در واقع در دوره ی نوزایی ریاضیات افشانده شده بود. جر، که از کشورهای عربی (1) به اروپا راه یافته و پدیده ای به اندازه ی کافی عجیب و غریب و ناآشنا می نمود به شیوه ای یکسره بیانی آموخته می شد و به کار می رفت. رگیو مونتانوس (= یوهان مولر) (2)، فرانسوا ویت (= فرانسیسکو ویتا) (3) و ریاضیدانانی دیگر، این جبر بیانی را علامتی و نمادی و کارایی آن را بیشتر و بیشتر کردند. اینان، اکنون می دیدند که این دست پرورده شان در مقام پیش خدمتی کار آزموده به خدمت هندسه گماشته می شود. اندیشه ی به کار بردن جبر در هندسه از ابتکارهای پیر فرما و رنه دکارت (4)، و دستاورد منطقی آن، هندسه ی تحلیلی بود که «هندسه ی دکارتی» (5) هم نامیده می شود و در سال 1637، یعنی تنها دو سال پس از انتشار هندسه ی تقسیم ناپذیرهای کاوالیری، منتشر شد و تغییر اجباری شیوه ی برخورد با بی نهایت کوچک ها را به دنبال داشت.
برای پیوستن جبر و هندسه به یکدیگر، مختص های نقطه تعریف شدند و هنوز چندان زیاد به کار نرفته بودند که اهمیت کار دکارت (و فرما) را به شایستگی نمایان ساختند. مختص ها یش تر و در دوران باستان هم به کار رفته بودند؛ آپولونیوس در هندسه، [بطلمیوس (6) در جغرافیا و نجوم] و اورسم به گونه ای مقدماتی تر در «سنجش عرضی نمودارها» آن ها را به کار برده بودند. هدف دکارت همیاری جبر و هندسه بود و چنان می دید که با برآورده شدن این هدف، ریاضیات در این هر دو شاخه بهترین نمود را باید داشته باشد. اما پایان کار این همیاری آن شد که هندسه عمومیت خود را از دست داد. در مدت یک سده و نیم پس از آن، هندسه ی ناب (7) سایه نشین بود و پیشرفتی ناچیز داشت و در برابر، در همان مدت، آنالیز بی نهایت کوچک ها فرایند حسابیدن (8) (= به شیوه ی حساب عمل کردن) را گذراند و پیشرفتی تا مرز دگرگونی ای انقلابی داشت.
بازتاب بدون درنگ و نمایان این دگرگونی، انتشار کتاب حساب بینهایت ها (9) تألیف جان والیس (10) بود که به سال 1655، بیست سال پس از اثر کلاسیک کاوالیری، منتشر شد. در این اثر بسیار خواندنی، مؤلف با استدلالی برگرفته از هندسه ی تقسیم ناپذیرهای کاوالیری و با پردازش آن به شیوه ی عمل یکسره حسابی، راهکاری ویژه از خودش را به کار برده بود که سرانجام انتگرال را به دست می داد. برای نمونه، برای آن که ثابت شود والیس فاصله ی از منحنی نمودار را در نظر گرفت. این فاصله از محور طول ها را به فاصله هایی با هم برابر تقسیم کرد و نظیر نقطه های به دست آمده، نسبت توان های دوم عرض های نقطه های واقع بر منحنی را بر توان های دوم عرض های نقطه های واقع بر خط 
به دست آورد و عدد به دست آمده را با سنجید. آن گاه با تکرار عمل و هر بار افزودن یک فاصله به تعداد فاصله ها و همچنین گزینش یکای جدید برابر با فاصله ی جدید عرض ها، معلوم کرد که مقدار نسبت به تدریج به نزدیک تر می شود. بار یکم، همه ی فاصله، یعنی عرض های نظیر دو نقطه ی را برگزید و را به دست آورد. بار دوم، فاصله ی
را به دو پاره ی برابر تقسیم کرد و در ازای هر پاره را یکای جدید گرفت و را به دست آورد. بار سوم، با تقسیم فاصله به سه پاره ی برابر و گزیدن یکای جدید برابر با درازای هر پاره، مقدار نسبت با برابر شد و سرانجام، والیس با به کار بردن روش استقرا (11) به رابطه ی
رسید و نتیجه گرفت که هرگاه مقدار n از هر عدد بزرگی بزرگ تر شود، یعنی ، آن گاه مقدار کسر
برابر با صفر می شود و مقدار نسبت برابر با خواهد بود.
فرما روش استقرار را که والیس به کار برده بود از دیدگاه منطقی نارسا دانست؛ با این همه، والیس در عمل کردن به شیوه ی حسابی توجه داشت و عمل هایش گام به گام در مسیری درست انجام گرفته بود. خود فرما هم در همان مسیر انتگرال گیری پیش می رفت و در این کار از هر دو روش هندسه ی تحلیلی ( که نوآورده‌ی خودش بود) و شیوه ی عمل حسابی بهره می گرفت.
روشی که فرما برای انتگرال گیری به کار برد زیباترینِ روش هایی بود که تا آن زمان در این باره نموده شده بودند و در بین همه ی انتگرال هایی که تا پیش از سده ی نوزدهم به دست آمدند بیش از همه و خیلی زیاد به انتگرال مدرن ریمان (12) می مانست. به عنوان نمونه، او برای به دست آوردن مقدار منحنی نمودار را رسم کرد و عدد مثبت را برگزید، روی محور طول ها نقطه های به طول های را به دست آورد و عرض های این نقطه ها و دنباله ی مستطیل های مطابق با شکل 3 را نیز رسم کرد. آن گاه، با توجه به این که مجموع مساحت های مستطیل ها با مساحت زیر منحنی تفاوتی اندک دارد و می توان این تفاوت را با بزرگ تر گرفتن E<1 کم تر کرد، مجموع مساحت های مستطیل ها را برابر با مجموع جمله های یک تصاعد هندسی نامتناهی و با قدر نسبت کوچک تر از یک، برابر با مقدار زیر به دست آورد: اکنون اگر مقدار E به تدریج به یک نزدیک تر شود، مساحت هر یک از مستطیل ها به سمت صفر و مجموع مساحت های مستطیل ها به سمت مساحت زیر منحنی میل می کند و برابر خواهد شد با . فرما این استدلال را برای منحنی های با درجه ای بالاتر نیز به کار برد و نتیجه گرفت که به ازای عدد صحیح مثل n، مگر n=-1،

این کارِ فرما، اگرچه بدبختانه به موقع منتشر نشد، دبناله ی دو هزار ساله ی روش های انتگرال گیری را، که از ائودوکسوس آغاز شده بود، به نقطه ی اوج خود رسانید.
فرما بزرگ ترین ریاضیدان غیرحرفه ای شناخته می شود و فراتر از آن، نقشی مهم تر و همه سویه را در گسترش حسابان ایفا کرده است. بدون گزاف گویی، او آفریننده ی فرایندی است که امروزه آن را مشتق گیری می نامیم. در طول سال هایی که او و دکارت به آفرینش هندسه ی تحلیلی سرگرم بودند، فرما برای یافتن ماکسیمم و مینیمم (=بیشینه (13) و کمینه (14)) منحنی های چند جمله ای روشی بی همتا و شگفت آور را به دست آورد. به عنوان نمونه، اگر بنا بر نشانه گذاری های به شیوه ی دکارتی و گاه به شیوه ی ویت، چند جمله ای نمایان گر یک منحنی به صورت: داده شده باشد، در همسایگی (15) نقطه ای به طول x+E، چند جمله ای بالا به صورت زیر در می آید: در این جا، فرما چنین استدلال کرد: در نقطه ی ماکسیمم یا مینیمم، به شرط تغییر ناچیز مقدار E، مقدار عرض نقطه عملاً تغییری ناچیز دارد و از این رو، دو نقطه ی مجاور به نقطه ی ماکسیمم یا مینیمم دارای عرض های برابر با یکدیگرند. این برابری پس از نقل جمله ها به یک طرف و مرتب کردن آن ها چنین می شود: [اگر x طول نقطه ی ماکسیمم یا مینیمم باشد، دو نقطه ی مجاور آن که عرض های برابر داشته باشند به طول های x+E و x-E هستند و رابطه ی برابری عرض های آن ها را می توان به صورت
نوشت که پس از ساده کردن و نقل جمله ها به یک طرف و مرتب کردن نسبت به E به دست می آید اما چنان که خواهیم دید نتیجه ی مورد نظر برای هر دو رابطه یکسان است.]
از تقسیم دو طرف رابطه بر E و پس از آن E را برابر با صفر گرفتن ( در واقع E را به سمت صفر میل دادن و دو نقطه ی به طول های x-E و x+E را به نقطه ی به طول x کاملاً نزدیک کردن)، معادله ی

به دست می آید که ریشه های آن طول های نقطه های بحرانی [در این جا، نقطه های ماکسیمم و مینیمم] منحنی هستند. این شیوه ی عمل فرما در واقع همان شیوه ی امروزین است که مشتق تابع را به دست می آوریم و آن را برابر با صفر قرار می دهیم. به ویژه نموّ (16)
یا h را به کار می بریم در واقع همان E است که فرما آن را به جای مقداری ناچیز به کار برد. این نکته هم گوشزد می شود که فرما درباره ی این که چرا E را برابر با صفر گرفته توضیحی دقیق را به دست نداده است و تا مدت دو سده دنباله روهای او هم آن را نادیده گرفته اند. با این همه و به هر دلیل، همرأی با پیرسیمون لاپلاس، باید پذیرفت همچنان که ائودوکسوس پدید آورنده ی حساب انتگرال شناخته شده است، فرما هم پدید آورنده ی حساب دیفرانسیل به شمار می آید.
فرما که از قاعده های مشتق گیری و انتگرال گیری به خوبی آگاه بوده، آیا به رابطه ی بین آن دو مفهوم هم توجه داشته است؟ به نظر می رسد او به طور کامل می دانسته است که در مورد یکمی ضریب در نما ضرب و یک از نما کم می شود و در مورد دومی یک به نما افزوده و ضریب بر نمای جدید تقسیم می شود. اما شگفت آور است که نه او و نه همعصرانش: از جمله اوانجلیستا توریچلی، جیمز گریگوری (17) و ایزاک بارو (18)، آن معنی و مفهومی را که می بایست در این رابطه وارون و جالب توجه به آن می پرداختند به نظر نیاورده اند.
بارو، که یکی از معلمان ایزاک نیوتن بود، برای به دست آوردن ماکسیمم و مینیمم یک نمودار قاعده ای به دست داد که قاعده ی مماس ها (19) نامیده می شود و خیلی شبیه روش فرما است. در این قاعده هم عملکردهای متقابل ضریب ها و نماها مشهود است. به فرض این که منحنی ای به معادله ی

داده شده باشد، بارو نخست هر x را به x+e و هر y را به y+a تبدیل و معادله ی داده شده را از معادله ی به دست آمده کم کرد، آن گاه در معادله ی به دست آمده همه ی جمله هایی را که نسبت به a و e از درجه ی بالاتر از یک بودند کنار گذاشت و به رابطه ی

رسید. پس از آن و بنابراین معادله نسبت

را تشکیل داد و آن را برابر با شیب (20) مماس بر منحنی در نقطه ی (x,y) دانست. آنان که با حسابان آشنا هستند همسانی این نسبت و قاعده ی کنونی

را به سادگی در می یابند. بارو در خواندنی های نورشناخت (21) و هندسه (22)، که آن را به سال 1670 منتشر کرد، افزون بر قاعده ی مماس ها ( که به نظر می رسد آن را برای نیوتن هم شرح داده باشد)، قاعده هایی را نیز برای عکس عمل مشتق گیری (=به دست آوردن تابع اولیه) برای حل مسئله هایی که کوادراتور (23) (=مساحت یابی) نامیده می شدند به دست داده بود.
روش فرما برای به دست آوردن ماکسیمم و مینیمم و قاعده ی مماس های بارو، تنها ابزارها و فرمول هایی نبودند که در ارتباط با این زمینه ها پدید آمده و نموده شده بودند. رنه دوسلوز (24) و یوهان هود (25) از جمله ی کسانی بودند که برای یافتن مماس ها و به دست آوردن ماکسیمم و مینیمم چند جمله ای ها شیوه ی ور رفتن با ضریب ها و نماها را به کار برده بودند و در زمینه ی عکس عمل مشتق گیری و مسئله های مساحت یابی نیز کارهایی از توریچلی و گریگوری نموده شده بود. همه ی این روش های به دست آمده کاربردهایی هم در دانش های رایج آن زمان داشته اند. نمونه اش اصل فرما در فیزیک است مبنی بر این که در شکست نور مسیری با کوتاه ترین زمان پیموده می شود و نمونه ی دیگرش کارهای هویخنس (26) در دینامیک (27) و درباره ی حرکت است.
مفهوم شتاب (28) را اورسم دریافته بود، اما در سده ی هفدهم بود که به اهمیت نقش آن در دینامیک پی بردند. اگر ریاضیات کلاسیک یونانی در زبان و در بیانِ مفهوم ها، از پایه ایستا و تغییرناپذیر بود، در برابر، ریاضیاتِ «عصر نابغه ها» (29) پویایی روز افزون داشت و بیشتر در راستای تجزیه و تحلیل تغییرپذیرها پیش می رفت. جان نپیر (30) لگاریتم را بر پایه ی رابطه ی بین دو پاره خط با اندازه های متغیر تعریف کرد به گونه ای که تغییرهای یکی از آن ها افزایشی و به تصاعد حسابی و از دیگری کاهشی و به تصاعد هندسی بود. (31) نیکولاس کپرنیکوس (32) در بررسی هایی که در آن ها مفهوم هایی فراتر از مثلثات را به کار نبرد با بیان این نظریه که زمین و سیاره های دیگر با حرکت دایره ای یکنواخت به دور خورشید می گردند، بنیان علم نجوم را دگرگون ساخت و یوهان کپلر (33) با تکیه بر ریاضیات عالی و اثبات این که حرکت سیاره ها به دور خورشید غیریکنواخت و در مدارهای بیضوی انجام می گیرد نظریه ی کپرنیک را اصلاح و کامل کرد و نجوم جدید را پایه گذاری کرد. به طور کلی در پایان دهه ی شصت از سده ی هفدهم در بیان هر قاعده ی جدید لازم می آمد از مسئله هایی در زمینه های مساحت ها و نرخ تغییر آن ها، ماکسیمم و مینیمم و مماس ها بهره گیری شده باشد.
زمان مناسب فرا رسیده و همه چیز آماده شده بود تا ساختاری که آن را با نام حسابان می شناسیم بر پایه ی آنالیزِ بی نهایت کوچک ها پا بگیرد. در این باره دیگر به نوآوری تازه و ویژه ای نیاز نبود؛ همه ی راهکارهای فنی در دسترس بود. تنها خواستی که نیاز به برآوردنش احساس می شد جامع بودن قاعده بود.

پی نوشت ها :

1- زبان علمی در دوره ی درخشان تمدن اسلامی زبان عربی بوده است و دانشمندان و از جمله ریاضیدانان، که بیشترشان ایرانی بوده اند، رساله ها و کتاب های خود را به زبان عربی می نوشته اند. اروپایی ها هم که این کتاب ها را ترجمه کردند آن ها را پدید آمده در کشورهای عربی دانستند. نخستین کتاب جبر را محمد پسر موسی خوارزمی تألیف کرد و اروپایی ها هم با ترجمه ی این کتاب برای نخستین بار با علم جبر آشنا شدند. – م.
2- (Johann Muller=) . Regiomontanus
3- Francois Viete (=Franciscus Vieta).
4- Rene Descartes .
5- Cartesian Geometry.
6- Ptolemeus = Ptopemy.
7- Pure geometry.
8- arithmetization.
9- arithmetica infinitorum .
10- John Wallis.
11- induction .
12- Riemann.
13- .maxima
14- minima.
15- neighborhood.
16- increment.
17- James Gregory.
18- Isaac Barrow.
19- rule of tangents.
20- slope.
21- optics.
22. یکی از کارهای درخشان ایزاک بارو، انتشار سری کتاب هایی با عنوان خواندنی ها و هر کدام در یکی از زمینه های علمی بوده است. – م.
23- quadrature.
24-Rene de SIuse.
25- Johann Hudde.
26- Huygens.
27- dynamics.
28- acceleration.
29- Age of Genius.
30- John Napier.
31- هدف اصلی نپیر دستیابی به راهکاری بود که عمل ضرب را به عمل جمع تبدیل کند و به همین منظور، لازم دید در تعریف خود از لگاریتم تجدید نظر کند. امروزه با قبول تابع در مجموعه ی عدد های حقیقی، مقدار x را لگاریتم در پایه ی a ی مقدار y تعریف می کنند. – م.
32- Nicolaus Copernicus.
33- Johan Kepler.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..