آخرین ریاضیدان ایرانی

سپس درباره حجم جسم ها از روی وزن آن ها صحبت کرده که منجر به تنظیم جدول مخصوص از جسم های جامد و مایع شده است. به ویژه، روش اندازه گیری طاق ها و گنبدها را که به طور گسترده در معماری خاورزمین به کار می رود، بررسی کرده است. کتاب پنجم به جبر اختصاص دارد. کاشانی نتیجه هایی را که پیش از او درباره حل معادله های درجه سوم به دست آمده بود، تنظیم کرده و راه حل هندسی آن ها را به دست داده و از رساله ای صحبت کرده است که در آن، درباره معادله درجه چهارم صحبت کرده. ولی این رساله به ما نرسیده است. کاشانی سپس حل معادله های خطی را طرح کرده و چند قاعده برای مجموع جمله های رشته های عددی و نیز، قاعده هایی برای نسبت ها، چه درباره عددها و چه درباره کمیت های پیوسته، به دست آورده است. در پایان کتاب، تعداد زیادی مسئله آمده است.
رساله درباره دایره (رساله المحیطیه)ی کاشانی به محاسبه نسبت طول محیط دایره به قطر آن، با حداکثر دقت لازم مربوط می شود. کاشانی محیط دایره را، میانگین حسابی بین محیط چند ضلعی های منتظم محاطی و محیط چند ضلعی های منتظم محیطی با ضلع گرفته است. در ضمن گفته که n را باید چنان گرفت که اگر شعاع دایره برابر فاصله زمین تا ستاره های ثابت باشد (که به حساب کاشانی 000، 600 برابر شعاع کره زمین است)، اختلاف بین محیط چند ضلعی های درونی و بیرونی، از قطر یک موی اسب کمتر باشد. کاشانی برای این منظور، n را برابر 28 گرفته است؛
یعنی: کاشانی این میانگین حسابی را، با دقت بی اندازه ای حساب کرده است که اگر شعاع دایره را برابر واحد بگیریم، نسبت طول محیط دایره به قطر آن برابر خواهد شد با از 17 رقمی که کاشانی برای عدد پی پیدا کرده است، تنها رقم آخر آن درست نیست.
رساله وتر وسینوس به ما نرسیده است، ولی مهم ترین بخش های آن در رساله سینوس یک درجه قاضی زاده رومی، همکار دانشمند کاشانی، در سمرقند حفظ شده است. رساله های کاشانی و قاضی زاده به محاسبه سینوس یک درجه از روی مقدار سینوس سه درجه اختصاص دارد. میرم چلبی هم، این رساله کاشانی را حفظ کرده و سینوس یک درجه را به یاری سینوس 3 درجه به دست آورده است. اگر
بگیریم، x را می توان از این معادله به دست آورد: کاشانی این معادله را با ظرافت بی اندازه ای حل کرده و به دست آورده است: کاشانی این معادله درجه سوم را از راه جبری حل کرده و اگر چه جواب تقریبی را به دست داده است، ولی می توان با ادامه راه حل وی، آن را با هر دقت و با هر تقریبی ( تا هر چند رقم دهدهی) محاسبه کرد. در ضمن، می دانیم هر معادله درجه سوم کامل به صورت را می توان با انتخاب مجهول به معادله درجه سوم ناقص تبدیل کرد؛ به گونه ای که شامل y نباشد:
بنابراین، جمشید کاشانی، در واقع توانسته است، معادله درجه سوم را برای نخستین بار با روش جبری حل کند. رابطه ای که برای حل معادله درجه سوم به نام «کاردان» معروف است ( و به ظاهر متعلق به «تارتاگلیا»، همشهری کاردان، است)، تنها این مزیت را دارد که نشان می دهد ریشه های معادله درجه سوم را می توان با رادیکال ها بیان کرد. ولی برای حل عملی معادله درجه سوم، رابطه کاردان منجر به محاسبه عددهای مختلط می شود و برای پیدا کردن ریشه ها، راهی عملی نیست. راه حل جمشید کاشانی راه حلی عملی است که در تاریخ ریاضی فراموش شده است.
کاشانی در زمان تسلط تیموریان در ایران می زیست. یورش های چنگیز، هلاکو و تیمور را به ایران، که در فاصله های زمانی کوتاهی انجام گرفت و با ویرانی سرزمین ایران و کشتار انسان های بی گناه همراه بود، باید سرآغازی برای افول فرهنگ و دانش ایرانی دانست. چنگیز، ضمن تسلط بر آسیا ( به جز هند و عربستان و سوریه)، شهرها را ویران می کرد و در بسیاری جاها، هیچ موجود زنده ای را باقی نمی گذاشت. تیمور، بعد از موفقیت هایی که در ماوراء النهر و خوارزم به دست آورده بود، در سال 782 هجری قمری به ایران حمله کرد. در پنج سال خراسان و گرگان و مازندران را گرفت و در سه سال بعد تا فا رس، و در شمال تا گرجستان و ارمنستان پیش رفت و سرانجام در سال 789، به تقریب، تمامی خاک ایران امروز را به تصرف در آورد.
تیمور که خود را «امیر صاحب قران» می نامید، برای موفقیت های خود از نفوذ «سیدبرکه» استفاده می کرد. حتی بعد از مرگ سیدبرکه، نزدیکان و مریدان او در دستگاه حکومتی تیمور دارای مقام و منصب بودند. امیرصاحب قران وصیت کرده بود که پس از مرگ، او را در کنار قبر سیدبرکه دفن کنند.
تیمور، چهارپسر داشت، جهانگیر، عمرشیخ، میران شاه و شاهرخ. در دوران زندگی تیمور، از دو پسرش که زنده مانده بودند، میران شاه در آذربایجان ساکن بود و بر غرب ایران، عراق، اردن، گرجستان و ارمنستان حکومت می کرد و شاهرخ که مرکز حکومت خود را در هرات قرار داده بود، بر شرق ایران و ماوراء النهر حکم می راند. هر دو بسیار سخت گیر و خشن بودند و به ویژه میران شاه، از هیچ جنایتی برای پیشبرد هدف های خود دریغ نمی کرد. به همین دلیل، مردم به پیروی از هواداران «حروفیه»، او را «ماران شاه» می نامیدند. با مرگ تیمور، جنگ های خونینی بین دو برادر و فرزندان آن ها و دیگر نوه های تیمور و همچنین سرداران و سربازان وی در گرفت. هر کسی در گوشه ای از امپراتوری تیمور، پرچم استقلال برافراشت و ادعای جانشینی تیمور را داشت.
سرانجام، شاهرخ توانست بر رقیبان خود غلبه کند و کم و بیش تمامی سرزمین های تیموری را زیر فرمان خود در آورد.
بعد از غلبه شاهرخ بر رقیبان خود، وی در هرات بر تخت نشست و پسرش الغ بیگ (الغ بیگ یعنی امیر بزرگ) را مأمور اداره ماوراءالنهر در خراسان کرد. تا آن زمان، الغ بیگ بیشتر همراه پدرش در جنگ ها شرکت می کرد.
الغ بیگ بعد از مرگ پدرش ( در سال 850 هجری قمری) چندان دوام نیاورد و سرانجام بعد از سه سال، با توطئه پسرش، عبداللطیف، کشته شد ( در سال 853 هجری قمری). الغ بیگ 36 سال بر ماوراء النهر حکومت کرد و در تمام مدت، سمرقند مرکز حکومت او بود و تنها برای جنگ با مخالفان و گشودن کشورها، از آن جا خارج می شد. الغ بیگ را دوستدار دانش و خود او را یکی از دانشمندان می دانند. این، شاید تا اندازه ای درست باشد، ولی در واقع، الغ بیگ هم مانند پدر وجد خود، آدمی ستمگر و خودکامه بود که گاهی با دانشمندان می نشست و گفت و گو می کرد. درباره باشکوه و حرمسرای او، جنگ های زمان او و حتی معماری آن زمان، که به دست معماران هنرمند و گمنام ایرانی و با کار اجباری هزاران انسان ساده انجام گرفته، گواهی بر این مطلب است.
بسیاری را عقیده بر این است که الغ بیگ وسیله نابودی جمشید کاشانی را فراهم کرده است. تذکره هفت اقلیم که نزدیک به 175 سال بعد از مرگ کاشانی و به قلم امین احمد رازی نوشته شده است، این موضوع را تأیید می کند. در این کتاب آمده است:«چون جمشید کاشانی از تعظیم و تکریم خودداری می کرد، جناب میرزا (یعنی الغ بیگ) از این رهگذر همواره مکدر بود و اظهار آزردگی می فرمود. اما بنابر آن که معامله زیج، بی وجود مولانا [یعنی جمشید کاشانی] اختتام نمی پذیرفت، در تجرع [یعنی فرو خوردن خشم] سخنان تلخ مولانا صابر بود و همیشه بر زیان می آورد که این مهم، کی صورت انصرام یابد [یعنی چه زمانی تمام می شود] تا من از اطوار و گفتار ناهنجار مولانا جمشید کاشانی خلاص شوم و بعضی باعث فوت مولانا را از جناب میرزا الغ بیگ می دانند.(1)
به جز این، الغ بیگ در مقدمه زیج خود، محاسبه سینوس یک درجه را که بی تردید از شاهکارهای کاشانی است، بعد از مرگ جمشید کاشانی به خود نسبت داده است، بدون این که از نویسنده اصلی آن نام ببرد.
ریاضیدانان ایرانی در سده های سوم تا نهم هجری، در زمینه ریاضیات محاسبه ای به موفقیت های زیادی رسیدند. محاسبه و تنظیم جدول های مثلثاتی، حل مثلث کروی، محاسبه ریشه های معادله های جبری، محاسبه دقیق عددپی، عمل های مربوط به محاسبه و تشکیل نظریه نسبت ها را قوام دادند و مفهوم عدد را درباره کمیت های پیوسته گسترش بخشیدند.
نوشته های بکر و ترجمهه ای ریاضیدانان و اخترشناسان این دوره، که بیشتر ایرانی بودند، تأثیری عظیم بر پیشرفت فرهنگ و دانش کشورهای اروپایی از سده های دوازدهم میلادی به بعد داشت. در سده دوازدهم میلادی، رساله های حساب و جبر خوارزمی به لاتینی ترجمه شد. در جریان مبارزه ای بین هواداران محاسبه جدید با نمایندگان حساب قدیمی رومی، سرانجام عددهای موضعی و رقم های هندی، در اروپای غربی رواج یافت که به اشتباه نام «رقم های عربی» را به خود گرفت.
شکل لاتینی نام خوارزمی که «الخوارزمی» خوانده شد، به صورت «الگوریتموس»، در آغاز به شیوه محاسبه با دستگاه عددهای موضعی دهدهی گفته می شد و سپس، از زمان لایب نیتس، هر جریان محاسبه منظم را الگوریتم گفتند. نخست نام رساله خوارزمی، به همان صورت اصلی خود الجبر و المقابله بود و سپس نام «الجبر» به صورت Algebre روی این دانش گذاشته شد. کم و بیش، در همین زمان نوشته های فارابی، ابوکامل، ابن هیثم و پورسینا نیز ترجمه شدند.
در سده دوازدهم میلادی، اصول اقلیدس، مجسطی بطلمیوس، نوشته های ارشمیدس و آپولونیوس و دیگر دانشمندان یونان باستان از عربی به لاتینی برگردانده شد. ترجمه مستقیم این اثرها از زبان یونانی، در سده های پانزدهم و شانزدهم میلادی انجام گرفت. در این زمان، در اسپانیا، ایتالیا، و جنوب فرانسه، تعداد زیادی به نوشته های عربی مشغول بودند.
نخستین ریاضیدان اروپای غربی، «لئوناردو فیبوناچی»(حدود 1250-1170 میلادی)، در تونس تحصیل می کرد. کتاب حساب فیبوناچی تحت تأثیر جدی ابوکامل نوشته شده و مسئله های بسیاری از حساب و جبر را از او تقلید کرده است. ریاضیدان بزرگ دیگر اروپای سده های میانه «رگیومونتانوس»(1436-1476میلادی)، نویسنده کتابی درباره مثلثات به نام پنج کتاب، درباره همه گونه های مثلث است که از نوشته های بتانی و طوسی استفاده کرده است.
در سده پانزدهم میلادی، وقتی قسطنطنیه به وسیله ترک ها اشغال شد، تماس بین دانشمندان شرق با اروپا بیشتر شد. در این زمان، دیگر جدول های اخترشناسی گورکانی و سایر نوشته های دانشمندان سمرقند، که به زبان های یونانی جدید، لاتینی و آلمانی ترجمه شده بود، در اروپا پیدا می شد. ضمن این ترجمه ها، باید نخستین نوشته های مربوط به جبر را هم نام برد که در آن ها، برای نخستین بار اصطلاح های جمشید کاشانی، در اروپا معمول شد. در همین زمان در اروپا، با بحثی که نصیرطوسی درباره اقلیدس کرده بود (به نام تحریر اقلیدس) آشنا شدند. اروپایی ها دیدگاه های خیام و طوسی درباره تشکیل نسبت ها و نیز درباره خط های راست موازی برخوردند و ممکن است که اروپایی ها، اندیشه مربوط به بی نهایت کوچک ها را از بحثی که طوسی درباره ارشمیدس کرده است، گرفته باشند.
اندیشه های خیام و طوسی و تعمیم مفهوم عدد و گسترش آن تا عدد پیوسته، به اندیشه های رنه دکارت (1594-1650میلادی) خیلی نزدیک است، که پاره خط هندسی را به یاری مقدار متغیری که معرف نقطه های پاره خط راست است، شرح می دهد. ما از میزان آشنایی دکارت با نوشته های طوسی آگاه نیستیم، ولی جان والیس (1616-1663 میلادی) با این نوشته ها آشنا بود و در یکی از کارهای خود که به نظریه خط راست موازی و نظریه تشکیل نسبت ها مربوط است، همان تفسیر طوسی را درباره این موضوع ها تکرار کرده است. «ساکری» با نظریه خط های راست خیام و طوسی به وسیله والیس آشنا شد و نظریه نسبت ها و نظریه خط های راست موازی، منجر به دو کشف بزرگ در تاریخ ریاضیات شده است: ورود به کمیت های متغیر در ریاضیات و کشف هندسه نااقلیدسی.
در این زمان، بسیاری از کارهای کاشانی در اروپا شناخته شده بود و دانشمندان اروپای غربی، بعد از 150 تا 200سال، بسیاری از کشف های کاشانی را دوباره کشف کردند: رابطه مربوط به توان مثبت و درست دو جمله ای به وسیله اشتیفل در سال 1535 میلادی، کسرهای دهدهی به وسیله «سیمون سته ون» در سال 1582 میلادی کشف شد، عدد پی هم تا 20 رقم بعد از ممیز دوباره در سال 1596 میلادی، به وسیله لودلف وان کولن محاسبه شد.

محاسبه سینوس یک درجه با روش کاشانی

کاشانی برای محاسبه سینوس یک درجه، اول وتر کمان دو درجه را به دست آورد، سپس این وتر را نصف کرد تا sin1^° به دست آید. در رساله کاشانی و همچنین شرح هایی که بر آن نوشته شده است، عددها در دستگاه شصتگانی آمده اند؛ برای نمونه، وقتی ازsin3^° صحبت کرده، آن را این طور نشان داده است: در ضمن،
به دست می آوردند و رابطه ها را با به حساب آوردن شعاع دایره ( که کاشانی آن را 60 می گرفت) محاسبه می کردند؛ برای نمونه، با استناد به حکم شانزدهم از کتاب اصول اقلیدس به این نتیجه می رسیدند که:

که منظور از R، شعاع دایره است.
اگر چه کاشانی، در کتاب مفتاح الحساب از رساله وتر و سینوس به عنوان یکی از کتاب هایی که نوشته نام برده، ولی این اثر پیدا نشده است. قاضی زاده رومی که همکار او در ساختن رصدخانه سمرقند بود، بیرجندی (ملاعبدالعلی؛ در گذشت در 934 هجری قمری)، ریاضیدان ایرانی و میرم چلبی، ریاضیدان و اخترشناس و نوه قاضی زاده رومی (درگذشت در 1525 میلادی)، نسبت این کتاب را به کاشانی تأیید کرده و آن را توضیح داده و یا تفسیر کرده اند.
در این جا، کوتاه شده ای از راه حل کاشانی برای معادله درجه سوم را به قلم میرم چلبی آورده ایم. در این راه حل با نمادها و نشانه های امروزی سرو کار داریم:
اگر
را به طرف دوم ببریم و دو طرف را بر 3 تقسیم کنیم، به دست می آید: