نویسنده: رادنی هود (1)
مترجم: عبدالحسین مصحفی
مترجم: عبدالحسین مصحفی
ارشمیدس و پیشگامی او در حسابان
پژوهشگران، همه همرأی، ارشمیدس (287-212 پیش از میلاد) اهل سیراکوز را بزرگ ترین ریاضیدانان دوران باستان دانسته اند. او مسئله هایی به تعداد زیاد و در دشواری ممتاز را طرح و حل کرد، روش هایی نو را بنیان نهاد و کوشید تا در استدلال هایش دقت کامل را به کار ببرد، از این رو سرآمد دیگر دانشمندان آن دوران بوده است. او به هر دو جنبه ی نظری و کاربردی ریاضیات توجه داشت و در فیزیک دو شاخه ی جدید «استاتیک» (2) و «هیدرودینامیک» (3) را پایه گذاری کرد. او همچنین به اختراع‌هایی مکانیکی دست یافته بود که بعضی از آن ها را در دفاع از سیراکوز در برابر حمله های لشگریان رومی به آن جا به کار می برد. بنابر آنچه بازگو شده است، در یکی از این حمله ها، رومی ها به شهر راه یافتند و ارشمیدس در حالی که روی شکلی هندسی که روی ماسه ها رسم کرده بود می‌اندیشید به دست سربازی رومی کشته شد.ارشمیدس برای آن که با به کار بردن روش افناء بتواند اندازه های مساحت ها و حجم ها را هر چه دقیق تر به دست آورد، با افزون ساختن کارایی این روش، اندازه ی مورد نظر را به صورت مجموع های جزئیِ یک سری یا با به صورت جمله های یک دنباله به تقریب در می آورده است. برای دنباله ی تقریب های اندازه ی مساحت دایره، دایره ای به قطر یک را در نظر گرفت، دنباله ی مساحت های چند ضلعی های منتظم محاطی یا محیطی آن دایره را، که تعداد ضلع های هر کدام دو برابر تعداد ضلع های قبلی باشد، مناسب دانست؛ مساحت های سه ضلعی ها، شش ضلعی ها، 12 ضلعی ها، ...، و سرانجام 96 ضلعی های محاطی و محیطی را به ترتیب حساب کرد و به این نتیجه رسید که نسبت مساحت دایره به توان دوم قطر آن، مقداری ثابت است و این مقدار ثابت، که امروزه با نموده می شود، بین دو مقدار
مقدار تقریبی
را به کار می بردند. ارشمیدس همچنین دریافت که مساحت سطح کره چهار برابر مساحت هر دایره ی عظیمه ی آن است و این نتیجه او را به مقایسه ی اندازه های کره و استوانه رهنمود شد. نقش کره ای محاط در استوانه ای دوّار که روی سنگ گور او کنده کاری شده یادآور این کشف بزرگ اوست. او همچنین حجم کره و حجم قطعه های حاصل از نقاطع صفحه با رویه های درجه ی دوم را توانست حساب کند. نزدیکی های 1906 رساله ای از ارشمیدس به دست آمد که راز بعضی از کشف های او را تا اندازه ای روشن ساخت. او این رساله را برای دوستش اراتستن فرستاده بوده تا او را از چگونگی دستیابی به بعضی از دستاوردهایش آگاه سازد ( دستاوردهایی که در واقع به اجرای عملی خیلی نزدیک به حالت هایی مهم از انتگرال گیری می مانسته اند)، او شرح می دهد چگونه به اثبات آن ها راهنمایی شده است. مسئله ی تربیع سهمی (شکل [1] -1) این شیوه ی کار را نشان می دهد.در این شکل، خم ACB کمانی از سهمی p، پاره خط AB وتر آن کمان و نقطه ی M وسط AB است. ناحیه ی محدود به کمان ACB و وتر AB را با s و مماسی را که در A بر p رسم می شود با t نشان می دهیم. از A و M خط هایی موازی با محور p رسم می کنیم که با t به ترتیب در D و E برخورد می کنند. خط ME با p در C برخورد می کند که رأس s نامیده می شود. بنابر قضیه ای پیش تر ثابت شده، نقطه ی C وسط ME است. خط AC را با 1 نشان می دهیم که با BD در F برخورد می کند.
ارشمیدس قطعه سهمی s را با مثلث ABD سنجید. اگر O نقطه ی دلخواهی از AB باشد، خطی که از O موازی با محور p (یعنی موازی با EM) رسم شود با p، t و 1 به ترتیب در P، Q و R برخورد می کند. بنابر قضیه ی دیگر پیش تر ثابت شده،
در این جا، ارشمیدس ابتکاری استادانه را به کار می برد: خط 1 را اهرمی می گیرد که F نقطه ی اتکای آن باشد و نقطه ی T را بر 1 چنان انتخاب می کند که F نقطه ی وسط AT باشد. پاره خط UT همنهشت [=برابر با] پاره خط OP را در نقطه ی T بر میله ی اهرم آویزان می کند. در این صورت، بنابر رابطه ی بالا، 
بنابراین [و بنابر قانون اهرم ها]، دو پاره خط UV و OQ که هر کدام در نقطه ی وسط خود بر میله ی اهرم آویزانند تعادلِ میله ی اهرم را برقرار می کنند. هرگاه نقطه ی O پاره خط AB را بپیماید، نقطه ی P کمان ACB از سهمی، پاره خط OQ مساحت مثلث و پاره خط OP مساحت قطعه ی به قاعده ی AB از سهمی یعنی s را پوشش خواهد داد. اما پاره خط OP با پاره خط UV همنهشت است و اگر G گرانیگاه مثلث ABD باشد FG یک سوم FA و برابر با یک سوم FT است. نتیجه می شود که نسبت s به مساحت مثلث ABD برابر با نسبت یک به سه است. اما [از آن رو که دو مثلث AMC و BMC با هم ودو مثلث AMC و AEC نیز با هم همسطح‌اند و مساحت مثلث ABD چهار برابر مساحت مثلث AME است] مساحت مثلث ABD چهار برابر مساحت مثلث ABC است و آنچه ارشمیدس کشف کرد به دست می آید: مساحت هر قطعه از سهمی برابر است با چهار سومی مساحت مثلثی که همان قاعده و رأس را داشته باشد.روشی که بر پایه ی یک کشف جالب این نتیجه را به دست داد خیلی زیاد شهودی است و لازم بود ثابت شود. ارشمیدس روش افناء را برای اثبات به کار برد ( پیوست 12). او در قطعه ی داده شده از سهمی مثلثی را با همان قاعده و رأس محاط کرد. قطعه ی سهمی به یک مثلث و دو قطعه سهمی کوچک تر تبدیل شد. روی هر یک از این دو قطعه هم مثلثی را به همان شیوه ی قبلی محاط کرد و این فرایند را پشت سر هم و هر بار روی دو قطعه سهمی تازه به دست آمده تکرار و آن گاه ثابت کرد در هر مرحله، مجموع مساحت های دو مثلثی که روی دو ضلع دو مثلث قبلی تشکیل می شود یک چهارم مساحت این مثلث است. با هر بار عمل، دو قطعه سهمی که به دست می آیند مساحت کمتری دارند و هر بار به مرحله ی «افناء» نزدیک می شوند. در این حال، مساحت های مثلث های تشکیل شده جمله های یک تصاعد هندسی با قدر نسبت
هستند و مجموعه همه ی آن ها
مساحت نخستین مثلث خواهد بود. ارشمیدس به دقت ثابت کرد که مساحت قطعه سهمی از 
مساحت نخستین مثلث محاطی نه بیشتر و نه کمتر می تواند باشد و برابر با آن خواهد بود. ارشمیدس به اثبات حکمی که خواست او بود دست می یابد و با پرهیز از گرفتار شدن در چاله های بی نهایت کوچک ها و سردرگمی در عمل های حدّی، به سطحی از دقت مندی می رسد که شایستگی قیاس با آنچه را دارد که در سده ی هجدهم در بازنگری ها و در بازسازی ها انجام می گرفت.
پی نوشت ها :
1- Rodney T.Hood.
2- statics.
3- hydrodynamics.
