سیّاره ها و انتگرال

پابرجایی و استواری شهرت یوهان کپلر (1571-1630) به دلیل سه قانونی است که وضع کرده و حرکت سیاره ها به دور خورشید را توجیه می کنند. تیکو براهه (1) [ستاره شناس دانمارکی] در طول عمر خود به رصدهای بسیار زیاد و همه سویه ی سیاره ها پرداخته و داده هایی دقیق را درباره ی آن ها فراهم آورده بود. کپلر این داده ها را به کار برد، سال ها محاسبه هایی طولانی و خسته کننده را با آن ها انجام داد، حدس هایی هوشمندانه و در موردهایی نادرست را روی آن ها آزمایش کرد تا سرانجام به آن سه قانون دست یافت.
با آن که تا زمان ایزاک نیوتن هنوز حسابان به خوبی گسترش نیافته بود، کپلر گونه ای حسابان نارسا اما کارساز ویژه ی خودش را به کار می برد. در این حسابان ویژه، توجه اصلی به عملی بود که می بایست انجام می گرفت و اگر بی دقتی هایی در کار بود نادیده انگاشته می شدند. کپلر این حسابان شهودی را بر پایه ی «اصل پیوستگی» (2) بنا نهاده بود که بنابر آن، تعریف هایی عمومی حالت های حدّی را پوشیده می داشتند. یک نمونه اش این که او مساحت دایره را برابر با مساحت چندضلعی محاط در آن فرض کرد که از تعدادی نامتناهی مثلث های متساوی الساقین تشکیل شده که در همه ی آن ها رأس در مرکز دایره و ارتفاع با شعاع دایره برابر باشد و قاعده ها وترهای بی نهایت کوچک ، ، ، ... باشند (مطابق با شکل [3]-1). بنابراین فرض، او مساحت دایره را برابر با حاصل ضرب نصف شعاع دایره در محیط آن به دست آورد که با نشانه گذاری های امروزی به
تبدیل می شود. فرض کرد کره هم از هرم هایی تشکیل شده است که در همه ی آن ها رأس در مرکز کره است و قاعده ها بی نهایت کوچک هایی کاملاً نزدیک به سطح کره هستند و به همان شیوه به دست آورد که حجم کره برابر است با حاصل ضرب مساحت سطح کره در یک سوم شعاع آن (شکل [3]-2)، با نشانه های امروزی:
کپلر «اصل پیوستگی» (2) خود را در هندسه ی مقدماتی هم به کار برد، خط های موازی را خط هایی پنداشت که نقطه ی برخورد آن ها به بینهایت افتاده است. سهمی را حالت حدی بیضی و هذلولی دانست که یکی از دو کانون آن ها در بینهایت واقع است – اندیشه ای که به ذات، با این نظریه ی متأخرین از ریاضیدانان یونانی جور است که این منحنی ها را مقطع های مخروطی (=فصل مشترک یک صفحه با یک طح مخروطی) می دانستند.
کپلر از راه دوران قطعه ای از یک مقطع مخروطی دور محوری واقع در صفحه ی آن توانست اندازه ی حجم بسیاری از شکل های فضایی را به دست بیاورد. ظاهراً او در پیگیری برای یافتن راهی دقیق و مستدل جهت محاسبه ی حجم بشکه های شراب به این کار روی آورده است. او با بهره گیری از روش های تقریبی و از اصل پیوستگی به راه حل این مسئله ها دست یافت. روش کار او در این جهت بود که دستاورد آن هر چه بیشتر کاربردی باشد. مهم ترین بهره برداری از این روش را هم برای اثبات قانون دوم خود به کار برد (شعاع حاملی که خورشید را به سیاره وصل می کند در زمان های با هم برابر مساحت های با هم برابر را می پیماید) تا اندازه ی مساحت بین دو شعاع حامل از بیضی را به دست آورد.

پی نوشت ها :

1-Tycho Brahe .
2- principle of continuity .

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..