ماجرای قضیّه ی کاوالیری

با متنی اصولی که اقلیدس در زمینه ی هندسه فراهم آورد به خوبی آشناییم، کاری که هنوز آموزش هندسه بر آن پایه انجام می شود. در سده ی پس از زمان اقلیدس، ارشمیدس حکم ها و روش هایی از حسابان را بیان کرد که به خوبی فهم و درک نمی شدند. این کارهای ارشمیدس، تا زمان بازشناخت حسابان در سده ی هفدهم، تا اندازه ی زیادی فراموش مانده بودند. بوناونتورا کاوالیری (1598-1647) یکی از نخستین ریاضیدانانی است که به روی کار آوردن دوباره ی این اندیشه ها روی آوردند. او مفهوم «تقسیم ناپذیری» برگرفته از یونانی ها را تعریف کرد که بعدها نارسایی آن برای اهداف بعدی حسابان ثابت شد. با این حال، کاوالیری می توانست مساحت ناحیه هایی محدود از منحنی های به معادله های از گونه ی را، با فرض صحیح و مثبت بودن m، به دست بیاورد.
کاوالیری در کتاب هندسه ی پیوستارهای تقسیم ناپذیر (2)، که به سال 1635 منتشر شد، پذیرفت که خط از بی نهایت نقطه ی بدون بُعد، سطح از بی نهایت خط بدون پهنا و حجم از بی نهایت صفحه ی بدون ضخامت تشکیل می شود. او این تعریف ها را در کارها و در بررسی هایش و به گونه ی واقعی به کار نبرد، بلکه همانند اقلیدس که در موردهایی چنین کرده، تنها در فهرستی که برای مطلب های کتابش تنظیم کرده و در دیباچه‌ ی آن آورده، اشاره هایی کوتاه به آن ها داشته است. او اصطلاح «تقسیم ناپذیر» را هم به این دلیل برای دلیل برای بعضی مؤلفه ها به کار برد که خط، سطح و حجم را تقسیم پذیر می انگاشت. در کارکردهای واقعی، سطح و حجم را به تعداد معین n بخش تقسیم می کرد و آن گاه مجاز می دانست که n را به سمت بینهایت میل دهد. در واقع، اندیشه های او مقدمه ی اندیشه هایی هستند که بعدها به کار گرفته شدند.
حکم مشهور به «قضیه یا اصل کاوالیری» که در هندسه ی پیوستار 1635 نموده شده است، چنین بیان می شود:
اگر دو جسم با ارتفاع های برابر را صفحه هایی به یک فاصله از قاعده ها قطع کنند و دو مقطع به دست آمده مساحت های برابر داشته باشند آن دو جسم حجم های برابر دارند.
با استفاده از دو دسته کارت، می‌ توانیم دلیلی شهودی از درست بودن این حکم به دست بدهیم. دو دسته کارت، یکی A و دیگری B، را در نظر می گیریم که روی یک میز گذاشته شده اند. کارت های دسته ی A همه به شکل دایره اند و مساحت رویه ی در ارتفاع L هر کدام از آن ها در ارتفاع L برابر است با مقدار تابع f(h) که تنها به ارتفاع نسبت به سطح میز بستگی دارد. کارت های دسته ی B همه به شکل مربعند و مساحت رویه ی آن ها نیز با همان تابع f(h) بر حسب ارتفاع آن ها از سطح میز معین می شود. بنابر اصل کاوالیری، این دو دسته کارت حجم های برابر دارند. این نکته هم قابل توجه است که دو دسته کارت در نمای جانبی (=دید نیمرخ) ممکن است کاملاً نامنظم باشند و این موضوع تأثیری در مسئله نخواهد داشت. این حالت را هم باید در نظر گرفت که کارت ها می توانند به شکل های دلخواه باشند و لازم نیست که مربع یا دایره باشند.

پی نوشت ها :

1-Howard Alexande .
2- continuorum Geometria indivisibilibus .

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..