نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش

ای کاش کوپرنیک پیر بود و می دید
چگونه، به کمک حقیقتی که او دریافت، حقیقتی که یک باره رویایی را برآشفت
محور چرخ گردون را شکست،
قطعیت هستی را همه بر باد داد
و آدمی را کوچک و حقیر کرد
روح آدمی بر قانون چنگ انداخت...
و نرم نرمک با گام هایی مطمئن
پای در قلمرو قانون و قدرتش نهاد.

اَلفرد نویز

علم و ریاضیات این بخت بلند را داشتند که در فضای فکری آزادتری از ایتالیا وارثی شایسته برای گالیله متولد شد. در 1642، درست همان سالی که گالیله درگذشت، در مزرعه ای دورافتاده در انگلستان، از زنی که به تازگی شوی خود را از دست داده بود، طفلی ضعیف، به وقتی پیش از موعد، متولد شد. سر آیزک نیوتن که در خانواده ای معمولی به جهان آمده بود، با تنی آن چنان ضعیف که امید زنده ماندنش نمی رفت، هشتاد و پنج سال زندگی کرد و به شهرتی رسید که هیچ کس پیش از آن بدان دست نیافته بود.
نیوتن، همچون بسیاری از نابغه ها، در جوانی جز ابتکارهایی در مکانیک هیچ نشان خاصی از نبوغ بروز نداد. از آن جا که هیچ علاقه ای به مزرعه داری نشان نمی داد، مادرش او را به کمبریج فرستاد! با وجود آن که نیوتن در کمبریج فرصت های عالی، مثلاً مطالعه آثار کوپرنیک، کپلر و گالیله، با فرصت حاضر شدن در کلاس های آیزک بَرو(1)، ریاضی دان مشهور را داشت، پیشرفت بسیار اندکی از خود نشان می داد. حتی او را در زمینه هندسه ضعیف شناختند و یک بار ناچار شد رشته تحصیلی خود را از فلسفه طبیعی به حقوق تغییر دهد. چهار سال تحصیلی به همان صورتی که آغاز شده بود پایان یافت و نیوتن به خانه بازگشت تا پیش خود مطالعه کند.
نیوتن، این جوان آرام و گوشه گیر، در فاصله بیست وسه تا بیست و پنج سالگی، سه گام غول آسا برداشت که نبوغ درخشانش را ثابت کرد- با این سه گام علم جدید را به شکل بی سابقه ای به جلو برد و مقام رفیع او برای همیشه تثبیت شد. نخست اکتشاف راز رنگ بود که وی با تجزیه نور سفید به آن دست یافت؛ دوم، آفرینش دیفرانسیل- انتگرال؛ و سوم، اثبات جهان شمولی قانون گرانش بود.
اگر نیوتن با کسی از دستاوردهایش در دنیای علم سخن می گفت، می توانست به راحتی شهرتی دائمی بیابد؛ اما او از یافته هایش با هیچ کس سخن نگفت. وقتی طاعونی که گریبان لندن را گرفته بود مهار شد، نیوتن به کمبریج بازگشت تا مدرک دانشگاهی خود را دریافت کند و بعد هم دستیار آموزشی کمبریج شود. بیست و هفت ساله بود که استادش، بَرو، از کار کناره گیری کرد و نیوتن، که حالا حداقل دانشجوی جدی ریاضیات به حساب می آمد، جانشین او شد. موفقیتش در مقام استاد دانشگاه به اندازه توفیقش در تحقیقات شخصی نبود و گاهی هیچ کس در کلاس او حضور نمی یافت. کلاس های درس او را حتی در تابلو اعلانات اعلام نمی کردند.
سرانجام، نیوتن اثر خود را درباره ماهیت مرکب نور سفید، به ضمیمه شرحی از فلسفه علم خود، منتشر کرد. هم فلسفه و هم کار تجربی اش در باب نور به نقد کشیده شد و برخی از دانشمندان هر دو را یکسره رد کردند. نیوتن سخت ناراحت شد و تصمیم گرفت دیگر اثری منتشر نکند. سال ها بعد، وقتی با اعلام اکتشافات دیگرش، این تصمیم خود را شکست، در بحث و جدل علمی بر سر تقدم اکتشافاتش گرفتار شد و همین مشکل دوباره او را بر تصمیمش، دایر بر این که اکتشافات و کاوش هایش را برای خود نگه دارد، راسخ کرد. اگر اصرار و کمک مالی ادمند هالی (2) ستاره شناس نبود، چه بسا اصول ریاضی فلسفه طبیعی (3) (1678)، اثری که جان کلام اندیشه های نیوتن است، هرگز منتشر نمی شد.
پس از انتشار این اثر اعتبار نیوتن بسیار بالا رفت. اصول به چندین ویرایش رسید بسیاری هم کوشیدند تا آن را برای همه قابل فهم کنند. تا سال 1789، از این کتاب چهل ویراست به زبان انگلیسی، هفده ویراست به فرانسه، یازده ویراست به لاتین، سه ویراست به آلمانی و حداقل یک ویراست به پرتغالی و ایتالیایی منتشر شد. از جمله کتاب هایی که اثر نیوتن را همه فهم کرد، مکتب نیوتن برای خانم ها (4) بود که آن هم چندین بار چاپ شد. اصول را واقعاً باید همه فهم کرد، زیرا مطالعه این کتاب، برخلاف ادعای تحصیل کرده ها، بسیار مشکل است و مطالب آن برای آدم های عادی ابداً روشن نیست. تلاش بزرگ ترین ریاضی دانان برای آن که مفاد این کتاب را کاملاً روشن کنند یک قرن ادامه داشت.
شهرت نیوتن تا بدان جا رسید که تنها با شهرت اینشتین در روزگار ما قابل مقایسه است. خود نیوتن از پیشینیانش چنین سپاسگزاری کرده است: « اگر توانستم اندکی دورترها را ببینم، تنها از آن روست که بر شانه غول ها ایستاده ام.» در ضمن، فکر هم نمی کرد که کارش ارزش بی مانندی دارد: « نمی دانم جهان چطور مرا می بیند، اما از نظر خودم تنها به پسر بچه ای می مانم که در ساحل دریا مشغول بازی است و گهگاه خود را به یافت سنگ ریزه ای صاف تر یا صدفی زیباتر از حد معمول سرگرم می کند؛ در حالی که پیش روی من، اقیانوسی از حقایق کشف نشده قرار دارد.»
از کارهای جوانی نیوتن، آنچه بیشتر به موضوع بحث ما مربوط است فلسفه علم او و نیز کارش در زمینه گرانش است. این فلسفه روشن تر از برنامه علمی است که گالیله آغاز کرد: از طریق پدیده هایی که به روشنی قابل تحقیق اند، قوانینی حاصلی می شود که به زبان دقیق ریاضی رفتار طبیعت را بیان می کند و ، سپس، با اطلاق نحوه استدلال ریاضی به این قوانین، قانون های جدیدی استنتاج می شود. نیوتن، همچون گالیله، می خواست بداند که قادر مطلق چگونه عالم را نظام داده است، اما آن قدر جسارت به خرج نداد که در غایت این نام تأمل کند، یا آن که سازوکار [مکانیسم] بسیاری از پدیده ها را بکاود. نیوتن می گوید: « اگر بگویند هر چیزی کیفیت خاص مرموزی دارد که به واسطه آن کنش و آثار قابل رؤیتی ایجاد می کند، [در واقع] هیچ چیز نگفته اند. اما، اگر بگویند از دل پدیده ها و سه اصل عام در باب حرکت نتیجه شود و پس از آن بگویند که چگونه ویژگی ها و کنش های تمامی اجسام مادی از آن اصول آشکار نتیجه می شود، گام بسیار بزرگی در فلسفه [علم] برداشته اند؛ ولو علت های آن اصول همچنان کشف نشده مانده باشد: از این رو، من بر آن نیستم که در اصول حرکت که گستره ای بسیار عام دارند دقتی وسواس گون به خرج دهم. کشف علت های این اصول را وامی گذارم.»
مشهورترین نقش نیوتن در این توصیف از طبیعت وحدت بخشیدن به آسمان و زمین است. گالیله آسمان ها را بدان سان دید که هیچ انسانی پیش از او توانایی اش را نداشت، اما توفیق او در توصیف ریاضی طبیعت در حد حرکاتی بود که روی سطح زمین یا نزدیک به آن رخ می داد. در زمان حیات گالیله، چهره معاصر وی، کپلر، سه قانون ریاضی مشهور در مورد حرکت اجرام آسمانی به دست آورده و، بدین نحو، برهان نظریه خورشید مرکزی را به صورتی قطعی ارائه کرده بود. به این ترتیب، در حالی که دانشمندی علم حرکات زمینی را بنا می کرد، دانشمند دیگری نظریه حرکت های آسمانی را کامل کرد. این دوشاخه از علم مستقل از یکدیگر به نظر می رسیدند. تلاش برای یافتن رابطه ای بین آن ها دانشمندان بزرگ را به تحرک فکری واداشته بود. بزرگ ترین دانشمند آن رابطه را پیدا کرد.
دلیل خوبی وجود داشت که بپذیریم اصلی وحدت بخش وجود دارد. با توجه به قانون نخست گالیله در باب اجسام متحرک، جسم متحرک باید به حرکت در مسیری مستقیم ادامه دهد؛ مگر آن که نیرویی مسیرش را تغییر دهد. از این رو، سیارات، به هر نحوی که حرکت خود را آغاز کرده باشند، باید به خط مستقیم حرکت کنند؛ حال آن که، بر اساس قانون کپلر، آن ها مسیرهایی بیضوی به دور خورشید طی می کنند. بنابر این، باید بر سیارات نیرویی وارد آید، به نحوی که پیوسته آن ها را از مسیر مستقیمشان منحرف می کند؛ درست همان گونه که وزنه متصل به انتهای ریسمانی که به دور سر می چرخد از آن رو در خط مستقیم حرکت نمی کند که دست نیرویی بر آن اعمال می کند. احتمالاً خود خورشید چنین نیرویی بر سیارات وارد می کند. دانشمند روزگار نیوتن این واقعیت را قبول داشتند که زمین اجسامی را که بر آن سقوط می کند به سوی خود می کشد. این کنش سقوط جسمی را که به هوا پرتاب کرده ایم توجیه می کرد؛ چه در غیر این صورت، از آن جا که هیچ نیرویی از دست بر آن جسم وارد نمی آمد، بنا بر نخستین قانون حرکت، می بایست در هوا معلق باقی بماند. از آن جا که زمین و خورشید هر دو اجسام را جذب می کنند، این ایده که هر دو واکنش در یک نظریه وحدت پیدا کنند حتی در زمان دکارت هم مطرح و مورد بحث بود.
نیوتن این اندیشه کلی را به یک مسئله ریاضی تبدیل کرد؛ یعنی، بدون تعیین ماهیت فیزیکی نیروهایی که در ماجرا دخیل اند، به کمک ریاضیاتی عالی این مسئله را حل کرد. او توانست نشان بدهد که کنش خورشید بر سیارات را همان فرمول های ریاضی ای توصیف می کند که کنش زمین بر اجسام نزدیک خود. از آن جا که هر دو دسته پدیده را فرمول های یکسانی توصیف می کند، نیوتن نتیجه گرفت که در هر دو مورد نیروهای مشابهی عمل می کنند. این داستان را نقل کرده اند که تشخیص یگانگی جوهر کشش زمین بر اجسام و کشش خورشید بر سیارات، با مشاهده سقوط سیبی از درخت به ذهن نیوتن رسیده است؛ هر چند کارل فریدریش گاوس (5)، ریاضی دان مشهور، گفته است که نیوتن حکایت مذکور را برای خلاصی از شر آدم های احمقی که مرتب از وی چگونگی کشف قانون گرانش را می پرسیدند سرهم کرده است.
امروزه، نحوه استدلال نیوتن برای این که نشان دهد فرمول هایی که در مورد اجسام زمینی به کار می رود همان فرمول هایی است که در مورد اجسام آسمانی به کار می رود، در نمونه ای کلاسیک ارائه شده است. در این جا به روایتی از این استدلال که تا حدی خام و کلی است، ولی به هر حال جوهر آن را نشان می دهد، می پردازیم. مسیر حرکت ماه به دور زمین، مسیری است تا حدی دایره ای شکل. در شکل 1، از آن جا که ماه (یعنی M) بر مسیری مستقیم الخط نظیر MP حرکت نمی کند، واضح است که باید به واسطه نیرویی به سمت زمین کشیده شود. اگر MP مسافتی باشد که ماه بدون تأثیر گرایشی در مدت یک ثانیه می پیماید،

فاصله ای است که ماه، در مدت این یک ثانیه، به آن اندازه به سمت زمین کشیده می شود. نیوتن از

، به عنوان سنجه ای در تعیین نیروی کششی زمین بر ماه استفاده کرد. کمیتی معادل با این در مورد جسمی در نزدیکی زمین 9/4 متر است، زیرا جسمی که با دست رها شود، در ثانیه نخست به اندازه 9/4 متر به سمت زمین کشیده می شود و نیوتن می خواست نشان دهد در هر دو مورد

و 16 متر یک نیرو عمل می کند.

شکل 1. تأثیر گرایشی زمین بر ماه
محاسبه دقیق به او نشان داد که نیروی جاذبه یک جسم بر جسم دیگر به مربع فاصله ی بین مرکز آن دو جسم بستگی دارد و با افزایش فاصله، این نیرو کاهش پیدا می کند. فاصله بین مرکز ماه و مرکز زمین حدود 60 برابر شعاع زمین است. پس، تأثیر زمین بر ماه

تأثیر زمین بر جسمی در نزدیکی سطح زمین است؛ یعنی ماه به اندازه

متر در ثانیه به سمت زمین کشیده می شود. نیوتن، با استفاده از نتایج عددی ای که به کمک نسبت های مثلثاتی به دست آمده بود، دریافت که میزان کشش زمین بر ماه درست همین مقدار در هر ثانیه است. به این ترتیب، وی مهم ترین دلیل را به دست آورد تا نشان دهد که تمام اجسام در جهان یکدیگر را بر اساس تنها یک قانون جذب می کنند.
پژوهش های گسترده تر به نیوتن نشان داد که فرمول دقیق نیروی جاذبه بین هر دو جسم چنین است:

که در آن F نیروی جاذبه، M و m جرم دو جسم، r فاصه بین دو جسم و k عدد ثابتی است که برای تمام اجسام یکی است. مثلاً M می تواند جرم زمین و m جرم جسمی در نزدیکی سطح زمین باشد. در این حالت، r عبارت است از فاصله جسم تا مرکز زمین. فرمول (1) همان قانون مشهور جاذبه است.
نیوتن با به دست آوردن شکل دقیق این قانون، از طریق مطالعه حرکت ماه، نشان داد که این قانون را می توان برای حرکاتی که در سطح زمین یا نزدیکی آن صورت می گیرد نیز به کار برد. مطابق این قانون، زمین هر جسمی را به طرف خود می کشد. وقتی جسمی را نگه می داریم، کشش زمین بر آن جسم را احساس می کنیم. اگر M جرم زمین و m جسم باشد، F در فرمول (1) میزان کشش زمین بر جسم یا وزن جسم است. باید متذکر شویم که وزن یک نیرو است؛ در حالی که جرم کیفیتی است در اجسام که با مقاومت در برابر تغییر حرکت ارتباط دارد.
نیوتن در تمیز بین دو ویژگی ماده که به یکدیگر پیوسته اند، یعنی جرم و وزن، دقیق بود. جرم یک جسم ثابت است، اما وزن آن می تواند تغییر کند. مثلاً اگر فاصله یک جسم از مرکز زمین تغییر کند، وزن آن هم تغییر خواهد کرد. اگر جسمی به جرم m به 6000 کیلومتری سطح زمین برسد، فاصله آن جسم تا مرکز زمین دو برابر شده است و، به این ترتیب، با توجه به این که r در فرمول (1) نشان دهنده فاصله ابتدایی آن از مرکز زمین است، در این حالت 2r نماینده فاصله کنونی آن می شود. پس برای محاسبه وزن این جرم در جایگاه جدید آن لازم است 2r را به جای r بگذاریم. در نتیجه، مخرج فرمول (1) می شود

پس، F در این جایگاه جدید تنها

مقداری خواهد بود که بر روی زمین هست. یعنی جسمی به جرم m، در 6000 کیلومتری زمین تنها

وزنی را خواهد داشت که در روی زمین داشت است [در حالی که جرم آن تغییری نمی کند]. جمع بندی این حرف ها این است که با وجود آن، بر اثر تغییر مسافت تا مرکز زمین، جرم جسم ثابت می ماند، وزن آن تغییر می کند.
به نتیجه دیگری از فرمول (1) توجه کنید. فرض کنید M جرم زمین و m جرم جسمی در نزدیکی آن باشد. اگر فرمول (1) را به این صورت بنویسیم

و هر دو طرف این معادله را به m تقسیم کنیم، خواهیم داشت:

حال، فارغ از این ملاحظه که چه جسمی در نزدیکی سطح زمین است، با کمی دقت متوجه خواهیم شد که کمیت های سمت راست این رابطه معلوم اند، زیرا r (شعاع زمین) حدود 6000 کیلومتر است، M جرم زمین است و k هم که ثابت گرانش است و برای تمامی اجسام فرقی نمی کند. پس در مورد هر جسمی در نزدیکی سطح زمین نسبت به F/m، یعنی نسبت وزن جسم به جرمش ثابت است. پس دو ویژگی متمایز ماده، به نحوی بسیار ساده با یکدیگر رابطه کمی دارند. توضیح این رابطه شگفت تا تولد نظریه نسبیت مجهول بود. از آن جا که ما تقریباً همیشه با اجسم در نزدیکی سطح زمین سروکار داریم، به واسطه همین رابطه ثابت بین جرم و وزن، این دو ویژگی متمایز را با هم قاطی می کنیم. مثلاً وقتی می کوشیم ماشینی را با فشار آوردن به آن به حرکت درآوریم، گمان می کنیم وزن اتومبیل در برابر ما مقاومت می کند. ولی واقعیت آن است که در این جا جرم در برابر تغییر حرکت مقاومت می کند.
با توجه به قانون دوم حرکت و قانون گرانش می توانیم نتیجه دیگری را هم استنتاج کنیم. قانون دوم حرکت می گوید وقتی نیرویی بر جسمی به جرم m وارد شود، به آن جسم شتاب می دهد. پس، نیروی جاذبه زمین که بر جسمی وارد می شود، شتابی به آن خواهد داد. ولی می دانیم که مقدار نیروی جاذبه برابر است با:

در حالی که رابطه بین نیرو و شتابی که ایجاد می کند عبارت است از:
(4) F=ma
وقتی نیروی F در فرمول (4) همان گرانش در نظر گرفته شود، سمت راست فرمول های (3) و (4) با هم مساوی می شوند؛ زیرا سمت چپ این دو رابطه مساوی هم است.

اگر دو طرف این معادله را به m تقسیم کنیم، خواهیم داشت:

بنابر (5)، شتابی که نیروی گرانش زمین بر جسمی وارد می آورد برابر با

است و، از آن جا که هم k (ثابت جاذبه)، هم M (جرم زمین) و هم r (فاصله جسم تا مرکز زمین) ثابت هستند، کمیت

نیز برای همه اجسام در نزدیکی سطح زمین ثابت است. پس، شتاب سقوط همه اجسام به یک اندازه است، البته، این همان نتیجه ای است که گالیله به کمک آزمایش هایش به دست آورد و با روش هایی ریاضی از همین نتیجه ثابت کرد که تمام اجسام سقوط کننده از یک ارتفاع معین در مدت زمان یکسانی به زمین می رسند. ضمناً مقدار a به آسانی اندازه گیری شد و مقدار 8/9 متر در مجذور ثانیه به دست آمد.
از قوانین حرکت و جاذبه (گرانش) بسیاری نتایج هیجان انگیزتر می توان به دست آورد. برای این که قدرت استدلال ریاضی را دریابیم به یک نتیجه گیری دیگر توجه می کنیم: به محاسبه جرم زمین می پردازیم. برای رسیدن به این مقصود لازم است مقدار k را که ثابت جهانی جاذبه است و در فرمول (1) دیده می شود، پیدا کنیم. از آن جا این کمیت، مستقل از جرم هایی که در فرمول (1) وارد می شوند، ثابت است، می توان آن را در آزمایشگاه با استفاده از دو جرم معلوم M و m که به فاصله معین r از یکدیگر قرار دارند و نیز محاسبه جاذبه F بین آن دو به دست آورد. به این ترتیب k، که تنها مجهول رابطه (1) است، به دست می آید. این آزمایش را بسیاری از فیزیک دانان که مشهورترین آن ها هنری کوندیش (5) است، انجام داده اند. او به این نتیجه رسید که k کمیت بسیار کوچکی است معادل با

تقسیم بر صد میلیون (اندازه گیری بر حسب سانتیمتر، گرم و ثانیه انجام گرفته است).
حال می توانیم از فرمول (5) استفاده کنیم؛ که در آن k کمیتی است که با آزمایش کوندیش مقدارش معلوم شد، M جرم زمین، r شعاع زمین، a شتاب جسم در نزدیکی سطح زمین است. با توجه به این که اکنون تمام این کمیت ها، جز M، معلوم هستند، می توان این کمیت مجهول را اندازه گیری کرد. نتیجه

گرم خواهد بود، یعنی یک 6 و در کنارش 27 صفر بر حسب گرم؛ به عبارت دیگر، تن جرم زمین است.
از جمله نتایج فرعی جالبی که این محاسبه به دست می دهد، اطلاعاتی درباره مواد تشکیل دهنده زمین است. با توجه به این که شعاع زمین معلوم است، می توان حجم آن را، به فرض آن که شکلی کاملاً کروی داشته باشد، از فرمول حجم کره ( یعنی

به دست آورد. حال، به راحتی می توان محاسبه کرد که حجم یک متر مکعب آب چقدر است و، به این ترتیب، جرم زمین را در صورتی که کاملاً از آب تشکیل شده باشد محاسبه کرد. جرم واقعی زمین تقریبا

برابر جرم زمین بود وقتی زمین فقط و فقط از آب تشکیل شده بود. به این ترتیب، زمین شناسان نتیجه می گیرند که درون زمین از مواد سنگین تشکیل شده است.
اهمیت نیوتن و نظریه گرانشش را می توان چنین جمع بندی کرد: نیوتن با مطالعه حرکت ماه، شکل صحیح قانون گرانش را استنباط کرد. آن گاه نشان داد که این قانون و دو قانون حرکت برای کسب هر دانش با ارزشی در مورد حرکات اجسام زمین کافی است. به این ترتیب، وی به یکی از هدف های مهم برنامه گالیله دست یافت، زیرا نشان داد که قوانین حرکت و گرانش بنیادی هستند. این قوانین، همچون اصول موضوع اقلیدس، می توانند پایه ای منطقی برای کسب قوانین باارزش و اطلاع فیزیکی محسوب شوند. به راستی چه نیروزی بزرگی بود اگر، علاوه بر این ها، قوانین حرکت اجرام آسمانی نیز به دست آید.
این پیروزی هم نصیب نیوتن شد. او با رشته ای از استنتاج های به راستی حساس و سرنوشت ساز نشان داد که هر سه قانون کپلر از دو قانون بنیادی حرکت، به علاوه قانون گرانش، نتیجه می شوند. روش کلی یکی از این استنتاج ها را شرح می دهیم و باز هم قصد ما این است که قدرت ریاضیات را برای کسب دانش از دنیای فیزیکی از طریق روند استنتاجی تصویر کنیم. استنتاج ما تا حدی ساده تر از محاسبه ای است که خود نیوتن انجام داده است، زیرا ما به جای آن که فرض کنیم مدار سیاره ها بیضوی است، فرض می کنیم آن ها مداری دایره ای دارند. خود نیوتن از مسیر بیضی در حرکت سیاره ها بحث می کند، اما لزومی ندارد که ما به این اثبات مشکل تر متعهد باشیم.
بنابر قانون سوم کپلر، مربع زمان گردش هر سیاره به دور خورشید نسبت مستقیم دارد با مکعب میانگین آن از خورشید. این قانون را چنین می نویسند:

، که T زمان گردش سیاره از خورشید یا طول سال خورشیدی،D میانگین (یا متوسط) فاصله سیاره از خورشید و K عددی است ثابت؛ یعنی عددی که برای هر سیاره ای که در نظر بگیریم فرق نمی کند. برای استنتاج قانون سوم کپلر، توجه به واقعیت دیگری در مورد حرکت لازم است؛ واقعیتی که اثبات خود آن آسان است، اما در جهت بحث ما نیست. جسمی که مداری دایره ای را طی می کند در معرض نیرویی است که سبب می شود آن جسم از مسیر مستقیمی که بنابر قانون اول نیوتن باید از آن پیروی کند منحرف شود.

که m جرم جسم، v سرعت آن و r شعاع مسیر دایره ای حرکت است. چنین نیرویی بر هر سیاره عمل می کند و این نتیجه کشش گرانشی خورشید است. در هر حال، فرمول (6) شکل صحیح نیروی جذب به مرکز (7) [مرکز گرا] است؛ چه این نیرو از جاذبه ناشی شود، چه نشود.
در روند استنتاج قانون کپلر، نخست متوجه می شویم که سرعت یک سیاره، به فرض آن که مسیری دایره ای را با شتاب ثابتی بپیماید، عبارت است از پیرامون دایره ای که می پیماید تقسیم بر زمان گردش به دور خورشید، یعنی:

که اگر این مقدار v را در فرمول (6) بگذاریم، بیان جبری نیروی جذب به مرکز مؤثر بر یک سیاره را به دست می آوریم، یعنی

حال این نیروی جذب بر مرکز، یعنی F ناشی از نیروی جاذبه ای است که خورشید اعمال می کند و اگر جرم خورشید را با M نشان دهیم، خواهیم داشت:

با مساوی قرار دادن دو نیرویی که در فرمول (8) و (9) می بینیم، به این نتیجه می رسیم که:

در این جا می توانیم هر دو طرف معادله را بر m تقسیم کنیم که در نتیجه این عامل از هر دو طرف حذف شود؛ سپس، اگر هر دو طرف را در

ضرب و بر kM تقسیم کنیم، خواهیم داشت:

در این جا می بینیم که هر سیاره ای به جرم m را در نظر بگیریم ، M (یعنی جرم خورشید) و k ( یعنی ثابت گرانشی) تغییر نمی کنند.
پس، کمیت ثابت است و می توانیم آن را با K نشان دهیم. اگر r را هم با D نشان دهیم، خواهیم داشت:

و این همان قانون سوم کپلر است. بدین ترتیب قوانین مشهور سیارات را که کپلر از پس سال ها رصد و آزمون و خطای سخت کوشانه به دست آورد، می توان ظرف چند دقیقه به کمک قوانین نیوتن ثابت کرد.
روابط منطقی مهمی که در این قوانین نهفته است، برای خواننده ای که در پی تبیین توان ریاضیات است بسیار مفید است. ارزش عمده قوانین نیوتن، همان طور که دیدیم، در این واقعیت است که در ارتباط با بسیاری موقعیت های گوناگون مربوط به زمین و آسمان به کار می رود. همین روابط کمی مشخصات مشترک میان همه آن ها را مشخص می کند. بنابر این، آگاهی از فرمول ها در واقع نمایانگر آگاهی از تمامی موقعیت هایی است که آن فرمول ها نشان می دهند. کسی که از خصلت خشک و انتزاعی و بی فایده فرمول های ریاضی شکایت می کند، قادر به درک ارزش حقیقی آن ها نیست.
کار گالیله و نیوتن نه پایان که آغاز برنامه ای علمی بود. خود نیوتن این برنامه را به مقدمه اش بر اصول ریاضی فلسفه طبیعی، اثر کلاسیکی که محصول دوره درخشان جوانی اوست، صورت بندی کرده است:
این کتاب در واقع اصول ریاضی فلسفه [ علم] است، زیرا به نظر می رسد که تمام مشکلات فلسفه در این اثر مورد بحث قرار گرفته باشد- از پدیده های ناشی از حرکات تا بررسی نیروهای طبیعت و سپس از این نیروها تا به اثبات دیگر پدیده ها. گزاره های کلی کتاب اول و دوم در جهت رسیدن به این مقصد هستند. در کتاب سوم مثالی از این مقصود در توضیح سیستم جهان ارائه شده است، زیرا به کمک گزاره هایی که در کتاب نخست به طریق ریاضی اثبات شده اند در کتاب سوم نیروهای گرانش را، که به واسطه آن اجسام به سمت خورشید و سیاره ها کشیده می شوند، به دست می آوریم. آن گاه از این نیروها، همراه با گزاره های دیگری که آن ها هم خصلتی ریاضی دارند، حرکت سیاره ها، دنباله دارها، ماه و دریا را استنتاج می کنیم. ای کاش می توانستیم دیگر پدیده های طبیعت را نیز با همین طرز استدلال از اصول مکانیکی به دست آوریم، زیرا به دلایل بسیار گمان می کنم که تمامی این پدیده ها به نیروهایی بستگی دارند که به واسطه آن نیروها، ذرات تشکیل دهنده اجسام، به عللی که تاکنون ناشناخته مانده است، متقابلاً یکدیگر را جذب می کنند و به صورت پیکری منظم شکل می گیرند، یا آن که همدیگر را دفع می کنند و از هم دور می شوند.
قوانین بنیادی ریاضی و استنتاج پیامدهای این قوانین، همچون سنگی که از سرازیری تپه ای رها شود به زودی آن چنان شتابی گرفت که آوار بهمنی را رها کرد. به کمک روش هایی شبیه به آنچه در این مقاله تصویر کردیم، جرم خورشید یا هر سیاره و هر قمر رصد شدنی را محاسبه کردند. ایده نیروی گریز از مرکز (8)، نیرویی که در برابر نیروی جذب به مرکز عمل می کند، به حرکت زمین اطلاق گردید و، در نتیجه، بزرگی برآمدگی استوایی زمین اندازه گیری شد که از جمله پیامدهای آن درک تغییرات حاصل در وزن هر جسم از نقطه ای به نقطه دیگر بر روی سطح زمین است. با کسب شناخت لازم در مورد انحراف از کرویت چند سیاره محاسبه دوره چرخش آن ها میسر گردید. نشان داده شد که کشش های گرانشی ماه و خورشید عامل ایجاد جزر و مدهاست. مسیر دنباله دارها محاسبه و زمان باز آمدن آن ها به دقت پیش بینی شد. همچنین، عبور سریع دنباله دارها را از کنار زمین این طور توضیح دادند که از مدارهای بیضوی شان خروج از مرکز یافته اند. در عین حال، این کار ریاضی در مورد رفتار دنباله دارها، مردم را قانع کرد که دنباله دارها اعضای طبیعی عالم قانونمند و منظم هستند، نه پیام آورانی از عالم غیب که به قصد ایجاد هراس در دل مردم یا خرد کردن زمین به سوی آن روانه شده باشند. این محاسبات گواهی بی چون و چرا بر رفتار ریاضی طبیعت و نیز بر قدرت رهیافت کمی به طبیعت به دست می دهند.
این موفقیت در جست و جوی قوانین به ورای قلمرو اختر شناسی رفت. بررسی پدیده صوت، به عنوان جنبش ملکول های هوا، به کشف قوانین ریاضی جدیدی منجر شد. رابرت هوک (9) کشسانی (10) جامدات را اندازه گیری کرد. رابرت بویل (11)، ادم ماریوت (12)، گالیله، اوانجلیستا توریچلی (13)، و پاسکال فشار و چگالی مایعات و گازها را اندازه گیری کردند. یان باپتیستا وان هلمونت (14) از ترازو برای اندازه گیری وزن مواد استفاده کرد و این گامی مهم در شیمی معاصر بود. او همچنین به کمک هالِس با اندازه گیری دمای بدن و فشارخون مطالعات کمی در قلمرو فیزیولوژی آغاز کرد. ویلیام هاروی (15) به کمک برهان هایی کمی ثابت کرد که خونی که از قلب پمپاژ می شود، پیش از آن که به قلب باز گردد، یک دور کامل در بدن می گردد. دامنه مطالعات کمی به گیاه شناسی نیز کشیده شد؛ مثلاً میزان جذب و تبخیر آب توسط گیاه را تعیین کردند. اولائوس رومر (16) سرعت نور را اندازه گیری کرد. دریافتند که گرمای تابستان و سرمای زمستان بر حرکت مولکول های هوا، که یکدیگر را مطابق با قانون گرانش جذب می کنند، تأثیر می گذارد. به زودی قوانینی که رشته های جداگانه علم را به هم پیوند می داد کشف شد. مثلاً پدیده های شیمیایی، الکتریکی، مکانیکی و گرمایی از طریق قانون بقای انرژی با هم پیوند یافتند.
تمام این ها، تنها آغاز جنبش علمی گسترده و بی سابقه ای بود که نشان رسمی دنیای مدرن محسوب می شود. طول مسیر این جنبش از این اعتقاد نیوتن جدا نشد که گفت می توان تمام پدیده های طبیعت را از قوانین حرکت و گرانش به دست آورد. برای این که نشان دهیم برنامه نیوتن در چه بازه ی گسترده ای به اجرا درآمد به یکی دو مثال از دستاوردهای ممتاز قرن هجدهم اشاره می کنیم.
هر چند، به هنگام مرگ نیوتن، در 1727، مدارک بسیاری در تأیید نظام تغییر ناپذیر ریاضی افلاک وجود داشت، بی نظمی هایی هم در حرکات اجرام آسمانی مشاهده می شد که توجیه ناشده باقی مانده بود. مثلاً، با وجود آن که همواره یک طرف ماه به سوی زمین است، مناطق نزدیک به حاشیه مرئی آن متناوباً کمابیش مرئی می شود. به علاوه، افزایش دقت رصد نشان داده بود که مدت میانگین ماه قمری، حدود

ثانیه در هر قرن کاهش پیدا می کند (حد این دقت آن چنان بود که رصد و نظریه در یک تراز قرار گرفتند). سرانجام، در خروج از مرکز های مدارهای سیاره ای نیز تغییرات اندکی را از طریق رصد مشاهده کرده بودند.
انحراف ها از قانون و نظم کامل، مثل همین سوال هایی که زدیم، به یک سوال اساسی منجر شد: آیا دستگاه منظومه شمسی پایدار است؟ یعنی آیا این بی نظمی ها، هر چند هم اندک، به تدریج افزایش نمی یابند و، از طریق آثار پیچیده ای که اجرام آسمانی بر یکدیگر دارند، دستگاه منظومه شمسی را از تعادل خارج نمی کنند؟ چرا نباید سیاره بر اثر انباشت این بی نظمی ها روزی در فضا رها نشود؟ یا آن که چرا نباید روزی زمین به خورشید برخورد نکند؟
نیوتن از بسیاری از این بی نظمی ها آگاه بود و ضمن مطالعات خود کوشیده بود معمای حرکت ماه را حل کند. ماه مسیری بیضوی دارد؛ مسیری که تا حدی شبیه مسیر حرکت آدمی هست بر خطی مستقیم است. ماه گاهی به تندی راه می پیماید و گاه به کندی، و گاه هم از یک طرف به طرف دیگر تاب بر می دارد. نیوتن این نکته را قبول داشت که بخشی از این رفتار غیر عادی نتیجه این واقعیت است که خورشید نیز همچون زمین ماه را جذب می کند و این امر سبب می شود ماه از مسیری بیضوی واقعی خود منحرف شود. هر چند چون او نمی توانست ثابت کند که تمامی بی نظمی های رصد شده در حرکات ماه و سیاره ها نتیجه کشش های گرانشی است و نیز نتوانست نشان دهد که تأثیر انباشتی این بی نظمی ها در نهایت سبب گسیخت سیستم خورشیدی نمی شود، احساس کرد که لازم است خدا را برای حفظ کنش عالم در نظر بگیرد. اما پیروان قرن هجدهمی نیوتن تصمیم گرفتند کمتر به خدا و بیشتر به توان استنتاجی خود تکیه کنند.
مسیر هر سیاره به دور خورشید تنها در صورتی که یک سیاره و خورشید در آسمان وجود می داشت، بیضی بود. اما سیستم خورشیدی نه سیاره دارد و بسیاری از این سیاره های قمرهایی دارند و همه این ها نه تنها به دو خورشید درحرکت اند، بلکه بر اساس قانون جهانی گرانش نیوتن، بر یکدیگر نیز جاذبه ای وارد می کنند. بنابراین، تردید نیست که حرکات آن ها نمی تواند بر مدارهایی به راستی بیضی صورت گیرد. مسیر دقیق آن ها در صورتی معلوم خواهد شد که حل مسئله ای کلی میسر باشد؛ یعنی مسئله تعیین نحوه حرکت تعدادی دلبخواه از اجسام که هر یک از آن ها بر تمام دیگر اجسام بر حسب کنش گرانش اثر می گذارند. اما این مسئله ورای توانایی های هر ریاضی دانی بود. با وجود این، دو تن از بزرگ ترین ریاضی دانان قرن هجدهم مؤثرترین گام ها را در جهت رسیدن به این مقاصد برداشتند. ژوزف لوئی لاگرانژ (17)، ریاضی دان فرانسوی ایتالیایی الاصل، هنگامی که بیست و هشت ساله بود، مسئله حرکت ماه بر اثر جاذبه زمین و خورشید را حل کرد و نبوغ درخشان خود را نشان داد. او نشان داد که تغییر در آن بخشی از ماه که مرئی است نتیجه برآمدگی استوایی ماه و زمین است. علاوه بر این، او نشان داد که تأثیر جاذبه خورشید و ماه بر زمین از جمله سبب انحراف محور چرخشی زمین به مقادیری قابل محاسبه می شود. و از این رو، انحراف محور چرخشی زمین، که نتیجه اش پدیده ای است که حداقل از روزگار یونان باستان با آن آشنا بودند، یعنی پدیده تقویم اعتدالین، معلوم شد که از جمله نتایج ضروری ریاضی قانون گرانش است. لاگرانژ، در تحلیل حرکت های قمرهای مشتری، گاه مهم دیگری برداشت. او با این تحلیل نشان داد که در این جا نیز بی نظمی های مشاهده شده معلول گرانش هستند. او تمام این نتایج را در کتاب مکانیک تحلیلی (18) خود (اثری که کار نیوتن را در زمینه مکانیک بسط داد، به زبانی صوری درآورد و، خلاصه، به اوج کمال رساندش) اعلام کرده است. لاگرانژ یک بار شکوه کرده بود که نیوتن خوش اقبال ترین مرد بود، زیرا یک جهان بیشتر وجود نداشت و نیوتن قانون ریاضی این یک جهان را کشف کرده بود؛ هر چند لاگرانژ هم این افتخار را نصیب خود ساخت که کمال نظریه نیوتن را به دنیا ثابت کند.
پیر سیمون لاپلاسِ (19) فرانسوی نیز، که همچون لاگرانژ نشانه های نبوغ خود را در جوانی آشکار کرده بود، زندگی اش را وقف مسئله کاربرد قانون گرایش نیوتن در ارتباط با سیستم خورشیدی کرد. یکی از دستاوردهای مهم لاپلاس اثبات این مطلب بود که بی نظمی هایی که در خروج از مرکز مسیرهای بیضوی وجود دارد پدیده ای دوره ای است؛ یعنی آن که این بی نظمی ها حول مقادیر ثابتی در نوسان هستند و، بنابراین، آن قدر زیاد نمی شوند که حرکات منظم افلاک را بگسلند. مختصر آن که جهان پایدار است و این نتیجه ای است که لاپلاس آن را در اثر دوران ساز خود، مکانیک سماوی (20)، ثابت کرد.
زمانی که لاپلاس درگذشت (دقیقاً یک قرن پس از مرگ نیوتن)، کمال ریاضی عالم دیگر امری بدیهی می نمود. این کمال در پاسخ لاپلاس به ناپلئون منعکس است. وقتی ناپلئون نسخه ای از مکانیک سماوی لاپلاس را خواند، به او خرده گرفت که اثری در مورد سیستم جهان نوشته است که در آن ذکری از خدا نشده است. لاپلاس پاسخ داد که « به این فرضیه نیازی نداشتم». جهان پایدار بود و به خدا دیگر نیازی نبود؛ حتی بدان گونه که نیوتن تصور می کرد- برای تصحیح بی نظمی های جهان یا پیش گیری از رفتار خطا.
یکی از نتایج مهم نظریه عام نجوم لاگرانژ و لاپلاس به خصوص شایسته یادآوری است. این نتیجه پیش بینی صرفاً نظری وجود و مکان سیاره نپتون است. حدس آن ها این بود که انحرافات تبیین نشده در حرکت سیاره اورانوس نتیجه کشش گرانشی سیاره ای ناشناخته بر اورانوس است. دو ستاره شناس، یکی جان کاچ ادمز (21) از انگلستان و دیگری اوربن لووریه (22) از فرانسه، با توجه به بی نظمی های رصد شده در حرکات سیاره اورانوس و نظریه عام نجوم به محاسبه مدار سیاره مفروض اقدام کردند. پس از این، رصدکنندگان به جست و جوی سیاره پیش بینی شده، در مکان و زمانی که ادمز و لووریه به کمک ریاضیات تعیین کرده بودند، برآمدند. سیاره پیدا شد. این سیاره با تلسکوپ های آن زمان به سختی قابل دیدن بود و به زحمت می توان پذیرفت که اگر منجمان با پیش بینی های ریاضی به جست و جوی آن بر نمی آمدند، می توانستند آن را بیابند. مسئله ای که ادمز و لووریه حل کردند به راستی مسئله مشکلی بود، زیرا به تعبیری می توان گفت آن ها این مسئله را به طریق معکوس حل کردند؛ یعنی به جای آن که آثار سیاره ای را که جرم و مسیرش معلوم است محاسبه کنند، جرم و مسیر سیاره ای ناشناخته را با توجه به آثار آن بر اورانوس یافتند. بنابراین، توفیق آن ها در واقع پیروزی بزرگ نظریه نیوتن محسوب می شد و آن را برهان قاطع کاربرد پذیری قانون گرانش نیوتن شناختند.
در اواسط قرن هجدهم، بصیرت بی حد و مرز رهیافت کمی گالیله و نیوتن به طبیعت رسماً به کرسی نشست و باب شد. اگر آنان زحمت حل مسئله حل نشده تحلیل کمی ماده و نیرو را متقبل نمی شدند، علم را چندان پیش تر از آن جایی نمی بردند که در سده های میانی بود. مسئله ساختار ماده بسیار پیچیده بود و، در واقع، کاوش های جدید در زمینه نظریه اتمی نخستین تلاشی است که میزان فوق العاده پیچیده این ساختار را نشان داد. گالیله و نیوتن از بحث در مورد ساختار ماده پرهیز کردند، اما نشان دادند که چگونه می توان ویژگی های گرانشی و اینرسیایی آن را بر حسب شتاب، یعنی بر حسب فاصله و زمان، اندازه گیری کنند، تبیین کمی نیروی جاذبه نیز غیر ممکن می نمود. خود نیوتن اعتراف می کرد که ماهیت این نیرو برای او رازی است ناگشوده. این که دقیقاً چگونه نیروی گرانش از فاصله 150 میلیون کیلومتری خورشید تا زمین به زمین می رسد و زمین را در حیطه اقتدار خورشید نگه می دارد، در نظر او نیز مبهم بود و هیچ فرضیه ای در این باره ارائه نکرد. او امیدوار بود که دیگران به بررسی ماهیت این نیرو بپردازند و کسانی نیز کوشیدند که جاذبه را فشاری تلقی کنند که از طریق محیطی واسطه، یا به طرقی دیگر، اعمال می شود. اما تمامی این تلاش ها بی ثمر بود. بعدها، از این گونه تلاش ها یکسره دست برداشتند و گرانش را مسئله ای دانستند که بر همگان فهم ناپذیر است. اما نیوتن، با وجود جهل کامل از ماهیت فیزیکی گرانش، توانسته بود از چگونگی عملکرد آن فرمولی کمی ارائه کند که هم مفید بود و هم مهم. پارادوکس علم مدرن نیز در همین است که هر چند جست و جوی ماهیت در آن این همه اندک است، دستاوردهایی چنین بسیار داشته است.
کار گالیله و نیوتن نتایج حیاتی دیگری هم دارد. نظریه کوپرنیک تا حدی عرفان زدگی خرافه و الهیات را کنار زد که در نتیجه حجاب آسمان ها دریده شد و انسان توانست از منظری عقلانی تر در آن ها بنگرد. قانون گرانش نیوتن هم تار عنکبوت هایی را که به گوشه کنارها تنیده شده بود درهم تنید، زیرا نشان داد سیاره ها از همان الگوی رفتاری ای تبعیت می کنند که اجسام متحرک معمولی بر زمین. این واقعیت گواه قاطع دیگری به دست داد مبنی بر این که سیاره ها از مواد معمولی تشکیل شده اند. یکی دانستنِ ماهیت مواد تشکیل دهنده آسمان با مواد پوسته زمین کتابخانه ها را که از آموزه هایی پرت و پلا در باب ماهیت اجسام آسمانی آکنده بود، یکسره از میان برداشت و، به ویژه، ثابت کرد تفکیکی که بزرگان یونان باستان و متفکران سده های میانه بین آسمان های فسادناپذیر و غیر قابل تغییر و کامل با زمین تباه شونده و ناقص قائل بودند چیزی جز توهمات انسان نیست.
با یکی دانستن ماهیت اجرام زمینی و آسمانی، کار گالیله و نیوتن وجود قوانین ریاضی جهان شمول را به رسمیت شناساند. این قوانین رفتار یک ذره غبار را با همان موفقیتی شرح می دادند که عملکرد دورترین ستاره را. هیچ گوشه جهان از کنترل آن قوانین خارج نبود. بدین سان، ایده طرح ریاضی عالم عمیقاً و شدیداً رشد یافت و قوت گرفت. از این گذشته، پیوستگی همیشگی و بی تغییر پدیده های طبیعی با الگوی این قوانین از یکنواختی و تغییر ناپذیری طبیعت همخوان و با باور قرون وسطایی به مشیت مقتدر مغایر بود.
قرن هفدهم جهانی را یافت کیفی که در سیطره اراده الهی بود و تنها بر حسب مقاصد خالق درک می شد. این دیدگاه جهانی مکانیکی را به آدمی عطا کرد که بر حسب قوانین ریاضی جهان شمول و بی تغییری عمل می کند. هر چه از آن زمان به روزگار خود نزدیک تر می شویم، واضح تر می شود که تحولی که در آن دوره شکل گرفت چیزی در حد و اندازه های یک انقلاب فرهنگی بود.
از بررسی گام های اساسی که به این انقلاب فکر منجر شد، درس مهمی می توان آموخت. در مطالعه آسمان ها نخستین سنگ بنای بزرگ علمی را در ساخت نظریه نجوم ائودوکسوس در اختیار گذاشت. در پی این نظریه سیستم کمی هیپارخوس و بطلمیوس پدید آمد که عملاً بسیار مفید و به شدت تأثیرگذار بود. مطالعه دقیق تر آسمان ها آتش نجوم انقلابی کوپرنیک و کپلر را برافروخت. نظریه جهانی گرانش، بر اساس نظریه خورشید مرکزی فرضیه ای قابل قبول گردید. اعتبار این قانون با استنتاج قوانین کپلر از آن هر چه بیشتر تأیید شد. سرانجام، کار لاگرانژ و لاپلاس در نجوم هرگونه تردیدی را در مورد حکومت قوانین جهان شمول ریاضی بر طبیعت از میان برداشت. درسی که می توان آموخت این است که «ستاره نگر» کنجکاو در مورد جهان ما بسیار بیش از آدم عمل پرستی که درگیر « امور روزمره» است سخن برای گفتن دارد. عالی ترین دانش ما در مورد رفتار حتی آن پدیده های طبیعی ای که در پیرامون بلافصل ما هستند، از تأمل در باب آسمان ها و نه از پیگیری مسائل عملی روزمره حاصل می شود. جوهر این قوانین آن است که به انسان این امکان را می دهد که به تمامی پدیده های طبیعت، حتی آن پدیده هایی که یکسره توضیح ناپذیرند، رفتاری نسبت دهد که بیشتر نظام مند است تا بی هنجار. عوض کردن جای قوانین با امور فوق طبیعی از این طریق میسر می شود که روی خود را از مسائل هر روزه پیرامون خود برگردانیم و حرکت دورترین ستارگان را مطالعه کنیم.
کار کوپرنیک، کپلر، گالیله، و نیوتن بسیاری از آرزوها و رؤیاها را تحقق بخشید. رؤیا و امید اختربینان عهد باستان و سده های میانه این بود که راه های طبیعت را پیش بینی کنند.
برنامه بیکن و دکارت هم این بود که برای بهبود امور انسان باید بر طبیعت سیطره یافت. انسان به هر دو هدف دست یافت؛ هم به هدف علمی و هم به هدف تکنولوژیکی. قوانین جهان شمول یقیناً پیش بینی پدیده هایی را که از آن صحبت می کردند ممکن کرد و تسلط بر طبیعت تنها یک گام بعد از پیش بینی آن است، زیرا آگاهی از مسیر درست و واقعی استفاده از طبیعت را در خدمات مهندسی ممکن می کند.
با کار گالیله و نیوتن، برنامه دیگری هم در مورد کاوش و درک طبیعت محقق شد. بنابر فلسفه فیثاغورسی- افلاطونی، روابط عددی کلید رازگشای عالم هستند و تمام چیزها را می توان از طریق عدد شناخت. این فلسفه عنصری اساسی در این طرح گالیله بود که ویژگی های کمی پدیده ها را از طریق فرمول ها به هم مربوط می کند. این فلسفه در سرتاسر سده های میانه زنده ماند؛ هر چند اغلب، درست مثل خود فیثاغورسیان، بخشی از نظریه عرفانی بزرگ تری در باب آفرینش محسوب می شد که، بر اساس آن، اعداد صورت و علت تمام چیزهای آفریده شده بود. گالیله و نیوتن جامه تبیین های عرفانی و رازآمیز را از تن فیثاغورسیان بیرون کردند و آن را از نو به شیوه ای آراستند که از آن پس روال همیشگی علم مدرن شد.

پی نوشت ها :

1- I. Barrow ، ریاضی دان و متألة انگلیسی (1630- 1677)
2- E. Halley ، منجم و ریاضی دان انگلیسی (1656- 1742)
3- Mathematical Principles of Natural Philosophy
4- Newtonianism for Ladies
5- K. F. Gauss ، ریاضی دان و منجم آلمانی (1777- 1855)
6- H. Cavendish ، عالم انگلیسی فیزیک و شیمی (1731- 1810)
7- centripetal force
8- centrifugal force
9- R. Hooke ، عالِم انگلیسی (1635- 1703)
10- elasticity
11- R. Boyle ، شیمی دان انگلیسی (1627- 1691)
12- E. Mariotte ، فیزیک دان و شیمی دان فرانسوی (ح 1620- 1684)
13- E. Torricelli ، فیزیک دان و ریاضی دان ایتالیایی (1608- 1647)
14- J. B. van Helmont ، پزشک، شیمی دان و فیزیک دان فلاندری (1577- 1644)
15- W. Harvey ، پزشک انگلیسی (1578- 1657)
16- O. Römer ، منجم دانمارکی (1644- 1710)
17- Joseph Louis Lagrange ، ریاضی دان فرانسوی (1736- 1813)
18- Mécanique analytique
19- Pierre Simon Laplace ، ریاضی دان، فیزیک دان و منجم فرانسوی (1749- 1827)
20- Mécanique céleste
21- John C. Adams ، منجم انگلیسی (1819- 1892)
22- Urbain J. J. Leverrier ، منجم فرانسوی (1811- 1877)