پیش بینی و احتمال

کلید واژه ها:

جبر، احتمال، ریاضی
جالب است که علمی که با توجه به بازی های مبتنی بر شانس آغاز شد در ردیف مهم ترین مباحث معرفت انسانی درآمد.
پیر سیمون لاپلاس
جرونیمو کاردان، استاد ریاضیات و پزشکی در عهد رنسانس، با آن همه نبوغ و بی پایبندی به هیچ اصلی، بیش از چهل سال هر روز قمار می کرد. از همان اویل به این نتیجه رسید که اگر برای بردن بازی نکند، نمی تواند وقتی را که برای قمار تلف کرده جبران کند، و همان بهتر که برود پی درس و مدرسه. از آن جا که اصلاً خوش نداشت وقتی را با کارهای بی فایده تلف کند، با جدیت تمام به مطالعه احتمالات تاس اندازی و آس کشیدن از میان یک دست ورق پرداخت. کاردان نتایج تحقیقات خود را در کتاب راهنمایی با عنوان کتاب قماربازان (1) برای دیگر قماربازان منتشر کرد. در این کتاب وی نه تنها نتیجه تفکراتش را در این مورد شرح می دهد، بلکه از تجربه های عملی خود نیز سخن می گوید. مثلاً می نویسد که شانس بیرون کشیدن یک ورق به خصوص از میان دسته ورقی، وقتی آن ورق لیز شده باشد، به نحو چشمگیری افزایش پیدا می کند. به این ترتیب، شاخه ای از ریاضیات بنا نهاده شد که امروزه بنیاد نظریه گازها، تجارت بیمه و فیزیک ذرات اتمی به شمار می آید.
حدود صد سال بعد، قمارباز دیگری به نام شوالیه دو مِره (2) با مسئله ای در احتمالات روبه رو شد و، از آنجا که فاقد توانایی های ممتاز ریاضی کاردان بود، آن را برای بلز پاسکال، اعجوبه ریاضی عصر خود، فرستاد. شور و سرعتی را که پاسکال برای حل این مسئله به خرج داد احتمالاً چنین می توان تبیین کرد که وی انتظار داشت نظریه ای در باب احتمالات بتواند مشکلات اساسی و پیچیده ای را که در تمام زندگی اش ذهن او را آشفته، جسمش را فرسوده و روحش را شکنجه کرده اند حل کند.
هیچ رفتاری اسرار آمیزتر از تناقض های پاسکال نیست. باورها و تمایلات متضاد بلهوسی های عجیبی را در رفتارش پدید آورده و سبب شده بود پیوسته میان قدیس و کافر در نوسان باشد. تلاش های ادبی او بین استدلال های جدی در زمینه مباحث کلامی و الهیات- همچون نامه های ولایتی که از لحاظ شیوه نگارش شاهکاری به شمار می آید- و اندرز در باب عشق- همچنان که در گفتار در انفعالات عشق (3) دیده می شود- گیج می خورد. او که شدیداً دل مشغول تفاوت های میان آموزه های « کتاب مقدس» و جزم های کلیسای کاتولیک بود، وقتی پای پول به میان آمد هر دو را به کناری نهاد تا بتواند با دلی آسوده ارث و میراث خواهرش را بالا بکشد. جایزه ای را که برای ایجاد رقابت علمی بین دانشمندان روزگار خود گذاشته بود به خود داد و بعد هم از فقدان خلوص نیت در دانشمندان گلایه می کرد. به مردم نصیحت می کرد که عشق خود، حتی عشق به فرزندان خود را محدود کنند و به عقل بیش از احساس بها دهند؛ با این حال، خود در بررسی عملی و آزمایشی نتیجه گیری هایش در مورد انفعالات عشق هیچ تردیدی را روا نمی داشت! خاطری همیشه مشوش در مورد راه رستگاری داشت، ولی آن قدر گناه کرده بود که از یافتن این راه عمیقاً می ترسید. لذت حریصانه ای که در تجربه های مذهبی داشت او را با قدیسان هم تراز می کرد، اما رفتارش با مردم به خاطر افراط در گناه اعتباری نداشت. او که خود نقش آفرینی نام آور در مجردترین و عقلانی ترین تلاش آدمی، یعنی ریاضیات، بود، عمیقاً باور داشت که حقیقت از قلب ساطع می شود. پاسکال به معجزه معتقد بودند؛ کاری که خود ثابت کرد احتمالش آن قدر کم است که نمی توان به آن معتقد بود. مدافع سرسخت ایمان بود و، در عین حال از جمله پایه گذاران عصر خِرد.
حتی زندگی علمی پاسکال هم پر از تناقض است. پدرش از آن جا که از تأثیر فشار فکری بر سلامت فرزندانش نگران بود، مطالعه ریاضی را از همان سنین کودکی برایش ممنوع کرد؛ به همین دلیل در دوازده سالگی کنجکاو شد که بداند موضوعی که او را از مطالعه اش منع کرده اند اصولاً چیست؟ وقتی پاسخ پدرش را شنید، تا حد بلعیدن محتوای ریاضیات پیش رفت. دو سال بعد، در گردهمایی های علمی ریاضی دانان بزرگ فرانسوی، که هر هفته برگزار می شد، پذیرفته شد. در شانزده سالگی قضیه مشهوری را ثابت کرد. آن مسئله احتمالات را شوالیه، در سی و یک سالگی پاسکال، که البته سی و نه سال هم بیشتر عمر نکرد، برای او فرستاد. پاسکال با فرما تماس گرفت و ضمن نامه هایی که با هم رد و بدل می کردند، به بنیادهای احتمالات دست یافتند.
سودمندی بالقوه نظریه ای در باب احتمالات باید آشکار باشد. در مورد آینده، حتی اگر منظورمان از آینده یک ساعت دیگر باشد. هیچ چیز قطعی نیست. چند دقیقه دیگر ممکن است زیر پای ما شکاف بردارد. اما چنین فاجعه محتملی ما را نگران نمی کند، زیرا می دانیم که احتمال وقوع چنین رویدادی بسیار اندک است. به عبارت دیگر، احتمال وقوع یا عدم وقوع یک رویداد است که نحوه برخورد ذهنی و کنش عملی ما را در رابطه با آن رویداد تعیین می کند.
در استفاده روزمره خود از مفهوم احتمالات صرفاً به این بسنده می کنیم که حدس بزنیم میزان احتمال فلان رویداد زیاد است یا کم. از این گذشته، قضاوت های عددی هم که در مورد احتمال وقوع یک رویداد می زنیم معمولاً تخمین هایی هستند خیلی کلی. ولی استفاده از تخمین هایی که دامنه گسترده ای دارند، به عنوان مبنایی برای تصمیم گیری در امور جدی و اساسی مهندسی، پزشکی و تجاری کافی نیستند. در چنین مواردی لازم است احتمال دقیق عددی رویداد خاص مورد نظر خود را بدانیم و ریاضیات این امکان را متحقق می کند. وقتی از وقوع یا عدم وقوع رویدادی نامطمئن ایم، ریاضیات است که به ما می گوید چقدر نامطمئن ایم. چنین احتمال های عددی راهنماهای مطمئنی برای اعمال ما هستند.
ببینیم این احتمالات چگونه به دست می آید. مثلاً چقدر احتمال دارد وقتی تاسی را می اندازیم، چهار بیاید؟ یک راه حل این است که مثلاً 100000 بار تاس بیندازیم و تعداد دفعاتی را که چهار می آید، بشماریم. نسبت تعداد آمدن چهار در 100000 دفعه تاس اندازی پاسخی است که بسیار نزدیک به سؤال مورد نظر ماست. اما ریاضی دانان دوست ندارند که از چنین روشی پیروی کنند مگر آن که مجبور شوند. آن ها اساساً آدم های تنبلی هستند و ترجیح می دهند به جای آن که بازوی خود را با تاس اندازی خسته کنند، روی مبلشان بنشینند و راجع به موضوع فکر کنند- مگر این که، احتمالاً، مثل کاردان، بیش از یک مشغله ذهنی داشته باشند.
پاسکال و فرما به جای این کارها چنین استدلال کردند: تاس شش وجه دارد؛ وقتی تاس می اندازند، احتمال آمدن هر یک از این شش وجه [ یا شش عدد] مساوی است، چرا که در شکل تاس یا در روش پرتاب آن چیزی نیست که احتمال رو شدن یک عدد را بیشتر از اعداد دیگر کند؛ از این شش احتمال مساوی تنها یکی، مثلاً رو شدن چهار، مورد نظر ماست. پس احتمال آوردن چهار برابر 6/1 است. اگر بخواهیم چهار یا پنج بیاید، باید بگوییم که احتمال 6/2 است؛ زیرا در این حالت، دو امکان از شش امکان محتمل مطلوب است. اما در صورتی که نه چهار بخواهیم و نه پنج، چهار امکان مطلوب داریم که احتمال آمدن آن ها 6/4 است.
به طور کلی، تعریف معیاری کمّی از احتمال از این قرار است: « اگر از میان n امکان که احتمال همه آن ها هم مساوی باشد، m تا از آن ها مطلوب باشند، احتمال عدم وقوع این رویداد m/n و احتمال وقوع همین رویداد (n-m)/n خواهد بود». با توجه به این تعریف عام از احتمال، اگر چه هیچ امکانی مطلوب (میسر) نباشد، یعنی اگر هیچ رویدادی ممکن نباشد، احتمال آن رویداد0/n یا 0 خواهد بود؛ در حالی که اگر تمام n احتمال مطلوب (میسر) باشد، یعنی اگر وقوع رویداد قطعی باشد، احتمال آن n/n یا 1 خواهد بود. بنابر این، سنجه عددی احتمال می تواند از صفر تا یک تغییر کند، یعنی از محال تا قطعی.
برای روشن شدن تعریف بالا به مثالی دیگر توجه کنید: احتمال بیرون کشیدن یک آس از میان یک دست ورق معمولی 52 تایی چقدر است؟ در این جا 52 گزینه داریم که احتمال رو شدن هر کدام هم مساوی است؛ از این 52 امکان، 4 امکان مطلوب است. پس، احتمال همیشه در مورد صدق این گزاره که احتمال بیرون کشیدن یک آس از میان 52 ورق است، تا حدی تردید وجود دارد. آیا این حرف به این معناست که اگر کسی 13 بار، هر بار یک کارت را بیرون بکشد (به فرض آن که هر بار کارت بیرون کشیده را به جای خود بگذارد) کارتی که نوبت بعد بیرون می کشد یک آس است؟ چنین نیست. این شخص شاید 30 تا 40 بار کارت بکشد و آسی هم بیرون نیاورد. اما هر چه تعداد دفعات کشیدن کارت بیشتر شود، نسبت تعداد آس کشی به کل کارت کشی او به نزدیک تر خواهد بود. این انتظاری است منطقی؛ زیرا هر چه تعداد بیشتری کارت بکشیم، این احتمال افزایش می یابد که همه کارتها را به دفعاتی تقریباً یکسان بکشیم.
از جمله بدفهمی های مربوط به این مسئله، این است که معمولاً می گویند اگر کسی در همان اولین بار آسی بیرون بکشد، احتمال آن که بار دوم نیز بتواند آسی را بیرون بکشد کمتر از 13/1 خواهد بود. حال آن که این بار هم احتمال همان است که بود؛ یعنی اگر این شخص با سه حرکت متوالی سه آس هم بیرون بکشد، احتمال کشیدن آس چهارم با حرکت چهارم همان 13/1 است. ورق یا سکه نه آگاهی دارد و نه حافظه و آنچه قبلاً اتفاق افتاده است بر آنچه اتفاق خواهد افتاد تأثیری نمی گذارد. نکته اساسی در احتمال 13/1 این است که این احتمال می گوید با « بارها و بارها» کشیدن ورق چه اتفاقی می افتد.
واژه ای که در بحث از گزاره های مبیّن احتمالات بسیار مورد استفاده قرار می گیرد، « بخت» (4) است. احتمال این که در یک تاس اندازی چهار بنشیند است، احتمال این که چهار ننشیند است. بخت آوردن چهار، نسبت احتمال اول به احتمال دوم است، یعنی به 5؛ بخت نیاوردن چهار برابر با نسبت یا 5 به 1 است. مثال دیگری بزنیم: احتمال آوردن « شیر» در پرتاب سکه است؛ احتمال نیاوردن آن هم است، پس بخت آوردن و نیز نیاوردن « شیر» 1 به 1 است. در چنین حالتی می گویند بخت برابر است.
این تعریف از احتمال بسیار ساده است و ظاهراً هم به سهولت می توان کاربردهایش را دید. حال فرض کنید بگوییم احتمال این که کسی به سلامتی از عرض خیابانی بگذرد است، زیرا بیش از دو حالت ممکن وجود ندارد، یا آن که به سلامت عرض خیابان را طی می کند یا نه. در صورتی که این استدلال معتبر بود، خواننده می توانست این صفحه را با خیال راحت به پایان ببرد؛ اما این استدلال ضعیف و مغلطه آمیز است، زیرا دو امکان پیمودن عرض خیابان به سلامت پیمودن عرض خیابان با تصادف و جراحت « به یک اندازه محتمل نیستند.» تعریفی را که فرما و پاسکال از احتمال به دست داده اند تنها در موقعیت هایی می توان به کار برد که آن موقعیت ها را بتوان به امکاناتی تحلیل کرد که به یک اندازه متحمل باشند.
از آن جا که این مطلب در کاربرد تعریف احتمال بسیار مهم است، شاید لازم باشد بار دیگر به این مسئله توجه کنیم که آیا شانس رو شدن هر یک از عددهای تاس به یک اندازه است یا نه. این دقیقاً همان چیزی است که گهگاه در زندگی برخی از تاس اندازان می بینیم: بررسی کردن تعداد دفعاتی که هر عدد رو می شود.
اما اگر باید برای تحقیق نتایجی که ریاضیات احتمال در مورد تاس اندازی به دست آورده تاس بیندازیم، چه بسا بهتر باشد از این نظریه چشم بپوشیم. در مورد تاس، بدون هر گونه آزمونی، کاملاً مطمئنیم که احتمال نشستن هر ور تاس به یک اندازه است. شکی نیست که این فرض از لحاظ منطقی اعتبار دارد، اما می توان آن را با دانشی که از ویژگی های مکعب داریم- اگر خود تاس را هم نشناسیم- تقویت کرد؛ درست همان طور که اصول هندسه مسطحه با تجربه تأیید و تقویت می شوند. به هر حال، هر جا مطمئن باشیم که گزینه ها به یک اندازه محتمل هستند، از رهیافت پاسکال و فرما استفاده می کنیم.
بهتر است این نکته را به پرتاب سکه هم اطلاق کنیم. فرض کنید دو سکه را به هوا می اندازیم. احتمال این که الف) هر دو شیر، ب) یکی شیر و دیگری خط، ج) هر دو خط بیاید چقدر است؟ برای محاسبه این احتمالات بیش از هر چیز باید به این نکته توجه داشته باشیم که احتمال وقوع هر یکی از این گزینه ها برابر است. این احتمال ها از این قرارند: دو شیر، دو خط، یک شیر بر یک سکه و یک خط بر سکه دیگر، و یک خط بر یک سکه و یک شیر بر سکه دیگر. این دو امکان آخری را، چون هر دو یک شیر و یک خط هستند، گاه به خطا تنها یکی در نظر می گیرند. اما اگر دو سکه مختلف مثلاً یک پنج ریالی و یک پنج تومانی را در نظر بگیریم، کاملاً معلوم است که شیر پنج ریالی و خط پنج تومانی با خط پنج ریالی و شیر پنج تومانی متفاوت است. پس، احتمال آوردن دو شیر است. به همین ترتیب، احتمال آوردن دو خط هم است. اما احتمال یک خط و یک شیر آوردن است، زیرا دو طریق از چهار طریق ممکن آوردن نتایج چنین هستند.
اگر کسی بخواهد مسئله پرتاب دو سکه را به پرتاب سه سکه تعمیم دهد، نخست باید از همان شرط احتمال های برابر مطمئن شود؛ باز هم درک موضوع آسان تر خواهد شد اگر سه سکه متفاوت را در نظر بگیرد: مثلاً، پنج ریالی، دو تومانی و پنج تومانی. تنها یک امکان وجود دارد که سه بار شیر بیاید. سه امکان وجود دارد که دو بار شیر و یک بار خط بیاید که در این حال یک سکه به خط می نشیند و دو سکه دیگر به شیر. همین طور سه امکان وجود دارد که یک شیر و دو خط بیاید و تنها یک امکان وجود دارد که هر سه سکه به خط بنشیند. پس تعداد کل امکانات هشت است و احتمال وقوع هر یک از آن ها از این قرار خواهد بود: سه شیر،
حالا می توانیم، صرفاً به عوان یک تفریح فکری، امکانات موجود در چهار سکه، پنج سکه و... را بررسی کنیم. متأسفانه، با افزایش تعداد سکه ها، شمار حالت های ممکن نیز بیشتر می شود. در این مرحله پاسکال، با « مثلث» بسیار جالبی که به نام خود او معروف شده، به کمک ریاضی دانان آمد. حال بهتر است به این مثلث، که در واقع آرایشی مثلث وار از اعداد است، توجه کنیم:
هر عدد در این «مثلث» حاصل جمع دو عددی است که بلافاصله در بالای آن قرار دارد ( در جایی که یکی از این دو عدد وجود ندارد، باید 0 گذاشت). بنابر این، عدد 4 در ردیف پنجم حاصل از جمع 1 و 3 ی بالای خود است؛ 6 در همین ردیف حاصل جمع 3 و 3 است و به همین نحو تا آخر. می بینیم که می توانیم به کمک حساب در سطحی بسیار ابتدایی هر ردیف از این مثلث را در پی ردیف دیگر بسازیم.
جنبه به راستی جالب مثلث پاسکال این است که احتمالات موجود در پرتاب سکه را به سرعت پاسخ می دهد. مثلاً عددهایی که در ردیف چهارم آمده اند، یعنی 1، 3، 3 و 1، حاصل جمعی برابر 8 دارند و این 8 نشان دهنده تعداد نحوه های مختلف پرتاب سه سکه است. از این گذشته، اگر هر یک از عددهای این ردیف را در صورت کسری قرار دهیم که مخرج آن 8 باشد، یعنی احتمالات مربوط به امکانات مختلف و متفاوت شیر یا خط را به دست می آوریم؛ یعنی سه بار شیر، دوبار شیر و یک بار خط و به همین ترتیب تا پایان. اگر بخواهیم احتمالات گوناگون در پرتاب پنج سکه را بدانیم، باید از ردیف ششم « مثلث» استفاده کنیم. حاصل جمع عددهای این ردیف 32 است؛ یعنی پنج سکه به 32 شکل مختلف می تواند بنشیند. حالا اگر کسرهای را تشکیل دهیم، احتمال آمدن پنج شیر، چهار شیر و یک خط، سه شیر و دو خط و... را به دست خواهیم آورد. واضح است که عدد 1 در رأس مثلث باید به طریقی با پرتاب صفر سکه مربوط باشد. در واقع، این عدد نماینده احتمال حفظ شدن پول ماست اگر روی نشستن صفر سکه شرط بسته باشیم.
در بستر تاریخ چنین دیده می شود که نظریه احتمالات در وهله اول کمکی به قماربازان بود. ولی توجه گسترده عصر فعلی به این مبحث اصلاً به این معنا نیست که قمار بازی به شکل هراس آوری رواج یافته است، بلکه نکته این است که ورود روش های آماری به مشکلات صنعت، اقتصاد، بیمه، پزشکی، جامعه شناسی و روان شناسی سوال هایی ایجاد کرد که هرگز با کاربرد روش های پیشین ریاضیات مطرح نمی شدند و نیز این که تنها به کمک نظریه ای در باب احتمالات پاسخ پیدا می کردند. برای ارزیابی دورنمای کنونی این مبحث بهتر است چند مورد از فایده های این نظریه را بررسی کنیم.
یکی از خلاقانه ترین و اثر گذارترین این کاربردها را مدیون گرگور یوهان مندل (5) هستیم. مندل کشیشی صومعه ای بود و به سال 1865 با آزمایش های دقیق و زیبایی که در مورد نخودهای دورگه انجام داد، علم وراثت را بنا نهاد. فرض کنید که دو گونه نژاد خالص نخود وجود دارد، یکی سبز و دیگری زرد. اگر این دو گونه نخود را به طور مصنوعی با یکدیگر آمیزش دهند، نسل دوم یا همه سبز خواهد بود یا همه زرد. مندل این پدیده را چنین تبیین کرد که گفت یکی از این رنگ ها بر دیگری غلبه دارد.
فرض می کنیم که رنگ سبز رنگ غالب است. این نخودهای سبز نسل دوم عیناً مثل نخودهای سبز نسل اول نیستند. نسل اول خالص « بود»؛ در حالی که این نسل پیوندی (هیبرید یا آمیخته) است. اگر نخودهای نسل دوم را با یکدیگر آمیزش دهیم، می توانیم منتظر مخلوط شدن ژن ها، که حاصل صفات وراثتی به شمار می آیند، باشیم. اکنون این مسئله را توضیح می دهیم. در مخلوط ژن های دو نخود پیوندی، سبز با سبز، زرد با زرد، زرد با سبز و سبز با زرد آمیخته خواهد بود. این دقیقاً همان وضع محتملی است که آمدن شیر یا خط در پرتاب دو سکه داشتند. پس در نسل سوم،
مخلوط سبز- زرد یا زرد- سبز خواهد بود و، چون سبز رنگ غالب است، تمام نخودهای نسل سوم که حداقل مقدار ژن سبز را داشته باشند، به رنگ سبز خواهند بود. پس باقی مانده زرد خواهد بود. این نسبت را که نظریه احتمالات پیش بینی اش می کند، مندل و مدت ها پس از او بسیاری دیگر از پژوهندگان به دست آوردند. این نسبت به قانون اول توارث صفات مندل شهرت دارد.
مندل به بررسی نسبت هایی دست زد که باید از آمیزش انواع گوناگون نسل سوم با یکدیگر در نسل های بعدی ظاهر شود و نیز نسبت هایی که باید از آمیزش هم زمان چندین صنعت مستقل نمود پیدا کند. در هر یک از این موارد، نظریه ریاضی احتمالات آنچه واقعاً در جهان فیزیک رخ می داد پیش بینی کرد.
این دانش را اینک متخصصان کشاورزی و دامداری به کار می برند. این متخصصان میوه ها و گل های جدیدی می آفرینند، گاوهایی با بازده بیشتر پرورش می دهند، می توانند صفات موروثی گیاهان و حیوانات را اصلاح کنند، گندمی پرورش می دهند که به بیماری زنگ گندم دچار نمی شود، حبوبات بهتری ایجاد می کنند، و بوقلمون هایی تربیت می کنند که در عین آن که گوشت خالص فراوانی دارند آن قدر جمع و جور باشند که در فریزر خانگی جای بگیرند.
استفاده از نظریه احتمالات به خصوص در مطالعه وراثت انسان ارزشمند است. دانشمندان نه می توانند آمیزش زنان و مردان را کنترل کنند و نه، در صورتی که بتوانند کنترل کنند، نتایج آزمایش ها به سرعت و به سهولت قابل اکتساب می شود. از این رو، آن ها باید واقعیت های وراثت را از مطالعاتی نظیر آنچه شرح دادیم استنتاج کنند. به علاوه، از آن جا که ممکن است قضاوت افراد در مورد مشخصات انسانی جانب دارانه باشد، رویه ریاضی در این مطالعات بسیار اساسی تر از مطالعات در مورد جانوران و گیاهان است.
نظریه احتمالات، همچنین، در برداشتن هر گامی در بزرگ ترین تجارت ایالات متحده- بیمه- نقشی اساسی دارد. به مشکل یکی از شرکت های بیمه در رابطه با آقایی به نام جان جونز توجه کنید. شرکت بیمه می پذیرد در ازای حق بیمه سالانه ای که جونز می پردازد، مبلغ 1000 دلار در پایان 20 سال، یا در صورت مرگ جونر پیش از به پایان رسیدن این مدت، به او یا به وارثان قانونی اش بپردازد. این شرکت به عنوان حق بیمه سالانه چقدر باید از آقای جونز مطالبه کند؟ واضح است که میزان حق بیمه بستگی به مدتی دارد که انتظار می رود او زنده باشد.
برای تعیین این احتمال، شرکت باید علت های محتمل و گوناگون مرگ را فهرست کند- نظیر سرطان، بیماری قلبی، مرض قند، تصادف های اتومبیل، سقوط و... سپس باید مشخص کند هر یک از این علت ها تا چه مدت احتمال دارد جان جونز را در معرض تهدید قرار دهند. برای پاسخ به این پرسش، شرکت باید زمینه خانوادگی، گذشته شخصی و فعالیت های روزانه آقای جونز را بررسی کند. همچنین باید به مطالعه سلامت اندام های بدن او بپردازد. وقتی این اطلاعات را به دست آورد، می تواند به محاسبه پاسخ بپردازد. پس از چند روز محاسبه یقیناً تنها یک واقعیت معلوم خواهد شد و آن این که تمام این محاسبات به درد سطل زباله می خورند. هیچ گونه تحلیلی از آقای جونز نمی تواند عاملی باشد تا این شرکت بتواند بر مبنای آن تصمیم بگیرد که چه مدت طول می کشد تا این علت ها به زندگی آقای جونز پایان دهند.
پاسخ مسئله از طریقی کاملاً متفاوت به دست می آید جان جونز تنها یکی از صدها هزار نفری است که شرکت بیمه با آن ها سروکار دارد. اگر این شرکت صرفاً بداند که برای یک نفر چه خطراتی بیشترین احتمال را دارند، با اطمینان کافی می تواند نتیجه دلخواه خود را بگیرد؛ زیرا ضرری را که به خاطر آقای جونز متحمل می شود چه بسا با آقای اسمیت به دست آورد و، در نهایت، همان نتیجه ای را که می خواهد به دست می آورد و در بازی یک قدم جلوست.
آنچه شرکت های بیمه انجام می دهند بررسی پرونده مرگ 100000 نفری است که تا حداقل ده سالگی زنده بودند؛ این گزارش های مرگ را کاملاً تصادفی انتخاب می کنند. حال فرض کنید که این پرونده ها نشان بدهند که مثلاً از این 100000 نفر، 78106 نفر به چهل سالگی رسیدند، به این ترتیب، شرکت نتیجه می گیرد، « احتمال» آن که «هر» فرد ده ساله به چهل سالگی برسد است. به همین نحو، شرکت برای آن که نتیجه بگیرد احتمال زنده ماندن شخصی چهل ساله تا رسیدن به شصت سالگی چقدر است، تعداد کسانی را که تا سن شصت سالگی زنده مانده اند از مجموعه تصادفی خود به دست می آورد و آن را به تعداد کسانی که تا سن چهل سالگی زنده بوده اند تقسیم می کند.
این نحوه برخورد با احتمالات که با مثال شرکت های بیمه شرح دادیم، رهیافتی است بنیادی. اساس روش احتمالات یعنی توسل به تجربه حاصل از نظر داده اولیه که استدلال ریاضی در مورد آن را بعداً به کار می گیریم. به عبارت دقیق تر، این استفاده از تجربه به دست آوردن احتمالات خارج از حوزه ریاضیات است. ریاضیات از جایی وارد می شود که احتمالات معلوم شده باشند؛ یعنی از زمانی که اعداد مربوط به آن به دست آمده باشند. مثلاً، اگر یک شرکت بیمه بخواهد بیمه نامه ای سی ساله در مورد زن و شوهرها صادر کند، مهم است که بداند چقدر محتمل است این دو نفر تا سی سال پس از شروع قرارداد بیمه زنده خواهند ماند. فرض کنید که این زن و شوهر هر دو چهل سال داشته باشند، چون از 78106 نفری که به سن چهل سالگی رسیدند 38596 نفر تا هفتاد سالگی عمر کرده اند، احتمال آن که شخص چهل ساله تا هفتاد سالگی زندگی کند 50 درصد است. این احتمال برابر است با احتمال این که در پرتاب تنها یک سکه شیر بیاید. پس احتمال این که زن و شوهر، هر دو، تا هفتاد سالگی عمر کنند برابر است با احتمال آن که در پرتاب دو سکه، هر کدام یک بار، دو شیر بیاید. از این رو، احتمال آن که این هر دو نفر تا هفتاد سالگی عمر کنند 25/0 است. این مسئله بسیار ساده و سرراستی است. از ریاضیات، همان طور که انتظار می رود، برای حل مسائل پیچیده تر احتمالات، که مثلاً در مورد شرکت بیمه پیش می آید، استفاده می کنند.
توسل به تجربه برای به دست آوردن احتمالات بنیادی در مسائل پزشکی ناگزیر است. مثلاً، فرض کنید از پرونده یک بیماری معلوم شده باشد که 50 درصد کسانی که به آن بیماری دچار می شوند، بر اثر آن می میرند. به این ترتیب، احتمال مرگ بر اثر آن بیماری خواهد بود. حال، این احتمال را می توان در مسائل عملی به کار برد. پزشکی که معتقد است روش درمان جدیدی در اختیار دارد، می کوشد تا این روش را در مورد چهار بیمار به کار برد که هر چهار نفر آن ها هم بهبود پیدا می کنند. آیا این نتیجه به این معناست که درمان جدید مؤثر است و در مورد همه بیماران باید به کار گرفته شود؟
در نگاه نخست، درمان جدید قابل توجه به نظر می رسد. در حالی که انتظار مرگ دو بیمار را داشتیم، هیچ کدام از آن ها نمرد. می توان از نظریه احتمال کمک گرفت. در مورد مجموعه خاصی از چهار بیمار برداشت درستی نیست که تصور کنیم حتماً دو نفر باید می مردند. در چنین گروهی، یا همه می میرند یا هیچ کس نمی میرد یا، به هر حال، یکی از چهار نفر می میرد. فقط وقتی 50 درصد بیماران می میرند که تعداد نمونه ها بسیار زیاد باشد. این وضعیت از لحاظ ریاضی معادل با پرتاب سکه است. شانس آن که هر یک از بیماران نجات پیدا کند برابر با شانس شیرآوردن در پرتاب فقط یک سکه است. احتمال بهبود چهار نفر برابر است با احتمال آمدن چهار شیر در پرتاب چهار سکه. اگر به سطح پنجم مثلث پاسکال رجوع کنیم، می بینیم که احتمال آمدن چهار شیر در یک پرتاب برای هر یک از چهار سکه برابر با است. این عدد این احتمال را هم نشان می دهد که دکتر کذایی با گروهی چهار نفری از بیماران مواجه شود که حتی بدون مداوای او هم بهبود پیدا می کنند. این احتمال به معنی آن است که اگر گروه های چهار نفری بسیار زیادی از بیماران را در نظر بگیریم، به طور متوسط، احتمال دارد از هر شانزده گروه یک گروه چهار نفری به دست آید که همگی بهبود پیدا می کنند. به این ترتیب، پزشکی که درمان جدید خود را امتحان کرده است، چه بسا با گروهی چهار نفری برخورد کرده باشد که همه آن ها خود بهبود می یافتند. از آن جا که این وضع، به هر حال، غیر محتمل نیست (بسیاری در شرط بندی 100 به یک در مسابقات اسب دوانی برنده می شوند)، درست نیست که نتیجه بگیریم شیوه درمان جدید کاملاً مؤثر است. پیش از این نتیجه گیری، باید این درمان را با بیماران زیادی امتحان کنیم.
مسائلی که تا این جا مورد توجه قرار دادیم، مسائلی هستند که تعداد امکانات وقوع در آن ها اندک است. وقتی کسی تاس می اندازد، تنها با شش گزینه روبه روست. در مسائل مربوط به مرگ و زندگی هم تنها با دو امکان سروکار داریم. اما در بسیاری از مسائل احتمالات، گزینه های ممکن نامتناهی (بی نهایت) است یا آن قدر زیاد است که از لحاظ ریاضی بهتر است آن ها را بی نهایت در نظر بگیریم. مثلاً اندازه گیری هایی را که در مورد طول صورت می گیرد، در نظر بگیرید. این اندازه گیری ها فقط چند مورد معدود از بی نهایت اندازه گیری مختلفی است که می تواند انجام شود. پس، می توانیم بگوییم برای آن که محاسبه احتمال میانگین اندازه گیری ها درست باشد، باید بی نهایت مورد ممکن را به حساب آوریم. به همین نحو، خروجی ماشینی که صدها هزار واحد از یک چیز تولید می کند، یکنواخت نیست؛ گوناگونی در این واحدها، هر چند احتمالاً اندک هم باشد، چندان زیاد است که با کل مجموعه به گونه ای برخورد می شود که گویی بخشی از یک مجموعه نامتناهی است.
نظریه ای را که می توانست مسائلی را حل کند که شمار نتایجی ممکن در آن ها نامحدود است- نظریه احتمال پیوسته (6) را- دهقان زاده، آریستو کرات، سیاستمدار و ریاضی دان ممتاز فرانسوی، پیر سیمون لاپلاس، پدید آورد. کاردان، پاسکال و فرما از طریق مسائل قمار و قمار بازی به نظریه احتمال روی آوردند؛ اما علایق لاپلاس، گرچه به همان اندازه غیر عملی بود، به امور آسمان ها بود. او از نظریه احتمال استفاده کرد تا معیاری در مورد میزان اعتماد پذیری نتایج عددی حاصل از داده ها به دست آورد و نیز این احتمال را به دست آورد که پدیده های نجومی تا چه حد معلول علت هایی معین هستند و تا چه حد محصول تصادفاتی محض. احتمالاً دیگر تعجبی ندارد اگر متوجه شویم نظریه ریاضی ای که به خدمت منجم می آید، به هزار شیوه مختلف در زندگی روزمره مفید از آب در می آید. به هر حال، معدودی از این فواید را بررسی می کنیم تا یک بار دیگر ببینیم که دامنه ریاضیات چقدر وسیع است.
وقتی امکانات پدیده ای خاص نامحدود است، توزیع این امکانات نامحدود غالباً و خوشبختانه نرمال است. از این رو، می توان دانش حاصل از چنین توزیع هایی را در مسائل مربوط به احتمالات پیوسته به کار گرفت. تنها لازم است در فاکت های مربوط به منحنی نرمال تغییرات اندکی قائل شویم. احتمالاً به یاد دارید که توزیع نرمال با میانگین و انحراف معیار مشخص یا تثبیت می شود، به علاوه، 2/68 درصد از موارد در محدوده یک انحراف معیار یا یک از میانگین قرار می گیرند؛ 2/27 درصد از مواد در بازه از میانگین؛ 4/4 درصد از موارد در باره از میانگین؛ و بقیه موارد، یعنی 2/0 درصد آن، در بازه بیش از
از میانگین. تنها کاری که باید کرد این است که این جملات را به زبان احتمالات بیان کرد. مثلاً احتمال آن که هر تک داده مفروض در حیطه یک از میانگین واقع شود، باید 628/0 باشد؛ زیرا 8/62 درصد از کل موارد در این بازه قرار می گیرند. راه دیگر بیان این نکته آن است که بگوییم به طور متوسط از هر 1000 مورد، 628 مورد در محدوده یک انحراف معیار از میانگین واقع می شوند. بدیهی است که در مورد درصدهای موجود در دیگر فاصله ها نیز چنین برگردان هایی به زبان احتمالات باید صورت بگیرد از آن که منحنی توزیع نرمال فراوانی (فرکانس) را می توان به نحوی که هم اکنون شرح آن گذشت نیز تفسیر کرد، غالباً آن را منحنی نرمال احتمالات می نامند.
بهتر است به یکی دو مثال از کاربرد منحنی نرمال توجه کنیم. فرکانس طول قد امریکایی ها عملاً توزیع نرمال دارد که میانگین آن 170 سانتی متر و انحراف معیار آن حدود 5 سانتی متر است. حال، چقدر احتمال دارد یک امریکایی که به طور تصادفی انتخاب شده قدی بین 165 سانتی متر و 175 سانتی متر داشته باشد؟ از آن جا که تمام کسانی که طول قد آن ها بین 165 سانتی متر و 175 سانتی متر است، در بازه یک از میانگین واقع شده اند و از آن جا که قد 2/68 درصد افراد در این بازه جای دارد، احتمال مورد نظر 682/0 است. به همین نحو، احتمال آن که طول قد کسی که به طور تصادفی انتخاب شده بین 170 تا 180 سانتی متر باشد برابر با 477/0 است، زیرا بازه 170 تا 180 سانتی متر به اندازه به طرف راست میانگین است و 7/47 درصد افراد قدی در حدود این اندازه ها دارند.
باید توجه داشته باشید پرسش ما این نیست که احتمال آن که طول قد کسی که به طور تصادفی انتخاب شده 5/172 سانتی متر باشد چقدر است. پاسخ این پرسش صفر است، زیرا این احتمال هر یک از امکانات در میان شمار نامحدودی از امکانات است. به هر حال، چنین پرسشی چندان مهم هم نیست. تمام اندازه گیری ها تقریبی هستند. اگر خطای انداره گیری طول قد مثلاً 25/0 سانتی متر باشد، در این صورت این پرسش مهم تر است که احتمال آن که طول قد کسی که به تصادف انتخاب شده بین 169 سانتی متر و 171 سانتی متر باشد چقدر است. به این سوال می توان درست نظیر پاسخی که به مسئله بند پیشین دادیم، با ارجاع به داده های مربوط به منحنی نرمال پاسخ داد.
شکل 1. منحنی احتمال نُرمال
وقتی سعی کنیم با استفاده از تعداد محدودی از موارد، یعنی یک نمونه (7)، تعیین کنیم که آیا مثلاً تولد نوزادان دختر و پسر یک احتمال دارد، مسئله جالب تری در احتمال ایجاد می شود. آمار یک جامعه، 1890 نوازد پسر و 1710 نوزاد دختر را در 3600 زایمان نشان می دهد. آیا انحراف موجود در نسبت 50-50 حاکی از آن است که بین تعداد نوزادان پسر و دختر، احتمال برابر وجود ندارد؟ لزوماً نه، زیرا گفتن این که پسران و دختران از احتمال برابر برخوردارند یا آن که احتمال تولد یک پسر است، تنها به این معنی است که، در میان موارد بسیار زیادی، تعداد پسرها و دخترها تقریباً برابر است. پس، نتیجه ای که از آن 3600 مورد می گیریم، چیست؟
می توانیم با این فرض به حل مسئله نزدیک شویم که بگوییم احتمال تولد نوزادان پسر و نوزادان دختر برابر است و بر اساس این فرض بپرسیم که احتمال تولد 1890 پسر در 3600 زایمان چقدر است. در هر حال، نتایج ممکن در 3600 زایمان محدود است، یعنی می تواند صفر پسر، یک پسر، دو پسر و به همین ترتیب تا 3600 پسر باشد. چون احتمال تولد یک پسر، نظیر آمدن شیر در پرتاب یک سکه، برابر با فرض شده است، می توانیم، با در نظر گرفتن سط سه هزار و شش صد و یکم از مثلث پاسکال، احتمال تولد 1890 پسر را پیدا کنیم. اما محاسبه از روی این مثلث، حتی اگر با تکنیک های سریع جبری صورت گیرد، به راستی توان فرساست.
به جای این کار می توانیم 3600 زایمان را مجموعه ای در نظر بگیریم در میان تعداد بسیار زیادی (یا به عبارتی، بی نهایت) مجموعه هر یک 3600 زایمان در دل دارد؛ در میان این همه مجموعه، برخی صفر پسر، بعضی یک پسر و به همین ترتیب تا آخر. اگر تعداد مجموعه های متناظر با هر تعداد نوزاد پسر را ترسیم کنیم، باید یک توزیع فراوانی نرمال حاصل شود. (این نکته را تقریباً می توان با بررسی مثلث پاسکال پیش بینی کرد. مثلاً سطر هفتم این مثلث می گوید که احتمال سه بار شیر و سه بار خط آمدن در پرتاب شش سکه برابر با است؛ در حالی که احتمال وقوع نتایج دیگر به طور متقارن در دو طرف این نتیجه قرار می گیرند.) به فرض آن که احتمال تولد نوزادان پسر و نوزادان دختر برابر باشد، بزرگ ترین مجموعه ها از 1800 پسر و 1800 دختر تشکیل خواهند شد. پس، این تعداد پسر، یعنی 1800، میانگین تعداد پسران است. حال، با استفاده از فرمولی از آمار که در این جا به آن نمی پردازیم، انحراف معیار از این توزیع فراوانی را به دست می آوریم. در این مورد است و این بدان معناست که، در 8/62 درصد از مجموعه ها، تعداد نوزادان پسر بین 1770 و 1830 خواهد بود. در این مجموعه 3600 عضوی تعداد نوزادان پسر 1890 است. این عدد به میزان به سمت راست میانگین واقع شده است و احتمال وقوع واقعه ای که چنین فاصله ای از میانگین داشته باشد فقط 001/0 یا یک بار در هر هزار بار است. از آن جا که چنین احتمالی به راستی اندک است، باید فرض ما مبنی بر احتمال برابر در تولد نوزادان پسر و دختر خطا باشد. واقعیت این است که بایگانی ثبت از هزاران هزار تولد نشان می دهد که نسبت نوزادان پسر به دختر برابر 51 به 49 است که می تواند گواه بر عدالت خوب خدا باشد یا بر این که یک دختر اندکی بیش از یک پسر می ارزد.
مسئله ای که بررسی کردیم منجر به این پرسش می شود که احتمال یک واقعه خاص، مثلاً تولد 1890 پسر در 3600 زایمان، باید در بازه مشخصی از کل دامنه احتمالات واقع شود. به این پرسش می توان به کمک منحنی نرمال احتمالات به سهولت پاسخ داد. اما مسئله زیر پرسشی را مطرح می کند که تا حدی متفاوت است.
یک تولید کننده نخ محصول خود را به صورت گلوله هایی به وزن به طور متوسط یک گیلوگرم می فروشد. او ادعا می کند که عملاً هیچ گلوله نخی از کارخانه او به بازار فرستاده نمی شود که بیش از 1/0 کیلوگرم (100 گرم) با استاندار یک کیلویی کارخانه اش تفاوت داشته باشد. خرده فروشی 2500 گلوله از این نخ ها را می خرد، آن ها را وزن می کند و می بیند که جمعاً 2450 کیلوگرم وزن دارند؛ یعنی متوسط وزن هر یک از آن ها 98/0 کیلوگرم است. پس، وزن متوسط این گلوله ها در همان بازه ای است که کارخانه دار مدعی است. از طرف دیگر، ممکن است که کارخانه دار به عمد گلوله های نخ را به وزن 98/0 کیلوگرم تولید و، به این ترتیب، سودی پنهان برای خود ایجاد می کند. آیا کارخانه دار شریف است؟ یعنی آیا احتمال دارد که انتخاب تصادفی 2500 گلوله از محصول کارخانه، هر یکی به اندازه 2/0 کیلوگرم کمتر از وزن میانگین وزن داشته باشند.
مسئله به عملکرد میانگین های نمونه ها مربوط است. میانگین یک نمونه دقیقاً چقدر باید به میانگین کل جمعیت- یعنی محصول کارخانه- نزدیک باشد تا بپذیریم که این میانگین نمونه ای از آن محصول است؟ این مسئله را می توان با بررسی توزیع فراوانی میانگین های تمام نمونه های ممکن از هر یک از 2500 واحد حل کرد. در این جا نمی توانیم نظریه توزیع میانگین ها را شرح دهیم. همین کافی است که بگوییم این میانگین ها توزیعی نرمال دارند. از این گذشته، می توان نشان داد که میانگین این توزیع فراوانی میانگین ها برابر است و، در عین حال، میانگین کل محصول و انحراف معیار این توزیع میانگین ها برابر با 0006/0 است. به هر حال، نمونه خاصی که به دست مصرف کننده می رسد میانگینی برابر با 98/0 دارد و این میانگین به اندازه 02/0 با میانگین 1 اختلاف دارد و، از این رو، در فاصله حدود 30 برابر 0006/0 یا حدود به سمت چپ میانگین نمونه ها قرار می گیرد. احتمال آن که داده ای به اندازه از میانگین فاصله داشته باشد، آن قدر کم است که باید از آن چشم پوشید. به این ترتیب، احتمال آن که 2500 گلوله نخی که مصرف کننده دریافت کرده نمونه ای از محصول یک کیلوگرم اعلام شده کارخانه دار باشد، بعید نیست؛ یعنی کاملاً حق داریم نتیجه بگیریم که کارخانه دار به عمد گلوله های نخی تولید می کند که میانگین وزن آن ها کمتر از یک کیلوگرم باشد.
کاربرد جدید و، در عین حال، جالب ترین کاربرد نظریه ریاضی احتمال «اثبات» درک فوق حسی (8) است. در این جا نیز برهان به رابطه بین نمونه و کل مجموعه مربوط می شود. وجود درک حسی را پرفسور راین (9) و همکارانش شجاعانه اعلام کردند و مخاطبانشان کسانی بودند که درصد تشخیص آن ها در شماره و رنگ ورق هایی که، به طور تصادفی، از میان یک دسته ورق بیرون کشیده می شود، بیش از درصد تشخیص احتمال ریاضی است. یعنی اگر احتمال پیش بینی صحیح در موردی مفروض، مثلاً ، باشد، شخص مزبور می تواند به درستی در « حدود» همین دفعات شماره و رنگ کارت را حدس بزند. اما فرض کنید که این شخص در 800 آزمون، به جای 160 دفعه، 207 دفعه شماره و رنگ را به درستی حدس بزند، آیا تعداد حدس درست اضافی، در این 800 آزمون خاص، تصادفی است یا از جایی نشئت می گیرد؟ راین منشأ این همه حدس صحیح را توانایی ذهن غیر عادی در قرائت کارت های پنهان، به کمک درک فوق حسی، دانست. این که 48 حدس درست اضافی گواهی کافی بر چنین باوری باشد، محل بحث و تردید است. راین محاسبه کرد که احتمال 47 حدس درست اضافی، در مجموعه ای خاص از 800 آزمایش برابر با است. این احتمال آن قدر کم است که راین این تعداد حدس درست اضافی را تنها به شانس نسبت نمی دهد.
در تمامی کاربردهایی که تا این جا بررسی کردیم نظریه احتمال در خدمت اندازه گیری احتمال یک واقعه است، ولی این نظریه اصلاً خوش نداشت بنده علم و صنعت باشد؛ بلکه می خواست ارباب جبار آن ها شود. ملکول های گاز طبق قانون گرانش نیوتن یکدیگر را جذب می کنند. اما هر تلاشی برای پیش بینی حرکت، انبساط، انقباض یا دمای گاز بر اساس قانون گرانش نیوتن به دلیل شمار بسیار زیاد ملکول ها آن قدر پرزحمت است که باید امید از آن برگرفت. ریاضیات نمی تواند حتی مسئله حرکت یک ملکول گاز را که در معرض نیروی جاذبه تنها چند ملکول دیگر است دقیقاً حل کند.
کلارک مکسول در حل این مسئله پیشتاز شد. روش مورد استفاده او نظریه احتمال بود. او به جای بی شمار ملکول موجود در حجمی از گاز، یک ملکول ایده آل یا شاخص در نظر گرفت که، در میان تمام ملکول های موجود، اندازه آن محتمل ترین اندازه، سرعت آن محتمل ترین سرعت، فاصله جدایی آن از دیگر ملکول ها محتمل ترین فاصله جدایی و تمامی دیگر پژوهش هایش محتمل ترین عملکرد خود آن گاز در نظر گرفته می شود. عجیب است، ولی واقعیت این است که قوانینی که با این روش به دست آمدند گازها را همان گونه توصیف و پیش بینی می کند که قوانین نجوم حرکت سیاره ها را. معلوم شد که محتمل ترین رفتار گاز رفتار فعلی و واقعی آن است.
استلزامات آتشین این کاربرد از نظریه احتمال را بعداً مورد بررسی قرار می دهیم. در این جا کافی است یادآور شویم که از همین طریق بود که نظریه احتمال از لاک اولیه خود، یعنی ارزیابی داده ها و فرضیه ها، بیرون آمد و تبدیل به روش اساسی برای استنتاج قوانین شد.
نقشی اساسی که نظریه احتمال می تواند در پژوهش علمی و در تفکر فلسفی داشته باشد، در کار پاسکال دیده می شود. او کار خود را با کاربرد این نظریه در قمار شروع کرد و با کاربرد آن به خدا به پایان رساند. پاسکال در نقطه عطفی از تاریخ ایستاده است؛ زمانی که علم مدرن ستیز سخت خود را با باورهای قدیمی آغاز کرد، پاسکال، همچون هر یک از دیگر متفکران عصر خود، نقشی در این ستیز به عهده گرفت و در جست و جوی فلسفه ای مشکل گشا برآمد. او که ذاتاً شخصی مذهبی بود و، در عین حال، نقش ممتازی در علم و ریاضیات داشت، درد این ستیز را بیش از هر کس دیگری احساس می کرد. پاسکال چون هر دو سوی نبرد را به خوبی می دید، ذهنش میدان جنگی عظیم شد و در یکی از جذاب ترین قسمت های کتابش، سرگشتگی خود را به وضوح ابراز کرده است:
این است آنچه می بینیم و مرا می آزارد. به همه سو می نگرم و چیزی جز ابهام نمی بینم. طبیعت چیزی پیش روی ما نمی گذارد که تردید و تشویش برنینگیزد؛ اگر در هیچ کجا نشانی از خداوند نمی دیدم، نفی اش می کردم؛ اگر در هر کجا نشان از خالقی می دیدم، با ایمانم به آرامی به سر می بردم؛ اما چون آنچه می بینم آن قدر زیاد است که راه انکار را می بندد و آن قدر کم که راه اقرار را، از این روست که درمانده ام. صدها بار آرزو کرده ام که اگر طبیعت را خدایی آفریده، طبیعت او را بی ابهامی نشان دهد؛ یا آن که اگر نشانه های خداوند وهم اند، طبیعت یکسره آن ها را پوشیده دارد؛ یا تمام حقیقت را بگوید، یا دم فرو بندد تا از این بلاتکلیفی به درآید.
اما خداوند خود را آشکار نکرد. و پاسکال تحقیقات جوانی خود را در احتمالات و در مسائل قمار به یاد آورد. آیا این نظریه در مورد مسائل مربوط به باورهای مذهبی پیامی در برندارد؟ پاسخ این سؤال به شکلی تجلی کرد که امروزه به آن شرط بندی پاسکال می گوییم.
ارزش یک بلیط در بخت آزمایی حاصل ضرب احتمال بردن در رقم جایزه است. در صورتی که رقم جایزه زیاد باشد، حتی اگر احتمال بردن اندک باشد، ارزش بلیط زیاد خواهد بود. به همین دلیل پاسکال می گفت که حتی اگر احتمال وجود خدا و حقیقت ایمان مسیحی بسیار کم باشد پاداش این باور بخشایش جاودانه است. پس، در واقع، ارزش بلیط سفر به بهشت بسیار است. از طرف دیگر، اگر آموزه های مسیحی خطا باشد، حداکثر ارزشی که با قبول آن از دست می رود لذت یک زندگی کوتاه است. پس بهتر است روی وجود خدا شرط ببندیم.
شرط بندی پاسکال عاری از تمایلات قلبی خود او نبود؛ فریاد دردمند آدمی است که امیدش را از دست داده است. مسئله ای که او همیشه درگیرش بود باری دیگر به سراغش آمد، ولی در هیئتی نسبتاً مبدل. باب این مسئله در سال های اخیر از طریق نظریه ای که او خود آن را آفرید، یک بار دیگر گشوده شد.