ترجمه: حمید وثیق زاده انصاری
منبع:راسخون
منبع:راسخون
معادله‌ی دومجهولی نمایانگر منحنی مسطحی است که به سادگی قابل ترسیم است. اما معادله‌ی سه مجهولی، سطحی را در فضا مشخص می‌کند که تجسم آن با دشواری زیاد صورت می‌گیرد. با این همه امروزه با بهره‌گیری از کامپیوتر و از راه به کار بردن مواد قالب‌پذیر (پلاستیک)، می‌توانند سطح‌های ریاضی بسیار پیچیده را با سه بُعد رسم کنند.
هر دانش آموز دبیرستانی آموخته است که منحنی نمایش تابعی دو مجهولی از گونه‌ی y-x2=0 یا y-1/x=0 را چگونه باید رسم کند. نمایش هندسی این گونه معادله‌ها یک منحنی مسطح است که می‌توان آن را روی صفحه‌ای از کاغذ رسم کرد: هر زوج (x,y) از مقدارهایی که در معادله صدق می کنند نسبت به دستگاه‌های مختصاتی که معمولاً موازی با لبه‌های کاغذ انتخاب می‌شوند نقطه‌ای را در صفحه مشخص می‌کنند. مجموعه‌ی این نقطه‌ها منحنی مطلوب را به دست می‌دهد.
از دیدگاه ریاضیات مجرد و این که یک خط به معنی ریاضی آن نمی‌تواند پهنا داشته باشد، منحنی رسم شده چیزی مگر تصوری تقریبی نیست: درواقع مسیری که نوک مداد روی صفحه‌ی کاغذ رسم می‌کند پهنایی دارد که با تیز کردن نوک مداد می‌توان این پهنا را کم کرد اما هیچ‌گاه نمی‌توان آن را به صفر رساند. اما این موضوع مانع از آن نیست که ترسیمات، دقت لازم را نداشته باشند و طرح صحیح منحنی مورد بررسی را به دست ندهند.
تابع دو مجهولی که جای خود را به تابع سه مجهولی بدهد، به عبارت دیگر به جای یک منحنی، یک سطح مطرح باشد، مسأله بسیار پیچیده‌تر می‌شود، زیرا سه مجهول با مقدارهایی سه‌تایی نظیر می‌شوند که هر سه‌تایی یک نقطه را در فضا مشخص می‌کند. برای مثال اگر فضای یک اتاق را در نظر بگیریم، فاصله‌ی از دیوار سمت راست، فاصله‌ی از دیوار پشت سر، و ارتفاع از کف، سه مقداری هستند که یک سه‌تایی تشکیل می‌دهند و یک نقطه از فضای اتاق را معین می‌کنند. این دو دیوار و کف، کنجی با سه زاویه‌ی قائمه تشکیل می‌دهند که در این مثال آن را به عنوان یک دستگاه مختصات فضایی اختیار کرده‌ایم.
مجموعه‌ی سه‌تایی‌ها (x,y.z) از مقدارهایی که در تابع سه مجهولی مفروض صدق کنند (و معمولاً مؤلفه‌ها یا مختصه‌ها یا احیاناً رقوم‌های نقطه خوانده می‌شوند) سطحی معمولاً منحنی را در فضا نمایش می‌دهند که کمابیش پیچیده و بیش از حد تصور نازک است؛ مجسم کردن چنین سطح بدون ضخامتی دشوار است. پوسته‌های سیال و شفاف حباب‌های صابون بهترین تصور از سطح‌های فضایی را به نمایش می‌گذارند، البته اگر به گونه‌ای پدید آیند که سطح‌های ساده‌ای هم‌چون سطح کروی را کم‌تر به دست دهند؛ از راه خمیده کردن و به هم پیوستن سیم‌های نازک و سپس گذراندن آن‌ها از درون آب کف‌های صابون می‌توان گونه‌هایی از سطح‌های فضایی را پدید آورد. اما آن‌چه با این روش به دست می‌آید سطح‌هایی با پیرامون معین و با کم‌ترین مساحت ممکن هستند و نمی‌توان سطح نمایش هندسی هر معادله‌ی سه مجهولی را از این راه به دست آورد. به این نکته باید توجه داشت که با نوشتن تصادفی معادله‌ای با سه مجهول، سطحی تعریف می‌شود که احیاناً ممکن است خیلی معمولی و یا این که خیلی عجیب و غریب باشد. از راه داده‌پردازی و نوشتن یک برنامه‌ی خوب نیز تنها این امکان فراهم می‌شود که بتوان آن سطح را روی پرده‌ی نمایشگر مشاهده کرد نه این که بتوان ساختار مادی آن را در فضا پدید آورد.
با این همه از راه داده‌پردازی است که می‌توان به نخستین راه حل‌های مسأله دست یافت: هر سطح بسته‌ای حجمی را در بر دارد و برعکس، هر حجم مادی به سطحی محدود است. بنابراین می‌توان سطح‌های بسته را با حجم‌های محدود به آن‌ها مشخص کرد. این حجم‌ها هم می‌توانند جسم‌هایی مادی باشند که از تراش چوب، سنگ، یا فولاد ضد زنگ ساخته شوند. اما اگر سطحی با معادله‌ای ریاضی نموده شده باشد، برای ساختن حجم محدود به آن از جسمی مادی باید بتوان از راه به کار بردن ابزارهایی مانند سوهان و قلم حکاکی، پیرامون این جسم را چنان به دست آورد که هر نقطه‌ی آن مختصه‌های معلوم داشته باشد و این کار مگر برای شکل‌هایی بسیار ساده شدنی نیست. خوشبختانه امروزه دستگاه‌های کارآمدی وجود دارند که به کمک کامپیوتر کار می‌کنند و می‌توانند یک جسم مادی دل‌خواه را با تقریب زیر یک‌صدم میلیمتر تراش بدهند. کامپیوترها به خوبی می‌توانند معادله‌های ریاضیِ بسیار پیچیده را به مجموعه‌هایی از عددها تبدیل کنند، و از این رو نخستین گام‌ها به سوی مادی کردن سطح‌های ریاضی برداشته شده است.
امروزه کارگاه‌های به نسبت مدرن تراشکاری به دستگاه هایی مجهزند که برای آن‌ها اصطلاح ماشین‌های با فرمان‌های عددی به کار می‌رود. در این دستگاه‌ها برای به کار انداختن ابزارهای پرس، چرخاننده‌ها، و تراش دهنده‌های درونی یا بیرونی لازم نیست که آدمی نظارت داشته باشد و هر بار یکی را به کار اندازد و دیگری را از کار بازدارد، بلکه کامپیوتری وجود دارد که همه‌ی آن‌ها را اداره می‌کند. به شرط آن که یک برنامه‌ی خوب روی کامپیوتر بار شده باشد اجرای آن موجب می‌شود که دنده‌ها به موقع عوض شوند و بازوها هرگاه که لازم باشد خم و راست شوند و نوک‌های تراش دهنده دقیقاً مختصه‌های مورد نظر را داشته باشند.
از سوی دیگر، تراش‌هایی که باید به دست آیند نخست روی پرده‌ی نمایشگر رسم می‌شوند و می‌توان آن‌ها را تحت هر زاویه‌ای و در وضعیت‌های مختلف ظاهر ساخت. برای این کار کافی است که برای کامپیوتر معلوم شود که خط‌ها و منحنی‌های مشخص کننده‌ی تراش متوالیاً چه ترتیبی را خواهند داشت. این خط‌ها و منحنی‌ها را نیز تابع‌هایی ریاضی مشخص می‌کنند که تراشِ در دستِ عمل، نمایش هندسی سه بعدی آن‌ها خواهد بود.
حاصل وصلت داده‌پردازی و ماشین‌های کارگاهی، تحقق یافتن عملیِ حجم‌های ساده‌ی محدود به سطح‌های بسته‌ای است که این سطح‌ها نمایش دهنده‌ی معادله‌های سه مجهولی‌اند و مسلماً با یک مداد نمی‌توان آن‌ها را در فضا رسم کرد. اما باید گفت که آن‌چه عملاً تحقق یافته است به سطح‌های بسته منحصر می‌شود و تنها یک زمینه‌ی خاص از موضوع را در بر می‌گیرد؛ در حالت کلی، سطحِ متناظر با یک معادله‌ی سه مجهولی، پوسته‌ای نامحدود است و نمی‌توان آن را با پیرامون یک جسم تراشیده شده از فلز به نمایش گذاشت. وانگهی، یک گوی فولادی تراشیده شده با چرخ خراطی، هرچند هم که دقیق درست شده باشد، آن سطح کروی را که ریاضی‌دان تعریف می‌کند به نمایش نخواهد گذاشت؛ سطح کروی، به مفهوم ریاضی آن، پوسته‌ای کاملاً نازک و توخالی هم‌چون یک حباب صابون است. از این رو، دست‌یابی به نتیجه ی مطلوب موکول به آن بوده است که بتوانند از عهده‌ی ساختن پوسته‌های نازک برآیند. در این باره باز هم صنعت به یاری ریاضیات آمده است و تلاش‌های پی‌گیر مهندسی امریکایی به نام استوارد دیکسن، این هم‌یاری را عملی ساخت. این مهندس که سودازده‌ی هنرهای گرافیک و کنده‌کاری بود در زمینه‌ی ایجاد تصویرهای کامپیوتری تخصص یافت اما خیلی زود باعث تأسفش شد که تصویرهای به دست آمده نه حجم داشتند و نه عمق.
در همین زمان تکنیک‌هایی پدید آمده بود که با به کارگیری آن‌ها یا به کار بردن ترکیبی لاستیکی (=رزین) می‌توانستند تصویرهای به دست آمده روی نمایشگر کامپیوتر را به الگوهایی حقیقی تبدیل کنند. بنا بر این تکنیک‌ها، که بیشتر در صنعت به کار می‌رفتند، می‌توانستند نظیر یک تصویر رسم شده روی نمایشگر الگویی پلاستیکی و با اندازه‌های طبیعی از آن را به دست آورند. این الگوها معمولاً دو گونه کاربرد داشتند: یا به عنوان قالب در ریخته‌گری به کار می‌رفتند، یا این که از آن جهت بود که برای سازگار کردن قطعه‌های مختلف در یک مونتاژ و ایجاد تغییرات احتمالی در آن مورد بررسی قرار گیرد.
برای توضیح بیشتر، فرض کنید یک مهندس در پی طرح جدار تلمبه‌ای است که با نیروی گریز از مرکز کار کند. او از راه به کار بردن تکنیک یاد شده می‌تواند الگویی حقیقی و سه بعدی و با اندازه‌های واقعی از جسم مورد نظر خویش را در دست داشته باشد و از روی آن به ساختن نمونه‌ی اصلی اقدام کند. برخلاف ماشین‌های با فرمان‌های عددی، این دستگاه‌های جدید می‌توانستند هر قطعه‌ای توخالی با هر شکل پیچیده‌ای را بیرون دهند و مهم نبود که این قطعه چه پیچ و تاب‌ها، چه سوراخ‌ها، چه اتصال‌ها، چه ضخامت‌ها، و چه پیچیدگی‌های دیگری داشته باشد. با ماشین‌های تراشکاری مجهز به دستگاه با فرمان‌های عددی نمی‌شد که یک کوزه‌ی دو دسته از نوع کوزه‌های یونانی را به دست آورد، در حالی که با دستگاه‌های جدید این کار بدون هیچ اشکالی ممکن بود.
برای به جسم درآوردن ترسیم‌هایی که نمودار معادله‌ها باشند نیز همین روش‌ها به کار می‌روند. همه‌ی این روش‌ها بر پایه‌ی این اصل استوارند که اگر جسمی برش به برش ساخته شود، هر چه این برش‌ها نازک‌تر باشند آن جسم با دقت بهتری به دست خواهد آمد. چندین سال پیش ضخامت برش‌ها از یک دهم تا یک میلیمتر بود. به عنوان مثال، کوزه‌ای را در نظر بگیرید که به موازات قاعده‌اش به برش‌هایی نازک بریده شود؛ آن‌چه به دست می‌آید دنباله‌ای از حلقه‌های نازک کمابیش دایره‌ای خواهد بود که اگر به ترتیب نخستین روی هم چیده شوند کوزه را بازسازی خواهند کرد.
اگر بتوانند نظیر تصویری که کامپیوتر از یک جسم به نمایش می‌گذارد برش‌های آن جسم را (که هر کدام مسطح خواهد بود) یکی به یکی بسازند و آن‌ها را به ترتیب با هم جور کنند، ساختار سه بعدی آن جسم را به دست خواهند آورد. امروزه این تکنیک را به چهار روش عملی می‌سازند.
تصویرگری جسم‌نمایی. از گونه‌ای مایع پلیمر استفاده می‌شود که چون در معرض تابش پرتوهای لیزری فرابنفش قرار گیرد سخت می‌شود. در بشکه‌ای پر از این مایع، یک کفه‌ی مسطح قرار دارد که موازی با سطح مایع حرکت می‌کند. در آغاز کار، این کفه در بالای سطح مایع چنان قرار می‌گیرد که از یک لایه‌ی نازک مایع پوشیده می‌شود. دوره‌ی مقطع قائمی از جسم بر نمایشگر کامپیوتر ظاهر می‌شود و متناظر با آن، دسته‌ای از پرتوهای لیزری، که کامپیوتر آن‌ها را هدایت می‌کند، بر سطح مایع تابانده می‌شوند. آن قسمت از مایع روی کفه که در معرض تابش پرتوهای لیزری قرار می‌گیرد سخت می‌شود و در این هنگام، کفه به مقدار خیلی کمی پایین می رود. یک لایه‌ی دیگر از مایع سطح کفه را می‌پوشاند و روی آن نظیر مقطع دیگری از جسم، عمل تکرار می‌شود. با تکرار عمل، هر بار یک برش نازک از جسم ساخته می‌شود و سرانجام نمای سه بعدی کل جسم در داخل مایع شکل می‌گیرد. آن‌چه پس از آن باید انجام گیرد خارج کردن شکل ساخته شده از درون مایع است.
ساخت ورقه‌ای. در این روش برای به دست آوردن شکل هر مقطع از جسم، پرتوهای لیزری با توان زیاد را بر ورقه‌های نازک پلاستیکی یا فلزی می‌تابانند. پس از آن، برش‌های به دست آمده را اگر پلاستیکی باشند با گرم کردن و اگر فلزی باشند با لحیم کردن به یک‌دیگر می‌چسبانند و از این راه، شکل سه بعدی جسم را به دست می‌آورند. این روش این برتری را دارد که برای ساختن برش‌ها از هر نوع ماده‌ی سخت می‌توان استفاده کرد.
ساخت ذره ای. افشاننده‌ای که با دقت بسیار زیاد می‌تواند تنظیم شود، قطره‌های ریز یک گونه پلاستیک را با سرعت زیاد پرتاب می‌کند. این قطره‌های پلاستیکی که در برابر گرما حساسیت دارند با یک‌دیگر برخورد می‌کنند و به هم می‌پیوندند. برش‌های مورد نظر، از این ذره‌های به هم پیوسته تشکیل می‌شوند. در این روش دو کونه ماده به کار می‌رود: نوعی موم با درجه ذوب پایین که در هنگام کار جهت نگاه داشتن ذره‌ها به کار می‌رود، و نوعی پلی اتیلن برای ساخت ذره‌های پلاستیکی. این دو نوع ماده یکی پس از دیگری به کار گرفته می‌شوند و شکل سه بعدی جسم در داخل موم به وجود می‌آید. برتری این روش در آن است که هنگام عمل، خطر جدایی جزءها از یک‌دیگر وجود ندارد و شکلی یکپارچه و با جزءهای تنگ هم نمودار می‌شود.
گدازش با لیزر. تکنیکی که به کار می‌رود همان روش تصویرگری جسم‌نمایی است با این تفاوت که به جای مایع پلیمر، گونه‌ای پودر به کار گرفته می‌شود. نظیر تصویرِ گرفته شده از یک مقطع جسم، پرتوهای لیزری بر سطح پودر تابانده می‌شوند و آن پودرهایی را که در بالای سطح با آن‌ها برخورد می‌کنند گداخته می‌سازند. این قسمت گداخته شده سرد می‌شود و نمای یک برش از جسم را به دست می‌دهد. پس از آن یک لایه‌ی نازک از پودر روی این برش و سطح ظرف را می‌پوشاند و با تابش پرتوهای لیزری جدید روی این لایه، برش دیگری از شکل جسم ساخته می‌شود. به همین ترتیب برش‌های جسم یکی پس از دیگری ساخته می‌شوند و شکل سه بعدی کل جسم به دست می‌آید. در این روش هم از آن‌جا که جسم در داخل توده‌ای از پودر شکل می‌گیرد، به مانند روش قبلی، خطر از هم جدا بودن قطعه‌ها وجود ندارد. پودری که به کار می‌رود ممکن است سرامیکی، پلاستیکی، یا فلزی باشد.
تنها از راه به کار بردن یکی از این چهار روش یاد شده است که می‌توان شکل‌هایی را ساخت تا فضاهای خالی و مهم داخل جسم‌های تقریباً بسته، برگشتگی‌های دیواره‌های اندرونی این جسم‌ها، و هم‌چنین خمیدگی‌های ملایم یا تند سطح‌های منحنی را نمایان سازند. اما دیکسن در پژوهش‌های خود بیش از همه روش تصویر جسم‌نمایی را به کار برد. باید افزود که دیکسن با شرکت امریکایی سیستم‌های 3-D همکاری داشت. کار ویژه‌ی این شرکت ساخت مجموعه‌ی کامل دستگاه‌های داده‌پردازی برای تصویرگری جسم‌نمایی بود. این مجموعه دستگاه‌ها اساساً در صنعت به کار می‌روند و می‌توانند بر پایه‌ی مختصه‌هایی که کامپیوتر برای هر نقطه به دست می‌دهد شکل‌ها را بسازند و مهم نیست که این شکل‌ها چه باشند.
امروزه بسته‌های نرم‌افزاری‌ای وجود دارند که می‌توانند معادله‌ها را به همان صورت که نوشته می‌شوند به کار ببرند. با بهره‌گیری از این نرم‌افزارها، مثلاً می‌توان تابع از نوع Y=d(cosX)/dX را به همین صورت به کامپیوتر داد و دستگاه، مشتق کسینوس هر مقداری را که گزیده شود دقیقاً حساب خواهد کرد؛ به عبارت دیگر، این نرم‌افزار موجب می‌شود که کامپیوترها نمادها و نشانه‌های زبان آنالیز را درک کنند. از این رو، دستگاه‌هایی که به آن‌ها اشاره شد در مورد سطح‌های ریاضی نیز می‌توانند به کار روند. یک معادله که به کامپیوتر داده شود، می‌توان منحنی نمایش آن را روی نمایشگر مشاهده کرد. معادله که سه مجهولی باشد، تصویرِ سطحِ نظیر آن روی نمایشگر نموده می‌شود. در این هنگام اگر ماشینی که به ساختن شکل‌های سه بُعدی توانایی دارد به کامپیوتر وصل شود، شکل سه بُعدی آن سطحِ نموده شده ساخته خواهد شد. پیش‌رفت صورت گرفته کاملاً قابل ملاحظه است. مثل این می‌ماند که با به دست آوردن عکسی از نامزد آینده بتوان خود او را در کنار داشت.
برای بررسی یک سطح پیچیده‌ی ریاضی، در دسترس داشتن الگوی واقعی و قابل لمس آن به مراتب بهتر از آن خواهد بود که تصویر مسطح آن روی نمایشگر مشاهده شود. این یکی نگاه کردن به یک رسم و آن یکی لمسِ یک مجسمه است؛ تفاوت از زمین تا آسمان است. وانگهی همین سطح‌های به صورتِ مجسمه در آمده چنان غیرعادی هستند که برای تشخیص واقعی آن‌ها لمس جدار بیرونی و انگشت فرو بردن در فضاهای خالی آن‌ها کفایت نمی‌کند، بلکه باید از همه‌ی زوایای مختلف دیده شوند.
تغییر و تبدیل فرمول‌های ریاضی مربوط به یک سطح – احیاناً مجموعه‌ای از سه معادله‌ی انتگرالی – به گونه‌ای که کامپیوترِ دستگاه تصویرگری جسم‌نمایی بتواند آن‌ها را درک کند، از جمله کارهای مهم دیکسن به حساب می‌آید. در نخستین گام، توجه به این نکته ضروری است که یک سطح از فضای سه بُعدی ضخامتی حتی به ضخامت پوسته‌ی یک حباب صابون هم ندارد؛ درواقع باید گفت که هیچ ضخامتی ندارد. یک سطح بدون ضخامت، لمس کردنی هم نیست. از این رو لازم است که داده‌های جبری به گونه‌ای بازسازی شوند که بتوانند سطح را ضخامت‌دار و به یک شیء مادی قابل لمس تبدیل کنند. در مرحله‌ی بعد لازم می‌شود آن سطح ریاضی که قرار است مادی شود پیوسته، یعنی سطحی یکپارچه باشد. در غیر این صورت، آن سطح به هنگام تصویر جسم‌نمایی به چند تکه تقسیم خواهد شد.
یکی از بسته‌های نرم‌افزاری مورد استفاده برای این کار ماتماتیکا نام دارد. این نرم‌افزار دو کامپیوتر را به کار می‌گیرد. نخست معادله‌ها به کامپیوتر اول داده می‌شوند و ضمن این که تصویر سطح نظیر آن‌ها بر نمایشگر این کامپیوتر نمودار می‌گردد، مختصه‌های نقاط این سطح نیز یکی پس از دیگری اعلام می‌شوند. کامپیوتر دوم این مختصه‌ها را می‌گیرد، آن‌ها را به گونه‌ی لازم تبدیل می‌کند، و به دستگاه تصویرگر جسم‌نما می‌فرستد.
برای به دست آوردن یک شکلِ کامل از این راه، چندین ساعت وقت لازم است. چنین مدتی برای کار با یک دستگاه داده‌پردازی، طولانی به نظر می‌رسد و بهای تهیه‌ی یک سطح ریاضی را خیلی بالا می‌برد. باید گفت که وقت زیادی صرف محاسبه‌های مربوط به معادله‌ها می‌شود، هم‌چنین عمل پویش پرتوهای لیزری بر سطح مایع و شکل گرفتن تک‌تک برش‌ها تا اندازه‌ای به کندی انجام می‌گیرد.
ساختنِ سطح‌های ریاضی کهاد بسیار جالب‌تر است. از بین سطح‌هایی که دوره‌ی معلوم دارند آن که مساحتش کم‌ترین مقدار ممکن باشد سطح کهاد نامیده می‌شود. این گونه سطح‌ها را معادله‌هایی با مشتق‌های جزئی به دست می‌دهند که حل آن‌ها بسیار دشوار است و با روش‌های تحلیلی شناخته شده انجام شدنی نیست. از دیدگاه فیزیکی، اگر دوره‌ای از سیم نازک از درون آب کف‌های صابون گذرانده شود، پرده‌ای نازک از حباب صابون را که با خود بیرون می‌کشد یک سطح کهاد است. دلیل این امر یک قانون عمومی فیزیک است: دستگاهی که در وضع تعادل ترمودینامیکی باشد، انرژی‌ای که آزاد می‌کند کمینه خواهد بود. انرژی یک غشاء مایع که در دمای ثابت به عمل آمده باشد حاصل ضرب تنش سطحی در مساحت است. در یک دمای معین، تنش سطحی یک ثابت مربوط به مایع است. مساحت، تنها متغیر است، و چون انرژی آزاد شده کمینه است نتیجه می‌شود که مساحت نیز کمینه است. در سازمان مدارهای الکترونیکی متشکل از یک ساختار مولکولی نیز با سطح‌های کمینه مواجه می‌شویم. بنا بر قوانین طبیعی، این سطح‌ها باید شکل‌هایی مخصوصاً ناب داشته باشند. اما همه‌ی این سطح‌های کمینه را نمی‌توان با استفاده از آب صابون به نمایش گذاشت، یا این که با روش تصویرگری جسم‌نمایی از آن‌ها الگوهایی صُلب به دست آورد.
در حال حاضر می‌توان گفت تکنیکی که برای نمایش سطح‌های ریاضی به کار می‌رود هنوز تقریباً در آغاز راه خویش است و مهندسان امیدوارند که بتوانند اصلاح‌های لازم را در روش آن‌ها به عمل آورند تا قشرهای به دست آمده هر چه دقیق‌تر و نازک‌تر باشند. نمونه‌های فراوان و متنوعی هم که تاکنون به دست آمده‌اند از کیفیت خوبی برخوردارند و این امکان را فراهم ساخته‌اند که جسم‌هایی شکل بگیرند که پیش از این در دنیای مادی معمولی وجود نداشته و تنها به زبان ریاضی شناسایی می‌شدند.
هر دانش آموز دبیرستانی آموخته است که منحنی نمایش تابعی دو مجهولی از گونه‌ی y-x2=0 یا y-1/x=0 را چگونه باید رسم کند. نمایش هندسی این گونه معادله‌ها یک منحنی مسطح است که می‌توان آن را روی صفحه‌ای از کاغذ رسم کرد: هر زوج (x,y) از مقدارهایی که در معادله صدق می کنند نسبت به دستگاه‌های مختصاتی که معمولاً موازی با لبه‌های کاغذ انتخاب می‌شوند نقطه‌ای را در صفحه مشخص می‌کنند. مجموعه‌ی این نقطه‌ها منحنی مطلوب را به دست می‌دهد.
از دیدگاه ریاضیات مجرد و این که یک خط به معنی ریاضی آن نمی‌تواند پهنا داشته باشد، منحنی رسم شده چیزی مگر تصوری تقریبی نیست: درواقع مسیری که نوک مداد روی صفحه‌ی کاغذ رسم می‌کند پهنایی دارد که با تیز کردن نوک مداد می‌توان این پهنا را کم کرد اما هیچ‌گاه نمی‌توان آن را به صفر رساند. اما این موضوع مانع از آن نیست که ترسیمات، دقت لازم را نداشته باشند و طرح صحیح منحنی مورد بررسی را به دست ندهند.
تابع دو مجهولی که جای خود را به تابع سه مجهولی بدهد، به عبارت دیگر به جای یک منحنی، یک سطح مطرح باشد، مسأله بسیار پیچیده‌تر می‌شود، زیرا سه مجهول با مقدارهایی سه‌تایی نظیر می‌شوند که هر سه‌تایی یک نقطه را در فضا مشخص می‌کند. برای مثال اگر فضای یک اتاق را در نظر بگیریم، فاصله‌ی از دیوار سمت راست، فاصله‌ی از دیوار پشت سر، و ارتفاع از کف، سه مقداری هستند که یک سه‌تایی تشکیل می‌دهند و یک نقطه از فضای اتاق را معین می‌کنند. این دو دیوار و کف، کنجی با سه زاویه‌ی قائمه تشکیل می‌دهند که در این مثال آن را به عنوان یک دستگاه مختصات فضایی اختیار کرده‌ایم.
با این همه از راه داده‌پردازی است که می‌توان به نخستین راه حل‌های مسأله دست یافت: هر سطح بسته‌ای حجمی را در بر دارد و برعکس، هر حجم مادی به سطحی محدود است. بنابراین می‌توان سطح‌های بسته را با حجم‌های محدود به آن‌ها مشخص کرد. این حجم‌ها هم می‌توانند جسم‌هایی مادی باشند که از تراش چوب، سنگ، یا فولاد ضد زنگ ساخته شوند. اما اگر سطحی با معادله‌ای ریاضی نموده شده باشد، برای ساختن حجم محدود به آن از جسمی مادی باید بتوان از راه به کار بردن ابزارهایی مانند سوهان و قلم حکاکی، پیرامون این جسم را چنان به دست آورد که هر نقطه‌ی آن مختصه‌های معلوم داشته باشد و این کار مگر برای شکل‌هایی بسیار ساده شدنی نیست. خوشبختانه امروزه دستگاه‌های کارآمدی وجود دارند که به کمک کامپیوتر کار می‌کنند و می‌توانند یک جسم مادی دل‌خواه را با تقریب زیر یک‌صدم میلیمتر تراش بدهند. کامپیوترها به خوبی می‌توانند معادله‌های ریاضیِ بسیار پیچیده را به مجموعه‌هایی از عددها تبدیل کنند، و از این رو نخستین گام‌ها به سوی مادی کردن سطح‌های ریاضی برداشته شده است.
امروزه کارگاه‌های به نسبت مدرن تراشکاری به دستگاه هایی مجهزند که برای آن‌ها اصطلاح ماشین‌های با فرمان‌های عددی به کار می‌رود. در این دستگاه‌ها برای به کار انداختن ابزارهای پرس، چرخاننده‌ها، و تراش دهنده‌های درونی یا بیرونی لازم نیست که آدمی نظارت داشته باشد و هر بار یکی را به کار اندازد و دیگری را از کار بازدارد، بلکه کامپیوتری وجود دارد که همه‌ی آن‌ها را اداره می‌کند. به شرط آن که یک برنامه‌ی خوب روی کامپیوتر بار شده باشد اجرای آن موجب می‌شود که دنده‌ها به موقع عوض شوند و بازوها هرگاه که لازم باشد خم و راست شوند و نوک‌های تراش دهنده دقیقاً مختصه‌های مورد نظر را داشته باشند.
از سوی دیگر، تراش‌هایی که باید به دست آیند نخست روی پرده‌ی نمایشگر رسم می‌شوند و می‌توان آن‌ها را تحت هر زاویه‌ای و در وضعیت‌های مختلف ظاهر ساخت. برای این کار کافی است که برای کامپیوتر معلوم شود که خط‌ها و منحنی‌های مشخص کننده‌ی تراش متوالیاً چه ترتیبی را خواهند داشت. این خط‌ها و منحنی‌ها را نیز تابع‌هایی ریاضی مشخص می‌کنند که تراشِ در دستِ عمل، نمایش هندسی سه بعدی آن‌ها خواهد بود.
حاصل وصلت داده‌پردازی و ماشین‌های کارگاهی، تحقق یافتن عملیِ حجم‌های ساده‌ی محدود به سطح‌های بسته‌ای است که این سطح‌ها نمایش دهنده‌ی معادله‌های سه مجهولی‌اند و مسلماً با یک مداد نمی‌توان آن‌ها را در فضا رسم کرد. اما باید گفت که آن‌چه عملاً تحقق یافته است به سطح‌های بسته منحصر می‌شود و تنها یک زمینه‌ی خاص از موضوع را در بر می‌گیرد؛ در حالت کلی، سطحِ متناظر با یک معادله‌ی سه مجهولی، پوسته‌ای نامحدود است و نمی‌توان آن را با پیرامون یک جسم تراشیده شده از فلز به نمایش گذاشت. وانگهی، یک گوی فولادی تراشیده شده با چرخ خراطی، هرچند هم که دقیق درست شده باشد، آن سطح کروی را که ریاضی‌دان تعریف می‌کند به نمایش نخواهد گذاشت؛ سطح کروی، به مفهوم ریاضی آن، پوسته‌ای کاملاً نازک و توخالی هم‌چون یک حباب صابون است. از این رو، دست‌یابی به نتیجه ی مطلوب موکول به آن بوده است که بتوانند از عهده‌ی ساختن پوسته‌های نازک برآیند. در این باره باز هم صنعت به یاری ریاضیات آمده است و تلاش‌های پی‌گیر مهندسی امریکایی به نام استوارد دیکسن، این هم‌یاری را عملی ساخت. این مهندس که سودازده‌ی هنرهای گرافیک و کنده‌کاری بود در زمینه‌ی ایجاد تصویرهای کامپیوتری تخصص یافت اما خیلی زود باعث تأسفش شد که تصویرهای به دست آمده نه حجم داشتند و نه عمق.
در همین زمان تکنیک‌هایی پدید آمده بود که با به کارگیری آن‌ها یا به کار بردن ترکیبی لاستیکی (=رزین) می‌توانستند تصویرهای به دست آمده روی نمایشگر کامپیوتر را به الگوهایی حقیقی تبدیل کنند. بنا بر این تکنیک‌ها، که بیشتر در صنعت به کار می‌رفتند، می‌توانستند نظیر یک تصویر رسم شده روی نمایشگر الگویی پلاستیکی و با اندازه‌های طبیعی از آن را به دست آورند. این الگوها معمولاً دو گونه کاربرد داشتند: یا به عنوان قالب در ریخته‌گری به کار می‌رفتند، یا این که از آن جهت بود که برای سازگار کردن قطعه‌های مختلف در یک مونتاژ و ایجاد تغییرات احتمالی در آن مورد بررسی قرار گیرد.
برای توضیح بیشتر، فرض کنید یک مهندس در پی طرح جدار تلمبه‌ای است که با نیروی گریز از مرکز کار کند. او از راه به کار بردن تکنیک یاد شده می‌تواند الگویی حقیقی و سه بعدی و با اندازه‌های واقعی از جسم مورد نظر خویش را در دست داشته باشد و از روی آن به ساختن نمونه‌ی اصلی اقدام کند. برخلاف ماشین‌های با فرمان‌های عددی، این دستگاه‌های جدید می‌توانستند هر قطعه‌ای توخالی با هر شکل پیچیده‌ای را بیرون دهند و مهم نبود که این قطعه چه پیچ و تاب‌ها، چه سوراخ‌ها، چه اتصال‌ها، چه ضخامت‌ها، و چه پیچیدگی‌های دیگری داشته باشد. با ماشین‌های تراشکاری مجهز به دستگاه با فرمان‌های عددی نمی‌شد که یک کوزه‌ی دو دسته از نوع کوزه‌های یونانی را به دست آورد، در حالی که با دستگاه‌های جدید این کار بدون هیچ اشکالی ممکن بود.
برای به جسم درآوردن ترسیم‌هایی که نمودار معادله‌ها باشند نیز همین روش‌ها به کار می‌روند. همه‌ی این روش‌ها بر پایه‌ی این اصل استوارند که اگر جسمی برش به برش ساخته شود، هر چه این برش‌ها نازک‌تر باشند آن جسم با دقت بهتری به دست خواهد آمد. چندین سال پیش ضخامت برش‌ها از یک دهم تا یک میلیمتر بود. به عنوان مثال، کوزه‌ای را در نظر بگیرید که به موازات قاعده‌اش به برش‌هایی نازک بریده شود؛ آن‌چه به دست می‌آید دنباله‌ای از حلقه‌های نازک کمابیش دایره‌ای خواهد بود که اگر به ترتیب نخستین روی هم چیده شوند کوزه را بازسازی خواهند کرد.
تصویرگری جسم‌نمایی. از گونه‌ای مایع پلیمر استفاده می‌شود که چون در معرض تابش پرتوهای لیزری فرابنفش قرار گیرد سخت می‌شود. در بشکه‌ای پر از این مایع، یک کفه‌ی مسطح قرار دارد که موازی با سطح مایع حرکت می‌کند. در آغاز کار، این کفه در بالای سطح مایع چنان قرار می‌گیرد که از یک لایه‌ی نازک مایع پوشیده می‌شود. دوره‌ی مقطع قائمی از جسم بر نمایشگر کامپیوتر ظاهر می‌شود و متناظر با آن، دسته‌ای از پرتوهای لیزری، که کامپیوتر آن‌ها را هدایت می‌کند، بر سطح مایع تابانده می‌شوند. آن قسمت از مایع روی کفه که در معرض تابش پرتوهای لیزری قرار می‌گیرد سخت می‌شود و در این هنگام، کفه به مقدار خیلی کمی پایین می رود. یک لایه‌ی دیگر از مایع سطح کفه را می‌پوشاند و روی آن نظیر مقطع دیگری از جسم، عمل تکرار می‌شود. با تکرار عمل، هر بار یک برش نازک از جسم ساخته می‌شود و سرانجام نمای سه بعدی کل جسم در داخل مایع شکل می‌گیرد. آن‌چه پس از آن باید انجام گیرد خارج کردن شکل ساخته شده از درون مایع است.
ساخت ورقه‌ای. در این روش برای به دست آوردن شکل هر مقطع از جسم، پرتوهای لیزری با توان زیاد را بر ورقه‌های نازک پلاستیکی یا فلزی می‌تابانند. پس از آن، برش‌های به دست آمده را اگر پلاستیکی باشند با گرم کردن و اگر فلزی باشند با لحیم کردن به یک‌دیگر می‌چسبانند و از این راه، شکل سه بعدی جسم را به دست می‌آورند. این روش این برتری را دارد که برای ساختن برش‌ها از هر نوع ماده‌ی سخت می‌توان استفاده کرد.
ساخت ذره ای. افشاننده‌ای که با دقت بسیار زیاد می‌تواند تنظیم شود، قطره‌های ریز یک گونه پلاستیک را با سرعت زیاد پرتاب می‌کند. این قطره‌های پلاستیکی که در برابر گرما حساسیت دارند با یک‌دیگر برخورد می‌کنند و به هم می‌پیوندند. برش‌های مورد نظر، از این ذره‌های به هم پیوسته تشکیل می‌شوند. در این روش دو کونه ماده به کار می‌رود: نوعی موم با درجه ذوب پایین که در هنگام کار جهت نگاه داشتن ذره‌ها به کار می‌رود، و نوعی پلی اتیلن برای ساخت ذره‌های پلاستیکی. این دو نوع ماده یکی پس از دیگری به کار گرفته می‌شوند و شکل سه بعدی جسم در داخل موم به وجود می‌آید. برتری این روش در آن است که هنگام عمل، خطر جدایی جزءها از یک‌دیگر وجود ندارد و شکلی یکپارچه و با جزءهای تنگ هم نمودار می‌شود.
گدازش با لیزر. تکنیکی که به کار می‌رود همان روش تصویرگری جسم‌نمایی است با این تفاوت که به جای مایع پلیمر، گونه‌ای پودر به کار گرفته می‌شود. نظیر تصویرِ گرفته شده از یک مقطع جسم، پرتوهای لیزری بر سطح پودر تابانده می‌شوند و آن پودرهایی را که در بالای سطح با آن‌ها برخورد می‌کنند گداخته می‌سازند. این قسمت گداخته شده سرد می‌شود و نمای یک برش از جسم را به دست می‌دهد. پس از آن یک لایه‌ی نازک از پودر روی این برش و سطح ظرف را می‌پوشاند و با تابش پرتوهای لیزری جدید روی این لایه، برش دیگری از شکل جسم ساخته می‌شود. به همین ترتیب برش‌های جسم یکی پس از دیگری ساخته می‌شوند و شکل سه بعدی کل جسم به دست می‌آید. در این روش هم از آن‌جا که جسم در داخل توده‌ای از پودر شکل می‌گیرد، به مانند روش قبلی، خطر از هم جدا بودن قطعه‌ها وجود ندارد. پودری که به کار می‌رود ممکن است سرامیکی، پلاستیکی، یا فلزی باشد.
تنها از راه به کار بردن یکی از این چهار روش یاد شده است که می‌توان شکل‌هایی را ساخت تا فضاهای خالی و مهم داخل جسم‌های تقریباً بسته، برگشتگی‌های دیواره‌های اندرونی این جسم‌ها، و هم‌چنین خمیدگی‌های ملایم یا تند سطح‌های منحنی را نمایان سازند. اما دیکسن در پژوهش‌های خود بیش از همه روش تصویر جسم‌نمایی را به کار برد. باید افزود که دیکسن با شرکت امریکایی سیستم‌های 3-D همکاری داشت. کار ویژه‌ی این شرکت ساخت مجموعه‌ی کامل دستگاه‌های داده‌پردازی برای تصویرگری جسم‌نمایی بود. این مجموعه دستگاه‌ها اساساً در صنعت به کار می‌روند و می‌توانند بر پایه‌ی مختصه‌هایی که کامپیوتر برای هر نقطه به دست می‌دهد شکل‌ها را بسازند و مهم نیست که این شکل‌ها چه باشند.
امروزه بسته‌های نرم‌افزاری‌ای وجود دارند که می‌توانند معادله‌ها را به همان صورت که نوشته می‌شوند به کار ببرند. با بهره‌گیری از این نرم‌افزارها، مثلاً می‌توان تابع از نوع Y=d(cosX)/dX را به همین صورت به کامپیوتر داد و دستگاه، مشتق کسینوس هر مقداری را که گزیده شود دقیقاً حساب خواهد کرد؛ به عبارت دیگر، این نرم‌افزار موجب می‌شود که کامپیوترها نمادها و نشانه‌های زبان آنالیز را درک کنند. از این رو، دستگاه‌هایی که به آن‌ها اشاره شد در مورد سطح‌های ریاضی نیز می‌توانند به کار روند. یک معادله که به کامپیوتر داده شود، می‌توان منحنی نمایش آن را روی نمایشگر مشاهده کرد. معادله که سه مجهولی باشد، تصویرِ سطحِ نظیر آن روی نمایشگر نموده می‌شود. در این هنگام اگر ماشینی که به ساختن شکل‌های سه بُعدی توانایی دارد به کامپیوتر وصل شود، شکل سه بُعدی آن سطحِ نموده شده ساخته خواهد شد. پیش‌رفت صورت گرفته کاملاً قابل ملاحظه است. مثل این می‌ماند که با به دست آوردن عکسی از نامزد آینده بتوان خود او را در کنار داشت.
برای بررسی یک سطح پیچیده‌ی ریاضی، در دسترس داشتن الگوی واقعی و قابل لمس آن به مراتب بهتر از آن خواهد بود که تصویر مسطح آن روی نمایشگر مشاهده شود. این یکی نگاه کردن به یک رسم و آن یکی لمسِ یک مجسمه است؛ تفاوت از زمین تا آسمان است. وانگهی همین سطح‌های به صورتِ مجسمه در آمده چنان غیرعادی هستند که برای تشخیص واقعی آن‌ها لمس جدار بیرونی و انگشت فرو بردن در فضاهای خالی آن‌ها کفایت نمی‌کند، بلکه باید از همه‌ی زوایای مختلف دیده شوند.
یکی از بسته‌های نرم‌افزاری مورد استفاده برای این کار ماتماتیکا نام دارد. این نرم‌افزار دو کامپیوتر را به کار می‌گیرد. نخست معادله‌ها به کامپیوتر اول داده می‌شوند و ضمن این که تصویر سطح نظیر آن‌ها بر نمایشگر این کامپیوتر نمودار می‌گردد، مختصه‌های نقاط این سطح نیز یکی پس از دیگری اعلام می‌شوند. کامپیوتر دوم این مختصه‌ها را می‌گیرد، آن‌ها را به گونه‌ی لازم تبدیل می‌کند، و به دستگاه تصویرگر جسم‌نما می‌فرستد.
برای به دست آوردن یک شکلِ کامل از این راه، چندین ساعت وقت لازم است. چنین مدتی برای کار با یک دستگاه داده‌پردازی، طولانی به نظر می‌رسد و بهای تهیه‌ی یک سطح ریاضی را خیلی بالا می‌برد. باید گفت که وقت زیادی صرف محاسبه‌های مربوط به معادله‌ها می‌شود، هم‌چنین عمل پویش پرتوهای لیزری بر سطح مایع و شکل گرفتن تک‌تک برش‌ها تا اندازه‌ای به کندی انجام می‌گیرد.
ساختنِ سطح‌های ریاضی کهاد بسیار جالب‌تر است. از بین سطح‌هایی که دوره‌ی معلوم دارند آن که مساحتش کم‌ترین مقدار ممکن باشد سطح کهاد نامیده می‌شود. این گونه سطح‌ها را معادله‌هایی با مشتق‌های جزئی به دست می‌دهند که حل آن‌ها بسیار دشوار است و با روش‌های تحلیلی شناخته شده انجام شدنی نیست. از دیدگاه فیزیکی، اگر دوره‌ای از سیم نازک از درون آب کف‌های صابون گذرانده شود، پرده‌ای نازک از حباب صابون را که با خود بیرون می‌کشد یک سطح کهاد است. دلیل این امر یک قانون عمومی فیزیک است: دستگاهی که در وضع تعادل ترمودینامیکی باشد، انرژی‌ای که آزاد می‌کند کمینه خواهد بود. انرژی یک غشاء مایع که در دمای ثابت به عمل آمده باشد حاصل ضرب تنش سطحی در مساحت است. در یک دمای معین، تنش سطحی یک ثابت مربوط به مایع است. مساحت، تنها متغیر است، و چون انرژی آزاد شده کمینه است نتیجه می‌شود که مساحت نیز کمینه است. در سازمان مدارهای الکترونیکی متشکل از یک ساختار مولکولی نیز با سطح‌های کمینه مواجه می‌شویم. بنا بر قوانین طبیعی، این سطح‌ها باید شکل‌هایی مخصوصاً ناب داشته باشند. اما همه‌ی این سطح‌های کمینه را نمی‌توان با استفاده از آب صابون به نمایش گذاشت، یا این که با روش تصویرگری جسم‌نمایی از آن‌ها الگوهایی صُلب به دست آورد.
در حال حاضر می‌توان گفت تکنیکی که برای نمایش سطح‌های ریاضی به کار می‌رود هنوز تقریباً در آغاز راه خویش است و مهندسان امیدوارند که بتوانند اصلاح‌های لازم را در روش آن‌ها به عمل آورند تا قشرهای به دست آمده هر چه دقیق‌تر و نازک‌تر باشند. نمونه‌های فراوان و متنوعی هم که تاکنون به دست آمده‌اند از کیفیت خوبی برخوردارند و این امکان را فراهم ساخته‌اند که جسم‌هایی شکل بگیرند که پیش از این در دنیای مادی معمولی وجود نداشته و تنها به زبان ریاضی شناسایی می‌شدند.
/ج
.jpg "معنی اسم ائلوین و نام های هم آوا با آن + میزان فراوانی در ثبت احوال")
