![جبر بولی جبر بولی](https://rasekhoon.net/_files/thumb_images700/article/0030262.jpg)
نویسنده: انیس سیبولد(1)
مترجم: محمد قاسم وحیدی اصل
مترجم: محمد قاسم وحیدی اصل
به نظر می رسد که ایده ی وضع اصول موضوعه ای برای کار با علامت های مجرد (نه لزوماً اعداد) برای نخستین بار در انگلستان و حدوداً در زمان جورج بول (1815-1864) مطرح شده باشد. بول ایده های اصل خود را در 1847 در جزوه ای با عنوان تحلیل ریاضی منطق (2) منتشر کرد. در 1854، در تفحصی در قوانین تفکر که نظریه های ریاضی منطق و احتمال ها بر آن ها بنا شده اند(3)، شرح بسیار کامل تری از کار خود ارائه داد. «جبربولی» اصطلاحی است که اغلب به جبر مجموعه ها اطلاق می شود، هرچند که آنچه را امروزه «حساب گزاره ها»(4) می نامیم و عمدتاً به کمک جدول های ارزش مورد مطالعه قرار می گیرد، می توان از آن مراد کرد.
بول از حروف کوچک نظیر
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302621.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302622.jpg)
مجموعه ها را می توان با هم ترکیب کرد تا مجموعه های جدیدی به دو طریق اساسی تشکیل شود. حاصل ضرب منطقی یا اشتراک دو مجموعه ی
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302623.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302624.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302625.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302626.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302627.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302628.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302629.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026210.jpg)
منظور از اجتماع دو مجموعه ی A و B-که با
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026211.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026212.jpg)
«مجموع منطقی» بول کمی متفاوت بود. مجموع منطقی مجموعه های
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026213.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026214.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026215.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026216.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026217.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026218.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026219.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026220.jpg)
دیده می شود که شبیه های برخی قوانین در جبر معمولی، در جبر بولی برقرارند. مثلاً
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026221.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026222.jpg)
مشابهی برای قانون توزیع پذیری است. متناظر این قانون با قانون توزیع پذیری جبر معمولی به خصوص وقتی از نمادهای بول استفاده کنیم، بدیهی است:>
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/00302623.jpg)
راه دیگری برای ساختن مجموعه ای جدید، نه ترکیب کردن دو مجموعه، بلکه متمم گیری است. اگر از مجموعه ی جهانی I همه ی اعضای مجموعه ی A را برداریم، عنصرهای باقی مانده، مجموعه ای به نام متمم A تشکیل می دهند که به صورت های مختلف با I-A
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026224.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026225.jpg)
در حساب گزاره ها، حروف به جای نشان دادن اعداد (مانند جبر دبیرستانی یا پیش دانشگاهی) یا مجموعه ها (مانند جبر بولی) به نشانه ی گزاره هایی هستند که ممکن است راست و یا دروغ باشند. برای اشاره ی مختصری به رابطه ی بین جبر بولی و حساب گزاره ها، تنها خاطر نشان می کنید که اگر A گزاره ی «گل های سرخ قرمزند» و B گزاره ی «بنفشه های آبی اند» باشند، در این صورت
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026226.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026227.jpg)
جان وِنْ (5)(1834-1923)، از معاصران بول و نیز اهل انگلیس، راهی برای نمایش روشن عبارت های بولی از قبیل اعضای راست و چپ قانون توزیع پذیری اختراع کرد. نمودارهای مشابهی مستقلاً به وسیله ی لئونهارت اویلر (این ها دایره های اویلر نامیده می شدند) و به وسیله ی اوگاستس دمورگن (6) و دیگران اختراع شدند. در نمودارهای ون حصاری دور اعضای مجموعه می کشیم تا آن ها را از ناعضوها جدا کنیم. در این صورت «سطح» مشترک ناحیه هایی که نمایش دو مجموعه هستند، ناحیه ی هاشورخورده در شکل [9]-1، نمایش حاصل ضرب منطقی آن هاست. شکل [9]-2 حالتی را نشان می دهد که در آن
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026228.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026233.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026229.jpg)
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026230.jpg)
تحلیل مشابهی از عضو راست قانون توزیع پذیری همان مجموعه را حاصل می کند. بنابراین دو عضو صرفاً نام هایی متفاوت برای مجموعه ای واحدند (خواننده شاید بخواهد نمودارهای ون را در مورد دیگر قانونهای توزیع پذیری جبربولی
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026231.jpg)
جالب ترین پیشرفت جدید در ارتباط با جبر بولی، کاربرد آن در طراحی کامپیوترهای الکترونیکی از طریق تعبیر ترکیب های بولی مجموعه ها به عنوان مدارهای راه گزینی (7) است. حاصل ضرب منطقی دو مجموعه، متناظر با مداری با دو کلید به صورت سری است. برق در چنان مداری در صورتی جریان پیدا می کند که هر دو کلید اول و دوم بسته باشند. مجموع منطقی دو مجموعه، متناظر با مداری با دو کلید به صورت موازی است. برق در چنان مداری جریان پیدا می کند هرگاه یکی از دو کلید یا هر دو بسته باشد.
![جبر بولی جبر بولی](/userfiles/Article/1392/05/04/003026232.jpg)
پی نوشت ها :
1. Anice seybold
2. Mathematical Analysis of Logic
3. An Investigation of the Laws of Thought on which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and probabilities
4. propositional caluculus
5. John venn
6. Augustus De Morgan
7. switching circuits
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385