لگاریتم

جان نپر اسکاتلندی (1550-1617) مخترع لگاریتم شناخته شده است. او بحث لگاریتم ها را در سال 1614 در کتابی به نام توصیف قانون شگفت انگیز لگاریتم ها چاپ کرد. تنها رقیب نپر برای ادعای اختراع لگاریتم، یوبست بورگی (1552-1632)، ساعت ساز سوئیسی، است. جدول لگاریتم های بورگی در سال 1602 در کتابش به نام جداول پیشرفته‌ ی حساب و هندسه چاپ شد. ظاهراً نپر و بورگی مستقل از یکدیگر به نتایج یکسان رسیده اند، ولی چون کتاب نپر زودتر چاپ شد، افتخار ابداع لگاریتم نصیب او شد.
با نمادهای امروزین، اگر ، آن گاه لگاریتم y در مبنای a برابر x است. توجه کنید که با تغییر x به صورت تصاعد حسابی، y به صورت یک تصاعد هندسی تغییر می‌کند. نپر به شکلی هندسی به این تناظر بنیادی بین دو سری از اعداد رسید. تعریف نپر از لگاریتم ارتباطی به نماها نداشت؛ در واقع، در زمان او هنوز نمادگذاری استاندارد و مناسبی برای بیان نماها به طور کامل بسط نیافته بود.
فنی که نپر به کار برد، نمایش اعداد و لگاریتم آن ها به وسیله ی پاره خط های جدا شده توسط دو نقطه ی متحرک بود. این فن را می توان چنین نمایش داد: فرض کنید پاره خط AB طول ثابتی داشته باشد (نپر این طول ثابت را نماینده ی عدد 10,000,000 گرفت) و نیم خط از یک طرف نامتناهی باشد. فرض کنید نقطه‌ ی P روی خط AB حرکت می کند و سرعتش در هر لحظه برابر با فاصله ی PB است و نقطه ی روی خط
با سرعت ثابتی برابر با سرعت اولیه ی نقطه ی P، حرکت می کند (←شکل [13]-1). فرض کنید
به ترتیب متناظر با باشند نپر لگاریتم PB را برابر با طول تعریف کرد؛ یعنی لگاریتم برابر طول لگاریتم برابر طول است. توجه کنید که طول PB رو به کاهش است ولی لگاریتم آن صعودی است. می‌ توان تحقیق کرد که برای مقادیر PB در فاصله های زمانی یکسان، طول PB با یک تصاعد هندسی کاهش می‌یابد، ولی طول با یک تصاعد حسابی زیاد می شود و این همان تناظری است که قبلاً به آن اشاره شد.
نپر برای ساختن لگاریتم ها اولین عدد سری هندسی را 10,000,000 گرفت و مقدار 0 را به لگاریتم آن نسبت داد. نسبت تناسب سری هندسی را نیز (1/10000000)-1 گرفت. دومین عضو سری برابر است با

که مقدار 1 به لگاریتم این عدد نسبت داده شد. به لگاریتم عضو بعدی، یعنی مقدار 2 نسبت داده شد. به این ترتیب، عددی که لگاریتمش 100 باشد، تقریباً برابر با است. نپر همچنین کشف کرد که اگرA:b=c:d آن گاه

 در نتیجه، با یافتن عددی که لگاریتمش 100 است، به آسانی می‌ توان عددی را یافت که لگاریتمش 200 باشد. مثلاً عدد x که در معادله ی صادق باشد، عددی است که لگاریتمش 200 است، زیرا این عدد در معادله ی هم صدق می‌ کند و می دانیم که نپر عدد 10,000,000 را برای طول AB طوری انتخاب کرده بود که برابر (با حذف ممیز اعشاری) باشد. اعداد دیگر در تصاعد هندسی او (با تقریب هفت رقم اعشار) برابر با سینوس زوایای خاصی بودند. او سپس جدولی از لگاریتم سینوس این زوایا تشکیل داد و جدول را با درونیابی تکمیل کرد.
این که معمولاً گفته می شود لگاریتم های نپر لگاریتم طبیعی (در مبنای e) هستند گمراه کننده است. این را با کمی حساب دیفرانسیل و انتگرال می توان نشان داد. مطابق شکل [13]-1، فرض کنید PB=Y و . آن گاه
. سرعت نقطه‌ی P برابر است با

اما مقدار عددی سرعت برابر است باPB=X؛ پس .
 با جدا کردن متغیرها انتگرال گیری به دست می آوریم در T=0، داریم و بنابراین،

 معادله تبدیل می شود به

چون سرعت باید برابر با سرعت اولیه ی P باشد، و ولی در t=0 داریم x=0 و در نتیجه c=0. این یعنی . با قرار دادن این نتیجه در معادله ی (1)،

 که به ساده می شود. اما x لگاریتم نپری y است. در این صورت، رابطه ی زیر را بین لگاریتم نپری و لگاریتم طبیعی داریم:
لگاریتم نپری y:
از این فرمول روشن است که لگاریتم نپری با لگاریتم طبیعی فرق دارد. نپر در دستگاه خود جایی برای مفهوم مبنا در نظر نگرفته بود.
هنری بریگز انگلیسی (1561-1631) به ملاقات نپر رفت و در این ملاقات، نپر و بریگز توافق کردند که اگر لگاریتم های نپر را طوری تغییر دهند که لگاریتم 1 برابر 0 و لگاریتم 10 برابر 1 باشد، جدول لگاریتم های نپر سودمندتر می شود. این تغییر منجر به ابداع لگاریتم «بریگزی» یا لگاریتم «معمولی» شد که کارایی زیادی در محاسبات دارد.
امکان تعریف لگاریتم بر حسب نما را ابتدا جان والیس در 1685 و سپس یوهان برنولی (2) در 1694 بیان کردند. بررسی نظام مند لگاریتم بر اساس این ایده توسط ویلیام جونز (3) در جدول لگاریتم های گاردینر (4) (1742) انجام شد. در سال 1749 لئونارد اویلر این قضیه ی امروزین را بیان کرد که log n به ازای هر عدد حقیقی غیرصفر n بینهایت مقدار دارد؛ همه ی این مقادیر موهومی هستند جز در حالتی که n عددی مثبت باشد و در این حالت، فقط یکی از بینهایت مقدار log n حقیقی است.

پی نوشت ها :

1.Bernard Yozwiak
2. Johann Bernoulli
3. William Jones
4. Gardiner

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول..