دیدگاه کانت نسبت به ریاضیات

ایمانوئل کانت در اثرش به نام سنجش خرد ناب احکام ( یا گزاره ها، یعنی جملات خبری که یا راست هستند یا دروغ، هر چند ما ندانیم که راست هستند یا دروغ) را به دو دسته ی تحلیلی و ترکیبی تقسیم می کند. وی می گوید حکمی تحلیلی ا ست که صدق یا کذب آن تنها با تحلیل واژه های ( منطقی) در آن مشخص گردد مانند « گربه ی سیاه، سیاه است»، « هر دایره ای شکل است» و ... همچنین می توان گفت، حکمی که در آن مفهومی تجزیه می شود و از آن مفهومی دیگر که بالذات جزء آن است استخراج می شود ( یا به عبارت دیگر حکمی که در آن محمول بخشی از موضوع باشد) تحلیلی است. از این رو احکام تحلیلی صادق، از مضمون عینی تهی هستند و چیزی جز آن چه برای درک حکم ضرورت دارد به ما نمی گویند و بنابراین غیرآموزنده اند. بعدها فیلسوفان تعریف جامع تری برای حقیقت تحلیلی عرضه کردند، به این ترتیب که گفتند، حکم صادق ( حقیقت) تحلیلی آن است که نفی آن تناقض ( یعنی حکمی با قالب ) باشد. کانت حکمی را که تحلیلی نباشد، ترکیبی ( یا تألیفی) خوانده به عبارت دیگر حکم ترکیبی آن است که تفکر راجع به مفاهیم مذکور در حکم و روابط این مفاهیم با هم برای تعیین درستی یا نادرستی آن کافی نیست. این احکام می توانند درست یا نادرست باشند و صدق یا کذب آنها از طریق شهود، تجربه یا هر دو حاصل می شوند. مانند « آقا محمدخان قاجار مؤسس سلسله قاجار بود.»، « برف سفید است» و از این قبیل. رده بندی دیگری نیز برای احکام توسط کانت ارائه شد. وی احکام را به دو دسته پیشینی یا ماتقدم و پسینی یا ماتأخر تقسیم نمود. حکم پیشینی آن است که صدق یا کذب آن نیاز به تحقیق تجربی قراین محسوس ندارد مانند « همه عموها، مذکرند»، « مولکول اکسیژن دو اتمی است یا دو اتمی نیست» و از این قبیل. توجه کنید که تحلیلی بودن به ساختار حکم وابسته است در حالی که پیشینی بودن به روش شناخت. حکم پسینی آن است که صدق یا کذب آن مولکول به تجربه و قوانین تجربی است مانند « آب خالص در سطح دریا در صد درجه سانتیگراد می جوشد»، « هر انسان یکدستی، کور است» و از این قبیل. مرز مشخصی بین تحلیلی بودن و ترکیبی بودن وجود ندارد. مثلاً وقتی می گوییم « همه کلاغ ها سیاه هستند»، معلوم نیست که سیاه بودن واقعاً جزء مشخصه های کلاغ است و لذا حیوانی که سیاه نباشد، بنا به تعریف، کلاغ نیست؛ چرا که در تعریف کلاغ، سیاه بودن نیامده است و حتی در یک تحقیق تجربی ( مثلاً در جنگل های آمازون) ممکن است کلاغی یافت شود که سیاه نباشد. وضعیت مشابهی در مورد پیشینی و پسینی بودن وجود دارد و لذا در اینجا مسأله زبان و مشکلات آن مطرح می شود.
بنا به تعریف، حقایق تحلیلی پسینی وجود ندارد. در مورد حقایق تحلیلی پیشینی و ترکیبی پسینی نیز مشکلی وجود ندارد. اما آیا حقیقت ترکیبی پیشینی وجود دارد؟

	پیشینی	پسینی
تحلیلی	+	-
ترکیبی	؟	+

خردگرایان که معتقدند معرفت با حکم قاطع ذهن انسان به دست می آید، حقیقت ترکیبی پیشینی را ممکن می دانند، در حالی که تجربه گرایان که معرفت انسانی را زاییده ی حواس می دانند قائل به هیچ حقیقت ترکیبی پیشینی نیستند. کانت مدعی بود که قضایای ریاضی نمونه ای از احکام پیشینی هستند، ترکیبی هستند چون علاوه بر معانی نمادهایی که در آن ها به کار رفته است، اطلاعات دیگری نیز عرضه می کنند و مانند حقایق منطقی توخالی نیستند، و پیشینی هستند زیرا از ضرورت و کلیتی برخوردارند که احکام پسینی ( که عموماً تعمیم های تجربی ناشی از حدسی استقرایی هستند) فاقد آنند.
به زعم کانت این که بعضی حقایق هم ترکیبی هستند و هم پیشینی به ساختار ذهن بشر مربوط است. ساختمان ذهن ما چنان است که داده های عالم خارج را در قالب های خاصی می ریزد که عبارتند از « صور شهود» یعنی زمان و مکان، و « صور فاهمه» مانند علیت و جوهر.
وقتی کسی عینکی قرمز به چشم زده باشد، همه چیز را به رنگ قرمز ( کم رنگ یا پر رنگ) می بیند ولی امکان برداشتن عینک را دارد. ذهن ما مانند چشم است ولی ما نمی توانیم عینک قرمز خود را از شائبه صور خلاص کنیم، در واقع ذهن بر چگونگی درک ما از جهان اثر می گذارد، به زعم کانت ما نمی توانیم با قطعیت بدانیم جهان « در نفس خود» ( نومن) چگونه است بلکه فقط می توانیم نمود آن ( فنومن) را، یعنی آن چنان که نومن خود را به ما می نماید، بشناسیم. وی دو عنصر را در شناخت ما از جهان معرفی کرد، یکی ماده شناخت که همان ادراکات حسی است و دیگری صورت شناخت که قالب هایی را که ماده شناخت در آن می ریزد به دست می دهد.
به عقیده کانت صحت احکام ترکیبی پیشینی به وسیله شهود حاصل می شود. او می گوید حساب بر شهود ما از زمان و هندسه بر شهود ما از فضا مبتنی است. عدد استعداد فکر است برای شمردن مکرر در مکرر و اشیا هندسی استعداد فکرند در ساختن اشکال فضایی در مخلیه. قضایای ( اساسی) در ریاضی ترکیبی پیشینی هستند و ذهن با وضع آن ها فقط در کار د اخلی خود بصیرت می یابد نه در یک حقیقت جزمی خارج از ذهن.
آیر در کتاب زبان، حقیقت و منطق می گوید که همه ی حقایق ریاضی، تحلیلی پیشینی یعنی همان گویی می باشند، مثلاً اصول یک هندسه ( اقلیدسی یا نااقلیدسی) صرفاً تعریف، و قضایای آن صرفاً نتایج منطقی این تعاریف هستند. وی بر خلاف کانت که حقیقت «12=5+7» را ترکیبی می دانست، صدق حکم 12=5+7 را صرفاً به این مربوط می داند که 5+7 نام دیگر ( مترادف) 12 است.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن