تألیف: حمید وثیق زاده انصاری
منبع: راسخون
منبع: راسخون
آیا شما تا به حال برای بعضی مثال های اصلی، فاکتورگیری به وسیله دسته بندی را انجام داده اید؟ این مقاله آموزش ساده ای دارد که به شما نشان خواهد داد چگونه مسائل معین ریاضیاتی را با استفاده از این روش حل کنید. پس راه حل های ریاضیاتی خود را اعمال می کنیم، آیا باید چنین کاری انجام دهیم؟
فاکتور گیری، در ریاضیات، اشاره به ساده سازی یا کاهش عدد، یک چند جمله ای و غیره، به نتیجه ای که نمی تواند بیشتر از این کاهش یابد یا ساده شود، دارد. همان طور که به عنوان فاکتور گیری شناخته شده، این روش اساساً در ساده سازی چند جمله ای استفاده می شود. برای مثال فاکتور گیری عدد 36 به ما نتیجه ساده شده ی 3x 3x2 x2 را می دهد (هر یک از آنها یک عدد اول است). مثال ساده ی دیگری ممکن است شامل چند جمله ای باشد. فاکتور گرفتن از آن، به شما یک چند جمله ای ساده نشدنی می دهد: ( 1 -x) x2
فاکتورگیری به وسیله دسته بندی معمولاً در ساده سازی چند جمله ای ها استفاده می شود. در این جا، عبارت های با عوامل عادی قبل از این که فاکتور گرفته شوند، دسته بندی می شوند. جهت کمک به این که شما مفهوم را بهتر درک کنید، ما برخی از مثال های فاکتور گیری را به وسیله دسته بندی به اختصار بیان نموده ایم.
فاکتور گیری چند جمله ای به وسیله دسته بندی
چندجمله ای را بر اساس توان مرتب کنید:
در عبارت مفروض ، چنین چیزی وجود ندارد.
مثال 2
فاکتور گرفتن از چند جمله ای:
6x² (x - 3) + 3 (x -3)
فاکتورگیری از چندجمله ای:
به این تغییر توجه کنید: p+2 تبدیل به p-2 می شود، چون بعداً درون براکت ها معرفی می شود. این بابت تضمین این مطلب است که ما علامت اصلی 2 که مثبت است، را تغییر ندهیم. به عبارت دیگر، زمانی که شما دو براکت منفی را در هم ضرب می کنید، آنگاه علامت مثبت خواهید داشت.
از چندجمله ای فاکتورگیری نمایید:
اما نمی توانیم پیشتر از این برویم. پس به گام دوم برمی گردیم و برای دسته بندی عبارت ها با رویه ای متفاوت تلاش کنید.
, ، ما عوامل اصلی را به صورت زیر بدست می آوریم:
از این چندجمله ای فاکتور بگیرید:
توجه: عبارت مفروض یک چندجمله ای به شکل. (مقدار c ثابت است). در این جا ما روش دسته بندی را بلکه در گام بعدی فاکتورگیری استفاده خواهیم کرد.
• ابتدا، حاصل ضرب a و c را بیابید (c.a)
• عوامل (c.a) را بیابید که زمانی که با هم جمع شوند باید جمله میانی b را ارائه دهند.
• عوامل را با علایم مناسب (+ یا -) در مکان جمله میانی قرار دهید.
• سر انجام، روش دسته بندی عوامل را پی بگیرید.
پس با استفاده از روش دو بخشی کردن از نتیجه می گیریم:
(جمع 8 و 5 برابر با 13 است (مقدار b است) و حاصل ضرب آنها 40 است (c.a))
از این چندجمله ای فاکتور بگیرید:
را با استفاده از روش دو بخشی کردن ساده نمایید، که عبارت زیر را خواهد داد :
(جمع 4 و 1 مساوی است با 5 و حاصل ضربشان برابر است با 4)
= x (x + 4) +1 (x + 4)
= (x + 4) (x + 1)
بنا بر این عوامل نهایی به این شرح است: 4y (x + 4) (x + 1)
تعدادی مثال بیشتر
از این عبارت فاکتور بگیرید:
1. 4a² + ab - 16a - 4b
راه حل:
= 4a² + ab - 16a - 4b
= (4a² + ab) - (16a + 4b) (به تغییر علامت 4b توجه کنید)
= a (4a + b) - 4 (4a + b)
= (4a + b) (a - 4)
2. فاکتور گیری از x³ - 3x² + 6x - 18
راه حل:
= x³ - 3x² + 6x – 18
= (x³ - 3x²) + (6x - 18)
= x² (x - 3) + 6 (x - 3)
= (x - 3) (x² + 6)
3. فاکتور گیری از 16x²y + 32xy - 20y
راه حل:
= 16x²y + 32xy - 20y
= 4y (4x² + 8x - 5)
= 4y (4x² + 10x - 2x - 5)
= 4y {(4x² + 10x) - (2x + 5)}
= 4y { 2x (2x + 5) - 1 (2x + 5)}
= 4y (2x + 5) (2x - 1)
4. فاکتورگیری از 16x² - 2x – 3
راه حل:
= 16x² - 2x – 3
= 16x² - 8x + 6x - 3
= (16x² - 8x) + (6x - 3)
= 8x (2x - 1) + 3 (2x - 1)
= (8x + 3) (2x - 1)
5. فاکتور گیری از 2x³ - 8x² - 9x + 36
راه حل:
= 2x³ - 8x² - 9x + 36
= (2x³ - 8x²) - (9x - 36)
= 2x² (x - 4) - 9 (x - 4)
= (x - 4) (2x² - 9)
6. فاکتور گیری از x³ - 3x² + 10x – 30
راه حل:
= x³ - 3x² + 10x - 30
= (x³ - 3x²) + (10x - 30)
= x² (x - 3) + 10 (x - 3)
= (x - 3) (x² + 10)
7. فاکتور گیری از 2a²b + 30ab + 112b
راه حل:
= 2a²b + 30ab + 112b
= 2b (a² + 15a + 56)
= 2b (a² + 8a + 7a + 56)
= 2b {(a² + 8a) + (7a + 56)}
= 2b {a (a + 8) + 7 (a + 8)}
= 2b (a + 8) (a + 7)
برای بررسی این موضوع که آیا شما پاسخ صحیح را دارید، عوامل نهایی را ضرب کنید، باید چند جمله ای اصلی را به دست آورید.
کتاب ها بهترین منبع اطلاعاتی روی موضوع هایی مثل فاکتور گیری به وسیله دسته بندی می باشند. تمرین های منظم با چند جمله ای های متفاوت مهارت شما را افزایش خواهد داد و به شما کمک می کند تا در این هنر ریاضیاتی ساده سازی استاد شوید. همیشه به یاد داشته باشید که در موضوعی مثل ریاضیات، "بارگذاری ها" یک تمرین از جذابیت های کار می باشد.
فاکتور گیری، در ریاضیات، اشاره به ساده سازی یا کاهش عدد، یک چند جمله ای و غیره، به نتیجه ای که نمی تواند بیشتر از این کاهش یابد یا ساده شود، دارد. همان طور که به عنوان فاکتور گیری شناخته شده، این روش اساساً در ساده سازی چند جمله ای استفاده می شود. برای مثال فاکتور گیری عدد 36 به ما نتیجه ساده شده ی 3x 3x2 x2 را می دهد (هر یک از آنها یک عدد اول است). مثال ساده ی دیگری ممکن است شامل چند جمله ای
باشد. فاکتور گرفتن از آن، به شما یک چند جمله ای ساده نشدنی می دهد: ( 1 -x) x2فاکتورگیری به وسیله دسته بندی معمولاً در ساده سازی چند جمله ای ها استفاده می شود. در این جا، عبارت های با عوامل عادی قبل از این که فاکتور گرفته شوند، دسته بندی می شوند. جهت کمک به این که شما مفهوم را بهتر درک کنید، ما برخی از مثال های فاکتور گیری را به وسیله دسته بندی به اختصار بیان نموده ایم.
فاکتور گیری چند جمله ای به وسیله دسته بندی
مثال 1
گام اول
همیشه در چندجمله ای در جستجوی GCF (بزرگترین جمله مشترک) باشید.در عبارت مفروض
، چنین چیزی وجود ندارد.گام دوم
دو عبارت اول و دو عبارت آخر را با هم دسته بندی کنید (این روش فاکتور گیری با دسته بندی دو به دو نامیده می شود)، که به شما خواهد داد:
گام سوم
از GCF هرکدام از این دوجمله ای ها فاکتور بگیرید. شما خواهید داشت:
گام چهارم
در این عبارت از دو جمله ای مشترک یا اشتراکی فاکتور بگیرید. این کار به شما عوامل نهایی را خواهد داد:
مثال 2
گام اول
این عبارت هیچ GCF ندارد.گام دوم
دو جمله اول و دو جمله آخر را دسته بندی کنید، که می دهد:
گام سوم
از GCF هریک از این دوجمله ها فاکتور بگیرید، که می دهد:6x² (x - 3) + 3 (x -3)
گام چهارم
فاکتورگیری جمله مشترک در این عبارت عوامل اصلی را ارائه می دهد:
مثال 3
گام اول
این عبارت هیچ GCF ندارد.گام دوم
دو جمله اول و دو جمله آخر را دسته بندی کنید:
به این تغییر توجه کنید: p+2 تبدیل به p-2 می شود، چون بعداً درون براکت ها معرفی می شود. این بابت تضمین این مطلب است که ما علامت اصلی 2 که مثبت است، را تغییر ندهیم. به عبارت دیگر، زمانی که شما دو براکت منفی را در هم ضرب می کنید، آنگاه علامت مثبت خواهید داشت.
گام سوم
از GCF هر کدام از این دوجمله ای‌ها فاکتور بگیرید.
گام چهارم
عامل مشترک در این عبارت کدام است؟ p – 2. پس داریم:
گام پنجم
آیا شما می توانید عبارت ها را بیشتر از این ساده نمایید؟ بله، شما می توانید!
مثال 4
گام اول
هیچ GCF ای در عبارت وجود ندارد.گام دوم
با استفاده از روش دسته بندی دو به دو داریم:
گام سوم
با فاکتورگیری GCF هر یک از عبارت ها داریم:
اما نمی توانیم پیشتر از این برویم. پس به گام دوم برمی گردیم و برای دسته بندی عبارت ها با رویه ای متفاوت تلاش کنید.
گام دوم
سه جمله اول را با هم دسته بندی نمایید، آخری را همان طور باقی گذارید:
گام سوم
ابتدا، از جمله اول فاکتور بگیرید، از این فرمول استفاده کنید: a² + 2ab + b².
گام چهارم
با استفاده از فرمول
, ، ما عوامل اصلی را به صورت زیر بدست می آوریم:
مثال 5
توجه: عبارت مفروض یک چندجمله ای به شکل
. (مقدار c ثابت است). در این جا ما روش دسته بندی را بلکه در گام بعدی فاکتورگیری استفاده خواهیم کرد.گام اول
سه جمله ای مفروض GCF ندارد.گام دوم
در این جا، ما عبارت را با استفاده از روش دو بخشی کردن، ساده می کنیم. در این جا مراحل آن توضیح داده می شود:• ابتدا، حاصل ضرب a و c را بیابید (c.a)
• عوامل (c.a) را بیابید که زمانی که با هم جمع شوند باید جمله میانی b را ارائه دهند.
• عوامل را با علایم مناسب (+ یا -) در مکان جمله میانی قرار دهید.
• سر انجام، روش دسته بندی عوامل را پی بگیرید.
پس با استفاده از روش دو بخشی کردن از
نتیجه می گیریم:
(جمع 8 و 5 برابر با 13 است (مقدار b است) و حاصل ضرب آنها 40 است (c.a))گام سوم
اکنون، دو جمله اول و دو جمله آخر را با هم دیگر دسته بندی کنید، که شما خواهید داشت:
گام چهارم
از GCF هر کدام از دوجمله ای ها فاکتور بگیرید:
گام پنجم
از جمله مشترک در این عبارت فاکتور بگیرید تا عوامل نهایی را به دست آورید:
مثال 6
گام اول
این سه جمله ای یک GCF دارد که عبارت 4y می باشد. پس از GCF فاکتور بگیرید آن گاه داریم:
گام دوم
اکنون 4y را جدا کنید و عبارت
را با استفاده از روش دو بخشی کردن ساده نمایید، که عبارت زیر را خواهد داد :
(جمع 4 و 1 مساوی است با 5 و حاصل ضربشان برابر است با 4)گام سوم
دو جمله اول و دو جمله آخر را دسته بندی کنید، آن گاه داریم:= x (x + 4) +1 (x + 4)
گام پنجم
از جمله مشترک فاکتور بگیرید آن گاه داریم:= (x + 4) (x + 1)
بنا بر این عوامل نهایی به این شرح است: 4y (x + 4) (x + 1)
تعدادی مثال بیشتر
از این عبارت فاکتور بگیرید:
1. 4a² + ab - 16a - 4b
راه حل:
= 4a² + ab - 16a - 4b
= (4a² + ab) - (16a + 4b) (به تغییر علامت 4b توجه کنید)
= a (4a + b) - 4 (4a + b)
= (4a + b) (a - 4)
2. فاکتور گیری از x³ - 3x² + 6x - 18
راه حل:
= x³ - 3x² + 6x – 18
= (x³ - 3x²) + (6x - 18)
= x² (x - 3) + 6 (x - 3)
= (x - 3) (x² + 6)
3. فاکتور گیری از 16x²y + 32xy - 20y
راه حل:
= 16x²y + 32xy - 20y
= 4y (4x² + 8x - 5)
= 4y (4x² + 10x - 2x - 5)
= 4y {(4x² + 10x) - (2x + 5)}
= 4y { 2x (2x + 5) - 1 (2x + 5)}
= 4y (2x + 5) (2x - 1)
4. فاکتورگیری از 16x² - 2x – 3
راه حل:
= 16x² - 2x – 3
= 16x² - 8x + 6x - 3
= (16x² - 8x) + (6x - 3)
= 8x (2x - 1) + 3 (2x - 1)
= (8x + 3) (2x - 1)
5. فاکتور گیری از 2x³ - 8x² - 9x + 36
راه حل:
= 2x³ - 8x² - 9x + 36
= (2x³ - 8x²) - (9x - 36)
= 2x² (x - 4) - 9 (x - 4)
= (x - 4) (2x² - 9)
6. فاکتور گیری از x³ - 3x² + 10x – 30
راه حل:
= x³ - 3x² + 10x - 30
= (x³ - 3x²) + (10x - 30)
= x² (x - 3) + 10 (x - 3)
= (x - 3) (x² + 10)
7. فاکتور گیری از 2a²b + 30ab + 112b
راه حل:
= 2a²b + 30ab + 112b
= 2b (a² + 15a + 56)
= 2b (a² + 8a + 7a + 56)
= 2b {(a² + 8a) + (7a + 56)}
= 2b {a (a + 8) + 7 (a + 8)}
= 2b (a + 8) (a + 7)
برای بررسی این موضوع که آیا شما پاسخ صحیح را دارید، عوامل نهایی را ضرب کنید، باید چند جمله ای اصلی را به دست آورید.
کتاب ها بهترین منبع اطلاعاتی روی موضوع هایی مثل فاکتور گیری به وسیله دسته بندی می باشند. تمرین های منظم با چند جمله ای های متفاوت مهارت شما را افزایش خواهد داد و به شما کمک می کند تا در این هنر ریاضیاتی ساده سازی استاد شوید. همیشه به یاد داشته باشید که در موضوعی مثل ریاضیات، "بارگذاری ها" یک تمرین از جذابیت های کار می باشد.
/ج
