حجم یک کره

لغت Sphere از یک واژه ی یونانی "sphaira" بر گرفته شده است که به معنی کره و یا توپ است. این شکل یک شکل سه بعدی است که هیچ قاعده، یال، رأس و یا وجهی ندارد. کره شکلی مدور است که تمام نقاط آن بر روی رویهاش قرار دارند و در فاصلهای برابر نسبت به مرکز آن قرار دارند. کره یک شکل کاملاً متقارن است که از مرکز خود یک فاصله دارد "r" (شعاع). قطر آن حد اکثر فاصله ی مستقیم از میان آن است که برابر است با دو برابر شعاع آن. شما میتوانید با استفاده از یک فرمول ساده حجم کره را به دست آورید. شرح زیر در این باره، در کسب اطلاعاتی بیشتر نسبت به این مسئله کمک مینماید.

اشتقاق معادله
مشتق گیری از معادله در درک بهتر مسئله به شما کمک مینماید. ارشمیدس موفق به پی بردن به این معادله گردید. او نشان داد که حجم یک نیم کره برابر است با دو سوم یک استوانه ی محیطی. امروزه از حساب انتگرال برای جمع بستن حجم تعداد بی نهایتی قرص دایرهای با ضخامتی بسیار کوچک بهره جسته میشود. می‌خواهیم از این راه حجم نیم کره را حساب کنیم. این قرصها دارای حجم افزایشی δV به عنوان حاصل ضرب مساحت مقطع نیم کره و ضخامت δx هستند. بنا بر این،
(فرض کنید مرکز کره بر مرکز محور مختصات منطبق است و حجم نیم کره‌ای که دایره ی عظیمه‌اش بر صفحه ی yz منطبق است و رأس آن بر قسمت مثبت محور xها قرار دارد را می‌خواهیم با انتگرال گیری به دست آوریم.)
با نگاه کردن به مقادیر تفاضلی نشان داده شده با استفاده از علامت یونانی دلتا (δ) سر در گم نشوید. از آن جایی که این شکل سه بعدی از تعداد زیادی دایره تشکیل شده است، بخشی از این شکل در این قالب نشان داده شده است.
شما با جمع بستن تمامی حجمهای افزایشی مقدار کل را به دست خواهید آورد:

هنگامی که حد δx به صفر برسد، معادله بدین شکل در میآید:
از حد پایینی x=0 تا حد بالایی x=r.
'∫' علامت انتگرال گیری است، یعنی اضافه کردن تمام عبارتها.
یک مثلث قائم الزاویه در هر نقطه ی x داده شده، x، y و r را به مبدأ متصل میسازد. این امر بدین دلیل است که به ترتیب زیر از قضیه ی فیثاغورس پیروی مینماید:

بدین ترتیب، هنگامی که شما y را با تابع x جانشین کنید این رابطه را به دست خواهید آورد:
از حد پایینی x=0 تا حد بالایی x=r.
بنا بر این،

بنا بر این، معادله ی حجم کرهای که بدین ترتیب نتیجه گرفته شده است دو برابر این مقدار به قرار زیر خواهد بود:

اجازه دهید تا استفاده از فرمول را با استفاده از مثال زیر توضیح دهیم.
مثال
حجم کرهای با شعاع 7.6 m را پیدا کنید و پاسخ خود را تا دو رقم اعشار گرد کنید.
جواب

فرمول با استفاده از قطر
فرمول بالا با استفاده از شعاع مورد محاسبه قرار گرفته است. حجم مقداری سه بعدی از فضا است که به وسیله ی یک شیء اشغال شده است. در یک کره، دورترین مسافت یک نقطه ی روی رویه تا نقطه ی دیگر بر روی رویه از وسط مرکز با استفاده از قطر مورد اندازه گیری قرار میگیرد. برای یافتن حجم با استفاده از قطر، از معادله ی زیر پیروی نمایید.
V برابر است با 3.14159 (پی) برابر قطر d به توان سه و تقسیم بر 6. بنا بر این، این فرمول را میتوان به شکل زیر نوشت، و قطر دو برابر شعاع (r) است.

شما تنها لازم است تا این فرمول را به خاطر بسپارید و مقدارهایی که دارید در آن وارد سازید. امید که این مقاله برای تمام کسانی که شور و شوق ریاضیات را در سر دارند سودمند واقع گردیده باشد.