با سلام به شما کاربر گرامی می دانیم که تبدیل لاپلاس یک تبدیل انتگرالی از تابع (f(x به تابع (F(s است که F(s) = $ e-sxf(x)dx (انتگرال معین از 0 تا مثبت بی نهایت) (-sx توان است) برای تابع ثابت داریم (-sx توان است) F(s) = $ a.e-sx.dx = (-a/s)e-sx = a/s دقت کنید که مقدار تابع e-sx از 0 تا بی نهایت برابر منفی یک است. و برای تابع نمایی داریم F(s) = $ eax.e-sx.dx = $ e(a - s)x.dx = (1/(a - s)).e(a - s)x توجه:( (a-s)x,ax, -sx)توان هستند) و دوباره با در نظر گرفتن مقدار تابع e(a - s)x از 0 تا بی نهایت داریم (F(s) = 1/(s - a و برای تابع توانی داریم ( توان هستند F(s) = $ xn.e-sx.dx = n! / sn+1 (n, -sx,n+1 توجه کنید که این رابطه از روش استقرا روی n اثبات می شود.(روش استقرا را به کار برید) می دانیم که (x , -xتوان است) (sinhx = (1/2)(ex - e-x) ; coshx = (1/2)(ex + e-x بنابراین برای تبدیل تابع sinhax داریم (ax,-ax,-sx توان هستند) F(s) = (1/2) $ e-sx(eax - e-ax)dx و طبق مسئله قبل برای تبدیل لاپلاس تابع نمایی داریم (2توان است) (F(s) = (1/2)(1/(s - a) - 1/(s + a)) = a/(s2 - a2 به همین ترتیب در مورد تبدیل coshax داریم (2 توان است) (F(s) = (1/2)(1/(s - a) + 1/(s + a)) = s/(s2 - a2 می دانیم که (ix , -ix توان هستند) (sinx = (1/2i)(eix - e-ix) ; cosx = (1/2)(eix + e-ix بنابراین تبدیل لاپلاس sinax برابر است با (2 توان است) (F(s) = (1/2i)(1/(s - ia) - 1/(s + ia)) = a/(s2 + a2 و به همین ترتیب برای cosax داریم (F(s) = s/(s2 + a2 کاربر گرامی توجه فرمایید که s و a به توان 2 رسیده و بدلیل مشکل تایپی اینچنین تایپ شده است. موفق باشید.