اعداد و تجرّد

معانی مختلف کلمه مجرد

زمانی که مدلی طراحی می شود شخص باید سعی کند تا حد امکان از در نظر گرفتن ویژگی های اشیاء درگیر در آن مدل دوری گزیند و تنها عناصری از آنها را حفظ کند که برای بررسی رفتار آنها ضروری است. در مثال هایی که من زدم یک سنگ به یک نقطه تقلیل پیدا می کند. تمام جمعیت یک کشور تنها با یک عدد بیان می شود. مغز به شبکه ای از درگاه ها تقلیل پیدا می کند که هر یک قانون ساده ریاضیاتی را انجام می دهند و از کل فعل و انفعلات پیچیده شیمیایی آن چشم پوشی می شود. بنابراین آنچه به دست می آید توصیف مجردی از آن چیزی است که مورد مدل سازی قرار گرفته است.
دو برداشت درباره این بیان که ریاضیات موضوعی مجرد است وجود دارد: می توان گفت ریاضیات مجرد است چرا که در آن ما ویژگی های مهم یک مسأله را جدا می کنیم و از سوی دیگر با اشیایی سر و کار پیدا می کنیم که واقعی و محسوس نیستند. مقاله بعدی درباره مفهوم سوم تجرد که حس عمیق تری از مجرد بودن ریاضیات را مطرح می کند بحث خواهد کرد. در این بحث هم برخی از مثال هایی که در بخش های پیش به آنها اشاره شد می تواند کمک کننده باشد. یک گراف مدل بسیار قابل انعطاف و با کاربردهای فراوان است. اما زمانی که شخصی به مطالعه گراف ها می پردازد الزاماً نیازی به در نظر گرفتن این کاربردها نیست. در این بررسی اصلاً مسأله مهمی نیست که گره های یک گراف نشان دهنده واحدهای زمانی، کشورهای مختلف یا چیزی به کلی متفاوت باشند.
نظریه گراف می تواند تمام ارجاعات ممکن به دنیای واقعی را پشت سر بگذارد و وارد قلمرو تجرد محض شود.

روش مجرد

چند سال پیش نقدی در ضمیمه ادبی تایمز منتشر شد که، با این پاراگراف آغاز شده بود. « فرض کنید 0= 0×0 و 1=1×1، این مسأله این نکته را درپی خواهد داشت که اعدادی وجود دارند که مربع آنها با خود آنها برابر است و البته این موضوع باعث خواهد شد تا به این نتیجه برسیم که اعدادی وجود دارند. به نظر می رسد در این فرآیند ساده سازی ما از یک مسأله ساده عددی به این سؤال مهم و فرآیند ساده سازی ما از یک مسأله ساده عددی به این سؤال مهم و فلسفی رسیده ایم که اعداد وجود دارند. در حالی که این خود موضوعی بسیار پیچیده تر از اولی است ». (1)
این استدلال را می توان به روش های مختلف مورد نقد قرار داد و بعید است که کسی از جمله خود منتقد نیز آن را جدی بگیرد. با وجود این قطعاً فلاسفه ای وجود دارند که سؤال های جدی در خصوص وجود اعداد می پرسند و همین امر آنها را از ریاضیدانان متمایز می کند. ریاضی دانانی که یا وجود اعداد را بدیهی می پندارند و یا اصلاً متوجه ماهیت سؤال این فلاسفه نمی شوند؟ این فصل به این مسأله می پردازد که چگونه ریاضیدانان می توانند ( حتی با خوشحالی ) از این مسأله به ظاهر بنیادی – وجود اعداد- عبور کنند.
پوچ بودن این استدلال « بسیار ساده و طبیعی » که در پاراگراف بالا درباره وجود اعداد ارائه شده است را می توان با استدلال مشابه ای در خصوص بازی شطرنج آشکار کرد. در نظر بگیرید که شاه سیاه مهره ای است که می تواند از جای خود یک خانه به اطراف حرکت کند. بنابراین می توان گفت مهره ای وجود دارد که می تواند از محل خود تنها یک خانه به اطراف حرکت کند. در نتیجه می توانیم بگوییم قطعاً مهره های شطرنج وجود دارند. البته منظور من از این استدلال این نیست که، ثابت کنم مردم گاهی مهره های شطرنج را می سازند– شما حتی می توانید بدون مهره ها به بازی بپردازید– بلکه منظور این است که از نظر فلسفی مهره های شطرنج مستقل از ساختار و تظاهر فیزیکی خود وجود دارند.
شاه سیاه در بازی شطرنج چیست؟ این سؤال غریبی است و به نظر می رسد رضایت بخش ترین راه برای پاسخ دادن به آن این باشد که به سادگی از کنار این مسأله بگذریم. چه کاری بیش از این می توان انجام داد که کسی یک صفحه شطرنج را پیش روی خود بگذارد و قوانین بازی را روی آن توضیح دهد و شاید در نهایت بتواند تمرکز بیشتری بر توضیح نقش شاه کند؟ چیزی که در این باره مهم است نقشی است که شاه در بازی شطرنج ایفا می کند و نه ماهیت وجودی آن و طبیعت ذاتی آن.
آن گونه که معمول است، یک روش ریاضیاتی مجرد، را بررسی نتایج حاصل از اعمال روش های مشابه هم بر روی برخی اشیاء ریاضیاتی تعریف می کنند. این طرز مواجه را می توان به طور خلاصه در این عبارت آورد. عبارت های مشابهی را بارها در فلسفه زبان می شنویم و البته می تواند بسیار بحث برانگیز باشد. نمونه این موارد را می توان در 2 مثال زیر یافت که « در یک زبان فقط تفاوت ها وجود دارد » و « معنی هر لغت کاربرد آن در آن زبان است » که به ترتیب مربوط به سوسور و ویتگنشتاین هستند. همین طور می تواند خروش پوزیتیویست های منطقی را نیز به این مجموعه بیافزایید که می گویند: « معنی هر گزاره، روشی است که برای اثبات آن بیان می شود ». اگر این شیوه بیان به دلایل فلسفی به ذایقه ی شما خوش نیامده است می توانید آن را نه به عنوان یک بیانیه خشک، که به عنوان روشی که کسی برای سازگاری بیشتر با شرایط برمی گزیند، ببینید. در حقیقت من امیدوارم این موضوع را روشن کرده باشم که برای کسی که می خواهد ریاضیات سطح بالاتری را یاد بگیرد مطلقاً ضروری است که چنین تصویری را– درباره ی اشیاء ریاضی– بپذیرد.

شطرنج بدون مهره

شاید برای شما هم دیدن اینکه بازی شطرنج یا بازی های مشابه را می توان با کمک یک گراف مدل سازی کرد، حیرت آور باشد. رأس های گراف نمایانگر موقعیت های ممکن در بازی هستند. دو رأس P و Q با ریالی به هم متصل شده اند که نشان می دهد برای کسی که نوبت بازی بر عهده او است و در زمانی که وضعیت بازی در شرایط P قرار دارد، حرکتی قانونی و مجاز وجود دارد که می تواند وضعیت بازی را به حالت Q تبدیل کند. از آنجایی که ممکن است برگشتن از حالت Q به حالت P ممکن نباشد لذا باید جهتی برای یال ها مشخص کرد. همچنین تعدادی از رأس ها نشان دهنده وضعیت پیروزی قطعی مهره سفید و دیگری نشان دهنده قطعی پیروزی مهره سیاه است. بازی در یک رأس یکتا و مشخص که نشان دهنده وضعیت مهره ها در شرایط آغاز است شروع می شود. سپس بازیکنان بر مبنای نوبت خود یکی از یال ها را انتخاب می کنند و در جهت آنها حرکت خود را انجام می دهند. بازیکن اول سعی می کند خود را به یکی از رأس های مشخص کننده پیروزی مهره سفید برساند و نفر دوم بر عکس سعی می کند به رئوس مشخص کننده پیروزی سیاه برسد. تصویر 1 طرحی از یک بازی بسیار ساده شده را نشان می دهد. درک این نکته که مهر سفید در این طرح دارای استراتژی برد بازی بوده است دشوار نیست.
این مدل گرافی از شطرنج به شدت غیر عملگرایانه است چرا که اگر بخواهید دقیقاً شرایط واقعی صفحه شطرنج را مدل کنید با تعداد بسیار زیادی از حالت های ممکن مواجه خواهید شد. جالب آنکه من در تمام مدتی که این مدل را تعریف می کردم هیچ اشاره ای به مهره های آن نکردم. از این دیدگاه به نظر کاملاً غیرعادی است که درباره وجود یا ماهیت شاه سیاه بحث کنیم. در حقیقت صفحه شطرنج و مهره های آن چیزی جز وسایلی برای طبقه بندی بهتر و راحت تر کردن کار ما در انتخاب رئوس و یال ها در میان یک گراف بسیار بزرگ نیستند. اگر مثلاً در حین بازی ما می گوییم شاه سیاه کیش شده است این بدان معنی است که تنها خواسته ایم جمله خلاصه ای را استفاده کنیم که معنی آن این است که مهره ما توانسته است به یکی از رئوسی برسد که در فهرست بسیار طولانی رئوس خاص ( حالت کیش ) قرار دارد.

اعداد طبیعی

« طبیعی » نامی است که از سوی ریاضیدانان به اعداد آشنای 1، 2، 3، ... داده می شود. این اعداد در رده پایه ای ترین اشیاء ریاضیاتی جای دارند. اما به نظر نمی رسد که آنها بتوانند ما را برای استفاده تفکر مجرد دلگرم کنند. گذشته از هر چیزی مگر عدد پنج، چه کاری انجام می دهد؟ این عدد مانند مهره شطرنج روی صفحه جابه جا نمی شود. ولی در عوض به نظر می رسد دارای محتوایی ذاتی است که بیانگر نوع پنج بودن محض است و ما به محض آنکه به شکلی مانند شکل 2 نگاه می کنیم آن را به ذهن می آوریم.
اگرچه زمانی که با اعداد بزرگتر مواجه می شویم از میزان محض بودن این برداشت کاسته می شود. تصویر 3 نمایش هایی از اعداد 7، 12 و 47 را نشان می دهد. شاید برخی از افراد مفهوم هفت بودن را از شکل اول دریابند اما اکثر آنها در مواجهه با این تصویر برداشتی مشابه این خواهند داشت که « نقاط بیرونی یک 6 ضلعی را تشکیل می دهند و یک نقطه هم در مرکز وجود دارد، پس ما 7=1+6 نقطه داریم ». همچنین در مورد 12 بلافاصله با برداشت 2×6 یا 3×4 برای شمارش عدد مواجه خواهیم شد. اما در مورد 47 هیچ راهی برای تقسیم بندی آنها به گروه های مشخص وجود ندارد. اگر آنها به شکل ستون های 7 در 7 طبقه بندی می شدند که 2 نقطه آن پاک شده بود آنگاه می شد با استفاده از اطلاعات خود بگوییم که تعداد نقطه ها 47=2-49=2-7×7 است. در غیر این صورت چاره ای جز شمارش نقطه ها نداریم و در این صورت 47 عددی خواهد بود که پس از 46 می آید و 46 عددی که پس از 45 و همین طور... .
به عبارت دیگر تا زمانی که ما اعداد را به عنوان موجودات مستقل و اشیایی ایزوله نگاه می کنیم آنها موجودیت بارزی ندارند و تنها زمانی آنها را درک می کنیم که شروع به شناخت آنها بر مبنای خواص آن و ارتباط آنها با دیگر اعداد و نقشی می کنیم که در دستگاه اعداد بازی می کنند. و این همان چیزی است که من آن را کارکرد اعداد و عمل آنها می نامم.
همان طور که تا الان هم آشکار شده است مفهوم هر عدد ارتباطی تنگاتنگ با اعمال حسابی نظیر جمع و ضرب دارد. برای مثال بدون داشتن دیدگاهی درباره حساب، یک نفر تنها می تواند به طور مبهم و گذرا به معنی عددی مانند 1000000017 اشاره کند. دستگاه اعداد نه تنها مجموعه ای از عددها هستند که فراتر از آن باید آنها را مجموعه ای از اعداد، با قوانینی به حساب آورد که نحوه محاسبه را نیز مشخص می کنند. راه دیگری برای خلاصه کردن این رویکرد مجرد آن است که به قوانین بیش از خود اعداد فکر کنید. شاید کسی بتواند اعداد را در قالب یک بازی ببیند و شاید کسی بخواهد آنها را نوعی شمارنده به حساب آورد.
برای اینکه ایده هایی درباره آن که این اعداد چه ها هستند بیابید یک سؤال حساب ساده را مطرح کنیم که اگر کسی بخواهد متقاعد شود که حاصل ضرب 38 در 263 می شود 9994 چه کار باید بکند؟ بسیاری از مردم شاید صحت آن را از طریق آزمایش آن با ماشین حساب بررسی کنند اما اگر ماشین حساب در دسترس نبود ممکن است روش زیر را در پیش گیرند.

چرا صحت چنین استدلالی باید بدیهی باشد؟ مثلاً چرا کسی باید بپذیرد که 6000 =200×30 می شود؛ طبق تعریف می توان 30 را 3×10 و 200 را ( 10×10 ) ×2 تعریف کرد. بنابراین می توان گفت که 200×30 برابر است با ( (10×10) ×2 ) ×( 10×3 ). اما خوب چرا باید این حاصل ضرب بشود 6000؟
البته بعید است که کسی با پرسیدن چنین سؤالی خود را به زحمت بیاندازد اما اگر چنین پرسشی مطرح شد شاید بتوانیم در پاسخ بگوییم:

در این موارد بدون اینکه متوجه باشیم عملاً داریم دو خاصیت آشنا در مورد عمل ضرب را استفاده می کنیم. نخست اینکه وقتی دو عدد را در هم ضرب می کنید مهم نیست که کدام یک از آن اعداد را در دیگری ضرب کنید و دیگر اینکه اگر بیش از دو عدد را در هم ضرب کنید مهم نیست چگونه آنها را دسته بندی کنید و پرانتزها را کجا قرار دهید. برای مثال 7×8 =8×7 و ( 35×34 ) ×31 =35 ×( 34×31 ). توجه کنید که در میانه محاسبه، حاصل ضرب داخل پرانتزها با هم متفاوت است اما در نهایت پاسخ نهایی یکسان خواهند بود.
این دو قانون را اصطلاحاً قوانین تعویض پذیری و شرکت پذیری ضرب می نامند. بیایید در اینجا قوانینی را فهرست کنیم که هنگام جمع و ضرب از آنها استفاده می کنیم.
A1: قانون تعویض پذیری جمع: برای هر عددی مانند a و b داریم a+b= b+a.
A2: قانون شرکت پذیری جمع: برای هر سه عددی مانند b,a و c داریم a+(b+c)= (a+b)+c.
M1: قانون تعویض پذیری ضرب: برای هر دو عدد a و b داریم ab= ba.
M2: قانون شرکت پذیری ضرب: برای هر سه عدد b,a و c داریم a(bc)= (ab)c.
M3: 1 عضو همانی ضرب است یعنی برای هر عددی مانند a داریم 1a=a.
D: قانون بخش پذیری: برای هر سه عدد b,a و c داریم (a+b)c= ac+bc.
من این قوانین را به دلیل جذابیت ذاتی آنها فهرست نکرده ام بلکه به این دلیل این اشاره را انجام دادم که آنها نقش مهمی را در نحوه تفکر ما حتی در مواجهه با گزاره های ساده ریاضیاتی ایفا می کنند. اعتماد ما به این حقیقت که 6 =3×2 شاید بر مبنای تصویری مانند این باشد.
* * *
* * *
از سوی دیگر رویکرد مستقیمی مانند مورد بالا برای نشان دادن حالت رابطه9994 =263×38 کاربرد ندارد و باید برای نشان دادن آن از روشی متفاوت و با استفاده از قوانین تعویض پذیری، شرکت پذیری و بخش پذیری، استفاده کنیم. اگر ما این قوانین را بپذیریم آنگاه ما می توانیم نتایج را هم بپذیریم. فراتر از آن می توانیم از صحت چنین ضرب هایی مطمئن شویم بدون آنکه واقعاً تصوری بصری از 9994 شیء داشته باشیم.

صفر

از نظر تاریخی ایده عدد صفر پس از اعداد طبیعی مثبت به وجود آمد. به نظر می رسد که بسیاری از مردم آن را مفهومی رازآلود و متناقض نما می یافتند و همین امر باعث می شد سؤالات متفاوتی مطرح شود. سؤالاتی مانند اینکه چگونه ممکن است چیزی وجود داشته باشد ولی در عین حال چیزی نباشد؟ با وجود این اگر از چشم اندازی مجرد به ماجرا نگاه کنیم، درک وجود صفر بسیار آسان می شود. این موجود بر مبنای تعریف و ویژگی زیر وارد دستگاه اعداد شده است.
A3: صفر عضو همانی جمع است به این معنی که برای هر عددی مانند a داریم. 0+a= a.
این تمام آن چیزی است که لازم است درباره ی صفر بدانیم. هیچ نیازی نیست که به معنی آن فکر کنیم فقط کافی است ببینیم قرار است چه کاری را انجام دهد.
درباره دیگر ویژگی های صفر چه می توانیم بگوییم؟ مثلاً در این باره که حاصلضرب هر عدد ضرب در صفر می شود 0؟ من این موضوع را به عنوان قانونی بیان نکرده ام چرا که می توان آن را بر مبنای قانون A3 و قوانین قبلی به دست آورد. برای مثال اینجا نشان می دهیم که چگونه 0 =2×0 ( به یاد داشته باشید که 2 =1+1 ) ابتدا از قانون M1 استفاده می کنیم و داریم 0×2 =2×0 قانون D به ما می گوید که:
0×1+0×1 =0×( 1+1 ) اما بنابر قانون M3 داریم 0 =0×1 و بنابراین نتیجه برابر خواهد بود با 0+0 که قانون A3 توضیح می دهد که 0 =0+0 و بدین ترتیب استدلال ما به پایان می رسد.
یک روش جایگزین برای انجام این استدلال که مبتنی بر روشی غیر مجرد است را می توان به روشی مانند زیر بیان کرد که صفر ضرب در دو 2 به این معنی است که مقدار هیچ را دو برابر کنید و اگر این کار را انجام دهید باز هم به نتیجه هیچ خواهید رسید که همان است. اما در صورتی که از این روش استفاده کنید در پاسخ به برخی از سؤالات دچار مشکل خواهید شد. پرسش هایی مانند پرسشی که جان پسر شش ساله ام از من پرسید: چگونه هیچ در هیچ، می شود هیچ. در حالی که هیچ در هیچ به این معنی است که اصلاً هیچی وجود ندارد؟ پاسخ خوبی که می شود به چنین سؤالی داد استدلال از طریق قوانینی است که قبلاً صحبت کرده ایم:

چرا برای اثبات واقعیتی بسیار ساده از چنین برهان پیچیده ای استفاده کردم؟ بار دیگر می گوییم؛ علت استفاده از چنین روشی زیبایی ریاضیاتی نبود که در این روش وجود دارد بلکه فراتر از آن این نکته است که نشان بدهم چگونه می توان یک استدلال محاسباتی را به روشی مجرد بیان و از طریق تنها چند قانون ساده و بدون توجه به معنی و ماهیت گزاره ها آن را ثابت کرد. البته استفاده از معانی و مفاهیم و تصاویر ذهنی برای یک شی ریاضیاتی امری رایج و بسیار کارآمد است ولی همانگونه که بارها در این کتاب خواهید دید این تصاویر، کمک چندانی به درک نحوه مواجهه با مفاهیم و مسایل جدید و ناآشنا نمی کنند. در حالی که روش های ریاضیاتی همواره قابل اعتماد و توجه باقی می مانند.

اعداد منفی و کسری

هر کسی که تجربه تدریس ریاضیات به کودکان را داشته است می داند که در مورد تفریق و تقسیم مشکلی وجود دارد که آموزش آن را نسبت به جمع و ضرب دشوارتر می کند. برای توضیح تفریق، کسی ممکن است از شیوه برداشتن استفاده کند. مثلاً این سؤال را مطرح می کند که اگر در ابتدا 5 پرتقال در سبد بوده باشد و شما 2 تای آن را خورده باشید چند پرتقال در سبد باقی خواهد ماند؟ اما این شیوه بهترین راه ممکن برای فکر کردن درباره این موضوع. برای مثال اگر بخواهید 98 تا از 100 تا کم کنید بلکه بهتر است به این موضوع فکر کنید که باید چند تا به 98 اضافه کنید تا به 100 برسید بنابراین آنچه در حقیقت اتفاق می افتد حل این مسأله است که 100 98+X= چه پیدا شدن سر و کلهx برای حل چنین مسأله ای شاید به نظر عجیب بیاید. به طور مشابه در مورد تقسیم هم می توان به دو شکل به مسأله نگاه کرد. برای توضیح عمل تقسیم 50 بر 10 کسی ممکن است بگوید، اگر 50 شی به 10 گروه مساوی تقسیم شوند چند عضو در هر گروه خواهد بود؟ یا بپرسد: اگر 50 شی را به گروه های 10 تایی تقسیم کنید چند گروه شکل خواهد گرفت؟ رویکرد دوم معادل سؤال دیگری است که می توان پرسید که 10 باید در چه عددی ضرب شود که حاصل آن 50 شود این مسأله منجر به حل معادله 50 =10x خواهد شد.
مشکل دیگری که در آموزش تفریق و تقسیم به کودکان وجود دارد این است که انجام آن ها همیشه امکان پذیر نیست. برای مثال شما نمی توانید 10 پرتقال را از یک سبد 7 تایی بردارید و همین طور کودکان نمی توانند 11 تیله را به طور مساوی بین 3 گروه پخش کنند. البته بزرگسالان مانعی برای کم کردن 10 از 7 و یا تقسیم 11 بر 3 ندارند و آنها به راحتی به پاسخ های 3- و می رسند. سؤالی که مطرح می شود این است که آیا این اعداد اصولاً وجود دارند و اگر هستند دقیقاً چیستند؟
از دیدگاه مجرد، ما می توانیم با این سوال ها درست همان رفتاری را کنیم که با سوال مربوط به 0 انجام دادیم. با فراموش کردن ماهیت آنها تنها چیزی که لازم است درباره 3- بدانیم آن است که باید عدد 3 را به آن اضافه کرد تا به 0 رسید و تنها چیزی که نیاز دارید درباره بدانید این است که زمانی که آن را در 3 ضرب کنید به عدد 11 خواهید رسید. اینها بر مبنای قوانینی هستند که زمانی که با قانون های قبلی ترکیب شوند به شما امکان انجام محاسبه در سیستم های بزرگتر عددی را می دهد. اما چرا باید بخواهیم که دستگاه عددی بزرگتری داشته باشیم؟ به این دلیل که این دستگاه به ما مدلی را می دهد که در آن معادلاتی مانندx+a= b و ax= b قابل حل کردن است و a و b هر مقداری می توانند بپذیرند به شرطی که در معادله دوم b مساوی نباشند. به عبارت دیگر این سیستم به ما این امکان را می دهد که عمل تقسیم و تفریق همیشه قابل انجام باشد مگر در موردی که کسی بخواهد عددی را بر 0 تقسیم کند.
برای توسیع سیستم عددی خود به این روش تنها به 2 قانون اضافی نیاز داریم. قانونی که اعداد منفی را به ما بدهد و قانونی که اعداد کسری یا گویا را تولید کند.
A4: معکوس جمعی: برای هر عدد a عددی مانند b وجود دارد که a+b= 0.
M4: معکوس ضربی: برای هر عدد غیر صفری مانند a عددی مانند c وجود دارد ac= 1.
بر اساس این اصول اینک می توانیم –a و را به ترتیب معادلی برای عدد b در A4 و c در M4 در نظر بگیریم. برای آنکه این مسأله را عمومیت بیشتر بدهیم عدد را معادل حاصل ضرب p در 1/q تعریف می کنیم .
قوانین A4 و M4 دو قانون دیگر، که به قوانین حذف معروف هستند را تولید می کنند.
A5: قانون حذف برای جمع: فرض کنید a و b و 3c عدد دلخواه باشند و a، صفر نباشند، اگر ab= ac باشد آنگاه b= c.
نخستین قانون با افزودن –a به طرفین مساوی اثبات می شود و دومی را می توان با ضرب طرفین در 1/a اثبات کرد. توجه کنید که میان این دو قانون اخیر و قوانینی که قبلاً بیان کرده ایم تفاوتی وجود دارد. این دو قانون از قانون های قبلی نتیجه گرفته شده است و تنها برای راحت تر شدن کارها به شکل مستقل بیان شده اند.
اگر کسی بخواهد دو عدد گویا را با هم جمع کند بهترین راه این است که از شیوه مخرج مشترک استفاده کند مثلاً:

صحت این روش و روش های دیگر را می توان با استفاده از قوانین اخیری که بیان کردیم و قوانین قبلی تحقیق کرد و آنها را همزمان با هم به کار گرفت.
برای مثال:


بنابراین بنابر قانون M5، و ، همانگونه که در محاسبه به کار گرفته شده بود، برابر هستند.
همین طور به شکل مشابه می توان با استفاده از همین روابط مسایل مربوط به اعداد منفی را توجیه کرد. من این موضوع را بر عهده خواننده می گذارم که صحت رابطه 1 = (1-)×(1-) را بر اساس قوانین قبلی تأیید کند. البته اثبات این موضوع بسیار شبیه اثبات 0 =0×0 است.
اما چرا برای بسیاری از مردم این دید به وجود می آید که اعداد منفی کمتر از اعداد مثبت واقعی هستند؟ شاید این مسأله به این موضوع برگردد که شمارش تعداد معدودی از اشیاء جز فعالیت های پایه ای انسان است و زمانی که این کار را انجام می دهیم از اعداد منفی استفاده نمی کنیم. همه اینها نشان می دهد که سیستم اعداد طبیعی، به عنوان یک مدل، در توضیح رویدادهایی که سر و کاری با سیستم توسعه داده شده اعداد ندارد بسیار کارآمد است اما زمانی که به مباحثی مانند دمای هوا، تاریخ ها و یا موجودی حساب پس انداز می رسید، اعداد منفی اهمیت خود را نشان می دهند. از نظر منطقی تا زمانی که توسعه این سیستم عددی سازگار باشد نگرانی در مورد استفاده از آن به عنوان یک مدل وجود ندارد.
شاید به نظر غریب بیاید که ما از سیستم اعداد طبیعی به یک مدل یاد می کنیم. مگر نه اینکه ما اعداد را واقعاً می شماریم بدون آنکه هیچ تطابقی با چیز دیگری به وجود آوریم؟ پاسخ این است که اگرچه این کار را می کنیم اما این راه همیشه مطلوب یا ممکن نیست. هیچ اشکالی از نقطه نظر ریاضیاتی درباره عدد 1394840275936498649234987 وجود ندارد. اما اگر ما نمی توانیم حتی آرای ایالت فلوریدا را درست بشماریم. (2) دشواری شمارش چنین گروهی خود را نشان می دهد و حتی مطمئن نیستیم که با مجموعه ای با این تعداد اعضا مواجه شویم. اگر شما 2 کپه برگ خشک را بردارید و به یک کپه دیگر اضافه کنید آنگاه 3 کپه برگ نخواهید داشت بلکه با یک کپه بزرگتر مواجه خواهید شد. همچنین در روزی که شاهد ریزش باران هستید به قول وینگنشتاین اگر از شما بپرسند چه تعداد قطره باران وجود دارد عملاً باید بگویید خیلی و نمی توانید عدد مشخصی را به آن نسبت دهید چرا که تعداد آن را نمی دانید.

اعداد حقیقی و مختلط

سیستم اعداد حقیقی شامل همه اعدادی است که می توان آنها را با بی نهایت اعشار نشان داد. این مفهوم از آنچه به نظر می رسد پیچیده تر است. دلایل این امر را در فصل 4 شرح خواهم داد. فعلاً بپذیرید که دلیل گسترش دستگاه اعداد از گویا به حقیقی شبیه به آن دلیلی است که به واسطه آن ناچار به معرفی اعداد منفی و کسری شدیم. آنها به ما اجازه می دهند تا معادلاتی را حل کنیم که بدون وجود این اعداد از عهده اش برنمی آییم.
معروف ترین مثال در این زمینه معادله است. در قرن 6 پیش از میلاد فیثاغورسیان کشف کردند که عدد عددی گنگ است. به این معنی که نمی توان آن را به شکل کسری نشان داد ( اثبات این مسأله در مقاله بعدی ارائه خواهد شد ). این کشف سبب بروز وحشت بی سابقه ای شد چرا که دستگاه عددی آن موقع این عدد را شامل نمی شد اما اکنون ما بدون مشکلی پذیرفته ایم که اگر بخواهیم مسایلی مانند اندازه قطر یک مربع را مدل سازی کنیم چاره ای جز گسترش و توسعه سیستم عددی خود نداریم. بار دیگر رویکردی مجرد به موضوع، کار ما را بسیار راحت خواهد کرد. ما نشان جدیدی به شکل را معرفی می کنیم و به کمک قانونی معلوم می کنیم که چگونه با آن برخورد کنیم؛ با جذر 2.
اگر شما به خوبی تعلیم دیده باشید متوجه خواهید شد که بر اساس آنچه من تعریف کردم تفاوتی میان و وجود ندارد. راهی که می توان این مشکل را حل کرد وارد کردن مفهومی جدید به بحث است. مفهومی که آن را مرتبه می نامیم و آن را به گونه ای تعریف می کنیم که خاصیت دیگری هم داشته باشد و از 0 بزرگتر باشد اما حتی بدون این شرط اضافی هم ما می توانیم محاسبات خود را نظیر مورد زیر انجام دهیم:

البته مسأله بالا را می توان با در نظر گرفتن به جای نیز حل کرد و به همین نتیجه رسید. بدگمانی تاریخی به روش مجرد باعث شده تا هر زمانی که گسترشی در سیستم اعداد به وجود آید نام های جدیدی نیز برای آن انتخاب شود. نام هایی مانند اعداد منفی، گنگ و یا گویا اما از همه ی این نام ها دشوارتر و غیر قابل هضم تر عبارت اعداد مختلط یا موهومی است. این اعداد، شکلی مانند a+bi دارند که در آنها a و b اعدادی حقیقی هستند و i ریشه دوم عدد1- است.
از یک سو هر کسی ممکن است با این تعریف دچار سردرگمی شود چرا که ریشه دوم هر عددی باید مثبت باشد و 1- نمی تواند ریشه دوم داشته باشد و این پایان داستان خواهد بود. البته چنین مسأله ای را اگر با دیدگاه مجرد بنگریم با هیچ مشکلی مواجه نخواهیم شد. چرا نباید دستگاه اعداد را با ارائه راه حلی برای معادله 1- =x2 گسترش داد چه چیز این موضوع عجیب تر از کاری است که قبلاً در معرفی انجام دادیم؟
شاید در پاسخ گفته شود که به هر حال عدد دارای دنباله ای اعشاری است که می توان آن را تا حد دقت مورد نیاز ادامه داد؛ اما هیچ چیز مشابهی را نمی توانیم درباره i بگوییم اما این حرف هم چیزی به موضوع اضافه نمی کند. ما نامی جدید به این عدد داده ایم؛ i عددی حقیقی نیست همان طور که عددی گویا نیست. این موضوعی نیست که بتواند ما را از توسعه سیستم عددی خود منصرف کند و اجازه ندهد به حل رابطه ای مانند رابطه زیر بپردازیم.
1/(i-1)=(i+1)/(i-1)(i+1) =(i+1)/(i^2-i+i-1)=(i+1)/(-1-1)=-1/2 (i+1)
مهمترین تفاوت میان i و این است که درباره i چاره ای جز اندیشیدن مجرد نداریم در حالی که می توانیم را چون 41420000/1 نشان دهیم. برای اینکه متوجه شوید چرا i چنین نمایش ندارد این سؤال را از خودتان بپرسید که کدام یک از دو عدد ریشه دوم 1- برابر با i می شود و کدام یک ?-i این سؤال در کل بی معنی است، چرا که i طبق تعریف تنها موجودی است که توان 2 آن برابر با 1- می شود. از آنجایی که این تعریف را طبق تعریف i درست می دانیم بنابراین هر جمله و گزاره ای در این خصوص تا زمانی درست می ماند که با عبارت هم ارزی درباره i جایگزین شود. البته شاید درک این امر دشوار باشد اما زمانی که کسی این مسأله را درک کرد دیگر i برایش همانقدر واقعی می شود که هر شی دیگری که در این دنیا وجود دارد.
این مسأله مورد مشابهی نیز در فلسفه دارد که یکی از معروفترین معماهای فلسفی را شکل داده است. سؤال این است که مثلاً هنگامی که شما رنگی را سبز تشخیص می دهید ممکن است من آن را قرمز تشخیص دهم یا برعکس؟ برخی از فیلسوفان این پرسش را جدی تلقی می کنند و پدیده ای به نام کیفیت ذهنی (3) را تعریف می کنند که منظورشان تجربه ذاتی و حقیقی است که مثلاً هنگام دیدن رنگ ها برای ما پیش می آید. برخی دیگر به وجود این کیفیت ذهنی اعتقادی ندارند. به نظر این گروه تعریف رنگ سبز مجردتر از جایگاهی که در ساختار زبان شناسی دارد تعریف می شود و اشاره به مفهوم سبزی و غیره دارد. البته برای یک شخص بیرونی تقریباً غیرممکن است که بتواند به تفاوت افرادی با این دو دیدگاه پی ببرد مگر اینکه وارد بحث فلسفی با آنها شود. به طور مشابه در ریاضیات و درباره اعداد و اشیاء ریاضیاتی هم نیز تمام آنچه که هنگام کار کردن با آنها مهم است قوانینی است که آنها با آن کار می کنند.
اگر ما i را برای ارائه راه حلی برای معادله مطرح کردیم پس درباره معادلاتی دیگر و مشابه مانند یا چه می توانیم بگوییم؟ معادلات زیادی هستند که با کمک سیستم اعداد مختلط حل می شوند به عبارت دیگر ما با یک سرمایه گذاری کوچک که همان پذیرفتن i بود، استفاده های مکرر و زیادی از آن می کنیم. این مسأله تاریخ بسیار مغرنج و پیچیده ای دارد. اما عموماً آن را به گاوس نسبت می دهند. گاوس قضیه ای بسیار بنیادی در جبر را بیان و با اثبات آن مدارک قابل قبولی درباره موجودیت طبیعی i ارائه کرد. شاید غیرقابل تصور باشد که سبدی با i عدد سیب را تصور کنیم یا ماشینی که با سرعت i کیلومتر در ساعت حرکت می کند و یا حساب بانکی که در آن ضریبی از i مقدار پول در آن باشد. اما به هر حال سیستم اعداد مختلط برای ریاضیدانان، مهندسان و دانشمندان، موجودی ضروری به حساب می آید. برای مثال تئوری مکانیک کوانتومی به طور جدی به این اعداد وابسته است. این موضوع تصویر واضحی از این اصل عمومی را نشان می دهد که هرگاه ساختاری ریاضیاتی به اندازه کافی طبیعی باشد آنگاه تقریباً با قطعیت می شود گفت که کاربردی در نقش یک مدل پیدا خواهد کرد.

نخستین نگاه به بی نهایت

زمانی که کسی نحوه تفکر مجرد را می آموزد احساس قدرت بیشتر و توانایی متفاوتی می کند، مانند کسی که موفق شده است دوچرخه ای را بدون اینکه نگران از دست دادن تعادلش باشد و یا از کسی بخواهد او را کمک کند، براند. با وجود این من امیدوارم این ایده باعث نشود گمان کنیم تفکر مجرد مانند دستگاه چاپ اسکناس می ماند که می توانیم به راحتی همه مشکلاتمان را با آن حل کنیم. برای درک این موضوع جالب خواهد بود که به فرآیند تعریف بی نهایت بنگریم و تضاد آن را به مسأله i مرور کنیم. شاید در ابتدا به نظر برسد که مشکلی در این زمینه وجود ندارد و چیزی نمی تواند مانع ما شود. بی نهایت باید چیزی شبیه مفهوم 1 تقسیم بر 0 باشد پس چرا بی نهایت یا ∞ را به عنوان نمادی مجرد به عنوان پاسخ معادله 0.x= 1 در نظر نگیریم؟
به محض اینکه بخواهید وارد انجام محاسبات با چنین روشی شوید، مشکلات خودشان را نشان می دهند. برای مثال در اینجا رشته ای از محاسبات بر مبنای قانون شرکت پذیری ضرب و این واقعیت که 0=2×0 است چنین نتیجه ای به بار می آورد.

آنچه این استدلال نشان می دهد این است که وجود جوابی برای معادله 1 =x0 عملاً ما را به تناقضی ریاضیاتی می رساند. آیا این بدان معنی است که نامتناهی ( بی نهایت ) وجود ندارد؟ نه این موضوع فقط بیانگر این موضوع است که هیچ بروز و ظهور طبیعی از مفهوم نامتناهی وجود ندارد که بتوان آن را وارد قوانین محاسباتی کرد. برخی اوقات توسعه دستگاه اعداد به شکلی که شامل نماد ∞ نیز شود بسیار کارآمد است اما به شرطی که به خاطر داشته باشیم در آن دستگاه باید با احتیاط از قوانین حساب عادی استفاده کرد چرا که همواره پاسخگو نیستند. به همین دلیل اغلب اوقات بسیار ترجیح می دهند تا قوانینشان ثابت و صادق باقی بماند و در عوض مفهوم نامتناهی را از دستگاه خود حذف کنند.

اعدادی با توان منفی و کسری

یکی از خواص روش مجرد این است که ما را قادر می سازد که مفاهیم آشنا را در موقعیت های غیر عادی مورد بحث قرار دهیم و احساس آشنایی درباره آنها داشته باشیم. جمله احساس آشنایی درباره موضوع کاملاً اصطلاح مناسبی است چرا که این دقیقاً همان کاری است که انجام می دهیم. یک مثال ساده در این باره مسأله رساندن اعداد به توان عددی منفی یا کسری است.
اگر n عدد صحیح و مثبتی باشد آنگاه یعنی عدد a را n بار در خودش ضرب کنید. مثلاً و اما با چنین تعریفی نمی توان دید درستی راجع به عددی مانند به دست آورد چرا که نمی توانید عددی را 5/1 بار در خود ضرب کنید. اما روش مجرد چگونه با چنین مسائلی برخورد می کند؟ بار دیگر به جای آنکه به معانی فکر کنید به قوانین توجه کنید.
2 قانون اصلی درباره به توان رساندن اعداد در زیر آمده است:
E1: برای هر عدد حقیقی a داریم a1= a
E2: برای هر عدد حقیقی مانند a و هر زوج عدد طبیعی مانند m و n داریم
برای مثال برابر است با 2×2×2×2×2 و برابر است با ( 2×2 ) × ( 2×2×2 )، در نتیجه این حاصل ضربها نیز با توجه به شرکت پذیری عمل ضرب یکسان هستند.
با توجه به این دو قانون ما می توانیم قوانینی را که می دانیم به دست آوریم. برای مثال چرا که مبنای قانون E2 نتیجه می گیریم که مقدار این عبارت برابر است با و این موضوع نیز بنابر E1 برابر است با a×a . اما فراتر از آن ما موقعیتی را به دست آورده ایم که می توانیم کارهای بیشتری را انجام دهیم. فرض کنید x عددی معادل، عبارت
باشد بنابراین بنابراین طبق E2 نتیجه برابر خواهد بود با و این مقدار برابر است با 23 و مساوی است با 8. به عبارت دیگر این مسأله هنوز مقدار x را مشخص نمی کند چرا که دو مقدار مثبت و منفی برای ریشه دوم 8 وجود دارد بنابراین لازم است که قانون جدیدی را تعریف کنیم.
E3: اگر a>0 و b اعدادی حقیقی و مثبت باشند آنگاه نیز مثبت است.
حال با استفاده از E3 دریافتیم که مقدار ریشه دوم مثبت عدد 8 است.
این مسأله را نباید کشف مقدار واقعی ) تصور کرد. با وجود این، این جواب یک انتخاب آزادانه در مورد پاسخ این معادله هم نبوده است. بلکه تنها نتیجه ممکنی بود که بر مبنای قوانین 3 گانه فوق الذکر می شد به دست آورد.
با استدلال مشابهی می توان مقدار عبارت را برای مواقعی که 0= a نیست به دست آورد. بر اساس E1 و E2 می دانیم که با استفاده از قانون حذف E5 خواهیم داشت که و این رابطه به ازای هر مقدار غیر صفری برای a درست است. برای توان های منفی هم می توان همین استدلال را انجام داد. اگر جواب گزاره ab را بدانیم آنگاه داریم 1= a0= ab+(-b)= ab×a-b بنابراین می توانیم a-b را معادل 1/ab تعریف کنیم. مثلاً مقدار
مفهوم دیگری که درک آن به وسیله روش مجرد بسیار کارا می شود، مفهوم لگاریتم است. من در این کتاب خیلی به بحث لگاریتم نمی پردازم اما اگر خیلی مایل به آشنایی با آن باشید می توانید از 3 قانون زیر استفاده کنید. ( به یاد داشته باشید که اگر بخواهیم لگاریتم را در مبنای عدد نپر –e- بررسی کنید کافی است به جای 10 در رابطه L1 عدد نپر را جایگزین کنید ) .
L1: log (10)= 1
L2: log (xy)= Log (x)+log(y)
L3: اگر x<y آنگاه log (x)<log (y)
مثلاً برای اینکه متوجه شوید لگاریتم 30 کوچکتر از 2/3 است کافی است به مراحل زیر توجه کنید.
Log (1000)= log (10)+log (100)=log (10)+log (10)+log(10)=3
از طرفی می دانیم 2log(30)= log (30)+log(30)= log (900) با استفاده از قانون L2 می دانیم log (900)<log (1000) پس 2log(30)<3 در نتیجه log(30)<3/2.

پي‌نوشت‌ها:

A. W. Moore reviewing Realistic Rationalism, by Jerrold J. Katz, in the T.L.S., 11 th September 1998.
2. اشاره به شمارش آرای انتخابات ریاست جمهوری آمریکا در سال 2000 که به دلیل شمارش اشتباه آرا فلوریدا و همچنین توقف بازشماری آراء در این ایالت در حالی که ال گور از حزب دموکرات پیش تاز بود، جرج دبلیو بوش به مقام ریاست جمهوری رسید.
3. qualia

منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصیرت، چاپ دوم.