هندسه هذلولی

برای توصیف و شرح دادن هندسه هذلولی چندین راه متفاوت اما هم ارز وجود دارد، راهی که من برای توضیح آن انتخاب کرده ام به مدل دیسک مشهور است که برای نخستین بار ریاضیدان برجسته فرانسوی، هانری پوانکاره (1) آن را کشف و بیان کرد. سعی می کنم برخی بخش های اصلی آن را توضیح دهم و درباره اصل توازی در آن بحث کنم.
درک مدل دیسک، از درک هندسه کروی بسیار پیچیده تر و دشوارتر است، چرا که نه تنها باید معنی جدیدی برای خط و پاره خط ارائه کنیم که ناچاریم دیدگاه خود درباره مفهوم فاصله را هم بر روی سطح یک کره تغییر دهیم. فاصله به راحتی تعریف پذیر است و می توان فاصله میان دو نقطه x,y روی آن را در طول کوتاهترین مسیر ممکن از x تا y تعریف کرد به شرط اینکه این مسیر روی کره قرار داشته باشد.
تصویر شماره 1: تصویری از یک صفحه هذلولی که با 5 گوش های منظم فرش شده است
اگرچه تعریف مشابهی را برای هندسه هذلولی معرفی می کنیم اما مفهوم آن چندان واضح نخواهد بود و به دلایلی که به آن اشاره خواهیم کرد کوتاهترین مسیر و در کل طول هر مسیری را نمی توان به راحتی در فضای هندسه هذلولی بیان نمود.
شکل 1 نشان می دهد که یک قرص یا دیسک در هندسه هذلولی چگونه با 5 ضلعی های معمولی فرش شده است. البته باید این طرز فرش کردن را توضیح دهیم چرا که اگر بخواهیم مفهوم فاصله را به شکل عادی آن توصیف کنیم هیچ چیز در این شکل سر جای خودش نخواهد بود. آشکار است طول اضلاع این 5 ضلعی ها یکسان نیستند و گذشته از آن به شکل خطوط مستقیم هم نیستند. به نظر می رسد طول اضلاع در مقایسه با آنچه که در تصویر مشخص است با نزدیک شدن به مرزهای دیسک باید بزرگتر باشد و هر چه به این مرزها نزدیکتر شوید و به نوعی به سمت بی نهایت نسبت به مرکز حرکت کنید، اختلاف اندازه های واقعی و آنچه به نظر می رسد بزرگتر و بزرگتر می شود. به همین دلیل است که در 5 ضلعی که با ستاره نشان داده شده است به نظر می رسد ضلعی که به مرکز دیسک نزدیک تر است طول ضلع بزرگتری نسبت به دیگر اضلاعش دارد. اضلاع دیگر اگرچه به نظر کوچکتر می آیند، اما فاصله هذلولی به طریقی تعریف می شود که این کوچکی ظاهری به طور کامل و دقیق بر اساس میزان نزدیکی که با لبه ها دارند جبران می شود.
اگر به نظرتان چنین موضوعی گیج کننده و حتی تناقض آمیز می آید بد نیست درباره یک نقشه جغرافیایی معمولی جهان فکر کنید. همان طور که همگان می دانند از آنجایی که نقشه جغرافیایی نمایشی مسطح از یک سطح کروی است فواصل روی نقشه الزاماً معتبر باقی نمی ماند. راه های مختلف برای رسم نقشه ای مسطح از زمین وجود دارد که یکی از رایج ترین آنها روش معروف به تصویر کردن مرکاتور (2) است که در آن کشورهایی که در نزدیکی قطبین زمین هستند کشیده تر رسم می شوند. برای مثال گرین لند روی نقشه از نظر اندازه قابل مقایسه با تمام قاره آمریکای جنوبی است در حالی که جزیره ای کوچک به شمار می رود. در حقیقت مکان ها و فواصلی که بیش از بقیه به بالا و پایین نقشه نزدیکترند در مقایسه با آنچه که واقعاً روی زمین هستند بزرگتر رسم می شوند.
یک اثر کاملاً شناخته شده این چنین نوع تصویری این است که کوتاهترین مسیر میان دو نقطه روی سطح زمین بر روی نقشه، به شکل منحنی درمی آید. این اتفاق را به دو روش می توان درک کرد، نخست این که نقشه را فراموش کنید و به جای آن یک کره را تصور کنید و به خاطر بیاورید که اگر دو نقطه در نیمکره شمال آن در نظر بگیرید که خیلی شرق تر از دیگری باشد ( مثل ونکورو و پاریس ) آنگاه نزدیکترین مسیر میان نقطه اول و دوم ( بر مبنای تعریف خطوط در هندسه کروی ) از نزدیکی قطب شمال می گذرد. دوم اینکه این استدلال را از نقشه اصلی دنبال کنید و می بینید که برای آن که آن خط مستقیم را روی نقشه مسطح رسم کنید باید منحنی ای که به سمت شمال و سپس غرب امتداد پیدا می کند را رسم کنید. بنابراین با این روش پیدا کردن کوتاهترین مسیر بین این دو نقطه روی نقشه مسطح چندان ساده نیست اما حداقل واضح است که خط مستقیم ( از دید فواصل کروی ) تبدیل به منحنی ( از دید نقشه مسطح ) می شود.
همان طور که اشاره کردم، زمانی که به لبه های قرص هذلولی نزدیک می شوید فواصل در مقایسه با آنچه به نظر می آیند طولانی تر و بلندتر می شوند. در نتیجه کوتاهترین مسیر میان دو نقطه تمایل دارد که به سمت مرکز قرص منحرف شود. این بدان معنی است که این فاصله و این مسیر مطابق تعریف عادی خط مستقیم نخواهد بود ( مگر زمانی که خط دقیقاً از مرکز عبور کند ). در حقیقت می توان یک خط مستقیم هذلولی که کوتاهترین مسیر میان دو نقطه از دیدگاه هذلولی است را به شکل کمانی از یک دایره در نظر گرفت که مرزهای دایره ی اصلی دیسک را با زوایای قائمه قطع کند ( مطابق شکل 2 ). حال اگر یک بار دیگر به کاشی کاری های 5 ضلعی نگاه کنید خواهید دید که لبه های 5 ضلعی ها، با وجود آنکه صاف به نظر می آید در حقیقت پاره خط های هذلولی هستند. چرا که بر اساس تعریفی که ارائه دادم می توان آنها را بخش هایی از خطوط هذلولی تصور کرد. به طور مشابه برخلاف آن چه به نظر می آید 5 ضلعی های ارائه شده با هم برابر و مساوی نیستند اما در حقیقت همه آنها برابرند و فقط آنهایی که به لبه ها نزدیکترند کوچکتر به نظر می آیند و این دقیقاً برخلاف موردی است که در مورد تصویر گرین لند روی نقشه با آن مواجه بودیم.
اما همان طور که تصویرسازی مرکاتور، کره را روی صفحه تصویر کرده مدل دیسکی نیز نقشه ای از هندسه هذلولی ارائه می دهد و نه خود آن را.
طبیعی است که این پرسش مطرح می شود که هندسه هذلولی واقعاً در مورد چیست و چه ویژگی هایی دارد؟
اگر این توصیف ها، نقشه طرحی تصویر شده از هندسه هذلولی را نشان می دهد، پس خود چیزی که در حال تصویر شدن است کدام است؟ و چه رابطه ای میان مسأله قرص هذلولی و تصویر مرکاتور از فضای کروی وجود دارد؟
تصویر شماره 2: یک خط هذلولی
پاسخ به چنین پرسشی چندان ساده نیست، در مورد هندسه کروی شما می توانید موضوع بحث را سطحی از یک فضای سه بعدی در نظر بگیرید. اگر کار خود برای درک این هندسه را از تصویر مرکاتور آغاز کنید و به مسأله فواصل روی نقشه مطرح شده دقت کنید و فرض کنید که چیزی درباره سطح کروی که تصویر شده است، نمی دانید آنگاه می توان با کار بر روی این نقشه و طرح متوجه شوید که سطوح متقارنی در فضا وجود دارد که اگر این سطح ( نقشه ) را روی آن تصویر کنید مسیرهای شما به کوتاهترین مسیر میان دو نقطه روی آن سطح تبدیل می شود و همه چیز به خوبی راحتی قابل درک خواهد بود.
متأسفانه چنین چیزی درباره هندسه هذلولی وجود ندارد. البته با وجود این هیچ دلیلی وجود ندارد که هندسه هذلولی را کمتر از هندسه کروی واقعی بدانیم. آنچه مطرح می شود این است که درک این هندسه جدید دشوارتر خواهد بود اما همانطور که در فصل دوم هم گفتم زمانی که با مفاهیم ریاضیاتی سروکار داریم بیش از آنکه ماهیت و چیستی آن مفهوم مهم باشد، کارآیی و کارآمدی آن مهم است. لذا از آنجایی که می توان قرص هذلولی را توصیف و با آن کارکرد ( مثلاً اگر شما از من بپرسید که اگر پوشش کاشی کاری شده با 5 ضلعی ها را 30 درجه حول یکی از محورها بچرخانیم چه اتفاقی می افتد، من می توانم آن را برای شما توصیف کنم ). پس هندسه هذلولی به همان اندازه واقعی است که هر مفهوم ریاضی دیگری واقعی است. البته هندسه کروی را می توان از دیدگاه هندسه اقلیدسی در فضای 3 بعدی بهتر درک کرد ولی این موضوع تفاوت جدی در موضوع بحث ما ایجاد نمی کند.
یکی دیگر از ویژگی های بسیار مهم و جالب توجه در رابطه با هندسه هذلولی آن است که 4 اصل اول اقلیدس روی آن صادق است. برای مثال هر دو نقطه را شما می توانید با یک پاره خط مستقیم هذلولی به هم متصل کنید ( خط هذلولی دایره ای است که لب های قرص را به طور عمود قطع می کند ).
شاید به نظر برسد که شما به ازای هر نقطه ای که ارائه می شود، امکان رسم دایره ای با شعاع دلخواه ( و به خصوص بسیار بزرگ ) را ندارید. اما فراموش نکنید که فواصل در لبه قرص هذلولی بزرگتر می شوند. در حقیقت اگر یک دایره هذلولی خیلی به لبه قرص نزدیک باشد آنگاه شعاع آن بسیار زیاد خواهد بود ( البته آن را باید شعاع هذلولی بنامیم ). دایره های هذلولی ظاهری شبیه دایره های معمولی دارند اما مراکز دو دایره شبیه به هم که در فضای معمولی و هذلولی رسم شده اند به هم منطبق نخواهد بود ( شکل 3 را ببینید ).
البته همانطور که قبلاً هم امیدوار بودیم، اصل توازی در هندسه هذلولی برقرار نیست، این موضوع را می توانید در شکل 4 ببینید. در این شکل من 3 خط هذلولی L، را مشخص کرده ام. در نقطه X همدیگر را قطع می کنند اما هیچ یک از آنها خط L را قطع نمی کنند. بنابراین دو خط گذرنده از نقطه X ( یا هر نقطه دلخواه دیگر ) وجود دارند که با L موازی هستند. این مسأله با اصل توازی که تنها وجود یک خط موازی با L که از X عبور کند را می پذیرد در تضاد است. به عبارت دیگر در هندسه هذلولی بیان دقیق دیگری از اصول اقلیدس را در اختیار داریم که برای نشان دادن استقلال اصل توازی از سایر اصول اقلیدس لازم است. در این هندسه هر 4 اصل و اصول استدلال صادق باقی مانده اند اما اصل توازی برقرار نیست. پس در فضای اولیه اقلیدس هم این اصل توازی قابل استنتاج از اصول 4 گانه قبل نیست.
البته من نمی توانم اثبات کنم که هندسه هذلولی تمام خواصی که مورد نظر من است را دارد؛ چرا که برای همین کار باید چند کلاس درسی دانشگاهی در ریاضیات را مرور کنیم. اما حداقل می توانم نشان دهم که فاصله در این فضا چگونه تعریف می شود.
برای این کار، ابتدا، باید مشخص کنم فواصل نزدیک تر به لبه ها طبق چه قاعده ای از آنچه که به نظر می آیند، بزرگتر هستند. پاسخ این است که فاصله هذلولی در نقطه P نسبت به فواصل طبیعی با نسبت تغییر می کند، به شرطی که d فاصله نقطه p تا مرز دایره باشد. برای توضیح بیشتر اگر فرض کنید شما در حال حرکت بر این قرص هستید سرعت شما زمانی که از نقطه p عبور می کنید بنا بر خاصیت هذلولی فاصله در این فضا برابر سرعتی است که به نظر می رسد دارید. به عبارت دیگر، با این تعریف اگر شما بخواهید سرعت هذلولی خودتان را در این فضا حفظ کنید آنگاه هر چه به لبه ها نزدیک شوید سرعت ظاهری شما ( که از بیرون این فضا دیده می شود ) کمتر و کمتر خواهد شد. پیش از اینکه بحث هندسه هذلولی را کنار بگذاریم، اجازه دهید ببینیم چرا استدلال (4) که پیش از این درباره اش صحبت کردیم و درباره یکتایی خطوط موازی بود، اینجا غلط از آب درمی آید.
تصویر شماره 3: یک دایره هذلولی و مرکز آن
ایده آن اثبات این بود که فرض کنید L یک خط و x نقطه ای بیرون از L است و خطی مانند M که از x می گذرد هیچ جا L را قطع نمی کند. می توان L و M را با مجموعه ای از پاره خط هایی به هم وصل کنیم که فضای بین دو خط را به مجموعه ای از مستطیل ها نیست تقسیم می کند. اگرچه چنین کاری را می توان در فضای کروی انجام داد اما در فضای هذلولی چنین کاری امکان پذیر نیست؛ چرا که در این فضا مجموع زوایای هر 4 ضلعی کمتر از 360 درجه است و بنابراین مستطیل هایی که شما برای ادامه استدلال خود در 4 نیاز داشتید در این فضا اصولاً وجود ندارند.

پي‌نوشت‌ها:

1. Henri Poincare
2. Mercator

منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم